垂径定理课件优秀课件
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《垂径定理推论》课件
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04
答案4
圆上一点P(a,b)到圆心的距离公 式为sqrt((a - h)^2 + (b - k)^2) 。解析:利用两点之间的距离公 式,我们知道点P到圆心的距离 等于点P的横坐标与圆心横坐标 之差的平方和加上点P的纵坐标 与圆心纵坐标之差的平方和的平 方根。
06
总结与展望
本节课的总结
知识要点回顾 垂径定理推论的基本概念和定理表述。
能力目标
能够运用垂径定理及其推 论解决实际问题,提高数 学应用能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱,增强数学学习的自 信心和成就感。
02
垂径定理推论的基本概念
定义与性质
定义
垂径定理推论是关于圆的定理, 它描述了从圆心到圆上任一点的 连线(即半径)与通过该点的圆 的切线之间的关系。
性质
对定理的深入理解
定理的证明过程
深入理解垂径定理推论的证明过程,可以帮助我们更好地掌握其内涵和应用。通 过逐步推导和解析,可以更清晰地理解定理的逻辑和严密性。
定理的几何意义
垂径定理推论不仅是一个数学定理,还具有深刻的几何意义。通过图形演示和实 例分析,可以更直观地理解其在解决实际问题中的应用。
对定理的推广与改进
05
习题与解答
习题
题目1
题目2
若圆心到直线的距离为d,圆的半径为r, 则直线被圆所截得的弦长为多少?
已知圆的方程为x^2 + y^2 = r^2,求圆 上一点P(a,b)到直线x=h的距离公式。
题目3
题目4
若直线l与圆相切于点A,且直线l的方程为 Ax + By + C = 0,求点A到直线l的距离公 式。
垂径定理推论在几何问题解决中的应用实例。
课件_人教版九年级上册数学_垂径垂径定理PPT课件_优秀版
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B
证法三:利用等腰三角形
1、连接圆上任意两点间 2、如图,AB是⊙O的一条弦.
3、如图,矩形ABCD与圆O交于点A、B、 径CD平分弦AB,并且平分AB及ACB.
直径
的线段叫做弦(如弦AB). O. (1)右图是轴对称图形吗?
问题 :你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所 对的弦的长)为37.
半圆既不是劣弧,也不是优弧
圆对称性(1) --垂径定理
赵州桥主桥拱的半径是多少?
问题 :你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代 建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结 晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你 能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?
下列结论不正确的是( C )
A
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A、AC=AD B、BC=BD 在⊙O中,若CD ⊥AB于M,AB为直径,则下列结论不正确的是(
)
C、AM=OM D、CM=DM 2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理,并用方程的思想来解决问题.
圆的任意一条直径的两个端
在⊙O中,CD ⊥AB于M,AB为直径,若CD=10,AM=1,则⊙O的半径是
PB
O
3.已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大 圆的弦AB交小圆于C,D两点。你认为AC和BD有 什么关系?为什么?
解: AC=BD,
理由是:
过O作OE⊥AB,垂足为E, 则AE=BE,CE=DE.
∴ AE-CE=BE-DE 即 AC=BD
O.
A C ED B
注意:解决有关弦的问题,过圆心作弦 的垂线,也是一种常用辅助线的添法.
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C
推论:平分弦(不是直径)的直径垂
直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
(2)垂直于弦 (1)过圆心 (4)平分弦所对的一条弧 (3)平分弦 (5)平分弦所对的另一条弧
O
A C O B D E D B
不是直径
CD是直径 CD AB AE BE ( AB不是直径)
OE AC OD AB AB AC
B
3.已知⊙O的直径是50 cm,⊙O的两条平行弦 AB=40 cm ,CD=48cm, 求弦AB与CD之间的距离。
过点O作直线OE⊥AB,交CD于F。
A
C
20 E
25 25 24
F
15 . O 7
B D
A
C
E
F . O
B
D
AB、CD在点O两侧 EF=OE+OF=15+7=22 AB、CD在点O同侧 EF=OE-OF=15-7=8
⌒ ⌒ AD=BD.
下列图形是否具备垂径定理的条件?
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
是
不是
是
不是
直径垂直弦,才能平分弦,平分弦所对的弧.
适用垂径定理的几个基本图形:
C
A E
O A D E B
B
A
O E D B
O
A
O
E B
D
CD过圆心
CD⊥AB于E
AE=BE AC=BC AD=BD
§24.1.2 垂直于弦的直径
C O A D E B
A
O E B
赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的 弦的长)为37.4米,拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.2米,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
01977_《垂径定理》公开课一等奖课件
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教师点评与总结
在学生的分享和交流过程中,教师进 行适时的点评和总结,强调垂径定理 的重要性和应用价值,并引导学生对 探究过程进行反思和总结。
2024/1/28
18
05
课堂互动环节展示
Chapter
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19
提问环节
提出问题
什么是垂径定理?它的定义和性 质是什么?
2024/1/28
引导思考
Chapter
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23
重点内容回顾总结
2024/1/28
垂径定理的定义和性质
垂径定理指出,对于任意圆和经过圆心的直径,若该直径垂直于 某条弦,则该直径平分该弦,并且平分该弦所对的两条弧。
垂径定理的证明方法
通过构造直角三角形和运用勾股定理等方法,可以证明垂径定理的 正确性。
垂径定理的应用场景
02
推论1
平分弦(不是直径) 的直径垂直于弦,并 且平分弦所对的两条 弧。
03
推论2
弦的垂直平分线经过 圆心,并且平分弦所 对的两条弧。
04
推论3
平分弦所对的一条弧 的直径,垂直平分弦 ,并且平分弦所对的 另一条弧。
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8
垂径定理证明过程
要点一
已知
在⊙O中,DC为直径,AB是弦, AB⊥DC于点E,AB被DC平分于点E 。
值。
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21
练习环节
2024/1/28
基础练习
01
提供一些基础题目,让学生运用垂径定理进行求解,巩固所学
知识。
拓展练习
02
设计一些难度较大的题目,引导学生进一步探索垂径定理的应
用和拓展。
互动答疑
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思考:当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时,弦AB有可能被直径CD平分?
((对C如D2称1⊥))图轴A你这,B垂 平是,能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙?为所图是O理的E对中轴:一.有对的条垂哪称两弦直些图条,于相形弧作等吗弦直.的?的径线如直C段果D径,和是使平,分它弦的,并
弧?为什么?
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧 恰好经过圆心,则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点,且OP=4,则过P
点的所有弦中,弦长可能取 A
B
的整数值为( C )
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2)(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形:
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形,能否使用垂径定理?
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形,
AE
1 2
AC,AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中,A⌒B的度数是60˙,
((对C如D2称1⊥))图轴A你这,B垂 平是,能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙?为所图是O理的E对中轴:一.有对的条垂哪称两弦直些图条,于相形弧作等吗弦直.的?的径线如直C段果D径,和是使平,分它弦的,并
弧?为什么?
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧 恰好经过圆心,则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点,且OP=4,则过P
点的所有弦中,弦长可能取 A
B
的整数值为( C )
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2)(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形:
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形,能否使用垂径定理?
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形,
AE
1 2
AC,AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中,A⌒B的度数是60˙,
垂径定理PPT演示课件
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垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条 弦所对的两条弧
如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC 等于弧BC,弧AD= 弧BD
•1
垂径定理证明
如图 ,在⊙O中,DC为直径, AB是弦,AB⊥DC,AB、CD 交于E,求证:AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD= 弧BD
连OA、OB ∵OA、OB是半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE,∠AOE=∠BOE
o
A
D
B
•6
已知如图:圆O中,0B=8, ∠B0C=450 ∠BCD=750 求DC=?
D
E
0
B
C
•7
小结
有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它 们构造的直角三角形来研究
连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助 线添法。
•8
【例题】
如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于E,若AE= 2cm,BE=6cm,∠CEA=300,求:
(等腰三角形三线合一) ∴弧AD=弧BD,∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC
•2
垂径定理及其推论
一条直线①过圆心;②垂直于一条弦;③ 平分这条弦;④平分弦所对的劣弧;⑤平 分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个,即可得出另三 个注意Fra bibliotek平分弦时,直径除外
•3
判断
1.弦的垂直平分线一定经过圆心。 2.经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 3.平分弦所对的一条弧的直径,平分这条弦
(1)CD的长; (2)C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
D
F
AG E O• H
B
C
•9
例1图
如图,半径为2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和CD,它们的交点E到圆心O的距离等于1, 则 AB2+CD2=( )
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条 弦所对的两条弧
如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC 等于弧BC,弧AD= 弧BD
•1
垂径定理证明
如图 ,在⊙O中,DC为直径, AB是弦,AB⊥DC,AB、CD 交于E,求证:AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD= 弧BD
连OA、OB ∵OA、OB是半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE,∠AOE=∠BOE
o
A
D
B
•6
已知如图:圆O中,0B=8, ∠B0C=450 ∠BCD=750 求DC=?
D
E
0
B
C
•7
小结
有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它 们构造的直角三角形来研究
连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助 线添法。
•8
【例题】
如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于E,若AE= 2cm,BE=6cm,∠CEA=300,求:
(等腰三角形三线合一) ∴弧AD=弧BD,∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC
•2
垂径定理及其推论
一条直线①过圆心;②垂直于一条弦;③ 平分这条弦;④平分弦所对的劣弧;⑤平 分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个,即可得出另三 个注意Fra bibliotek平分弦时,直径除外
•3
判断
1.弦的垂直平分线一定经过圆心。 2.经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 3.平分弦所对的一条弧的直径,平分这条弦
(1)CD的长; (2)C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
D
F
AG E O• H
B
C
•9
例1图
如图,半径为2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和CD,它们的交点E到圆心O的距离等于1, 则 AB2+CD2=( )
《圆的垂径定理》课件
![《圆的垂径定理》课件](https://img.taocdn.com/s3/m/8f451a6a2bf90242a8956bec0975f46527d3a7c2.png)
第四步
综合第二步和第三步的结论, 得出垂径定理。
定理的应用
01
02
03
计算弦长
已知圆的半径和弦所对的 圆心角,利用垂径定理可 以计算出弦的长度。
计算弧长
已知圆的半径和弧所对的 圆心角,利用垂径定理可 以计算出弧的长度。
计算圆心角
已知圆的半径和弦长,利 用垂径定理可以计算出圆 心角的度数。
03
垂径定理的应用
02
垂径定理在解析几何中可以用于 解决一些实际应用问题,例如计 算桥梁的承重能力、设计圆形工 件等。
垂径定理在实际问题中的应用
在实际生活中,垂径定理的应用非常 广泛,例如在建筑设计、机械制造、 航空航天等领域中,垂径定理都发挥 着重要的作用。
垂径定理在物理学中也有应用,例如 在研究光的反射和折射、地球的重力 场等。
垂径定理在几何问题中的应用
垂径定理在证明圆的性质时发挥了重要作用,例如证明圆周角定 理、圆内接四边形的性质等。
垂径定理是解决几何问题中关于圆的问题的基础,例如求圆的面 积、周长、圆心角等。
垂径定理在解析几何中的应用
01
在解析几何中,垂径定理可以与 其他数学知识结合使用,例如与 三角函数、坐标系等结合,解决 更复杂的几何问题。
详细描述
弦切角定理指出,在圆中,连接弦与切线的交点的线段与弦所夹的角等于该弦 所对应的圆心角。这个定理在解决与弦、切线和圆心角相关的问题时非常有用 。
切线长定理
总结词
切线长定理是关于圆的切线长度的重 要定理。
详细描述
切线长定理指出,过圆外一点向圆作 两条切线,则该点到两切点的线段长 度相等。这个定理在解决与圆的切线 和相关长度相关的问题时非常有用。
定理的应用
垂径定理【全国一等奖】-完整版PPT课件
![垂径定理【全国一等奖】-完整版PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/e896214c302b3169a45177232f60ddccda38e602.png)
1.1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是 圆弧形,它的跨度(即弧所对的弦长)为37.4m,拱 高(即弧的中点到弦的距离)为7.2m,求桥拱所在圆 的半径(结果精确到0.1m).
解为:Rm如,图经,过用圆A⌒心BO表作示弦桥A拱B,的A⌒垂B 线所O在D圆,的D为圆垂心足为,O,与半A⌒径B 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是A⌒B 的中
点,CD就是拱高.由题设
AB=37.4,CD=7.2,
37.4 C
AD 1 AB 1 37.4 18.7, 7.2
2
2
OD=OC-DC=R-7.2.
A
D
B
R
在Rt△OAD中,由勾股定理,
得:OA2=AD2+OD2,
O
即 R2=18.72+(R-7.2)2.பைடு நூலகம்解得 R≈27.9(m).
答:桥拱所在圆的半径约为27.9m.
2.如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦
所夹的弧相等吗?为什么? 相等
E
C
D
O·
证明:作直径EF垂直于弦AB, A
B
由于AB//CD,因此EF⊥CD,
F
由于EF⊥AB,因此,AE=BE,
由于EF⊥CD,因此,CE=DE,
从而AE-CE=BE-DE,即AC=BD.
解为:Rm如,图经,过用圆A⌒心BO表作示弦桥A拱B,的A⌒垂B 线所O在D圆,的D为圆垂心足为,O,与半A⌒径B 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是A⌒B 的中
点,CD就是拱高.由题设
AB=37.4,CD=7.2,
37.4 C
AD 1 AB 1 37.4 18.7, 7.2
2
2
OD=OC-DC=R-7.2.
A
D
B
R
在Rt△OAD中,由勾股定理,
得:OA2=AD2+OD2,
O
即 R2=18.72+(R-7.2)2.பைடு நூலகம்解得 R≈27.9(m).
答:桥拱所在圆的半径约为27.9m.
2.如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦
所夹的弧相等吗?为什么? 相等
E
C
D
O·
证明:作直径EF垂直于弦AB, A
B
由于AB//CD,因此EF⊥CD,
F
由于EF⊥AB,因此,AE=BE,
由于EF⊥CD,因此,CE=DE,
从而AE-CE=BE-DE,即AC=BD.
垂径定理课件
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平行线的关系
性质:垂线与平行线互相垂直,即当两条直线相交时,其中一条为垂线时,另一条即为平行线。
垂心和比例点的概念
垂心:三角形内的垂线交点称为垂心,是三角形内心的一种特殊情况。 比例点:三角形内的垂线与对边的交点称为比例点,可以在相似三角形中使用。
如何求垂直线的长度
方法:根据垂径定理,可以使用勾股定理或相似三角形的比例关系求解垂直 线的长度。
垂径定理课件PPT
欢迎来到本次垂径定理课件PPT!今天我们将介绍垂径定理的定义、特点、 应用以及与其他几何知识的关系。让我们开始探索这个有趣且实用的几何原 理吧!
垂径定理的定义
垂径定理:在一个平面内,通过三角形的一个内角的三垂线的交点共线。 示意图:(图片示意图)
直角三角形的特点
直角三角形:一个角为90度的三角形,特点是拥有一个直角和两个锐角。 性质:勾股定理成立,垂径定理可用于求解各边的长度。
垂径定理的应用
应用举例:垂径定理可用于解决三角形面积、边长、角度等问题,也可以在多边形的证明和相似三角形 的研究中应用。
证明垂径定理的方法
一种证明方法:通过构造垂线、平行线和相似三角形,可以从不同角度证明垂径定理的正确性。
如何画垂径
步骤:确定要画垂线的三角形,找到该三角形的某个角,通过该角的顶点作垂线,使其与对边垂直相交。 图片示意:(图片示意图)
性质:垂线与平行线互相垂直,即当两条直线相交时,其中一条为垂线时,另一条即为平行线。
垂心和比例点的概念
垂心:三角形内的垂线交点称为垂心,是三角形内心的一种特殊情况。 比例点:三角形内的垂线与对边的交点称为比例点,可以在相似三角形中使用。
如何求垂直线的长度
方法:根据垂径定理,可以使用勾股定理或相似三角形的比例关系求解垂直 线的长度。
垂径定理课件PPT
欢迎来到本次垂径定理课件PPT!今天我们将介绍垂径定理的定义、特点、 应用以及与其他几何知识的关系。让我们开始探索这个有趣且实用的几何原 理吧!
垂径定理的定义
垂径定理:在一个平面内,通过三角形的一个内角的三垂线的交点共线。 示意图:(图片示意图)
直角三角形的特点
直角三角形:一个角为90度的三角形,特点是拥有一个直角和两个锐角。 性质:勾股定理成立,垂径定理可用于求解各边的长度。
垂径定理的应用
应用举例:垂径定理可用于解决三角形面积、边长、角度等问题,也可以在多边形的证明和相似三角形 的研究中应用。
证明垂径定理的方法
一种证明方法:通过构造垂线、平行线和相似三角形,可以从不同角度证明垂径定理的正确性。
如何画垂径
步骤:确定要画垂线的三角形,找到该三角形的某个角,通过该角的顶点作垂线,使其与对边垂直相交。 图片示意:(图片示意图)
垂径定理的应用课件
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定理内容
若一条直线过圆心且垂直于给定 直径,则该直线被直径分为两段 ,其中一段长度是另一段长度的 两倍。
定理的证明
证明方法一
利用圆的性质和勾股定理进行证 明。
证明方法二
利用相似三角形的性质进行证明。
证明方法三
利用三角形的中线性质进行证明。
定理的重要性
01
在几何学中,垂径定理是基础且 重要的定理之一,广泛应用于解 决与圆和直线相关的问题。
在椭圆中的应用
总结词:推广应用
详细描述:在椭圆中,垂径定理也有其应用。我们可以利用垂径定理找到椭圆的中心和长轴、短轴。这对于解决与椭圆相关 的几何问题非常有帮助,如求面积、周长等。
在其他图形中的应用
总结词:拓展应用
详细描述:除了圆和椭圆,垂径定理还可以应用于其他一些图形中。例如,在抛物线、双曲线等中, 垂径定理可以帮助我们找到与图形中心相关的信息,从而解决一些复杂的几何问题。此外,在一些更 复杂的组合图形中,垂径定理也可以发挥重要作用。
案例三:机械制造中的垂径定理应用
总结词
机械零件的精确性与垂径定理
详细描述
在机械制造中,垂径定理被广泛应用于确定机械零件 的位置和尺寸,以确保机械零件的精确性和稳定性。 通过应用垂径定理,可以计算出零件的最佳位置和尺 寸,从而提高机械设备的效率和精度。
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详细描述
在解决与圆相关的几何问题时,垂径定理与 三角函数经常一起使用。垂径定理可以确定 直径与弦的关系,而三角函数则可以用于计 算角度和弧长等几何量。通过结合这两个知 识点,可以方便地计算出圆上任意两点之间 的角度、弧长等几何量。
与解析几何的结合应用
总结词
解析几何提供了一种用代数方法研究几何的 方法,垂径定理与解析几何的结合,使得几 何问题可以通过代数方法求解。
若一条直线过圆心且垂直于给定 直径,则该直线被直径分为两段 ,其中一段长度是另一段长度的 两倍。
定理的证明
证明方法一
利用圆的性质和勾股定理进行证 明。
证明方法二
利用相似三角形的性质进行证明。
证明方法三
利用三角形的中线性质进行证明。
定理的重要性
01
在几何学中,垂径定理是基础且 重要的定理之一,广泛应用于解 决与圆和直线相关的问题。
在椭圆中的应用
总结词:推广应用
详细描述:在椭圆中,垂径定理也有其应用。我们可以利用垂径定理找到椭圆的中心和长轴、短轴。这对于解决与椭圆相关 的几何问题非常有帮助,如求面积、周长等。
在其他图形中的应用
总结词:拓展应用
详细描述:除了圆和椭圆,垂径定理还可以应用于其他一些图形中。例如,在抛物线、双曲线等中, 垂径定理可以帮助我们找到与图形中心相关的信息,从而解决一些复杂的几何问题。此外,在一些更 复杂的组合图形中,垂径定理也可以发挥重要作用。
案例三:机械制造中的垂径定理应用
总结词
机械零件的精确性与垂径定理
详细描述
在机械制造中,垂径定理被广泛应用于确定机械零件 的位置和尺寸,以确保机械零件的精确性和稳定性。 通过应用垂径定理,可以计算出零件的最佳位置和尺 寸,从而提高机械设备的效率和精度。
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详细描述
在解决与圆相关的几何问题时,垂径定理与 三角函数经常一起使用。垂径定理可以确定 直径与弦的关系,而三角函数则可以用于计 算角度和弧长等几何量。通过结合这两个知 识点,可以方便地计算出圆上任意两点之间 的角度、弧长等几何量。
与解析几何的结合应用
总结词
解析几何提供了一种用代数方法研究几何的 方法,垂径定理与解析几何的结合,使得几 何问题可以通过代数方法求解。
垂径定理PPT课件(人教版)
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37.4m
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索 二
⊙O半径为10,弦AB=12,CD=16, 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
.
C
D
课堂小结
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
D
B
O
C
A
C
CB
D
A
O
O
C
B
• 两条辅助线:
半径 弦心距
A
• 一个Rt△:半径 半弦 弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中,直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中,半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径 可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中,OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线 段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
E
B
D C
O
A
E
B
D
A
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索 二
⊙O半径为10,弦AB=12,CD=16, 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
.
C
D
课堂小结
C
O
A
A
E
B
D
A
O
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D
B
O
C
A
C
CB
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A
O
O
C
B
• 两条辅助线:
半径 弦心距
A
• 一个Rt△:半径 半弦 弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中,直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中,半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径 可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中,OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线 段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
E
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D C
O
A
E
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D
A
《垂径定理》课件
![《垂径定理》课件](https://img.taocdn.com/s3/m/df9a2dbdfbb069dc5022aaea998fcc22bdd1436a.png)
答案:3cm
解析:根据垂径定理,圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离,再根据勾股定 理求解。
习题二
题目:已知圆O的半径为5cm,弦AB的长为6cm,则圆心O到弦AB的距 离为 _______.
答案:4cm
解析:根据垂径定理,圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离,再 根据勾股定理求解。
习题三
01
02
CATALOGUE
垂径定理的表述
定理的文字表述
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦,并且 平分弦所对的两条弧。
解释
如果一条直径垂直于一条弦,那 么这条直径会平分这条弦,并且 平分弦所对的两条弧。
定理的图形表述
图形示例
可以画出一个圆和经过圆心的一条弦 ,然后画一条垂直于该弦的直径,用 以展示垂径定理。
03
这种方法需要学生掌握相似三角形的 性质和判定方法,适合数学基础较好 的学生理解和掌握。
04
CATALOGUE
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
确定圆的中心
利用垂径定理,我们可以确定一个圆 的中心,只需在圆上任取两点,然后 通过这两点作垂直平分线,两条垂直 平分线的交点即为圆心。
作圆的切线
利用垂径定理,我们可以找到一个圆 的切线。在圆上任取一点,然后通过 这一点作圆的切线,切线与过圆心的 垂线交于一点,该点即为切点。
《垂径定理》ppt课 件
目录
• 引言 • 垂径定理的表述 • 垂径定理的证明 • 垂径定理的应用 • 垂径定理的变式 • 习题与解答
01
CATALOGUE
引言
什么是垂径定理
垂径定理
垂径定理是平面几何中一个重要的定理,它描述了垂直于弦的直径与弦之间的 关系。具体来说,如果一条直径垂直于一条弦,则这条直径将该弦平分,并且 平分该弦所对的弧。
垂径定理》PPT课件
![垂径定理》PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/5a151cf54793daef5ef7ba0d4a7302768e996f97.png)
A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C
5 3 OO
A
4 PP B
D
练习册
赵州桥主桥拱的半径是多少?
问题 :你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形,
AE
1 2
AC,AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
C
(1)如何证明?
已知:如图,CD是⊙O的直径,
·O
AB为弦,且AE=BE.
求证:CD⊥AB,且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
赵州桥主桥拱的半径是多少?
问题 :你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折, 重复几次,你发现了什么?由此你能得到 什么结论?
A
C
·O
E B
D
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
5 3 OO
A
4 PP B
D
练习册
赵州桥主桥拱的半径是多少?
问题 :你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形,
AE
1 2
AC,AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
C
(1)如何证明?
已知:如图,CD是⊙O的直径,
·O
AB为弦,且AE=BE.
求证:CD⊥AB,且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
赵州桥主桥拱的半径是多少?
问题 :你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折, 重复几次,你发现了什么?由此你能得到 什么结论?
A
C
·O
E B
D
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
《垂径定理》优秀ppt课件2024新版
![《垂径定理》优秀ppt课件2024新版](https://img.taocdn.com/s3/m/6868066ccdbff121dd36a32d7375a417876fc146.png)
判断四边形形状问题
判断平行四边形
利用垂径定理证明四边形两组对 边分别平行,从而判断四边形为
平行四边形。
判断矩形和正方形
在平行四边形基础上,利用垂径定 理证明两组对角相等或邻边相等, 进而判断四边形为矩形或正方形。
判断梯形
通过垂径定理证明四边形一组对边 平行且另一组对边不平行,从而判 断四边形为梯形。
利用垂径定理将方程转化为标准形式 判别式判断根的情况
求解根的具体数值
判断二次函数图像与x轴交点问题
利用垂径定理判断交点个数 确定交点的横坐标
结合图像分析交点性质
解决不等式组解集问题
利用垂径定理确定不 等式组的解集范围
结合图像直观展示解 集
分析解集的端点情况
05
垂径定理拓展与延伸
推广到三维空间中直线与平面关系
《垂径定理》优 秀ppt课件
目录
• 垂径定理基本概念与性质 • 垂径定理证明方法 • 垂径定理在几何问题中应用 • 垂径定理在代数问题中应用 • 垂径定理拓展与延伸 • 总结回顾与课堂互动环节
01
垂径定理基本概念与性质
垂径定义及性质
垂径定义
从圆上一点向直径作垂线,垂足 将直径分成的两条线段相等,且 垂线段等于半径与直径之差的平 方根。
在直角三角形中,利用勾 股定理和已知条件进行推 导和证明。
解析法证明
建立坐标系
以圆心为原点建立平面直角坐标系, 将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$ 。
求解交点
联立垂径方程和圆的方程,求解交点 坐标,进而证明垂径定理。
垂径表示
设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$,则垂径的方程可表示 为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(xx_1)$。
垂径定理ppt课件
![垂径定理ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/56828456854769eae009581b6bd97f192279bffd.png)
连接OA,如图所示,则OA=OD=250,
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
返回目录
2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
返回目录
5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
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5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
《垂径定理》精品 课件
![《垂径定理》精品 课件](https://img.taocdn.com/s3/m/c6972eebdd3383c4ba4cd23e.png)
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彼时才发现,面临初出茅庐的年轻人 ,自己 的体力 和脑力 都已经 拼不过 ,几年 来累积 下来的 阅历和 经验没 有转化 成核心 竞争力 。
毕业八年的她被迫重返人才市场,但 彼时的 她与毕 业时相 比毫无 长进, 面试屡 屡碰壁 。
李尚龙曾说:
真正的安稳是历经世事后的淡薄,你 还没有 见过世 界,就 想隐退 山林, 到头来 只会是 井底之 蛙。”
28.4 垂径定理*
1 . 垂 直 于 弦 的 直 径 平 分 这 条 ____弦____ , 并 且 平 分 这 条 弦 所 对 的 _两__条__弧___. 2.平分弦( 不是直径 )的直径垂直于弦,并且平分这条弦所对的 ___两__条__弧______.
1.(4分)(2013·上海)在⊙O中,已知半径为3,弦AB长为4,那么 圆心O到AB的距离为_____5___. 2.(4分)如图,在半径为13的⊙O中,OC垂直于弦AB交于点D, 交⊙O于点C,AB=24,则CD的长是____8____.
3.(4 分)(2013·廊坊)如图,⊙O 的直径 AB=12,CD 是⊙O 的弦,
CD⊥AB,垂足为 P,且 BP∶AP=1∶5,则 CD 的长为( D )
A.4 2
B.8 2
C.2 5
D.4 5
4.(4 分)如图,以点 O 为圆心的两个圆中,大圆的弦 AB 交小圆于点
垂径定理的应用课件
![垂径定理的应用课件](https://img.taocdn.com/s3/m/5ea16c24a88271fe910ef12d2af90242a895aba9.png)
对垂径定理的回顾与思考
垂径定理是几何学中的一个重要定理,它涉及到圆的性质和证明。在学习过程中 ,我们需要深入理解垂径定理的证明过程和推理逻辑,以便更好地应用它来解决 实际问题。
在回顾过程中,我们需要思考如何将垂径定理应用于实际问题的解决中,并思考 如何通过推理和证明来得出正确的结论。此外,我们还需要思考如何通过实践来 加深对垂径定理的理解和应用。
垂径定理的应用课件
目录
• 垂径定理的介绍 • 垂径定理的应用场景 • 垂径定理的应用实例 • 垂径定理的应用练习题 • 总结与回顾
01 垂径定理的介绍
垂径定理的定义
垂径定理
过圆心作圆的弦的垂线,则垂足 到弦中点的连线与垂线重合。
定理证明
利用圆的性质和三角形的中位线 定理进行证明。
垂径定理的重要性
详细描述
已知一个圆和该圆外的一条直线,我们要证明这条直线是圆的切线。根据垂径定 理,如果一条直线与圆只有一个交点,那么这条直线就是圆的切线。因此,我们 只需要证明这条直线与圆只有一个交点即可证明它是圆的切线。
04 垂径定理的应用练习题
基础练习题
总结词:巩固垂径定理的基本概念和性质。 详细描述 给出一条直线和该直线所通过的圆,判断该直线是否为圆的 垂径,并说明理由。 给定圆的直径和一条过圆心的线段,求作圆的垂径。 已知圆的半径和一条过圆心的线段,求作圆的垂径。
综合练习题
详细描述
总结词:结合其他几何知识,综 合运用垂径定理解决复杂问题。
给定一个圆和该圆上的一条弦, 求作该弦的中垂线,并证明其为 圆的垂径。
已知一个三角形和该三角形的一 边的中点,求作该边的垂直平分 线,并证明其为三角形的角平分 线。
已知一个三角形和该三角形的一 边的中点,求作该边的垂直平分 线,并证明其为三角形的中线。
《垂径定理》课件1
![《垂径定理》课件1](https://img.taocdn.com/s3/m/701fea9eb8f3f90f76c66137ee06eff9aef8493b.png)
通过计算或观察图像,确定函数的最值。
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图 像的对称轴,进而判断函 数在不同区间的单调性。
结合函数的导数,分析函 数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图 像,确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴,分 析图像的对称性。
结合函数的奇偶性,分析图像关于原点的 对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中,垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体(如太阳、星星)的位置和角度,可以 利用垂径定理确定航行方向和距离,实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如,在测量地球表面上两点之间的距离时,可以利用垂径定理计算出大圆距 离,这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点,以过圆心的直线为x轴 建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立,消去y得到关于x的 二次方程,由根与系数的关系可得垂 线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2,设 弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量 设圆心为O,弦的两个端点分别为A和B,垂足为 C,则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质 由向量数量积的性质可知,OC·AB = 0,即 |OC|·|AB|·cos90° = 0,由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质 由向量加法的性质可知,向量OA + 向量OB = 2 向量OC,由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图 像的对称轴,进而判断函 数在不同区间的单调性。
结合函数的导数,分析函 数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图 像,确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴,分 析图像的对称性。
结合函数的奇偶性,分析图像关于原点的 对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中,垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体(如太阳、星星)的位置和角度,可以 利用垂径定理确定航行方向和距离,实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如,在测量地球表面上两点之间的距离时,可以利用垂径定理计算出大圆距 离,这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点,以过圆心的直线为x轴 建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立,消去y得到关于x的 二次方程,由根与系数的关系可得垂 线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2,设 弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量 设圆心为O,弦的两个端点分别为A和B,垂足为 C,则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质 由向量数量积的性质可知,OC·AB = 0,即 |OC|·|AB|·cos90° = 0,由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质 由向量加法的性质可知,向量OA + 向量OB = 2 向量OC,由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度
垂径定理课件
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其对称轴是 什么? (2)你能发现图中有哪些等量关
系?说一说你的理由.
新课讲授
定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
用几何语言表述为:
如图,在⊙O中,
AE BE
CD是直径
CD
AB于点E
AD
BD
AC BC
新课讲授
下列哪些图形可以用垂径定理?你能说明理由吗?
A
图1
O E
拓展与延伸
如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,CD⊥AB于点E,
则下列结论:①∠COE=∠DOE;②CE=DE;③BC=BD;④
OE=BE.其中,一定正确的有( C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
命题.
当堂小练
1.如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,OP⊥AB,垂足为点P, 则OP的长为( C ) A.3 B.2.5 C.4 D.3.5
当堂小练
2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩 ,她了解到这扇门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平 地面是相切的,AB=CD=0.25 m,BD=1.5 m,且AB,CD与 水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇 圆弧形门的最高点离地面的距离是( B ) A.2 m B.2.5 m C.2.4 m D.2.1 m
新课讲授
解:如图,∵OD⊥AB,
∴AD=
1 2
AB=
1 2
×37.4=18.7(m).
在Rt△ODA中,
OD=(R-7.2) m,OA=R m,
∴R2=(R-7.2)2+18.72,
解得R≈27.9.
∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
系?说一说你的理由.
新课讲授
定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
用几何语言表述为:
如图,在⊙O中,
AE BE
CD是直径
CD
AB于点E
AD
BD
AC BC
新课讲授
下列哪些图形可以用垂径定理?你能说明理由吗?
A
图1
O E
拓展与延伸
如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,CD⊥AB于点E,
则下列结论:①∠COE=∠DOE;②CE=DE;③BC=BD;④
OE=BE.其中,一定正确的有( C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
命题.
当堂小练
1.如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,OP⊥AB,垂足为点P, 则OP的长为( C ) A.3 B.2.5 C.4 D.3.5
当堂小练
2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩 ,她了解到这扇门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平 地面是相切的,AB=CD=0.25 m,BD=1.5 m,且AB,CD与 水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇 圆弧形门的最高点离地面的距离是( B ) A.2 m B.2.5 m C.2.4 m D.2.1 m
新课讲授
解:如图,∵OD⊥AB,
∴AD=
1 2
AB=
1 2
×37.4=18.7(m).
在Rt△ODA中,
OD=(R-7.2) m,OA=R m,
∴R2=(R-7.2)2+18.72,
解得R≈27.9.
∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
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解:在⊙O中 OE AB
AE 1 AB 1 8 4
O
22
在Rt△AOE中
A
E
B
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答:⊙O的半径为5cm.
变式: 图中两圆为同心圆
O
变式1:AC与BD有什么关系?
AC
变式2:AC=BD依然成立吗
DB
O A CM
ND B
B
变式3:隐去(变式1)中的大圆,
得右图连接OA,OB,设OA=OB,
O
AC、BD有什么关系?为什么?
AC
DB
变式4:隐去(变式1)中的大
O
圆,得右图,连接OC,OD,
设OC=OD,AC、BD有什么关 A C
DB
系?为什么?
如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条 弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形 ADOE是正方形.
定理辨析
判断下列图形,能否使用垂径定理?
C
C
C
O
A
E
D
O
B
A
E
D
A
B
O
E
B
D C
O O
A
E
B
A
D
E
B
A
O
E
B
引申定理
▪ 定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距 等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定 理的变式:
▪ 一条直线具有:
经过圆心 垂直于弦
可推得
平分弦
平分弦所对的劣 (优)弧
例题与练习
例1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心 O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.
取值范围是__3___O__M____5__
O
AM
B
2,如图直径为52cm的圆柱体油槽的横截面,装 入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB=
__4_8__cm.
O
AD
B
C
3,如图,已知AB是⊙O的直径,弦 CD⊥AB于点E,BE=4cm,CD=16cm, 求⊙O的半径.ABiblioteka OC=10OC
ED
线段: AE=BE
弧:
⌒⌒ AD=BD.
⌒⌒ AC=BC
A
C
·O
E B
D
垂径定理:垂直于弦的直径平 分弦,并且平分弦所对的两条 弧.
定理理解: 已知 直径垂直弦
A
结论 直径平分弦、平分弦所对的弧
转化为数学符号:
C
·O
E B
D
由 CD是直径,AB是弦 CD⊥AB
可推得
AE=BE,
A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
证明: OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形,
由垂径定理得:AE 1 AC,AD 1 AB C
2
2
又 ∵AC=AB
E
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形. A
·O
D
B
拓展练习
1,如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,点M 在线段AB(包括端点A、B)上移动,则OM的
垂径定理课件优秀课件
观察并回答
(1)两条直径AB、CD,CD平分AB吗? (2)若把直径AB向下平移,变成非直径的弦, 弦AB是否一定被直径CD平分?
C B
O
C
B O
A
D
AD
思考:当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时,弦
AB有可能被直径CD平分?
活动二
如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为E. 沿着直径CD折一折,你能发现图中有那些相等的线段和弧?为 什么?