高中数学平面向量基本概念
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平面向量基本概念
一.考试内容:
向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两点间的距离.平移.
二.考试要求:
(1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念.
(2)掌握向量的加法和减法.
(3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.
(6)掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用.掌握平移公式.
【注意】向量是数学的重要概念之一,它给平面解析几何奠定了必要的基础,同时也为物理学提供了工具,这部分内容与实际结合比较密切.在高考中的考查主要集中在两个方面:①向量的基本概念和基本运算;②向量作为工具的应用.
三.基础知识:
1.实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律:
(1) a·b= b·a(交换律);
(2)(λa)·b= λ(a·b)=λa·b= a·(λb);
(3)(a+b)·c= a·c +b·c.
切记:两向量不能相除(相约);向量的“乘法”不满足结合律,
3.平面向量基本定理
如果e
1、e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有
一对实数λ
1、λ
2
,使得a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
.不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的
一组基底.
4.向量平行的坐标表示
设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0, 则a P b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.
5.a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ.
6. a ·b 的几何意义
数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 7.平面向量的坐标运算
(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,
则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r
. (4)设a =(,),x y R λ∈,则λa=(,)x y λλ.
(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a ·b=1212()x x y y +. 8.两向量的夹角公式
cos θ=
(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).
9.平面两点间的距离公式(A 11(,)x y ,B 22(,)x y ).
,A B d =||AB =u u u r 10.向量的平行与垂直
设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0, 则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 11.线段的定比分公式
设111(,)P x y ,222(,)P x y ,(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数,且12PP PP λ=u u u r u u u r
,则
12
1211x x x y y y λλ
λλ
+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
⇔121OP OP OP λλ+=+u u u r u u u r u u u r ⇔
12
(1)OP tOP t OP =+-u u u r u u u r u u u r (1
1t λ=+). 12.三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是
123123
(
,)33
x x x y y y G ++++. 13.点的平移公式
''''
x x h x x h y y k y y k
⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''
OP OP PP ⇔=+u u u r u u u r u u u r 注:图形F 上的任意一点P(x ,y)在平移后图形'
F 上的对应点为'
'
'
(,)P x y ,且'PP u u u r
的坐标为
(,)h k .
14.“按向量平移”的几个结论 (1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得 到点'(,)P x h y k ++.
(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为
()y f x h k =-+.
(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为
()y f x h k =+-.
(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .
注意:(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!
15. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为ABC ∆所在平面上一点,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,则