解轨迹问题4种方法

解轨迹问题4种方法
求轨迹方程常用的方法：
（1）结合解析几何中某种曲线的定义，从定义出发寻找解决问题的方法；
（2）利用几何性质，若所求的轨迹与图形的性质相关，利用三角形或圆的性质来解问题；
（3）如果点P 的运动轨迹或所在曲线已知，又点Q 与点P 之间的坐标可以建立某种关系，则借助
点P 的轨迹可以得到点Q 的轨迹； （4）参数法. ●点击双基
1.动点P 到直线x =1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是 A.中心在原点的椭圆 B.中心在（5，0）的椭圆
C.中心在原点的双曲线
D.中心在（5，0）的双曲线 解析：直接法. 答案：B
2.（2005年春季北京，6）已知双曲线的两个焦点为F 1（－5，0）、F 2（5，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|=2，则该双曲线的方程是
A.22x －32y =1
B.32x －22y =1
C.42x －y 2=1
D.x 2－4
2y =1
解析：设双曲线的方程为22
a x －22b
y =1.由题意||PF 1|－|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（25）2.
又∵|PF 1|·|PF 2|=2，∴a =2，b =1.故双曲线方程为4
2
x －y 2=1.答案：C
3.已知A （0，7）、B （0，－7）、C （12，2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是A.y 2
－482x ＝1（y ≤－1） B.y 2－482x ＝1 C.y 2－482x ＝－1 D.x 2
－48
2y ＝1
解析：由题意｜AC ｜＝13，｜BC ｜＝15，｜AB ｜＝14，又｜AF ｜＋｜AC ｜＝｜BF ｜＋｜BC ｜，∴｜AF ｜－｜BF ｜＝｜BC ｜－｜AC ｜＝2.
故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c =7，a =1，b 2＝48，
所以轨迹方程为y 2
－482
x ＝1（y ≤－1）.答案：A
4.F 1、F 2为椭圆42x +3
2
y =1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线
作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________________.
解析：延长F 1D 与F 2A 交于B ，连结DO ，可知DO =2
1
F 2B =2，∴动点D 的轨迹方程为x 2+y 2=4.
答案：x 2+y 2=4
5.已知△ABC 中，B （1，0）、C （5，0），点A 在x 轴上方移动，且tan B +tan C =3，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为________________.
解析：设A （x 0，y 0），∵tan B +tan C =3，∴
100-x y －500-x y =3，点A 的轨迹方程为y 0=－4
3
（x 02－6x 0+5）（x 0≠1且x 0≠5）.若 G （x ，y ）为△ABC 的重心，则由重心坐标公式：x =
3510x ++，y =3
0y
，∴x 0=3x －6，且y 0=3y .代入A 点轨迹方程得G 的轨迹方程为y －1=－49（x －3）2（x ≠37且x ≠3
11
）.
答案：y －1=－49（x －3）2（x ≠37且x ≠3
11）
●典例剖析
【例1】 在△PMN 中，tan ∠PMN =
2
1
，tan ∠MNP =－2，且△PMN 的面积为1，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点，且过点P 的椭圆的方程.
M N
剖析：如上图，以直线MN 为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则所求椭
圆方程为22a x +22
b
y =1.显然a 2、b 2是未知数，但a 2、b 2与已知条件没有直接联系，因此应寻找与已知条件
和谐统一的未知元，或改造已知条件.
解法一：如上图，过P 作PQ ⊥MN ，垂足为Q ，
令|PQ |=m ，于是可得|MQ |=|PQ |cot ∠PMQ =2m ，|QN |=|PQ |cot ∠PNQ =2
1m . ∴|MN |=|MQ |－|NQ |=2m －21m =23m . 于是S △PMN =21|MN |·|PQ |=21·2
3
m ·m =1.
因而m =
34，|MQ |=23
4
，|NQ |=31，|MN |=3.
|MP |=22||||PQ MQ +=
3
4316+=315
2，|NP |=22||||PQ NQ +=3431+=315.
以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为22a x +22
b y =1（a ＞b ＞0）.
则2a =|MP |+|NP |=15，2c =|MN |=3，故所求椭圆方程为1542x +3
2
y =1.
解法二：设M （－c ，0）、N （c ，0），P （x ，y ），y ＞0，
c x y + =21，
c
x y -=2， y ·c =1， 解之，得x =635，y =3
32，c =23
.
设椭圆方程为b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，则
b 2·（
635）2+a 2（332）2=a 2b 2
， a 2－b 2=43， 解之，得a 2=4
15
，b 2=3.（以下略）
评述：解法一选择了与a 较接近的未知元|PM |、|PN |，但需改造已知条件，以便利用正弦定理和面积公式；解法二以条件为主，选择了与条件联系最直接的未知元x 、y 、c .本题解法较多，但最能体现方程思
则
想方法的、学生易于理解和接受的是这两种解法.
深化拓展
若把△PMN 的面积为1改为PM ·PN =3
8
，求椭圆方程. 提示：由tan ∠PMN =
21，tan ∠MNP =－2，易得sin ∠MPN =53，cos ∠MPN =5
4. 由PM ·PN =38，得|PM ||PN |=3
10
.易求得|PM |=3152，|PN |=315.
进而求得椭圆方程为1542x +3
2
y =1.
【例2】 （2004年福建，22）如下图，P 是抛物线C ：y =2
1
x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C
交于另一点Q .若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.
x
y
O
Q
M
T
P S
l 剖析：欲求PQ 中点M 的轨迹方程，需知P 、Q 的坐标.思路一，P 、Q 是直线l 与抛物线C 的交点，故需求直线l 的方程，再与抛物线C 的方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式可求得M 的轨迹方程；思路二，设出P 、Q 的坐标，利用P 、Q 的坐标满足抛物线C 的方程，代入抛物线C 的方程相减得PQ 的斜率，利用PQ 的斜率就是l 的斜率，可求得M 的轨迹方程.
解：设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）、M （x 0，y 0），依题意知x 1≠0，y 1>0，y 2>0.
由y =
2
1x 2
， ① 得y ′=x . ∴过点P 的切线的斜率k 切=x 1， ∴直线l 的斜率k l =－
切k 1=－11x ，直线l 的方程为y －2
1x 12=－11x （x －x 1）. ②
方法一：联立①②消去y ，得x 2+
1
2
x x －x 12－2=0.∵M 为PQ 的中点， x 0=221x x +=－1
1
x ，
y 0=
21x 12－11
x （x 0－x 1）. 消去x 1，得y 0=x 02+2
21x +1（x 0≠0）， ∴PQ 中点M 的轨迹方程为y =x 2+2
21
x +1（x ≠0）. 方法二：由y 1=21x 12，y 2=21
x 22，x 0=221x x +，
得y 1－y 2=21x 12－21x 22=2
1
（x 1+x 2）（x 1－x 2）=x 0（x 1－x 2），
则x 0=
2121x x y y --=k l =－11x ，∴x 1=－01
x .将上式代入②并整理，得y 0=x 02+2
21x +1（x 0≠0）， ∴
∴PQ 中点M 的轨迹方程为y =x 2+
221
x
+1（x ≠0）. 评述：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法.本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题.
深化拓展
当点P 在抛物线C 上移动时，求点M 到x 轴的最短距离. 提示：∵x ≠0，x 2>0，∴y =x 2+
221x +1≥221+1=2+1，当且仅当x 2=2
21x ，x =±214时等号成立，
即点M 到x 轴的最短距离为2+1.
【例3】 （2000年春季全国）已知抛物线y 2＝4px （p ＞0），O 为顶点，A 、B 为抛物线上的两动点，
且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于M 点，求点M 的轨迹方程.
剖析：点M 是OM 与AB 的交点，点M 随着A 、B 两点的变化而变化，而A 、B 为抛物线上的动点，点M 与A 、B 的直接关系不明显，因此需引入参数.
解法一：设M （x 0，y 0），则k OM =
00x y ，k AB =－00y x ，直线AB 方程是y =－0
0y x
（x －x 0）+y 0. 由y 2
=4px 可得x =p
y 42
，将其代入上式，整理，得x 0y 2－（4py 0）y －4py 02－4px 02=0. ①
此方程的两根y 1、y 2分别是A 、B 两点的纵坐标，∴A （p y 421，y 1）、B （p
y
42
2，y 2）.
∵OA ⊥OB ，∴k OA ·k OB =－1.∴
14y p ·2
4y p
=－1.∴y 1y 2=－16p 2. 根据根与系数的关系，由①可得y 1·y 2=02
02
0)(4x y x p +-，∴0
2
02
0)
(4x y x p +-=16p 2.
化简，得x 02+y 02－4px 0=0，即x 2+y 2－4px =0（除去原点）为所求.
∴点M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点. 解法二：设A 、B 两点坐标为A （pt 12，2pt 1）、B （pt 22，2pt 2）. ∴k OA =
1
2t ，k OB =22t ，k AB =212
t t +.∵OA ⊥OB ，∴t 1·t 2=－4.
∴AB 方程是y －2pt 1=
212
t t +（x －pt 12）， ① 直线OM 的方程是y =－2
21t t +x . ② ①×②，得（px ）t 12+2pyt 1－（x 2+y 2）=0. ③ ∴直线AB 的方程还可写为 y －2pt 2=
2
12
t t +（x －pt 22）. ④ 由②×④，得（px ）t 22+（2py ）t 2－（x 2+y 2）=0. ⑤
由③⑤可知t 1、t 2是方程（px ）t 2+（2py ）t 2－（x 2+y 2）=0的两根.
由根与系数的关系可得t 1t 2=px
y x )
(22+-.又t 1·t 2=－4，
∴x 2+y 2－4px =0（原点除外）为所求点M 的轨迹方程.
故M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点. 解法三：设M （x ，y ），直线AB 方程为y =kx +b ，由OM ⊥AB 得k =－y
x
. 由y 2=4px 及y =kx +b 消去y ，得k 2x 2+x （2kb －4p ）+b 2=0.
所以x 1x 2=22k b .消去x ，得ky 2－4py +4pb =0.所以y 1y 2=k pb
4.由OA ⊥OB ，
得y 1y 2=－x 1x 2，所以k pk
4=－22k
b ，b =－4kp .故y =kx +b =k （x －4p ）.
用k =－
y
x
代入，得x 2+y 2－4px =0（x ≠0）. 解法四：设点M 的坐标为（x ，y ），直线OA 的方程为y =kx ，
显然k ≠0，则直线OB 的方程为y =－k
1
x . y =kx ， y 2
=4px ， 类似地可得B 点的坐标为（4pk 2，－4pk ）， 从而知当k ≠±1时，
y
x
A
B
M O
k AB =)1(4)
1
(422k k
p k k p -+=k
k -11.
故得直线AB 的方程为y +4pk =
k k
-1
1（x －4pk 2），即（
k
1
－k ）y +4p =x ， ① 直线OM 的方程为y =－（
k
1
－k ）x . ② 可知M 点的坐标同时满足①②，由①及②消去k 便得4px =x 2+y 2，
即（x －2p ）2+y 2=4p 2，但x ≠0，当k =±1时，容易验证M 点的坐标仍适合上述方程. 故点M 的轨迹方程为（x －2p ）2+y 2=4p 2（x ≠0）， 它表示以点（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆.
评述：本题考查了交轨法、参数法求轨迹方程，涉及了类比、分类讨论等数学方法，消参时又用到了整体思想法，对含字母的式子的运算能力有较高的要求，同时还需要注意轨迹的“完备性和纯粹性”.此题是综合考查学生能力的一道好题.
深化拓展
本题中直线AB 恒过定点（4p ，0），读者不妨探究一番. ●闯关训练
由 解得A 点的坐标为（24k p ，k
p
4），
夯实基础
1.已知M （－2，0）、N （2，0），｜PM ｜－｜PN ｜＝4，则动点P 的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.一条射线 D.双曲线右边一支 解析：利用几何性质.答案：C
2.（2003年河南）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线y =x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为－
3
2
，则此双曲线的方程是 A.32x －42y =1 B.42x －32y =1 C.52x －22y =1 D.22
x －52y =1
解析：设双曲线方程为22a x －22b y =1.将y =x －1代入22
a x －22
b y =1，
整理得（b 2
－a 2
）x 2
+2a 2
x －a 2
－a 2b 2
=0.由韦达定理得x 1+x 2=2
22
2b a a -，
221x x +=2
22b
a a -=－32.由c 2=a 2+
b 2求得a 2=2，b 2
=5.答案：D 3.曲线x 2＋4y 2＝4关于点M （3，5）对称的曲线方程为____________.
解析：代入法（或相关点法）.答案：（x －6）2+4（y －10）2=4
4.与圆x 2+y 2－4x =0外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________.
解析：若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x =－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是x 负半轴.
答案：y 2=8x （x >0）或y =0（x <0）
5.自抛物线y 2＝2x 上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连结顶点O 与P 的直线和连结焦点F 与Q 的直线交于R 点，求R 点的轨迹方程.
解：设P （x 1，y 1）、R （x ，y ），则Q （－21，y 1）、F （2
1
，0）， ∴OP 的方程为y =
11x y x ， ① FQ 的方程为y =－y 1（x －2
1
）. ② 由①②得x 1＝
x x
212-，y 1＝x
y 212-，代入y 2＝2x ，可得y 2＝－2x 2+x . 6.求经过定点A （1，2），以x 轴为准线，离心率为2
1
的椭圆下方的顶点的轨迹方程.
解：设椭圆下方的焦点F （x 0，y 0），由定义2
||AF =21
，
∴|AF |=1，即点F 的轨迹方程为（x 0－1）2+（y 0－2）2=1. 又设椭圆下方顶点为P （x ，y ），则x 0=x ，y 0=2
3y ， ∴点P 的轨迹方程是（x －1）2+（
2
3
y －2）2=1. 培养能力
7.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜＝2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜＝｜MN ｜，求点P 的轨迹.
解：以圆心O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如下图），则⊙O 的方程为x 2＋y 2＝a 2，
设点P 坐标为（x ，y ），并设圆与y 轴交于C 、D 两点，作PQ ⊥AB 于Q ，则有
|||
|OM OP ＝|
|||MN PQ .
∵｜OP ｜＝｜MN ｜，∴｜OP ｜2
＝｜OM ｜·｜PQ ｜. ∴x 2+y 2＝a ｜y ｜，即 x 2＋（y ±
2a ）2＝（2
a
）2. 轨迹是分别以CO 、OD 为直径的两个圆.
8.过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.求△AOB 的重心G 的轨迹C 的方程.
解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l 不垂直于x 轴时，设方程为y =k （x －1），代入y 2=4x ， 得k 2x 2－x （2k 2+4）+k 2=0.设l 方程与抛物线相交于两点， ∴k ≠0.设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），
根据韦达定理，有x 1+x 2=2
2)2(2k
k +，从而y 1+y 2=k （x 1+x 2－2）=k 4. 设△AOB 的重心为G （x ，y ），
x =3021x x ++=32+234
k
，
y =3021y y ++=k
34，
∴y 2=
34x －98.当l 垂直于x 轴时，A 、B 的坐标分别为（1，2）和（1，－2），△AOB 的重心G （3
2，0），也适合y 2=34x －98，因此所求轨迹C 的方程为y 2=34x －9
8
.
探究创新
9.（2004年春季安徽）已知k ＞0，直线l 1：y =kx ，l 2：y =－kx .
（1）证明：到l 1、l 2的距离的平方和为定值a （a ＞0）的点的轨迹是圆或椭圆； （2）求到l 1、l 2的距离之和为定值c （c ＞0）的点的轨迹. （1）证明：设点P （x ，y ）为动点，则
221||k kx y +-+2
2
1||k
kx y ++=a ，整理得2
222)1(k a k x ++2)1(22a k y +=1. 因此，当k =1时，动点的轨迹为圆；当k ≠1时，动点的轨迹为椭圆. （2）解：设点P （x ，y ）为动点，则|y －kx |+|y +kx |=c 21k +.
当y ≥k |x |时，y －kx +y +kx =c 21k +，即y =
2
1
c 21k +； 当y ≤－k |x |时，kx －y －y －kx =c 21k +，即y =－2
1
c 21k +；
当－k |x |＜y ＜k |x |，x ＞0时，kx －y +y +kx =c 21k +，即x =k
21
c 21k +；
则
消去k ，得x =
32+34（4
3
y ）2，
当－k |x |＜y ＜k |x |，x ＜0时，y －kx －y －kx =c 21k +，即x =－
k
21
c 21k +. 综上，动点的轨迹为矩形. ●思悟小结
1.求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、代入、化简、检验.检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性.
2.如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法.
3.如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法.
4.如果轨迹动点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程.此法称为代入法.
5.如果轨迹动点P （x ，y ）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.
6.注意参数的取值范围对方程的影响. 教学点睛
1.已知曲线求方程或已知方程画曲线是解析几何中的两个基本问题.如何探求动点的轨迹方程呢？①从定义出发，还本索源.在探求动点的轨迹方程时，如能结合解析几何中某种曲线的定义，也就能寻找到解决问题的钥匙；②利用平面几何的性质.动点的轨迹与图形的性质相关，若某些轨迹与直线或圆有关，则可以利用三角形或圆的性质来帮助分析；③伴随曲线的思想和方法.如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立起某种关系，则借助于点P 的运动轨迹，我们便可以得到点Q 的运动轨迹，这便是伴随曲线的思想方法.
2.在探求轨迹的过程中，需要注意的是轨迹的“完备性”和“纯粹性”，也就是说既不能多，也不能少，因此，在求得轨迹方程之后，要深入地再思考一下：①是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？②在所求得的轨迹方程中，x 、y 的取值范围是否有什么限制?
拓展题例
【例1】 是否存在同时满足下列条件的抛物线？若存在，求出它的方程；若不存在，请说明理由． （1）准线是y 轴； （2）顶点在x 轴上；
（3）点A （3，0）到此抛物线上动点P 的距离最小值是2. 解：假设存在这样的抛物线，顶点为（a ，0），则方程为y 2＝4a （x －a ）（a ≠0）， 设P （x 0，y 0），则y 02＝4a （x 0－a ），｜AP ｜2＝（x 0－3）2＋y 02 ＝［x 0－（3－2a ）］2＋12a －8a 2，令f （a ）＝｜AP ｜2， ①当a ＞0时，有x 0≥a ，当3－2a ≥a 即a ∈（0，1］时，
｜AP ｜2＝f （3－2a ），∴a ＝1或a ＝
21；抛物线方程为y 2＝4（x －1）或y 2＝2（x －2
1
）. 当3－2a ＜a 即a ＞1时，｜AP ｜2＝f （a ）.∴a ＝5或a ＝1（舍），抛物线方程为y 2＝20（x －5）.
②当a ＜0时，显然与已知矛盾，
∴所求抛物线方程为y 2＝4（x －1）或y 2＝2（x －
2
1
）或y 2＝20（x －5）． 【例2】 （2003年太原市模拟题）已知椭圆的焦点为F 1（－1，0）、F 2（1，0），直线x =4是它的一条准线.
（1）求椭圆的方程；
（2）设A 1、A 2分别是椭圆的左顶点和右顶点，P 是椭圆上满足|P A 1|－|P A 2|=2的一点，求tan ∠A 1P A 2
的值；
（3）若过点（1，0）的直线与以原点为顶点、A 2为焦点的抛物线相交于点M 、N ，求MN 中点Q 的轨迹方程.
解：（1）设椭圆方程为22a x +22
b
y =1（a ＞b ＞0）.
c =1，
c
a 2
=4，
c =1， a =2，
所求椭圆方程为42x +3
2
y =1.
（2）由题设知，点P 在以A 1、A 2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上.
由（1）知A 1（－2，0），A 2（2，0），设双曲线方程为22
m
x －22n y =1（m ＞0，n ＞0）.
2m =2， m =1，
m 2+n 2=4， n =3.
∴双曲线方程为x 2
－3
2
y =1.由
42x +3
2
y =1， x 2
－3
2y =1，
解得P 点的坐标为（5102，553）或（5102，－553）.当P 点坐标为（5102，5
5
3）时，tan
∠A 1P A 2=
1
2121PA PA PA PA k k k k +-=－45.同理当P 点坐标为（
5102，－3
5
3）时，tan ∠A 1P A 2=－45. 故tan ∠A 1P A 2=－45.
（3）由题设知，抛物线方程为y 2=8x .
设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），MN 的中点Q （x ，y ）， 当x 1≠x 2时，有
y 12=8x 1， ① y 22=8x 2， ②
x =
22
1x x +， ③ y =2
21y y +， ④
2121x x y y --=1
-x y
. ⑤
①－②，得
2121x x y y --（y 1+y 2）=8，将④⑤代入上式，有1
-x y
·2y =8，
即y 2=4（x －1）（x ≠1）.当x 1=x 2时，MN 的中点为（1，0），仍满足上式.
故所求点Q 的轨迹方程为y 2=4（x －1）.
由题设有
解得 ∴b 2=3.
则
解得。