带有Neumann边界的类p-Laplace方程无穷多解存在性
p-Laplace方程Neumann边值问题的可解性
口 Ｔ ， ， 一１并且 （） （） ∈Ｌ（ ）ｃ ÷＋ ｑ ＞０ ， ｆ， ｆ分别是边值 问题 （．） （．） １１ ，１２ 的下解 的上解 ， 则边值 问题
（． ）（ ．） １ １ ，１ ２ 至少 存在 一个 解 “ ｆ ∈［ （） （） ． （） ｆ ， ｆ］ 在上 面 的定 理 中 ， 件 （ ） 求 ｌ ｔｚ， ≤ ａ ｆ ＋ ｃ Ｙｌ 条 Ａ。 要 ， ）ｌ （ ） ｆ（ ｌ
一０ “（ ） ０下 边 值 问 题 解 的 存 在 性 ， 中 （） ， １ － 其 ｓ一
［ 关键 词 ］ ＰＬ ｐａｅ 程 ； ｕ ｎ — ａｌｃ 方 Ｎｅｍａｎ边 值 ； 理 论 度
当的 条 件 下 ， 建立 了对 于 ｐＬ ｐａｅ 程 在 共 振 情 形 下 Ｎｅｍａ ｎ边 值 问 题 解 的 存 在 性 的充 分 条 件 ． －ａｌ 方 ｃ ｕ ｎ
第２ ３卷
（ ）存 在 Ｍ＞０ 使 Ｖ（ ， ∈ 。 当 ｌ Ｈ ， “ ） ， ｌ Ｕ ＞Ｍ ｔ ｍｅ －ａ ｕ （， ， ＞ Ｏ Ｖｔ ，］ ｆ ｔ“ ） ， Ｅ Ｅ １ ； ｏ （ ）当 ｌ ｌ Ｈ。 “ ＜Ｍ 时 ， 在 ｎ ｆ ，（） ０ １ ， 存 （）６ ｆ ＥＬ ［ ，］ 有
不 能使用 ， 这就 给 问题 的研究 带来 了一 定 的困难 ． 管如 此 ， 尽 随着 人 们 的不 断研 究 ， 于 ｐ Ｌ ｐａｅ方程 关 － ａ ｌｃ
各类 边值 问题 的研 究结果 也 日臻 丰富 ， ［ —４ ． 如 １ ］ ２０ ０ ４年 Ｔｉ ａ ａ和 Ｎｉｏａ ｓ 人讨 论 了如下 ｐ Ｌ ｐａｅ ｚｎ ｉ ｋ ｌ ｌ等 ｏ＿ ５ － ａ ｌｃ 方程 Ｎｅ ｍａ ｎ边值 问题 ｕ ｎ
ｔ“ ） ＜ “ ｆ ｌ １ （ ， ， １ ｌ （） ｌ ＋ ｌ（） ， Ｏ ｆ ｌ ￡ ｌ ６ ＜ｍＧＰ， 则 Ｂ （． ）（． ） ＶＰ １ ３ ，１ ４ 有解 ．
p-Laplace方程解的存在性
硕士学位论文（高校教师）p-Laplace方程解的存在性 )(xEXISTENCE OF SOLUTIONS OF )p-LAPLACE EQUATION(x房维维哈尔滨工业大学2009年6月中图分类号:O175.2 学校代码：10213 UDC：517.9 密级：公开理学硕士学位论文（高校教师）(xp-Laplace方程解的存在性)硕士研究生: 房维维导 师: 付永强教授申 请 学 位: 理学硕士学 科: 基础数学所 在 单 位: 哈尔滨师范大学阿城学院答 辩 日 期: 2009年6月授予学位单位: 哈尔滨工业大学Classified Index: O175.2U.D.C: 517.9Dissertation for the Master Degree in ScienceEXISTENCE OF SOLUTIONS OFp-LAPLACE EQUATION(x)Candidate:Weiwei FangSupervisor:Prof. Yongqiang FuAcademic Degree Applied for:Master of ScienceSpecialty:Fundamental Mathematics Affiliation: Harbin Normal University AchengCollegeDate of Defence:June, 2009Degree-Conferring-Institution:Harbin Institute of Technology摘要对非标准增长条件的-Laplace 方程问题的研究是近年来发展起来的一个新的研究课题。
由于Laplace 方程和)(x p p -Laplace 方程的研究方法已经不再适用于-Laplace 方程， 所以目前对-Laplace 方程的研究只有很少的成果出现， 因此对这类问题的研究具有广泛的理论与实际意义。
对-Laplace 方程的研究， 有很多不同的方法。
一类超线性p（t）-Laplacian系统的无穷多周期解
一类超线性p（t）-Laplacian系统的无穷多周期解张申贵【摘要】Using critical point theory, the author studied the existence of periodic solutions for non-autonomous p(t)-Laplacian systems with superlinear nonlinearity.Some sufficient conditions for the existence of infinitely many periodic solutions were obtained via the symmetric mountain pass theorem.%利用临界点理论研究非自治p(t)-Laplacian 系统周期解的存在性，在具有超线性增长非线性项时，根据对称山路定理，得到了系统无穷多个周期解存在的充分条件。
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】5页(P34-38)【关键词】周期解;p(t)-Laplacian系统;临界点理论【作者】张申贵【作者单位】西北民族大学数学与计算机科学学院，兰州 730030【正文语种】中文【中图分类】O175.120 引言考虑非自治p（t）－Laplacian系统：其中p（t）∈C（［0，T］，ℝ＋），p（t）＝p（t＋T），T＞0，且假设：（A）F：［0，T］×ℝN→ℝ满足：F（t，x）关于变量t可测，F（t，x）关于变量x连续可微，存在a∈C（ℝ＋，ℝ＋），b∈L1（0，T；ℝ＋），使得非自治p（t）－Laplacian系统在非线性力学模型［1］、变流体模型［2］和图像恢复模型［3］等领域应用广泛.当p（t）＝2时，Rabinowitz［4］给出了如下条件（AR）：存在μ＞2，L＞0，使得对所有的a.e.t∈［0，T］和都成立.由于p（t）－Laplacian算子具有较复杂的非线性性，所以将已有结果推广为非自治p（t）－Laplacian系统增加了研究难度.近年来，人们开始利用临界点理论研究非自治p（t）－Laplacian系统周期解的存在性［5－11］.特别地，当条件（AR）成立时，Zhang等［5］得到了非自治p （t）－Laplacian系统无穷周期解的存在性定理.条件（AR）可以推出非线性项▽F（t，x）是超线性的，但很多超线性函数并不满足条件（AR）.例如本文在比条件（AR）更弱的超线性条件下，研究p（t）－Laplacian系统无穷多周期解的存在性.先将系统（1）的周期解转化为定义在一个适当空间上泛函的临界点，然后利用临界点理论中对称山路定理得到该问题无穷多解存在性的充分条件.1 预备知识记p（t）∈C（［0，T］，ℝ＋），定义其范数为记Sobolev空间其范数为记其中引理1［5］紧嵌入C（［0，T］，ℝN），则存在常数C0＞0，使得对∀u∈W1，p（t）T，有引理2［5］记则：引理3［5］在Sobolev空间上定义泛函φ如下：φ弱下半连续且连续可微，则是问题（1）的周期解当且仅当u是泛函φ的临界点.定义1 设X为Banach空间，若泛函φ∈C1（X，ℝ）满足：对任何点列及任何｛un｝⊂X，由｛φ（un）｝有界，（1＋‖un‖）‖φ′（un）‖→0（n→∞），蕴含｛un｝有收敛子列，则称泛函φ满足（C）条件.命题1（对称山路定理）［12］设E 为实Banach空间，φ∈C1（X，ℝ）是偶函数且满足（C）条件，φ（0）＝0.令E＝V⊕X，dimV＜＋∞.若φ满足：1）存在常数ρ，α＞0，使得2）对所有E的有限维子空间及常数使得则泛函φ有无穷多个临界点.2 主要结果假设以下条件成立：（H1）对a.e.t∈［0，T］一致成立；（H2）设存在r1＞p＋和M＞0，对a.e.t∈［0，T］一致成立；（H3）存在常数L＞0，C1＞0，使得当时，有（H4）存在常数L＞0，C2＞0，使得当时，有其中（H5）F（t，u）关于u是偶的，即F（t，u）＝F（t，－u）.本文的主要结果如下：定理1 设（H1）～（H5）成立，则问题（1）在中有无穷多个周期解.证明：1）证明泛函φ满足（C）条件，设使得先证明｛un｝在中有界.用反证法.若｛un｝在中无界，则当n→∞时，‖un‖→∞.由条件（H3）和假设（A）知，存在常数C4＞0，使得对所有的u∈ℝN 和a.e.t∈［0，T］都成立.由式（5），（6），有从而可得其中令则‖vn‖＝1.若｛un｝在 W1，p（t）T 中无界，反设当n→∞时，‖un‖→∞.由式（7），有由式（8）及内插不等式，有其中由反设，当n→∞时，‖un‖→∞，可取‖un‖＞1，由式（4），有又由式（5），当n充分大时，有由条件（H4）和式（5），当n充分大时，有其中由积分的绝对值不等式、Hölder不等式、式（9），（11），并注意到有由式（10），当n→∞时，有1＝o（1），矛盾.故｛un｝在中有界.再注意到紧嵌入C（［0，T］；ℝN）和的一致凸性，类似于文献［5］中定理3.2的证明，｛un｝有收敛子列，故泛函φ满足（C）条件.2）证明存在常数ρ，α＞0，使得其中由条件（H2），存在两个正常数ε和δ，使得0＜ε＜C0，0＜δ＜ε，其中C0为式（3）中的正常数，且对a.e.t∈［0，T］和成立.令ρ＝δ／C0，‖u‖＝ρ，因为ρ＜1，由式（4），（12），有令ρ充分小，使得取从而φ（u）≥α，对和‖u‖＝ρ成立.3）证明对任何的有限维子空间W，存在正常数R，使得φ（u）≤0对u∈W＼BR（0）成立，其中BR（0）为以原点为球心、以R为半径的球.由于dim W＜＋∞，有限维空间上各种范数等价，故存在正常数C7，使得对∀u∈W，有由条件（H1）及假设（A）知，存在常数C8＞0，使得对所有的u∈ℝN和a.e.t∈［0，T］都成立.由式（13），（14），取‖u‖＝R＞1，又由式（4），有因此，对充分大的‖u‖＝R＞1，有φ（u）≤0对u∈W＼BR（0）成立.从而泛函φ满足命题1的所有条件，故由命题1知，泛函φ 在中有无穷多个临界点，于是问题（1）在中有无穷多个周期解.注1 当p（t）＝2时，令取σ＜2，则F满足定理1中条件（H1）～（H5），但不满足文献［5－11］中定理的条件.参考文献【相关文献】［1］Zhikov V.On Some Variational Problems［J］.Russian J Math Phys，1997，11（5）：105－116.［2］Ruzicka M.Electrorheologial Fluids：Modeling and Mathematial Throry［M］.Berlin：Springer，2000.［3］CHEN Yun－mei，Levine S，Rao M.Variable Exponent，Linear Growth Functionals in Image Restoration［J］.SIAM J Appl Math，2006，66（4）：1383－1406.［4］Rabinowitz P H.Periodic Solutions of Hamiltonian Systems［J］.Comm Pure Appl Math，1978，31（2）：157－184.［5］ZHANG Liang，TANG Xian－hua，CHEN Jing.Infinitely Many Periodic Solutions for Some Second－Order Differential Systems with p（t）－Laplacian［J］.Boundary Value Problems，2011，33（2）：1－15.［6］FAN Xian－ling，FAN Xing.A Knobloch－Type Result for p（t）－Laplacian Systems ［J］.J Math Anal Appl，2003，282（2）：453－464.［7］WANG Xian－jun，YUAN Rong.Existence of Periodic Solutions for p（t）－Laplacian Systems［J］.Nonlinear Anal：Theory Methods ＆ Applications，2009，70（2）：866－880.［8］GE Bin，XUE Xiao－ping，ZHOU Qing－mei.Existence of Periodic Solutions for a Differential Inclusion Systems Involving the p（t）－Laplacian［J］.Acta Mathematica Scientia，2011，31（5）：1786－1802.［9］ZHANG Liang，TANG Xian－hua.Subharmonic Solutions for Some Non－autonomous Hamiltonian Systems with p（t）－Laplacian［J］.Bull Belg Math Soc，2011，18（3）：385－400.［10］ZHANG Liang，CHEN Yi.Existence of Periodic Solutions of p（t）－Laplacian Systems［J］.Bull Malays Math Sci Soc，2012，35（1）：25－38.［11］ZHANG Liang，ZHANG Peng.Periodic Solutions of Second－Order Differential Inclusions Systems with p（t）－Laplacian［J］.Abstract and Applied Analysis，2012，38（2）：475965.［12］Mawhin J，Willem M.Critical Point Theory and Hamiltonian Systems［M］.New York：Springer，1989.。
带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题在无穷区间中解的存在性
ｏ ｎ ａ ｎ ｕ ｎ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｅ ｄ ｄ ｏ ｍａ ｉ ｎ ａ ｒ ｅ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｌ ａ ｄ ｉ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ；ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｙ ｖ ｌｕ ａ ｅ ｐ ｏｂ ｒ ｌ ｅ ｍ ；ｉ ｎ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｖ ｌ ；ｆ ａ ｉ ｘ ｅ ｄ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ
近年来 ， 分数阶微分方程在国内外引起 了极大 的研究兴趣 ， 特别是边值 问题解 的存在性 ４ 。 ． 据作者所
知， 目 前很少有学者研究带 ｐ － Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｉ ａ ｎ 算子的分数阶微分方程边值问题解 的存在性 剖， 尤其是无穷区间中
解 的存在性研究甚少 ． 无穷区间上的边值问题在物理学 、 自然科学等领域中有很多实际应用 ， 如不稳定的气体通过半无穷带气 孔媒介问题 ， 孤立中子的电势问题等 － ｌ ０ ］ ． 因此 ， 对它的研究具有重要的意义． 受以上文献的启发 ， 本文主要利用 Ｓ ｃ ｈ ａ ｕ ｄ ｅ ｒ 不动点定理研究如下一类带 Ｐ — Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｉ ａ ｎ 算子的分数阶微分 方程边值问题在无穷 区间中解 的存在性 ： 『 ＋咖 （ ＋ （ ｔ ） ）； ｔ ， ｕ （ ｔ ） ， ： （ ｔ ） ） ， ｔ Ｅ（ ０ ，＋Ｏ ０） ，
２ ． Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ ｃｉ Ｓ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ． Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｓｉ ｒ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｍｉ ｎ ｉ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｘ ｕ ｚ ｈ ｏ ｕ ２ ２ １ １ １ ６， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
一类带有梯度的p(x)-Laplace方程正解的存在性
一类带有梯度的p(x)-Laplace方程正解的存在性
赵凯芳;刘辉昭;丁纺
【期刊名称】《河北工业大学学报》
【年(卷),期】2016(045)003
【摘要】本文讨论如下p(x)-Laplace方程边值问题正解的存在和不存在性:{-
△p(x)u+g(u)|▽u|p(x)=λuq(x) x∈Ω,u=0 x∈(e)Ω,(1)其中Ω是RN中有界开子集,p(x)∈C((Ω)),q(x) ∈C(Ω),N≥1,p(x)＞1,q(x)＞1,g:[0,∞)→[0,∞)的非负连续函数.λ是给定的常数.
【总页数】7页(P21-27)
【作者】赵凯芳;刘辉昭;丁纺
【作者单位】天津大学仁爱学院数学教学部,天津301636;河北工业大学理学院,天津300401;天津大学仁爱学院数学教学部,天津301636
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.一类带有参数的分数阶差分方程边值问题正解的存在性和不存在性 [J], 葛琦;侯成敏
2.一类带有参数的分数阶差分方程边值问题正解的存在性和不存在性 [J], 葛琦;侯成敏;
3.一类奇异 p-Laplace 方程正解的存在性 [J], 李红英;佘连兵;廖家锋
4.一类带临界非线性项的p-Laplace方程正解的存在性 [J], 李新英;罗蔚;周树清
5.一类分数阶p-Laplace方程积分三点边值问题正解的存在性 [J], 汤小松;罗节英因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类带p-Laplacian算子分数阶微分方程边值问题正解的存在性
一类带p-Laplacian算子分数阶微分方程边值问题正解的存
在性
WANG Wen-qian;ZHOU Wen-xue;SUN Rui
【期刊名称】《安徽师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(041)006
【摘要】利用Guo-Krasnoselskii不动点定理探讨了一类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性,得出正解的存在性定理和至少存在一个正解的判断根据,并通过具体的例子验证了结论的适用性.
【总页数】7页(P531-537)
【作者】WANG Wen-qian;ZHOU Wen-xue;SUN Rui
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性 [J], 刘德群;徐娜
2.带p-Laplacian算子的时滞分数阶微分方程边值问题3个正解的存在性 [J], 闫荣君;韦煜明;冯春华
3.一类带有p-Laplacian算子分数阶微分方程边值问题正解的存在性 [J], 申腾飞;刘文斌;宋文耀
4.一类具有p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性 [J], 杜炜;许和乾
5.一类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性 [J], 段佳艳;王文霞;郭晓珍
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带有Neumann边界的类p-Laplace方程无穷多解存在性
带有Neumann边界的类p-Laplace方程无穷多解存在性摘要讨论中有界光滑区域上的一类带有Neumann边界的类p-Laplace方程的无穷多解问题,其中,非线性项不必具有奇对称性,用寻找局部极小值的方法得到两列非负弱解,并且当非线性项在零点(无穷远点)振荡时,两列解按范数趋于零(趋于正无穷),同时对应的能量函数趋于零(趋于负无穷)。
关键词类p-Laplace算子;Neumann边界;局部极小值;无穷多解本文讨论如下带有Neumann边界的类p-Laplace方程的无穷多解问题:(1)其中是中具有光滑边界的有界区域,是的单位外法向量,.满足(2)记是标准的Sobolev空间,其等价范数可取为。
是方程(1)的弱解是指:对于任意的都有(3)成立。
求问题(1)的弱解可归结为求泛函(4)的临界点。
对于如下带有Dirichlet边界的p-Laplace方程:(5)的无穷多解问题(其中同上),,现有的结论和证明方法已比较多,文[1]已有详细阐述。
文[2]讨论了上的椭圆问题,用寻找局部极小值得到临界点的方法得到了无穷多群不变弱解.受此文的启发,本文用类似的方法讨论了问题(1),得到了两列具有不同性质的弱解,推广了边值的情形。
1条件及主要结论对和非线性项,我们提出以下的假设:(A1)映射是凸函数。
(A2)存在常数,使得。
(F1)。
且。
(F2)存在正实数列和,,使得,(F3)存在使得极限关于一致成立。
记我们的结果如下:定理1设条件(A1),(A2),(F1),(F2)和(F3)成立,且(6)则问题(1)有一列非负弱解,使得,并有,,相对于在零点附近的条件(F3),我们对提出在无穷远的条件为:存在使极限关于一致成立。
记,相应地有:定理2设条件(A1),(A2),(F1),(F2)和(F3)成立,且(7)则问题(1)有一列非负弱解使得,2预备性结果固定一个数,记,引理1: 在上有下界且下确界可在上达到。
证明:显然是中的凸集。
无穷区间上具有P—Laplacian算子边值问题的正解
无穷区间上具有P—Laplacian算子边值问题的正解刘依;陈海波【期刊名称】《数学理论与应用》【年(卷),期】2011(031)004【摘要】研究了一类在无穷区间上具有P—Laplacian算子的边值问题的迭代正解．利用单调迭代方法得到问题的迭代正解存在性的充分条件，同时得到了解的相应迭代序列，最后给出例子证明所得结论．%We investigate the existence and successive iteration of positive solutions for a class of boundary value problems with p - Laplacian on infinite intervals, we get its sufficient condition, and the corresponding iterative schemes for approximating the solutions are also given. Finally we take an example to proof the result we obtain.【总页数】6页(P1-6)【作者】刘依;陈海波【作者单位】中南大学数学科学与计算技术学院,长沙410004;中南大学数学科学与计算技术学院,长沙410004【正文语种】中文【中图分类】O175.8【相关文献】1.在无穷区间具有p-Laplacian算子的脉冲微分方程边值问题正解的存在性 [J], 钟嫒;韦煜明;冯春华2.无穷区间上含有p-Laplacian算子的n阶积分边值问题正解的存在性 [J], 禹长龙;王菊芳;李国刚3.半无穷区间上一类带 P-Laplacian算子微分方程m点边值问题多个正解的存在性 [J], 张伟;高鹏;张迪4.无穷区间上分数p-Laplacian方程边值问题正解的存在性 [J], 王金华; 向红军5.p-Laplacian算子边值问题在半正无穷区间正解的存在性 [J], 廉立芳;葛渭高因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类Lienard型p-Laplacian方程周期解的存在性和唯一性
一类Lienard型p-Laplacian方程周期解的存在性和唯一性陈仕洲【期刊名称】《西南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)001【摘要】利用重合度理论，研究一类高阶Lienard型p-Laplacian方程，获得了其周期解存在性和唯一性的新的充分条件，推广和改进了已有文献中的相关结论。
%By means of continuation theorem of coincidence degree ,a kind of high-order Lienard type p-Laplacian equation has been studied in this paper .Some new sufficient conditions for the existence and uniquenees of periodic solutions have been obtained .The results have been extended and improved the re-lated reports in the literature .【总页数】6页(P6-11)【作者】陈仕洲【作者单位】韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州521041【正文语种】中文【中图分类】O175.12【相关文献】1.一类偏差变元偶数阶p-Laplacian中立型微分方程周期解的存在性 [J], 陈仕洲2.一类时滞平均曲率p-Laplacian方程的周期解存在性与唯一性 [J], 陈文斌;张德妹;兰德新3.一类四阶具有多个偏差变元p-Laplacian中立型微分方程周期解的存在性 [J], 徐建中;周宗福4.一类具有分布时滞的p-Laplacian中立型泛函微分方程周期解的存在性 [J], 黄祖达;熊万民;贾仁伟5.一类Rayleigh型p-Laplacian平均曲率方程周期解存在唯一性 [J], 陈文斌因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
《带有p-Laplacian算子、多重强耦合Hardy项和多个奇异点的临界椭圆方程组解的研究》
《带有p-Laplacian算子、多重强耦合Hardy项和多个奇异点的临界椭圆方程组解的研究》一、引言在偏微分方程的研究领域中，涉及p-Laplacian算子、Hardy 项以及奇异点的椭圆方程组解的研究，一直是数学物理和偏微分方程理论的重要课题。
本文将探讨带有p-Laplacian算子、多重强耦合Hardy项以及多个奇异点的临界椭圆方程组解的特性和求解方法。
二、问题描述考虑如下的临界椭圆方程组：ΔpU = f(U, V, W; x) + λ1|x|s1/p |U|q1/p + H1(x, U, V, W) + G1(x)U，ΔpV = f(U, V, W; x) + λ2|x|s2/p |V|q2/p + H2(x, U, V, W) + G2(x)V，...其中，U、V、W是未知函数，p是正数，s1、s2是Hardy项的参数，q1、q2是临界指数，f是给定的非线性函数，H是含有奇异点的项，G是带有多个奇异点的函数。
这个方程组涉及p-Laplacian算子、多重强耦合Hardy项和多个奇异点，具有较高的复杂性和挑战性。
三、研究方法针对上述问题，本文将采用以下几种研究方法：1. 利用偏微分方程的理论，如极值原理和索伯列夫空间等工具，对上述方程进行理论分析。
2. 针对方程中的Hardy项和奇异点，采用特殊技巧进行处理，如将Hardy项进行适当的变换，以便于求解；对于奇异点，采用逼近法或渐近展开法等技巧进行求解。
3. 通过数值分析的方法，利用现代计算机技术进行大规模的数值模拟和求解。
四、研究结果通过上述方法的研究，我们得到了以下结果：1. 对于含有p-Laplacian算子的椭圆方程组，我们证明了其解的存在性和唯一性。
同时，我们还得到了关于解的正则性的一些结论。
2. 对于方程中的Hardy项和奇异点，我们通过特殊技巧进行了处理，并得到了相应的解。
这些解具有较高的精度和稳定性。
3. 通过数值分析的方法，我们得到了方程的数值解。
p(x)-Laplace方程解的存在性
ＤＯＩ １ ． ９ ９ Ｊ Ｉ Ｓ １ ０ —６ ２ ２ １ ． ３ ０ ７ ： ０ ３ ６ ／ ． Ｓ Ｎ． ０ ４ ０ Ｘ． ０ ２ ０ ． ３
Ｐ ）Ｌ ｐａｅ方 程 解 的 存 在 性 （ 一ａｌｃ
刘越 里 ， 陈庆娥
（ 天水 师范学院 数学 与统计学院 ， 甘肃 天水 ７ １０ ） ４ ０ １
解 的存 在性 ， 中 叼为单 位 外法 向量 ， ｃＲ 其 为一 有
界 区域 ， （ Ｐ ）∈Ｃ ） ｐ ｘ 满 足 （ 且 （）
１ ｐ一 ＜ ： （ ≤ （ ≤ ： ｍ ｘ （ ＜∞。 ） ｐ ） ｐ ａ ｐ ） ａ
这 里 主 要 介 绍 变 指 数 Ｌ ｂｇ ｅ空 间 和 变 指 数 ｅ ｅｕ （ ）
一
１ｃ ｝
（ｐ （ ， ・Ｉ ） Ｂ ｎｃ Ｌ ） Ｉ 加） 是 ａａｈ空间 ， 叫做变指 ｅ ｅｇ ｅ空 的存在 性 和 多 解 性 ］ ； ［ 当方 程 没 有 ｌ ‘ ｕ时 ， 数 Ｌ ｂ ｓｕ 间。 Ｉ Ｍ
（ ） ＝｛ ∈ ： “
∈
（ ）ｌ ｕｌ ‘ ｌ ∈
利用 类似 的方 法可得 到下 面方 程解 的存在 性
一
ｉ ， ≥ 。 ∞ｐ ）Ⅳ （
（） ， ） ｉ Ｗ ‘ （ 及 （ ） 可 是
性质 １ １ ．
分 的 自反 的 Ｂ ｎ ｃ ａａ ｈ空 问 ；
，
△ｐ ） ＋ （ ， ）＋ｈ ） ０， Ｍ （ ＝ ∈
摘 要 ： 用 山路 引理 和喷 泉 定理 容 易得 到 具有 无 流边 界 的 Ｐ（ 利 ）一Ｌｐａｅ方程含 有 ｌ 卜。 ａｌ ｃ “ｌ “项 时方程解 的存 在性 和 多解性 ； 当方 程 没有 ｌ ｕ ～“时 ， 用最 小作 用 原 理得 到 无 流边 界 Ｐ（ 利 ）一
二维离散条件下Neumann边值P—Laplacian方程的解的存在性
Ｊ ｕ ｎ—ｍｅ ｊ。 ＺＨＡＮＧ Ｌ ｉ
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（ Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ Ｓ ｈ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇ Ａ ｇ ｒ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｔ ａ ｌ ａ ｎ ２ ７ １ ０ １ ８ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
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此时的 是一个正数 ， ｋ Ｅ［ １ ， Ｔ ］ 取整数点 Ｙ （ ｋ ）＝ ） ， （ ｋ ）一 Ｙ （ ｋ 一１ ） 是向后 差分算 子 Ｐ＞ １ ， 。 （ Ｙ ） ： ＝ｌ ， ，
［ ｐ － ２ ｙ
，
ｒ
ｒ ： ［ １ ， 列 （ ｏ ， ∞） ［ １ ， Ｔ ］ × Ｒ 是Ｙ 的连续函数， Ｆ （ ｋ ， ） ＝ Ｊ ｏ ｆ （ ｋ ， ） ｄ ｓ
・２ ８ ３・
本 文 的主要结 论如 下
定理 １ ． １ 当方程 （ １ ． １ ） 在满足条件 （ ｃ １ ） （ Ｃ ２ ） 时有解 。
２ 预 备知识
有界区域上p（x）-laplacian问题解的存在性
理学硕士学位论文有界区域上−)p Laplacian问题解的存在性(x赵辉哈尔滨工业大学2006年6月国内图书分类号：O175.9国际图书分类号: 517.9理学硕士学位论文有界区域上−)p Laplacian问题解的存在性(x硕士研究生：赵辉导师：付永强教授申请学位：理学硕士学科、专业：基础数学所在单位：数学系答辩日期：2006年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index：O175.9U.D.C.: 517.9Dissertation for the Master Degree in ScienceEXISTENCE OF SOLUTIONS FOR ()x p-LAPLACIAN PROBLEMSON A BOUNDED DOMAINCandidate：Hui ZhaoSupervisor：Prof. Yongqiang Fu Academic Degree Applied for：Master of Science Specialty：Pure Mathematics Affiliation：Department of Mathematics Date of Defence：June, 2006Degree-Conferring-Institution：Harbin Institute of Technology哈尔滨工业大学理学硕士学位论文- I -摘要本文的主要研究内容是在空间()x p L 和()x p k W ,的基本理论体系的基础上，研究−)(x p Laplacian 问题多重解的存在性。
随着弹性力学的发展，对非标准增长条件−)(x p Laplacian 问题的研究是近年来发展起来的一个新的研究课题。
−)(x p Laplacian 方程来源于许多物理背景，例如，非Newton 流体问题（Newton 流体问题对应于2=p ），非线性弹力问题等。
因此对这类问题的研究具有广泛的理论与实际意义。
带P-Laplacian算子的n阶奇异多点边值问题的多重正解
带P-Laplacian算子的n阶奇异多点边值问题的多重正解李耀红;卜兵【摘要】利用Leggett-Williams不动点定理,获得了带p-Laplacian算子的n阶奇异多点边值问题:(Φ,(u(m-1)(t)))'+a(t)f(u(t))=0,t∈(0,1),在一定边值条件下多重正解的存在性.【期刊名称】《宿州学院学报》【年(卷),期】2011(026)002【总页数】3页(P4-6)【关键词】p-Laplacian算子;奇异边值问题;多重正解;Leggett-Williams不动点定理【作者】李耀红;卜兵【作者单位】山东大学数学学院,山东济南,250100;宿州学院数学与统计学院,安徽宿州,234000;宿州学院数学与统计学院,安徽宿州,234000【正文语种】中文【中图分类】O177.91本文考察带p-Laplacian算子的n阶奇异多点边值问题的多重正解(SBVP):(1)其中Φp(s)是p-Laplacian算子,即在t=0或t=1处允许奇异,0<η1<η2<…<ηm<1,αi>0(i=1,2,…,m)。
由于有广泛的数学和物理应用背景,近年来,带p-laplacian算子的边值问题受到特别的关注[1-3]。
通过应用上下解方法、Krasnoselskill不动点定理或不动点指数理论,许多优秀的结果已经被获得[4-7]。
最近,文[8]通过定义一个包含Green函数的新算子,利用不动点指数理论,获得了奇异边值问题SBVP(1.1)存在至少1个或2个正解的存在性结果，其结果改进和推广了文[4-7]的结果。
本文利用Leggett-Williams不动点定理,获得了奇异边值问题SBVP(1)至少存在3个正解的条件。
所用方法不同于相关参考文献,所得结果改进了文[8]的结论。
下文中,我们假设下列条件成立:(H1)f∈C([0,+∞),[0,+∞))(H2)0<α(t)dt<∞且α(t)≠0,t∈[η1，1]1 预备知识和引理定义1.1 若u满足：(1)u(t)∈C[0,1]∩ Cn(0,1);(2)(Φp(u(n-1)(t)))′=-α(t)f(u(t)),t∈(0,1)成立;(3)对所有t∈(0,1),u(t)>0且边值条件(1)成立。
关于p-Laplace方程解的存在性
虫虫危机观后感前几天，我看了一部动画电影，叫《虫虫危机》。
看完之后，心里那叫一个“五味杂陈”，忍不住想跟大家唠唠。
这部电影讲的是在一个蚂蚁岛，蚂蚁们辛勤工作，为一群蚂蚱收集粮食。
可这蚂蚱呢，又凶又坏，把蚂蚁们欺负得够呛。
主角菲力是一只与众不同的蚂蚁，它充满了奇思妙想，总想着能改变蚂蚁们被压迫的命运。
电影里的画面那叫一个精彩，特别是对蚂蚁岛的描绘，简直细致入微。
那些小小的蚂蚁洞穴，里面弯弯曲曲的通道，还有存放粮食的仓库，都让我感觉仿佛自己也变成了一只小蚂蚁，在那里忙忙碌碌。
说起里面的角色，我最喜欢的就是菲力了。
它小小的身躯里藏着大大的勇气和智慧。
它不像其他蚂蚁那样，只是一味地听从命令，埋头苦干。
它有自己的想法，虽然一开始不被大家理解，但它始终没有放弃。
这让我想起了自己有时候也是这样，脑子里有一些新奇的想法，说出来却被身边的人否定，那种感觉真不好受。
不过菲力就厉害啦，它愣是靠着自己的坚持，让大家看到了希望。
还有那个公主雅婷，一开始我觉得她有点娇气，只知道指挥别人。
但后来发现，她其实也很勇敢，在关键时刻能够挺身而出，和大家一起面对困难。
这让我明白了，不能轻易地给一个人下定论，每个人都有自己不为人知的一面。
电影里蚂蚁们收集粮食的场景，真的是让我大开眼界。
它们排着整齐的队伍，扛着比自己身体大好多倍的麦粒，一步一步艰难地前进。
有时候累得气喘吁吁，有时候还会被麦粒压得直不起腰，但它们依然没有放弃。
我就在想，咱们人类有时候遇到一点小困难就叫苦连天，和这些小蚂蚁比起来，可真是有点惭愧啊！再说说那些可恶的蚂蚱。
一个个长得又肥又大，还特别嚣张。
尤其是那个霸王蚂蚱，整天对蚂蚁们呼来喝去，稍不如意就发脾气。
看着它那副丑恶的嘴脸，我真恨不得跳进屏幕里，把它狠狠地教训一顿。
不过这也让我明白了，在生活中不能像这些蚂蚱一样，仗着自己的强大就去欺负弱小，这样是不会有好下场的。
当菲力制造出了那个假鸟来吓唬蚂蚱的时候，我心里那叫一个紧张。
一类p-Laplace方程的无穷多解
一类p-Laplace方程的无穷多解周正【摘要】本文考虑了一类p-Laplacian方程：-Δp u + u p-2 u = f( x,u),x∈RN ,其中奇函数f( x,u)满足一定的增长性条件,同时F( x,u)在u =0附近具有局部超线性,使得能量泛函( PS)列具有紧性；利用变分方法以及应用Clark定理,得到了其无穷多解的存在性。
%The following p-Laplace equation was studied -Δpu+V( x) u pu = f( x, u) , x∈RN. Since f( x, u) is odd and satisfies some increasing condition on u, and F( x, u) is superlinear on u near 0 in some ball in RN. Then the ( PS) condition is satisfied. By variational method and using the Clark theorem, the existence of infinitely many solutions were obtained.【期刊名称】《厦门理工学院学报》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】4页(P91-94)【关键词】p-Laplace方程;Clark定理;变分方法;无穷多解【作者】周正【作者单位】厦门理工学院应用数学学院，福建厦门361024【正文语种】中文【中图分类】O175.29Clark定理[1]首先被D.C.Clark提出，它是研究临界点理论的一个重要工具，经常被用于研究带有对称性的次线性微分方程.H.P.Heinz随后给出了另一种形式的Clark定理：定理1 设X为Banach空间, Φ∈C1(X,R) . 假设Φ满足(PS)条件，偶泛函并且有下界，同时Φ(0)=0.若对任意的k∈N, 都存在X的k-维子空间Xk使得supXk∩SρkΦ<0, (其中，则Φ存在一列临界值ck<0并且当k→μ时ck→0[2].由定理1引发一个问题，那就是是否存在一列临界点uk使得当k→∞时有Φ(uk)→0并且→0呢？随后Liu与Wang在文献[3]中进行了深入研究，得到了如下Clark定理：定理2 设X为 Banach 空间,Φ∈C1(X,R).假设Φ满足(PS)条件，偶泛函并且有下界，同时Φ(0)=0.若对任意的k∈N,都存在X 的k-维子空间Xk使得supXk∩SρkΦ<0,(其中，则如下至少有一个结论成立.ⅰ)存在一列临界点uk满足Φ(uk)<0，并且(k→).ⅱ)存在r>0使得对任意0<a<r，都存在临界点u使得，并且Φ(u)=0.文献[3]利用定理2，考虑了如下p-Laplace方程：其中u)，p>1.得到了如下结论：定理3 假设方程(1)满足如下条件：(a1)存在正数δ>0,1≤γ<p,C>0使得f∈C(RN×[-δ,δ],R),f关于u为奇函数,且,同时在某领域Br(x0)⊂RN内一致有；(a2)V,Q∈C(RN,R1),V(x)≥α0，并且0<Q(x)≤β0对某数α0>0,β0>0成立,且满足M≜).则方程(1) 有无穷多解uk使得(k→).在文献[4-6]中也有类似p(x)-Laplace方程，其(PS)条件往往由类似Ambroseti-Rabinowitz条件保证，而文献[3]中的V满足的条件对紧性有重要影响.注意到：若定理3中的条件(a2)中的M为一常数，比如M=1∉L1(RN)，结论还成立吗？作者因此考虑p>1时一类最特殊情形，即Q(x)=V(x)=1时对应的方程：本文通过对f进行某些限制，采用类似文献[3]的方法，我们得到了如下结果：定理4 假设方程(2)满足如下条件：(*) 存在正数δ>0,1≤γ<p,C>0使得f∈C(RN×[-δ,δ],R),f关于u为奇函数,且,同时在某领域Br(x0)⊂RN内一致有.则方程(2) 有无穷多解uk使得(k→).首先定义方程(2)的解：定义1 称u∈W1,p(RN)为方程(2)的解，如果对任意，都有如下等式成立：下面分3步来证明定理4.1)首先构造合适的泛函并得到强制性.首先考虑f(x,u)的截断函数∈C(RN×R,R),关于u为奇函数，当<δ/2时，(x,u)=f(x,u)；当时，关于x∈R一致成立.为应用定理2,先考虑如下方程：它是如下泛函对应的Euler方程其中(x,s)ds,∀(x,t)∈RN×R，X=W1,p(RN)有如下范数：容易证明Φ∈C1(X,R),Φ为偶泛函,且Φ(0)=0.对于u∈X, 利用f的性质，有2)证明极小化序列满足(PS)条件.设为(PS)序列,及Φ(un)有界并且Φ′(un)→0，则{un}有界.假设un在W1,p(RN)范数下弱收敛于u，则在意义下有un→u，且Φ′(u)→0,从而〈Φ′(un)-Φ′(u),un-u〉→0.即：首先证明I2→0.其中为常数.很显然当p≥2时，p，接下来我们将证明当1<p<2时，2.对任意w,v∈X,有如下不等式成立：即令，代入(5),(6)可得：当1<p<2时，.综上，当p>1时，条件成立.3)方程(3)有无穷多解.事实上,对任意K > 0,存在δ=δ(K)>0，当且时,则有,所以这就意味着对任意的k∈N,如果Xk是(Br(x0))的k-维子空间，当ρk>0充分小时便有supXk∩SρkΦ<0(其中).利用定理2，方程(3)有无穷多解{uk}，并且(k→).接下来将证明(k→)，便有f.当1<p<N,记.设u为方程(3)的解，α>0,T>0为给定常数.定义 uT(x)=max{-T,min{u(x),T}}.将方程(3)两边同乘以可得：结合Sobolev不等式有其中C≥1不依赖于u,α.设α0=p*.即由(8)迭代得：其中.令T→，然后k→得其中，而为某正数.当p≥N时，p*=时证明更容易.综上，当k充分大时uk为式(2)的解，且(k→).【相关文献】[1]CLARK D C.A variant of the Lusternik-Schnirelman theory[J].Indiana Univ Math J，1972，22:65-74.[2]HEINZ H P.Free Lusternik-Schnirelman theory and the bifurcation diagrams of certain singular nonlinear systems[J].J Diff Eqn,66(1987),263-300.[3]LIU Z,WA NG Z Q.On Clark’s theorem and its applications to partially sublinear problems[J].Ann I H Poincar C AN,2014,108:18-213.[4]ZHIKOV V V.Averaging of functionals of the calculus of variations and elasticitytheory[J].Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat,1986,50(4):675-710.[5]ACERBI E,MINGIONE G.Regularity results for stationary electro-rheological fluids[J].Arch Ration Mech Anal,2002,164(3):213-259.[6]LIU Z,WANG Z Q.Schrödinger equations with concave and convex nonlin-earities[J].Zangew Math Phys,2005,56:609-629.。
一类分数阶Laplacian方程边值问题解的存在性与唯一性
T
= （
s） = G1 （ t，
s） = G2 （ t，
{ {
0
s） h （ s） ds， s） h （ s） ds） ∫ G （ t， ∫ G （ t，
1 1 0 2 2 β －1
1
1
T
， 其中
（ 1 + r1 ） （ t － s ） β － 1 － r1 （ 1 － s ） （ 1 + r1 ） Γ （ β ）
第 23 卷
8］中， 对于含有 p － Laplace 算子的分数阶微分方程的研究结果还不是很多 ， 在文献［ 作者利用 Mawhin 连续性定理研究了含有 p － Laplace 算子的分数阶微分方程 2 点共振边值问题 β α α = f（ t， x（ t） ， t ∈［ 0， 1］ D0 D0 ； + φ p （ D0 + x （ t ） ） + x（ t） ） ，
， 0 ≤ s ≤ t ≤ 1；
－ r1 （ 1 － s ） β － 1 ， 0 ≤ t ≤ s ≤ 1． （ 1 + r1 ） Γ （ β ）
α －1
（ 1 + r2 ） （ t － s ） α － 1 － r2 （ 1 － s ） （ 1 + r2 ） Γ （ α）
， 0 ≤ s ≤ t ≤ 1；
∫
带非齐次边界条件的p-Laplacian方程正解的存在唯一性
带非齐次边界条件的p-Laplacian方程正解的存在唯一性蒋玲芳;刘琰
【期刊名称】《东北师大学报：自然科学版》
【年(卷),期】2014()1
【摘要】讨论了一类带非齐次边界条件的p-Laplacian方程
{(φp(u′(t)))′+f(t,u)=0,t∈[0,1];u′(0)-∫10u′(s)dA(s)=-λ,u(1)-∫10u(s)dB(s)=μ唯一解的存在性.其中:A(s),B(s)为有界变差函数;φp(s)=|s|p-2s,p>1;λ,μ∈[0,∞)为参数.得到了正解存在唯一的充分条件.
【总页数】5页(P37-41)
【关键词】非齐次;p-Laplacian方程;正解;θ-凸算子;唯一性
【作者】蒋玲芳;刘琰
【作者单位】西北师范大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.带积分边界条件的三阶微分方程凸单调正解的存在唯一性 [J], 郝彩云;王文霞;鞠梦兰
2.带非齐次边界条件的二阶常微分方程边值问题正解的存在性 [J], 谢春杰
3.带积分边界条件的三阶非齐次边值问题正解的存在性 [J], 郝彩云;王文霞;鞠梦兰
4.具非局部边界条件的奇异分数阶微分方程正解的存在性和唯一性 [J], 霍雪雪; 孙
莉; 闫士浩; 周旋; 王广瓦
5.一类带积分边界条件的弹性梁微分方程边值问题正解的存在性和唯一性（英文）[J], 王莉萍;周宗福
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一类渐进线性p(x)-laplace方程解的存在性
一类渐进线性p(x)-laplace方程解的存在性渐进线性p(x)-Laplace方程是一种常见的偏微分方程，它会用于分析工程中的不同类型的力学系统问题。
在这种方程解的存在性上，与一般渐进线性较大不同，它不仅具有一般渐进线性模型的共性，而且由于特定的形式提出而又具有独特的特点。
该方程式的存在性可以从数学理论和应用的角度来分析。
从数学理论上讲，渐进线性p(x)-Laplace方程的存在性可以归纳到偏微分方程讨论的范畴中。
偏微分方程通常由三类方程形式的组成，其中渐进线性p(x)-Laplace方程属于焦距方程的一种。
而它的存在性，又可以分为两个部分来看。
首先，要满足特殊的组合条件，这一步涉及到数学分析和约束机制。
这意味着渐进线性p(x)-Laplace方程的存在性受到一定限制。
其次，渐进线性p(x)-Laplace方程必须经过某一特定变换，以使得变量含义更加清晰，变换之后的结果可以用LT方程来求解。
从应用上分析，渐进线性p(x)-Laplace方程在经典力学、流体力学和ces定律的应用中都有着广泛的应用。
简而言之，这一方程提供了一种简单而有效的方法来解决复杂的力学和流体力学问题。
此外，它还可以求解多维坐标系中各种复杂场力分布状况，也可以处理复杂地形下的扩散现象。
同时，该方程还与物理场方程相关，可以预测激光抛射的相关波动变化规律。
以上为关于渐进线性p(x)-Laplace方程解的存在性的一般分析，可以看出：该模型不仅具有通常渐进线性模型的共性，而且具有独特的特征，因此在理解和解决工程中的力学系统问题时，计算机应当能够更好地识别此方程式的存在性，从而更有效地解决问题，有助于应用设计研究者们在系统力学中取得更多成就。
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进 而 结合 （ ８）式有
詈 ０ ＋古 一ｏ ｌ Ｌ １） ＋ ＋ ） Ｊ
Ｉ ｌ Ｉ＋ ｃｌ Ｉ Ｉ ｏｌ ｎ ｎ ｑ
－
（ ３ 存在 （ ） （ 使得极 限 ｍ ｓｐ ＋ （ ，） 一 Ｆ （） Ｆ） ∈ Ｑ） 。 Ｆ ｘ号 ｏ 关 ｕＥ
ｉｘ∈Ｑ一致 成立 。 ：
ｉ （＝ （ ， ）ｒ（ｖｒ （ 标准的 。。Ｖ ｇ ， ｎ） Ｆ（“ 厂 ， ． 是 Ａ ） ｒｒ ，＝ ｘ） ｄ ｓｂｌ 空 Ｃ
间 其 价 数 取 ＝ （ Ｉ ｘ ． ， 等 范 可 为 ＬＶ （ １ ＋ ） “ ） “
程 （） １ 的弱解是指 ：对于任意的ｖ Ｗ （ 郧 有 ∈ Ｑ
关键 词 类Ｐ Ｌ ａｅ — 印ｌ 算子 ；Ｎ ｕ ａｎ ｃ ｅｍ ｎ边界 ；局部 极小值 ；无穷 多解 中 图分 类号 ０ ７ ． 文献 标识 码 Ａ １５ ５ ２ 文 章编 号 １７—６ １（ １） １ ｝５－０ ６ ３９７一２ ０ ６ ￣ １８０ ２ ０ ０
本文讨论 如下带有Ｎ ｕ ｎ 边界的类Ｐ Ｌ ｐａｅ 程的无穷多解问 ｅ ｍａ ｎ — ａ ｌｃ方
题：
定理１设条件 （ １ Ａ ）， （ ２）， （ １ Ａ Ｆ ）， （ ２）和 （ ３） Ｆ Ｆ 成立 ，且
， （） ６
Ｉ ｉ ｑ ＩＶＩＶ） （“ ＝（ ） ｘｆ —ｖ Ｖ “ “ ｘＩ“ ，，， ｅｌ ｄ（ “ ＋ ）一 口 一 ｌ “
１
Ｌ
： ０ ，
地 ’
（ １ ，（， ：０ Ｆ ） ０ 。且Ｖ ） ｘ∈Ｑ， ｆ ｏ ｘｔ ≥０ ｈ ｆ Ｆ（， ） 。
ｎ ｎ一 ）Ｉ 一 瓦 ＋ ｆ１。 ｌ Ｕ （ｃ 出叫
（） ９
（ ２ 存在正实数列 ｛ 和 ｛ ｝ ａ ＜ ，使得 ｃ Ｑ， ｌ ％ Ｆ） ａ｝ ｂ ， Ｉ ｋ ∈ ｎａ ｘ
引理１ （ ：，“
上 有下界且 下确界可 上达到。 在
２ 中的 凸集 。易证Ｊ Ｊ 在 上 有下
证 明 ：显 然 是
界。 记Ｔ ＝ｎ ， ，则存在极小化序列｛＇ｃ ，使得 １ ｉ ） ｔ ／｝ ／ ｎ
１ 条 件及 主要结 论
对ｎｒ （ 和非线性项厂 ） 我们提出以下的假设 ： ） “ ，
１ ５ ８
教 富科 鬻
２年 荔 科 １ ０ 第期 １ １ ０
带有Ｎｅ ｍａ ｎ 界的类ｐ Ｌ ｐａｅ ｕ ｎ边 － ａ ｌｃ方程无 穷多解存在性
郭 慧 敏 ，邵 泽 军 ， 丁茂 震
（ 京化工大学北方学院基 础课 部 ，河北 三河 ０ ５ ０ ） 北 ６ ２ １
接 要 讨论 Ｒ 中有界光 滑区域上 的一类带有Ｎ ｕ ａ ｎ ｅ ｍ ｎ 边界的类ｐ Ｌ ｐａｅ — ａ ｌ 方程 的无穷多解 问题 ，其 中Ｐ ｃ Ｎ，非线性 项不必具 有奇 对称性 ， 用寻找 局部极小值 的方法得 到两列非 负弱解 ，并且 当非线性项 在零点 （ 穷远点 ） 荡时 ，两列 解按范数趋 于零 （ 于正无穷 ），同时对 无 振 趋 应 的能量 函数趋于零 （ 于负无穷 ）。 趋
‘ ） ， ｅ ｝ ： “） Ｖ Ｑ， ， ｘ
的无穷多解问题 （ 中０同上 ），】＜Ｐ ＜０，现有的结论 和证明方 其 ０ 法已比较 多，文【］ １已有详 细阐述 。文【】 ２讨论 了Ｒ 上的椭圆问题 ，用寻 找局部极小值 得到 临界点 的方法得 到了无 穷多群不变弱解． 受此文 的启 发 ，本 文用类似的方法讨论 了问题 （ ），得到 了两列具有不同性质 的 １ 弱解 ，推广 了边值的情形 。
（）是 Ｑ。 方
记 ＝Ｂ
（） ，相应地有 ：
ｑ ｌｖｒ “ ｄ ｆ（ “ｘＩ （ ）ｘ０ Ｖ “ Ｖｘ ｖ— ｆ ，ｄ＝ ‘ “｝ Ｉ ｖ＋ ｄ ｎＸ ｖ ｕ
成立 。
定趣２设条件 （ １ Ａ ）， （ ２ Ａ ）， （ １ Ｆ ）， （２ 和 （３ ） Ｆ） Ｆ ‘ 成立，
的 临 界点 。 对于如下带有Ｄｒｈｅ ￣ ｉｃｌｊ 界的ｐ Ｌ ｐ ｃ方程 ： ｉ ｔ －ａｌ ｅ ａ
熙 ＝ 懈
２ 预 备性 结果
｛（ｔｕｍ， 一 － ） Ｖ ￣ ｖ
【 Ｕ ， ＝０
∈
Ｑ
（ ５ ）
固 个数 ＜ ， ＝ 定一 ， ｏ 记
七 ＝ ｌ２ ． ， ，． ．
（ ， ｅｓ ｎ） ｓ （ ＝ ＞０ （） ２
有
）０ ＝，
９ｏ ＝，
相对于在零点附近的条件 （ ３ Ｆ ），我们对Ｆ提出在无穷远的条件为： （３ ） 在 （） Ｌ （ 使极限 ｓｐ ． Ｆ（， ） ＝ ∽ 关 Ｆ’ 存 ∈ ｕ ＋ Ｅ ｘ毛
则 问题 （ ）有一列非负弱解 ） ， ，使得得， ） ，并有 １ ｃＷ （ ｎ） ＜０
其 中Ｑ Ⅳ ） 是尺 （ １ 中具有光滑边界的有界区域 ， 是ｍ的单位外法向 量 ， ＞ ． ，） ｃｎ× ） （ ∈ （ 足 ，（ 足 ｐ Ｎｆ “ ∈ （ Ｒ ， ， ｒ ｃ Ｒ ，） ｘ 口） ４ 瞒
ｒ≤（）Ｔ ｛ ｌ ， ≤ ｋ
（） 、 ８
又 （） （≥ＬＩ｝ （ 而） 由ａ有，） ［ 十 ｒ一 （ ２ 吉ｃ Ｐ ０ 九 Ｖ “
≥三
ｐ
（ Ｉ 映射， 州 凸函数 。 Ａ） 堤
（ ２ 存在常数ｃ， ０ Ａ ） ０ ｑ＞ ，使得ｖ Ｏ ０ ａｒ ≤ ｌ ， ， ≤ （ ｃ Ｃ ） 。
且 ＜ ａｋ
＿
Ｉ
＝－ ０ ６￣ ０，
（ ７）
求问题 （ ）的弱解可归结为求泛函 １
则问题 （ ）有一列非负弱解 ｝ １ ｃＷ
）使得
ｌｕ ） （ｔ ＝一
，
』 古［ ｌ Ｉ 一 （）“ （ Ｌ（ ） Ｌ五 ， （ ４ ） Ａ 】 Ｆ“ ｅ ） ） １＋ ｗ 牡