带有Neumann边界的类p-Laplace方程无穷多解存在性
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Ｊ 亏 ０ｋ＝１ ， ｒ ） ， ， …． ２
进 而 结合 （ ８）式有
詈 ０ ＋古 一ｏ ｌ Ｌ １） ＋ ＋ ） Ｊ
Ｉ ｌ Ｉ＋ ｃｌ Ｉ Ｉ ｏｌ ｎ ｎ ｑ
－
（ ３ 存在 （ ） （ 使得极 限 ｍ ｓｐ ＋ （ ，） 一 Ｆ （） Ｆ） ∈ Ｑ） 。 Ｆ ｘ号 ｏ 关 ｕＥ
ｉｘ∈Ｑ一致 成立 。 ：
ｉ （＝ （ ， ）ｒ（ｖｒ （ 标准的 。。Ｖ ｇ ， ｎ） Ｆ（“ 厂 ， ． 是 Ａ ） ｒｒ ，＝ ｘ） ｄ ｓｂｌ 空 Ｃ
间 其 价 数 取 ＝ （ Ｉ ｘ ． ， 等 范 可 为 ＬＶ （ １ ＋ ） “ ） “
程 （） １ 的弱解是指 ：对于任意的ｖ Ｗ （ 郧 有 ∈ Ｑ
关键 词 类Ｐ Ｌ ａｅ — 印ｌ 算子 ；Ｎ ｕ ａｎ ｃ ｅｍ ｎ边界 ；局部 极小值 ；无穷 多解 中 图分 类号 ０ ７ ． 文献 标识 码 Ａ １５ ５ ２ 文 章编 号 １７—６ １（ １） １ ｝５－０ ６ ３９７一２ ０ ６ ￣ １８０ ２ ０ ０
本文讨论 如下带有Ｎ ｕ ｎ 边界的类Ｐ Ｌ ｐａｅ 程的无穷多解问 ｅ ｍａ ｎ — ａ ｌｃ方
题：
定理１设条件 （ １ Ａ ）， （ ２）， （ １ Ａ Ｆ ）， （ ２）和 （ ３） Ｆ Ｆ 成立 ，且
， （） ６
Ｉ ｉ ｑ ＩＶＩＶ） （“ ＝（ ） ｘｆ —ｖ Ｖ “ “ ｘＩ“ ，，， ｅｌ ｄ（ “ ＋ ）一 口 一 ｌ “
１
Ｌ
： ０ ，
地 ’
（ １ ，（， ：０ Ｆ ） ０ 。且Ｖ ） ｘ∈Ｑ， ｆ ｏ ｘｔ ≥０ ｈ ｆ Ｆ（， ） 。
ｎ ｎ一 ）Ｉ 一 瓦 ＋ ｆ１。 ｌ Ｕ （ｃ 出叫
（） ９
（ ２ 存在正实数列 ｛ 和 ｛ ｝ ａ ＜ ，使得 ｃ Ｑ， ｌ ％ Ｆ） ａ｝ ｂ ， Ｉ ｋ ∈ ｎａ ｘ
引理１ （ ：，“
上 有下界且 下确界可 上达到。 在
２ 中的 凸集 。易证Ｊ Ｊ 在 上 有下
证 明 ：显 然 是
界。 记Ｔ ＝ｎ ， ，则存在极小化序列｛＇ｃ ，使得 １ ｉ ） ｔ ／｝ ／ ｎ
１ 条 件及 主要结 论
对ｎｒ （ 和非线性项厂 ） 我们提出以下的假设 ： ） “ ，
１ ５ ８
教 富科 鬻
２年 荔 科 １ ０ 第期 １ １ ０
带有Ｎｅ ｍａ ｎ 界的类ｐ Ｌ ｐａｅ ｕ ｎ边 － ａ ｌｃ方程无 穷多解存在性
郭 慧 敏 ，邵 泽 军 ， 丁茂 震
（ 京化工大学北方学院基 础课 部 ，河北 三河 ０ ５ ０ ） 北 ６ ２ １
接 要 讨论 Ｒ 中有界光 滑区域上 的一类带有Ｎ ｕ ａ ｎ ｅ ｍ ｎ 边界的类ｐ Ｌ ｐａｅ — ａ ｌ 方程 的无穷多解 问题 ，其 中Ｐ ｃ Ｎ，非线性 项不必具 有奇 对称性 ， 用寻找 局部极小值 的方法得 到两列非 负弱解 ，并且 当非线性项 在零点 （ 穷远点 ） 荡时 ，两列 解按范数趋 于零 （ 于正无穷 ），同时对 无 振 趋 应 的能量 函数趋于零 （ 于负无穷 ）。 趋
‘ ） ， ｅ ｝ ： “） Ｖ Ｑ， ， ｘ
的无穷多解问题 （ 中０同上 ），】＜Ｐ ＜０，现有的结论 和证明方 其 ０ 法已比较 多，文【］ １已有详 细阐述 。文【】 ２讨论 了Ｒ 上的椭圆问题 ，用寻 找局部极小值 得到 临界点 的方法得 到了无 穷多群不变弱解． 受此文 的启 发 ，本 文用类似的方法讨论 了问题 （ ），得到 了两列具有不同性质 的 １ 弱解 ，推广 了边值的情形 。
（）是 Ｑ。 方
记 ＝Ｂ
（） ，相应地有 ：
ｑ ｌｖｒ “ ｄ ｆ（ “ｘＩ （ ）ｘ０ Ｖ “ Ｖｘ ｖ— ｆ ，ｄ＝ ‘ “｝ Ｉ ｖ＋ ｄ ｎＸ ｖ ｕ
成立 。
定趣２设条件 （ １ Ａ ）， （ ２ Ａ ）， （ １ Ｆ ）， （２ 和 （３ ） Ｆ） Ｆ ‘ 成立，
的 临 界点 。 对于如下带有Ｄｒｈｅ ￣ ｉｃｌｊ 界的ｐ Ｌ ｐ ｃ方程 ： ｉ ｔ －ａｌ ｅ ａ
熙 ＝ 懈
２ 预 备性 结果
｛（ｔｕｍ， 一 － ） Ｖ ￣ ｖ
【 Ｕ ， ＝０
∈
Ｑ
（ ５ ）
固 个数 ＜ ， ＝ 定一 ， ｏ 记
七 ＝ ｌ２ ． ， ，． ．
（ ， ｅｓ ｎ） ｓ （ ＝ ＞０ （） ２
有
）０ ＝，
９ｏ ＝，
相对于在零点附近的条件 （ ３ Ｆ ），我们对Ｆ提出在无穷远的条件为： （３ ） 在 （） Ｌ （ 使极限 ｓｐ ． Ｆ（， ） ＝ ∽ 关 Ｆ’ 存 ∈ ｕ ＋ Ｅ ｘ毛
则 问题 （ ）有一列非负弱解 ） ， ，使得得， ） ，并有 １ ｃＷ （ ｎ） ＜０
其 中Ｑ Ⅳ ） 是尺 （ １ 中具有光滑边界的有界区域 ， 是ｍ的单位外法向 量 ， ＞ ． ，） ｃｎ× ） （ ∈ （ 足 ，（ 足 ｐ Ｎｆ “ ∈ （ Ｒ ， ， ｒ ｃ Ｒ ，） ｘ 口） ４ 瞒
ｒ≤（）Ｔ ｛ ｌ ， ≤ ｋ
（） 、 ８
又 （） （≥ＬＩ｝ （ 而） 由ａ有，） ［ 十 ｒ一 （ ２ 吉ｃ Ｐ ０ 九 Ｖ “
≥三
ｐ
（ Ｉ 映射， 州 凸函数 。 Ａ） 堤
（ ２ 存在常数ｃ， ０ Ａ ） ０ ｑ＞ ，使得ｖ Ｏ ０ ａｒ ≤ ｌ ， ， ≤ （ ｃ Ｃ ） 。
且 ＜ ａｋ
＿
Ｉ
＝－ ０ ６￣ ０，
（ ７）
求问题 （ ）的弱解可归结为求泛函 １
则问题 （ ）有一列非负弱解 ｝ １ ｃＷ
）使得
ｌｕ ） （ｔ ＝一
，
』 古［ ｌ Ｉ 一 （）“ （ Ｌ（ ） Ｌ五 ， （ ４ ） Ａ 】 Ｆ“ ｅ ） ） １＋ ｗ 牡
进 而 结合 （ ８）式有
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间 其 价 数 取 ＝ （ Ｉ ｘ ． ， 等 范 可 为 ＬＶ （ １ ＋ ） “ ） “
程 （） １ 的弱解是指 ：对于任意的ｖ Ｗ （ 郧 有 ∈ Ｑ
关键 词 类Ｐ Ｌ ａｅ — 印ｌ 算子 ；Ｎ ｕ ａｎ ｃ ｅｍ ｎ边界 ；局部 极小值 ；无穷 多解 中 图分 类号 ０ ７ ． 文献 标识 码 Ａ １５ ５ ２ 文 章编 号 １７—６ １（ １） １ ｝５－０ ６ ３９７一２ ０ ６ ￣ １８０ ２ ０ ０
本文讨论 如下带有Ｎ ｕ ｎ 边界的类Ｐ Ｌ ｐａｅ 程的无穷多解问 ｅ ｍａ ｎ — ａ ｌｃ方
题：
定理１设条件 （ １ Ａ ）， （ ２）， （ １ Ａ Ｆ ）， （ ２）和 （ ３） Ｆ Ｆ 成立 ，且
， （） ６
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１
Ｌ
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（ １ ，（， ：０ Ｆ ） ０ 。且Ｖ ） ｘ∈Ｑ， ｆ ｏ ｘｔ ≥０ ｈ ｆ Ｆ（， ） 。
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（） ９
（ ２ 存在正实数列 ｛ 和 ｛ ｝ ａ ＜ ，使得 ｃ Ｑ， ｌ ％ Ｆ） ａ｝ ｂ ， Ｉ ｋ ∈ ｎａ ｘ
引理１ （ ：，“
上 有下界且 下确界可 上达到。 在
２ 中的 凸集 。易证Ｊ Ｊ 在 上 有下
证 明 ：显 然 是
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１ 条 件及 主要结 论
对ｎｒ （ 和非线性项厂 ） 我们提出以下的假设 ： ） “ ，
１ ５ ８
教 富科 鬻
２年 荔 科 １ ０ 第期 １ １ ０
带有Ｎｅ ｍａ ｎ 界的类ｐ Ｌ ｐａｅ ｕ ｎ边 － ａ ｌｃ方程无 穷多解存在性
郭 慧 敏 ，邵 泽 军 ， 丁茂 震
（ 京化工大学北方学院基 础课 部 ，河北 三河 ０ ５ ０ ） 北 ６ ２ １
接 要 讨论 Ｒ 中有界光 滑区域上 的一类带有Ｎ ｕ ａ ｎ ｅ ｍ ｎ 边界的类ｐ Ｌ ｐａｅ — ａ ｌ 方程 的无穷多解 问题 ，其 中Ｐ ｃ Ｎ，非线性 项不必具 有奇 对称性 ， 用寻找 局部极小值 的方法得 到两列非 负弱解 ，并且 当非线性项 在零点 （ 穷远点 ） 荡时 ，两列 解按范数趋 于零 （ 于正无穷 ），同时对 无 振 趋 应 的能量 函数趋于零 （ 于负无穷 ）。 趋
‘ ） ， ｅ ｝ ： “） Ｖ Ｑ， ， ｘ
的无穷多解问题 （ 中０同上 ），】＜Ｐ ＜０，现有的结论 和证明方 其 ０ 法已比较 多，文【］ １已有详 细阐述 。文【】 ２讨论 了Ｒ 上的椭圆问题 ，用寻 找局部极小值 得到 临界点 的方法得 到了无 穷多群不变弱解． 受此文 的启 发 ，本 文用类似的方法讨论 了问题 （ ），得到 了两列具有不同性质 的 １ 弱解 ，推广 了边值的情形 。
（）是 Ｑ。 方
记 ＝Ｂ
（） ，相应地有 ：
ｑ ｌｖｒ “ ｄ ｆ（ “ｘＩ （ ）ｘ０ Ｖ “ Ｖｘ ｖ— ｆ ，ｄ＝ ‘ “｝ Ｉ ｖ＋ ｄ ｎＸ ｖ ｕ
成立 。
定趣２设条件 （ １ Ａ ）， （ ２ Ａ ）， （ １ Ｆ ）， （２ 和 （３ ） Ｆ） Ｆ ‘ 成立，
的 临 界点 。 对于如下带有Ｄｒｈｅ ￣ ｉｃｌｊ 界的ｐ Ｌ ｐ ｃ方程 ： ｉ ｔ －ａｌ ｅ ａ
熙 ＝ 懈
２ 预 备性 结果
｛（ｔｕｍ， 一 － ） Ｖ ￣ ｖ
【 Ｕ ， ＝０
∈
Ｑ
（ ５ ）
固 个数 ＜ ， ＝ 定一 ， ｏ 记
七 ＝ ｌ２ ． ， ，． ．
（ ， ｅｓ ｎ） ｓ （ ＝ ＞０ （） ２
有
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９ｏ ＝，
相对于在零点附近的条件 （ ３ Ｆ ），我们对Ｆ提出在无穷远的条件为： （３ ） 在 （） Ｌ （ 使极限 ｓｐ ． Ｆ（， ） ＝ ∽ 关 Ｆ’ 存 ∈ ｕ ＋ Ｅ ｘ毛
则 问题 （ ）有一列非负弱解 ） ， ，使得得， ） ，并有 １ ｃＷ （ ｎ） ＜０
其 中Ｑ Ⅳ ） 是尺 （ １ 中具有光滑边界的有界区域 ， 是ｍ的单位外法向 量 ， ＞ ． ，） ｃｎ× ） （ ∈ （ 足 ，（ 足 ｐ Ｎｆ “ ∈ （ Ｒ ， ， ｒ ｃ Ｒ ，） ｘ 口） ４ 瞒
ｒ≤（）Ｔ ｛ ｌ ， ≤ ｋ
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又 （） （≥ＬＩ｝ （ 而） 由ａ有，） ［ 十 ｒ一 （ ２ 吉ｃ Ｐ ０ 九 Ｖ “
≥三
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（ Ｉ 映射， 州 凸函数 。 Ａ） 堤
（ ２ 存在常数ｃ， ０ Ａ ） ０ ｑ＞ ，使得ｖ Ｏ ０ ａｒ ≤ ｌ ， ， ≤ （ ｃ Ｃ ） 。
且 ＜ ａｋ
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Ｉ
＝－ ０ ６￣ ０，
（ ７）
求问题 （ ）的弱解可归结为求泛函 １
则问题 （ ）有一列非负弱解 ｝ １ ｃＷ
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