线性系统理论试卷

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线性系统理论(2011)

五、(20 分) 已知单输入单输出线性定常系统 1 A1 x1 b1u 2 A2 x2 b2u x x S1 : S2 : y1 c1 x1 y2 c2 x2 其中， x1 , x2 R n 。它们完全能控能观。将它们并联构成组合系统 S，输入为 u，输出为 y = [y统 0 1 0 x x u , y 1 0 x 1 0 1 给定参考信号 y0(t)的结构特性为 s-1，扰动信号 w(t)的结构特性为 s+2。试设计渐近跟踪控制率，并将闭环系统极点配置为 -1，-2，-3。
一、(20 分) 考虑如下机械系统
其中 k 为弹簧系数，c 为阻尼系数，m 为质量，u(t)为作用于质量的外力，y(t)为质量相对于平衡位置的位移。选取 u(t)为系统输入，y(t)为系统输出。建立图中所示机械系统的状态方 0 1， y 程与输出方程；如 k=2， c=3， m=1，且初始值为 y(0)=0，写出零输入情况下系统的输出响应。
S 是否总是完全能控，是否总是完全能观？若是，证明之；若不是，举反例验证之。
二、(20 分) 考虑线性时变系统 1 et 0 x x u , t 0, y 1 0 x 1 0 1 该系统是否 Lyapunov 意义下稳定？是否渐近稳定？为什么？
三、(20 分) 已知线性定常系统 1 1 0 0 0 1 0 x 1 u x 0 0 1 0 能否找到状态反馈，将闭环极点配置到（1）-1，-1，-1; （2） -2，-2，-2。若能，确定状态反馈 K。

《线性系统理论基础》第三章作业及答案

第三章作业及答案3.1 判断下列系统的能控性和能观测性。

2） []x y u x x 111,100041020122-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=解：2C 012000101Q bAbA b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，2c rankQ n =<∴ 系统是状态不完全能控的2111101121o c Q cA cA -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，o 2rankQ n =<∴ 系统是状态不完全能观测的。

3.2 判断下列系统的能控性和能观测性。

1） []x y u x x 101,101300040002=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2） x y u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01011000,1110000130000200001000113） []x y u x x 101,110200020012=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=4） x y u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=610321,029331100050005解：由系统能控和能观测性判据：1）A 为对角标准型，且对角元素互不相同，B 阵有全零元素的行，所以系统是不完全能控；C 阵中有全零元素的列，故系统是不完全能观测的。

2）1100100100000001A B C=0020011010000311⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A 为约旦标准型，且各约旦块对角元素不相同，第一个约旦块最后一行对应到B 阵中的相应行为全零元素行，所以系统是不完全能控的；而各约旦块第一列对应到C 阵无全零元素列，所以系统是完全能观测的。

3）A =210020002⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ B =011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C =[]101A 为约旦标准型，但两个约旦块元素相同，课本上给出的由标准型判定系统能控、能观测的定理不再适用，因此要采用能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵来判断。

线性系统理论试卷

《线性系统理论基础》考试试卷 A 卷考试说明：考试时间：95分钟考试形式（开卷/闭卷/其它）：闭卷适用专业：自动化承诺人：学号：班号：。

注：本试卷共 6 大题，共 14 页，满分100分，考试时必须使用卷后附加的统一答题纸和草稿纸。

请将答案统一写在答题纸上，如因答案写在其他位置而造成的成绩缺失由考生自己负责。

一、（20分）建立下列系统的状态空间模型：1．已知图1所示的质量-弹簧-阻尼器系统，其中质量1kg m =，弹性系数为2k =，阻尼为3f =。

以外力u 为控制输入，以位移y 和速度y 作为输出建立状态空间模型。

2．已知图2所示的由两个基本模块反馈连接的线性系统，写出其状态空间模型。

二、（20分）给定线性系统[]011,11650x x u y x -⎡⎤⎡⎤=+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1．将系统化为对角标准型。

2．求系统在输入t u e -=下的零初态响应()x t 和输出响应()y t 。

图 23．分别画出原系统和对角标准型系统的结构框图。

三、（20分）给定如下线性系统[]310010300000110000122002x x u y x-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦= 1. 将系统进行能控能观测子空间分解.2. 写出其最小实现（即能控能观子系统）的状态空间表达式。

四、（10分）给定线性系统如下11226129x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦1. 求该系统的平衡点。

2. 选择形为2212()V x ax bx =+的李亚普诺夫函数判断系统平衡点是否渐近稳定。

五、（10分）给定线性系统如下1122010002x x u x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦和二次型性能指标{}22112J x ru dx ∞=+⎰0， 1．确定最优线性状态反馈控制u kx =使得系统的性能指标J 达到最小。

2.讨论权值r 的大小对控制增益k 的影响。

研究生线性系统理论题

研究⽣线性系统理论题1.为什么要对连续系统进⾏离散化?离散化有哪些⽅法?它们各⾃的特点是什么?因为连续系统在电脑上⽆法实现,只能把连续系统离散化,⽽离散华是将连续变化的模拟量信号，转换成数字量（脉冲）信号，但是这⾥的离散化是⾮常密集的,在误差允许的范围内,可以⾮常的逼近原函数.这样就能⽤数字电⼦计算机（电脑）进⾏计算或处理。

1.前向差分法S平⾯左半平⾯得极点可能映射到Z平⾯单位圆外，这种⽅式所得到得离散滤波器可能不稳定2.后向差分法变换计算简单；S平⾯得左半平⾯映射到Z平⾯得单位圆内部⼀个⼩圆内因此如果D（s）稳定则变换后的D（z）也稳定；离散滤波器得过程特性及频率特性同原连续滤波器⽐较有⼀定得失真，需要较⼩得采样周期T。

3.双线性变换法如果D（s）稳定，则相应得D（z）也稳定；D(s)不稳定，则相应的D(z)也不稳定；所得D（z）的频率响应应在低频段与D（s）得频率响应相近，⽽在⾼频段相对于D(S)得频率响应有严重畸变。

4.脉冲响应不变法D(z)和D(s)有相同得单位脉冲响应序列；若D(z)稳定，则D（s）也稳定；D(z)存在着频率失真。

该法特别适⽤于频率特性为锐截⽌型的连续滤波器的离散化。

主要应⽤于连续控制器D（s）具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构，以及D（s）具有陡衰减特性，且为有限带宽得场合。

这时采样频率⾜够⾼，可减少频率混叠影响，从⽽保证D（z）得频率特性接近原连续控制器D（s）。

5.阶跃响应不变法若D（s）稳定，则相应的D（z）也稳定；D(z)和D（s）得阶跃响应序列相同；6.零极点匹配法需要先求出连续传递函数得全部零极点，计算复杂；能够保持变换前后特征频率处得增益不变；不改变系统得稳定区域，变换前后G（z）和G（s）的稳定特性不变2.多输⼊/多输出系统能控性和能观测性与系统传递函数矩阵的关系如何?在单输⼊单输出系统中，能控且能观测得充分必要条件是传递矩阵G （s ）的分母与分⼦之间不发⽣因⼦相消。

(完整word版)《线性系统理论》试卷及答案

R C 2《线性系统理论》试卷及答案1、（20分）如图所示RLC 网络,若e(t ）为系统输入变量r （t)，电阻R 2两端的电压为输出量y(t),选定状态变量为 x 1（t)=v 1（t ），x 2(t ）=v 2(t)，x 3（t)=i （t)要求列写出系统的状态空间描述。

2、(15分)求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。

y （4)+4y （3）+3y （2）+7y （1）+3y=u (3）+ 2u （1）+ 3u3、（15分）计算下列线性系统的传递函数。

[]210X 13101X y -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=4、(10分）分析下列系统的能控性.0111X X u a b •⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦5、（10分）分析下列系统的能观性。

[]1110a X X y Xb •⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦6、（15分)判断下列系统的原点平衡状态x e 是否大范围渐近稳定。

12221123x x x x x x==--7、（15分）已知系统的状态方程为221012000401X X u •--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦试确定一个状态反馈阵K,使闭环极点配置为λ1*=—2、λ2*=-3、λ3*=—4.答案：1、（20分）如图所示RLC 网络，若e （t ）为系统输入变量r （t ）,电阻R 2两端的电压为输出量y （t ），选定状态变量为 x 1(t)=v 1（t)，x 2(t ）=v 2（t ）,x 3（t)=i （t ）要求列写出系统的状态空间描述。

2、（15分）求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。

列出向量表示形式解出解出解出r x x x L R x x x rx LR x x x xx x C R x x x C xC x r x R x L L LL⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=-=+=+==++1321113211311132122222112211333113000xy x xLy （4）+4y (3）+3y （2)+7y (1）+3y=u （3）+ 2u （1)+ 3u[]得出了状态空间表达式列出向量表示形式，就求导，有选取状态变量令有令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+----=========⎩⎨⎧++==++++++++=++++++===43211025233375y ~y ~x y ~x y ~...y ~x y ~x y ~3y ~2y ~y ~3y ~7y ~3y ~4y ~u 3734p 1y ~3734p 32p y d/dtp 4214321(4)43(2)22(1)1(3)4(1)21(1)(3)(1)(2)(3)(4)2342343x x x x x x x y u x x x x x x x x y u p p p u p p p p(完整word 版)《线性系统理论》试卷及答案3、(15分）计算下列线性系统的传递函数.[]Xy u X 10103112X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=[][][]计算得出传递函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=----1021131)3)(2(110)()(21131)3)(2(13112)()()(1010311210103112X 1111s s s s B A Is C s G s s s s s s A Is BA Is C s G CB A Xy u X(完整word 版)《线性系统理论》试卷及答案4、（10分）分析下列系统的能控性。

信号与线性系统分析样卷及评分标准六 (1)

信号与线性系统分析样卷及评分标准六试题名称：试卷类型：使用专业：使用年级：一、填空题（请将答案填在相应的答题线上。

每空2分，共30分）1．有界输入产生有界输出的系统称为稳定系统。

2．0(3)d t t δ∞+=⎰0 ；()*(2)f t t δ+=(2)f t +。

3．将)(t f 的波形先向左平移2个单位，再反褶，然后再压缩为原来的12得到的信号为(22)f t -+。

4．()d ()*tf x x f t -∞=⎰()t ε。

5．若信号序列(){1,2,1}f k ↑=-，则()*()f k f k ={1,4,2,4,1}↑-。

6．已知()()f t F j →ω；()f t -→()F j -ω； 2(31)j te f t -→2312()33j F j e ω--ω-。

7．0()()T k t t kT ∞=δ=δ-∑的单边拉普拉斯变换为11sTe --。

8．一阶后向差分方程定义为()f k ∆=()(1)f k f k --。

9．周期矩形脉冲信号的频谱特点是离散性、谐波性、收敛性。

10．已知系统函数21()32H s s s =++，则()h t =2()()t te e t ε---。

11．已知系统1()2=+H s s ，Re[]2s >-，则该系统的()H j ω=12j ω+；()h t =2()t e t ε-。

12．若系统输入为()f t ，输出为()y t ，则系统无失真传输的时域条件为()()d y t Kf t t =-。

二、单项选择题（从下列各小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将其代号填在答题线上。

每小题3分，共30分）1．关于卷积和，下列等式错误的是 D 。

A ．)()(*)(k f k k f =δB ．)1()2(*)1(-=-+k f k k f δC ．∑-∞==ki i f k k f )()(*)(ε D ．∑--∞==-1)()1(*)(i i f k k f ε2．两个连续信号卷积的计算步骤是 C 。

(完整word版)线性系统理论历年考题

说明：姚老师是从 07 还是 08 年教这门课的，之前的考题有多少参考价值不敢保证，也只能供亠4介一b< p大家参考了，把平时讲的课件内容复习好了，问题（来自上届的经验）祝大家考试顺利！（这个文档内部交流用，并感谢董俊青和天同学，若有不足请大家见谅。

）2008 级综合大题4 x& 0 0 12能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？控规范分解求上述方程的不可简约形式？求方程的传递函数；验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定；可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到 -2,-3?若能，确定K ,若不能，请说明理由；6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为 -4， -5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。

参考解答：1.1 判断能控性：能控矩阵 M B AB A 2B1 0可控，不能任意配置极点。

重点的复习还是以课件为主考试不会有 AZ11u 0y112 3 4 5164 , rank (M ) 2. 系统不完全2期望特征方程f (s) (s 2)(s 3)s 2 5s 62 按可控规范型分解取M 的前两列，并加 1与其线性无关列构成0，求得P1 316 02 316 0进行变换A PAP 1 2 31 6 1,B PB 所以系统不可简约实现为 3. G(s) c(s I A) 1B 2(s 4. det(s l A) (s 0 ,c 0cP 11)(s1) (s 4)(s 2)(s 1)2(s (s 1)4)(s 2) G(s) c(s IA) 是BIBO 稳定。

4)(s 2)(s 1)，系统有一极点1B 2(s 1) (s 4)( s 一，极点为4, 2) 系统发散，不是李氏稳定。

5. 可以。

令kk 1 k2k 11k2 4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。

-2，存在位于右半平面的极点，故系统不则特征方程f(s)detsI(A Bk)s 2(k 1 2)s 2k 1 8 k 2比较上两式求得: 28 可以。

河南理工大学2013年研究生《线性系统理论》

河南理工大学2013年硕士研究生《线性系统理论》（考试时间2.5h）课程试题一、回答下列各题(共12分，每小题4分)1、状态、状态空间、状态空间描述？2、状态能观测、系统完全能观测？3、系统内部稳定性、外部稳定性？二、简答题(共20分，每小题10分)1、在状态空间描述下为什么可以引入线性非奇异变换？请说明通过线性非奇异变换可以得到哪几种系统的结构特征。

2、线性定常系统∑=（A,B,C,D）的综合时依据哪些性能指标？有哪些反馈规律？画出线性定常系统的状态反馈图，写出反馈系统的方程，这时是否可以任意配置闭环系统极点？三、判断并改错，正确：√，错误：X (共24分，每小题3分)1、状态空间描述中，系统的状态变量组为构成系统变量中线性无关的一个极大变量组，因而状态变量组选取上是唯一的。

（）2、在系统的数学模型中输入输出描述与状态空间是等价的。

（）3、系统完全能控时采用状态反馈就一定能使被控系统稳定。

（）4、线性定常系统完全能观测，则状态反馈是可镇定的。

（）5、线性定常系统是外部稳定的就是工程意义下的稳定。

（）6、系统的每一个平衡状态是在李雅普洛夫意义下稳定的 A的特征值均具有非正实部。

（）7、状态转移矩阵Φ（t-t 0）是将时刻t 0的状态x 0 映射到时刻t 的状态x 的一个线性变换，决定了状态向量的自由运动。

（）8、输入输出描述是对系统的一种不完全描述，只能反映系统中的能控部分。

（）四、证明：(共16分)线性定常自治系统∑：x `=Ax,x(0)=x 0,t ≧0,系统的唯一平衡状态是渐进稳定的充分必要条件为，A 的所有特征值均具有负实部。

五、计算题(共28分，每小题14分)1、对于系统：2211.22.14,x x x x x x --==，试确定系统在其平衡状态的稳定性。

2、求下图所示的t-x 平面上由给定A(0,1)至给定直线x=2－t 的弧长最短的曲线方程。

o 1212txA (0,1)ds x *(t )。

第一篇线性系统理论习题答案

⎡ s +1 ⎢s2 + s +1 ⎢ −1 = [1 0 1]⎢ 2 ⎢s + s +1 ⎢ 0 ⎢ ⎣
9－7 设有三维状态方程
⎡0 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
1 s + s +1 s 2 s + s +1
2
0
⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎡0 ⎤ s 2 + 2 s 1⎥ = 3 0 ⎥ ⎢ ⎢ s −1 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎣1⎥ ⎦ s − 1⎥ ⎦
⎡ R M ⎤ ⎡ R −1 ∵⎢ ⎥×⎢ ⎣0 T ⎦ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎡ R −1 ⎥=⎢ T− ⎦ ⎣ 0
⎡R M ⎤ ∴⎢ ⎥ ⎣0 T ⎦
9－10 解
−1
⎡ R −1 =⎢ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎥ T −1 ⎦
−1
对可控标准形 A 和 b ，计算 ( sI − A) b
+
v2
& 2 = x1 + y = x1 − C 2 x
写成矩阵形式为
1 1 x2 + U R2 R2
图 9－1 RLC 网络
⎡ R1 − & x ⎡ 1 ⎤ ⎢ L1 ⎢x ⎥=⎢ ⎣ &2 ⎦ ⎢ 0 ⎢ ⎣
⎤ ⎡ 1 ⎤ 0 ⎥ x ⎡ ⎤ ⎢ L ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 1 ⎥U − 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎢ − 1 ⎥ ⎢ R2 C 2 ⎥ ⎦ ⎣ R2 C 2 ⎥ ⎦
x1 ， x 2 有下列关系存在 x1 = x1 + x 2 x 2 = − x1 − 2 x 2
试求系统在 x 坐标中的状态方程。解 ①
&1 = x & = x2 x &2 = & & = −2 x1 − 3 x 2 + u x x

北航线性系统理论答案

2-17 证明：①首先证明()T T T B C A ，，是()s G 的不可简约实现（该题有问题，不是()TT TCB A，，）。

由于()s G 是对称传递函数阵，故有()()T T T C sI B B A sI C 1-1-A --=，所以()TT TBC A，，是()s G 的实现。

又因为()[]n CA CA Crank CA C A C rank n Tn TT T T =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1-1- ，其可控；同理可证其可观，故系统()T T T B C A ，，是可控可观的。

所以其是()s G 的不可简约实现。

②证明P 的对称性。

由题设易知，由于()T T T B C A ，，是()s G 的不可简约实现，则存在非奇异阵P ，使得TT T BCPC PB A PAP===--11，，。

由T T T T T T P P I P P P CP P B C C PB =⇒=⇒==⇒=--11 所以P 是非奇异对称阵。

③证明P 的唯一性。

由T C PB =，很容易知道1-=B C P T ，故知P 是唯一的。

综上可知，命题得证。

2-18 解：[]1 1 3- 4 2301 4 0 2- 3-0 3 2- 6-0 02 0 0 0 0 1 -=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=C B A 。

a.① ><B A |由[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==65 17 5 2 3 3 3 3 00 0 0 1 1 1 1 32B A B A AB B U 所以)53012301(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡>=<，span B A 。

② η()⇔⋂=kCAker η064 27 118- 145-16 9 34- 43-4 3 10- 13-1 1 3- 4 032=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⇔=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡x x CACA CA C故)12101301(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=，span η ③ ><⋂B A |η即任意>⇔<⋂∈B A x |η2153012301x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=，同时有4312101301x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=故0--1 1 5 22 3 3 31 0 0 00 1 1 14321=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡x x x x ，有)1301(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡>=<⋂span B A η ④ ⊥><⋂B A |η 易知，⇔>∈<⊥B A x |[]065 17 5 2 3 3 3 3 0 0 0 0 1 1 1 1 32=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=T TxB A B A AB B x，即 065 3 0 117 3 0 15 3 0 12 3 0 1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡x 所以)0103-0010(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=><⊥，span B A 同③，可知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=><⋂⊥0000|B A η⑤ ><⋂⊥B A |η)101-1-0123(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⊥，span η同③可知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡>=<⋂⊥0000|B A η⑥ ⊥⊥><⋂B A |η易知)0123(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=><⋂⊥⊥span B A η 综上可知，上述空间的维数加起来不等于4，故在上述空间的直和空间中不能取到状态空间的基底。

线性系统理论习题答案

《线性系统理论》作业参考答案1-1 证明：由矩阵úúúúúúûùêêêêêêëé----=--121000001000010a a a a A n n nL M O M M M L L L则A 的特征多项式为nn n n n n n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a A I +++==+--++--=--++--=+--=--------+-----L L L M O MM ML LL L M O M M M L L L L M O MMM L L L112114322111321121)1()1(00001001)1()1(000010001000010001l l l l l l ll l l l l l l l l ll 若i l 是A 的特征值，则00001000010001)(1112121=úúúúúúûùêêêêêêëé+++=úúúúúúûùêêêêêêëéúúúúúúûùêêêêêêëé+--=-----n n i n i n i i i in n ni i i i i a a a a a a A I L M M L M O M M M L L L l l l l l l l l l u l 这表明[]Tn ii i121-l l l L 是i l 所对应的特征向量。

《信号与线性系统》试卷A11(答案)

《信号与线性系统》试卷A(答案)(考试时间：2003年7月1日)队别专业学号姓名一填空（每空2分，共20分）1、线性系统是同时具有_齐次性__和___叠加性__的系统。

2、计算函数值：⎰-=+-222)34(dt t t δ_____1_______。

3、一切脉冲信号的脉宽与频宽是成______反比_________变化的。

4、已知F(j ω)= －2ω2 , 则f (t)=_tsgnt_____。

5、信号无失真传输的条件是：（1）幅频特性为一常数；（2）相频特性为过原点的一条直线。

6、求e -2t ε(t-1) 的拉普拉斯变换为_e －(s+2)／（s+2）。

7、已知F(z)= 2Z 2-0.5Z Z 2-0.5Z-0.5 ，求原序列f(k)= ε(k)+(-0.5)k ε(k)。

8、已知f 1(k)={1,3,5,7},f 2(k)={1,2,1,2}, f 1(k)* f 2(k)={1,5,12,22,25,17,14}。

二、计算：（每小题8分，共16分） 1、已知系统的H(s)=2s+3s 4+7s 3+16s 2+12s＝2s+3s(s+3)(s+2) 2，试画出系统的直接形式、级联形式的模拟图并判断系统是否稳定。

解：（1）直接形式的模拟图（2）级联形式的模拟图（3）因为系统的特征根为：λ1=0，λ2=－3，λ3=－2，所以系统临界稳定。

2、一离散时间系统用以下差分方程描写：y(k+2)-5y(k+1)+6y(k)=e(k+2)-3e(k),是求此系统的单位函数响应h(k)。

解：由差分方程得到移序算子方程（S 2-5S+6）y(k)=(S 2-3) e(k)则转移算子为H(S)＝S 2-3S 2-5S+6 =1 ＋ 5S-9S 2-5S+6 =1 ＋ 6S-3 － 1S-2则 h(k)=δ(k)＋(2×3k －2k-1) ε(k-1)三、（10分）已知系统函数65)(2++-=ωωωωj j j H ，系统的初始状态y(0)=2，y ’(0)=1，激励f(t)= e -t ε(t)。

山东大学2012年线性系统理论试题答案

2、①确定特征多项式：
s s 2 s 1 3 ( s) det( sI A) det s 2 s 1 s 1 s 5s 4 s s 2 s 1 2 0, 1 5, 0 4
②确定常数：
2 CB 3
1 CAB 2CB 4
{ 0 CA B 2CAB 1CB 0
2
③确定能控标准型:
0 x 0 0
{ ④线性变换表达式：
1 0 1
y 0
0 0 1 0 0 1 x Bu 0 0 1 x 0 u 2 4 5 0 1
1 2 x 0 4 3 x
0 4 3 1 0 0 5 2 1 0 1 1
p A B
2
1 0 AB B 2 1 1 2
1 4 1 p 0 0
1 7 1 7 1 7
3、由状态转移矩阵与矩阵指数函数之间的关系由 (t ) e At A=(0) 二、 1、判断系统能控性
Qc B AB 1 3 1 A B 2 5 10 r Qc 3 故系统能控。 1 1 5
2
1 13 2 7 4 22
④ 全维状态观测器为：
1 0 14 A LC 186 6 1 1220 0 12
1 0 14 14 0 ˆ ( A LC ) x ˆ Ly Bu 186 6 1 x ˆ x 186 y 0 u 1220 0 12 1220 1
四、

线性系统理论试卷(1)

一、给定多项式矩阵如下：22121()12s s s s D s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦++++=++ 1. 计算矩阵的行次数，判断系统是否行既约？2. 计算矩阵的列次数，判断系统是否列既约？3. 寻找单模矩阵，将多项式矩阵()D s 化为史密斯型。

方法1、进行初等变换成二、设系统的传递函数矩阵为右MFD 1()()N s D s -，其中：210()21s D s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=+-+，()11N s s s ⎡⎤⎣⎦=-+ 试判断{}(),()N s D s 是否右互质；如果不是右互质，试通过初等运算找出其最大右公因子。

最大右公因子进行列变换可得()0R s ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、给定()G s 的一个左MFD 为：121010()1121s s G s s s s -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-+=+-+ 试判断这个MFD 是否是最小阶的；如果不是，求出其最小阶MFD 。

四、确定下列传递函数矩阵的一个不可简约左MFD：2110()1022s ss G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+=+++五、给定系统的传递函数矩阵为223(1)(2)(1)(2)()31(1)(2)(2)s s s s s s G s s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+++++=+++++ 试计算出相应的评价值，并写出其史密斯--麦克米伦型。

六、给定传递函数矩阵如下：22221156()125343s s s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-++=++++ 试定出其零、极点，并计算出其结构指数。

七、给定系统的传递函数矩阵如下：22211154()143712s s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-++=++++ 试求出一个控制器型实现。

八、确定下列传递函数矩阵()G s 的一个不可简约的PMD22141()14332s s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦++-=++++九、给定系统的传递函数矩阵如下：12243011()22121s s s s G s s s s s -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++-+=+++试设计一个状态反馈K,使得状态反馈系数的极点为：12λ*=-， 23λ*=-， 4,542j λ*=-±。

《信号与线性系统分析》期末试卷

河北北方学院宣化教学部06级三个专业2007/2008学年第二学期《信号与线性系统分析》期末试卷（A）一、填空题( 每空2分，共20分 )1．(t))e1(tδ⋅+-= ；=。

2．线性系统应同时满足性和性。

3．已知f(t)F()jω↔，3f(t)j te-的傅氏变换是____________________。

4．现代通信系统应是一个无失真传输系统，如果输入信号为x(t)，无失真传输的响应信号（时域内）应为，无失真传输的系统函数（频域内）应为。

5．给定，求)0(+f= ；若F(z)= z/ (z-1)，则f(+∞)= 。

6．设某因果离散系统的系统函数为()zH zz a=-，要使系统稳定，则a应满足 ____ 。

二、选择题( 每题3分，共12分 )1．零输入响应是_________。

A 全部自由响应；B 部分自由响应；C 全部强迫响应；D 全响应与强迫响应之差2．信号f1（t）和f2（t）的波形如图所示, 设f（t）= f1（t）* f2（t）,则f（1）=___。

A -1 ；B 2 ；C 0 ；D 13．下列是各系统的零状态响应,属于线性系统的是_______A ()()zsy t f t=； B ()()(1)zsy k f k f k=-；C()()zsdf ty tdt=； D []2()()zsy t f t=4．周期信号f(t)波形如图所示,其含有谐波分量为_______A余弦分量；B正弦分量；C奇谐分量；D偶谐分量t1F(s)s1=+sin(2)()2()tf t t dtt∞-∞=δ⎰…三、计算题(60分 )1．（6分）已知信号波形，写出信号表达式。

2．(10分)已知信号f （t ）= Sa （100t ）* Sa (200t )，试计算其最高频率分量f m ；并确定奈奎斯特取样率f s 。

3.(10分)已知某LTI 系统的系统函数为 ,初始条件为y(0)=2，y ＇(0)=1，求输入f(t)=e -t ε(t)时的全响应。

研究生线性系统理论题

1.为什么要对连续系统进行离散化?离散化有哪些方法?它们各自的特点是什么?因为连续系统在电脑上无法实现,只能把连续系统离散化,而离散华是将连续变化的模拟量信号，转换成数字量（脉冲）信号，但是这里的离散化是非常密集的,在误差允许的范围内,可以非常的逼近原函数.这样就能用数字电子计算机（电脑）进行计算或处理。

1.前向差分法S平面左半平面得极点可能映射到Z平面单位圆外，这种方式所得到得离散滤波器可能不稳定2.后向差分法变换计算简单；S平面得左半平面映射到Z平面得单位圆内部一个小圆内因此如果D（s）稳定则变换后的D（z）也稳定；离散滤波器得过程特性及频率特性同原连续滤波器比较有一定得失真，需要较小得采样周期T。

3.双线性变换法如果D（s）稳定，则相应得D（z）也稳定；D(s)不稳定，则相应的D(z)也不稳定；所得D（z）的频率响应应在低频段与D（s）得频率响应相近，而在高频段相对于D(S)得频率响应有严重畸变。

4.脉冲响应不变法D(z)和D(s)有相同得单位脉冲响应序列；若D(z)稳定，则D（s）也稳定；D(z)存在着频率失真。

该法特别适用于频率特性为锐截止型的连续滤波器的离散化。

主要应用于连续控制器D（s）具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构，以及D（s）具有陡衰减特性，且为有限带宽得场合。

这时采样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D（z）得频率特性接近原连续控制器D（s）。

5.阶跃响应不变法若D（s）稳定，则相应的D（z）也稳定；D(z)和D（s）得阶跃响应序列相同；6.零极点匹配法需要先求出连续传递函数得全部零极点，计算复杂；能够保持变换前后特征频率处得增益不变；不改变系统得稳定区域，变换前后G（z）和G（s）的稳定特性不变2.多输入/多输出系统能控性和能观测性与系统传递函数矩阵的关系如何?在单输入单输出系统中，能控且能观测得充分必要条件是传递矩阵G （s ）的分母与分子之间不发生因子相消。

线性系统理论试题

2．系统的状态空间描述如下，求系统的输出变量和输入变量之间的微分方程。 −1 6 0 & = x x + u, 2 −5 1
−1 −1
y = [ 0 1] x
6 s + 1 −6 s+5 1 解： ( s I − A ) = = s +1 ( s + 7 )( s − 1 ) 2 −2 s + 5 g ( s ) = c( s I − A )−1 b = [ 0 1] 6 0 s+5 1 s +1 = 2 s + 1 1 s + 6 s − 7 ( s + 7 )( s − 1 ) 2 y (s) s +1 & −7y = u &+u = 2 → && y + 6y u ( s ) s + 6s − 7
EMBED Equation.3
g (s) =
2
三、化对角线规范形
1．例 2.9 已知线性定常系统的状态方程为： 1 −1 0 1 & = −6 −11 6 x + 2 u x −6 −11 5 3
求系统的对角线规范形。解: ①求系统特征值：系统的特征方程 det( sI − A) = 0 ，即 s −1 1
。
1
0
故特征值为：
当时，有
−2 1 0 a −4 2 0 b < 3 rank [ sI − A B ] = rank 12 6 0 c − 因为第 1 列与第 2 列线性相关，第 3 列为 0，故不管 a,b,c 取何值， rank [ sI − A B ] 最大为 2，所以：a,b,c 为任何值都不能控。 6．已知系统状态空间描述为 a b & = x x 0 −5 且状态完全能观，求 a , b , c 。 c c 1 解： rankQo = rank = = 2 ， det Qo = b − 5c − ac ≠ 0 cA a b − 5c 9．例 4.25：已知系统的传递函数为： s+a s + 7 s 2 + 14 s + 8 设系统状态完全可控且完全可观, 试求 a 的范围。 G (s) =