计量经济学精要4

则：Y=5+6X2+8X3
=5+20X3
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4.3 多元回归参数的估计
4.3.1 OLS估计量
总体回归模型 相对应的样本回归模型，
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三个OLS估计量的表达式如下：
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4.3.2 OLS估计量的方差与标准误差
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4.3.3 多元回归OLS个回归系数都是线性的和无 偏的—平均而言，它与真实值相一致。 在所有线性无偏估计量中， OLS估计量具有 最小方差性，所以 OLS 估计量比其他线性无 偏估计量更准确地估计了真实的参数值。
b x F b1 2 2 ei n 2 ei n 2
2 1 2 i
2 ˆ yi
e 1 2 t 2 n 2 xi
2 i
2
4.8 从多元回归模型到双变量模型：设定误差
比较如下结果：
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两个回归结果为什么会不同?
个假定将自动满足。
3、同方差(homoscedastic)假定，即每个ui的方差为一 常数：Var(ui) = 4、无自相关(no autocorrelation)假定，即两个误差项 之间不相关。其数学形式为，cov(ui, uj)=0， i≠j。
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5、为了假设检验，假定误差项u服从均值为零
，(同)方差为
在数量上，它们有如下 关系
2 nk R2 n 1 F , R 1 2 k 1 1 R n k (k 1) F
区别： （1）F－检验中使用的统计量有精确的分布，而 拟合优度检验没有； （2）对是否通过检验，判定系数（校正判定系数 ）只能给出一个模糊的推测；而F检验可以在给 定显著水平下，给出统计上的严格结论；
0, )。
的正态分布，即，ui~ N(
6、解释变量之间不存在完全共线性。即两个
解释变量之间无严格的线性关系。
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多重共线性
假定6表明了解释变量X2与X3之间不存在完全的线性关系， 用统计学语言，称为非共线性(no collinearity)或非多重 共线性(no multicolliearity)。 如果存在多重共线性，则线性回归关系不能确定，甚至出 现更荒谬的情况。例： 若： X2=2X3
意义：判定系数越大，自变量对因变量的解释程度越 高，自变量引起的变动占总变动的百分比高。观察点 在回归直线附近越密集。 取值范围：0-1
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多元判定系数R2的计算：
TSS
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4.5 多元回归的假设检验
与双变量模型相同，如果用真实的但不可观察的 的无偏 估计量代替 ，则OLS估计量服从自由度为( n－3)的t 分布，而不是正态分布。
3. F－检验和t－检验的关系
在一元的情形，两者是一致的，等价的。对单 个解释变量显著性进行t检验，也就检验了解释 变量的整体显著性（F检验）；并且可以证明： F＝t 2 （所以在一元情形，只需要进行一种检验） 多元中，不存在以上关系。
回归模型假设检验的步骤
查看拟合优度，进行F检验，从整体上判断回归方程是否成 立，如果F检验通不过，无须进行下一步；否则进行下一步 查看各个变量的t值及其相应的概率，进行t检验，如果相应 的概率小于给定的显著水平，该自变量的系数显著地不为0 ，该自变量对因变量作用显著；否则系数与0无显著差异（ 本质上=0），该自变量对因变量无显著的作用，应从方程 中删去，重新估计方程。 但是，一次只能将最不显著（相伴概率最大）的删除。每 次删除一个，直至全部显著。
2
校正判定系数和未校正的判定系数的关系： (1) ( 2) n 1 R 1 （ 1 R ） nk
2 2
k 1时， R R 2 , 且随着解释变量的增加
2
两者的差距将越来越大 .也就是说校正的比 未校正的判定系数增加得慢些！ (3) 判定系数R 2 非负（取值在[0,1]） ; 但是， R 取值可能为负，这时规定 R ＝0
在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定 使得自由度减少，所以校正的思路是：将残差平方 和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除 变量个数对拟合优度的影响:
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其中：n-k为残差平方和的自由度，n-1为总体平 方和的自由度。 注：两个解释变量， 但要估计三个参数
RSS /(n k ) R 1 TSS /(n 1)
2 2
什么时候增加新的解释变量（校正的判定系数 的应用）
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4 .10 各种检验之间的关系
1 . 经济意义检验和其他检验的关系联系： 判断一个回归模型是否正确，首先要看模型 是否具有合理的经济意义，其次才是统计检验。
2 . 拟合优度和F－检验的关系
（1）都是对回归方程的显著性检验； （2）都是把总平方和分解，以构成统计量进行检 验； （3）两者同增同减，具有一致性。
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设定误差
从多元回归模型中将抵押贷款变量略去，会导致( 模型的)设定偏差(model’s pecification)或设定 误差(specification error)，更具体说是从模型中 略去重要变量的设定误差。
例如：幸福感
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4.9 两个不同的R2的比较：校正的判定系数
判定系数R2的一个重要性质就是模型中的解释变量 的个数越多， R2值就越大。 R2的定义(ESS / TSS)中并没有考虑到自由度 。 导致解释变量个数不同模型之间对比困难。
样本最小容量必须不少于模型中解释变量 的数目（包括常数项）,即 n ≥ k k解释变量的数目（包括常数项） 因为，无多重共线性要求：秩(X)=k
2、满足基本要求的样本容量 • 从统计检验的角度：
n30 时，Z检验才能应用；
n-k≥8时, t分布较为稳定
• 一般经验认为:
当n≥30或者至少n≥3k时，才能说满足模型 估计的基本要求。
• 模型的良好性质只有在大样本下才能得到理
论上的证明
4.4多元回归方程的拟合优度：多元判定系数R2
与双变量模型相同，有如下恒等式： TSS = ESS + RSS 其中， TSS =总平方和 ESS＝回归平方和 RSS＝残差平方和 同样地，与双变量模型类似， R2定义如下：
R
2
ESS RSS 1 TSS TSS
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实例：未偿付抵押贷款债务(美国：1980～1995年)
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简要分析
模型：
分析：
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回归结果
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对“实例：未偿付抵押贷款债务”的讨论 （1）对b2的讨论
原假设H0：B2=0； 备选假设（双侧检验） H1：B2不等于0；
备选假设（单侧检验） H1：B2 > 0 ；
自由度为：16-3=13 显著性水平（“弃真的概率”）为0.01时： 双侧临界值：3.012，t=12.991>3.012，拒绝原假设。 单侧临界值：2.650， t=12.991>2.650，拒绝原假设。
在多元模型中，我们推导个人收入对抵押贷款债务的影响 时,是在假设抵押贷款费用是常数的条件下;而在双变量模型 中，只是简单地略去了抵押贷款费用这个变量。 换句话说,多元模型中的个人收入对抵押贷款债务的影响是 净影响或净效果。而在双变量模型中的抵押贷款费用的影 响并未略掉。因而双变量模型中的个人收入系数反应了总 效果—直接的个人收入效果与间接的抵押贷款费用的效果 两个回归结果的这种差异性很好地反映了偏回归系数的“ 偏”的含义。
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4.1 三变量线性回归模型
不含随机项的三变量总体回归模型： 其随机形式为：
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偏回归系数的含义
B2, B3 称为偏回归系数(partial regression coefficients) 或偏斜率系数(partial slope coefficients)。
其意义如下：
B2 度量了在X3保持不变的情况下，X2每变动一单位，Y的
均值E(Y)的改变量。 同样的，B3 度量了在X2保持不变的情况下，X3每变动一单
位，Y的均值E(Y)的改变量。
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4.2 多元线性回归模型的若干假定
1、扰动项的期望或均值为零。即，E(ui)= 0。
2、X2、X3与扰动项u不相关。但是，如果X2、X3是非随
机变量(也即X2、X3在重复抽样中取某固定数值)，这
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（2）对b3的讨论
原假设H0：B3=0； 备选假设（双侧检验） H1：B3不等于0； 备选假设（单侧检验） H1：B3 < 0 ； 自由度为：16-3=13 显著性水平为0.05时： 双侧临界值：2.160，t=1.7943<2.160，接受原假设。 单侧临界值：1.771， t=-1.7943<-1.771，拒绝原假设。
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一个号称护肤小侦探的网红发布的视频，点击 率很高。他做了一个实验，得出结论说在防晒 霜的选择上，化学防晒霜完胜物理防晒霜。 两管防晒霜：一管物理的，一管化学的；两个 从大街上拉来的志愿者：一个男的，一个女的 ；男的涂上了物理防晒霜，女的涂上了化学防 晒霜；两人分别户外暴走俩小时；然后用“专 业的仪器”检测皮肤状态，包括什么色素沉着 情况啦、皮肤发红程度啦、毛孔粗细啦、皮肤 水分含量等等。 女生完胜，结论成立.
统计量：
服从分子自由度为2，分母自由度为n－3的F分布。
实际计算：
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F分布
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F分布的概率密度函数
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F分布表（部分）
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继续讨论“实例”
R2=0.9894，
对应0.01的显著性水平，临界值为：6.70 F=606.78>>6.70，拒绝原假设！
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注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致 一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设 H0：B1=0 进行检验; 另一方面，两个统计量之间有如下关系：