平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 的离心率为根号3除2 ,左、右焦点分别是 .以 为圆心以3为半径的圆与以 为圆
高中数学上学期第15周 求解离心率的范围问题教学设计-人教版高中全册数学教案
求解离心率的范围问题离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳. 一、【知识储备】求离心率的方法离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：（1）直接求出a 、c ，求解e ：已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解； （2）变用公式，整体求出e：以椭圆为例，如利用e ===e == （3）构造a 、c 的齐次式，解出e ：根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造出a 、c 的齐次式，进而得到关于e 的方程，通过解方程得出离心率e 的值. 二、求解离心率的范围的方法1 借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值 等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率 的范围.【例1】 已知椭圆的中心在O ,右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分 线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.【答案】：⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22【牛刀小试】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所x作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是______________.【答案】 2借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.x【例2】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】[2【牛刀小试】过椭圆C ：)0(12222>>=+b a by ax 的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若31＜k ＜21, 则椭圆的离心率的取值范围是.【答案】(32,21)3 借助函数的值域求解范围根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例3】已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y Cm n+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为_________________.【答案】 【牛刀小试】已知两定点(2,0)A -和(2,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为______________. 4 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆()2222100x y a b a b+=>>，中，a x a -≤≤，P 是椭圆上任意一点，则1a c PF a c -≤≤+等。
高二数学椭圆试题答案及解析
高二数学椭圆试题答案及解析1.已知椭圆：的左焦点，离心率为，函数，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设，，过的直线交椭圆于两点，求的最小值，并求此时的的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最小值为,此时.【解析】（Ⅰ）利用左焦点F（-1，0），离心率为，及求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l的方程来：y=k（x-t）代入抛物线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求的最小值，并求此时的t的值．试题解析：（Ⅰ）,由得,椭圆方程为（Ⅱ）若直线斜率不存在,则=若直线斜率存在,设直线,由得所以故故的最小值为,此时.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．2.设分别是椭圆的左，右焦点.（1）若是椭圆在第一象限上一点，且，求点坐标；（5分）（2）设过定点的直线与椭圆交于不同两点，且为锐角（其中为原点），求直线的斜率的取值范围.（7分）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，求点坐标,即要构建关于的两个方程，第一个方程可根据点在曲线上，点的坐标必须适合曲线的方程得到，即有，第二个方程可由通过坐标化得到，即有，联立方程组，可解得点坐标；（2）求直线的斜率的取值范围，即要构建关于的不等式，可通过为锐角，转化为不等关系，进而转化为关于的不等式，解出的取值范围.注意不要忽略，这是解析几何中常犯的错误.试题解析：（1）依题意有，所以，设，则由得：，即，又，解得，因为是椭圆在第一象限上一点，所以. 5分（2）设直线与椭圆交于不同两点的坐标为、，将直线：代入，整理得：（），则，，因为为锐角，所以，从而整理得：，即，解得，且（）方程必须满足：，解得，因此有，所以直线的斜率的取值范围为. 12分【考点】1.直线与椭圆的位置关系；2.方程与不等式思想，3.设而不求的思想与等价转化思想.3.双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】由双曲线与椭圆的离心率的定义知，双曲线的离心率和椭圆的离心率分别为、，然后由题意得，即，将其两边平方化简即可得出结论.【考点】双曲线的几何性质；椭圆的几何性质.4.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】双曲线的焦点在轴上，又渐近线方程为，可设，则，由题意知在椭圆中，所以该椭圆的离心率等于。
2023-2024学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．椭圆y 22+x 2=1的焦点坐标为（ ） A ．（﹣1，0），（1，0）B ．（0，﹣1），（0，1）C ．（−√3，0），（√3，0）D ．(0，−√3)，(0，√3) 2．抛物线y 2＝x 的准线方程是（ ）A ．x =−12B ．x =−14C ．y =−12D ．y =−143．直线3x +√3y +1=0的倾斜角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°4．已知点P 与A （0，2），B （﹣1，0）共线，则点P 的坐标可以为（ ）A ．（1，﹣1）B ．（1，4）C ．(−12，−1)D ．（﹣2，1） 5．已知P 为椭圆C ：x 24+y 2b 2=1上的动点，A （﹣1，0），B （1，0），且|P A |+|PB |＝4，则b 2＝（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，则“CB ⊥BB 1”是“CB ⊥AB “的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点P （﹣2，3，1）到x 轴的距离为（ ）A ．2B ．3C ．√5D ．√10 8．已知双曲线C ：x 2−y 2b 2=1的左右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F ，以A 1F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点P ，Q ．若线段PF 的垂直平分线过A 2，则b 2的数值为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．910．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且∠A ＝60°，E ，F 分别为棱AB ，DC 中点．将△BCF 和△ADE 分别沿BF ，DE 折叠，若满足AC ∥平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（ ）A ．[√3，2√3）B ．[√3，2√3]C ．[2，2√3)D ．[2，2√3]二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
江苏省南通市2011届高三第三次调研测试(2011南通三模)(word版附答案).doc
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▲ ．答案：1或2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：(1)写出表中①②位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．解：(1) ①②位置的数据分别为12、0.3；………………………………………………4分(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；…………………………………8分(3) 设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种．…………………………………………………………………………10分记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种． (12)分所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为．……………14分16．(本题满分14分)ABCDEA1B1C1(第16题图)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中．(1)若BB1=BC，B1C⊥A1B，证明：平面AB1C平面A1BC1；(2)设D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B∥平面B1DE，求的值．解：(1)因为BB1=BC，所以侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1．…………………3分又因为B1C⊥A1B ，且A1B∩BC1=B，所以BC1⊥平面A1BC1，…………………5分又B1C平面AB1C ，所以平面AB1C⊥平面A1BC1 ．……………………………7分(2)设B1D交BC1于点F，连结EF，则平面A1BC1∩平面B1DE＝EF．因为A1B//平面B1DE， A1B平面A1BC1，所以A1B//EF．…………………11分所以＝．又因为＝，所以＝．………………………………………14分17．(本题满分14分)在△ABC中，a2+c2=2b2，其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边长．(1)求证：B≤；(2)若，且A为钝角，求A．解：(1)由余弦定理，得．……………………………………3分因，．………………………………………………………6分由0＜B＜π，得，命题得证． (7)分(2)由正弦定理，得．…………………………………………10分因，故=1，于是．……………………………………12分因为A为钝角，所以．所以(，不合，舍) ．解得．…………………14分18．(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使．(i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；(ii)求OA2+OB2．解：(1)依题意，得 c=1．于是，a=，b=1．……………………………………2分所以所求椭圆的方程为．………………………………………………4分(2) (i)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①，②．又设M(x，y)，因，故…………7分因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意，得．所以，为定值．………………………………………………10分(ii)，故．又，故．所以，OA2+OB2==3．…………………………………………16分19．(本题满分16分)已知数列{an}满足：a1=a2=a3=2，an+1=a1a2…an-1(n≥3)，记(n≥3)．(1)求证数列{bn}为等差数列，并求其通项公式；(2)设，数列{}的前n项和为Sn，求证：n<Sn<n+1．解：(1)方法一当n≥3时，因①，故②．……………………………………2分②-①，得 bn-1-bn-2===1，为常数，所以，数列{bn}为等差数列．…………………………………………………………5分因 b1==4，故 bn=n+3．……………………………………8分方法二当n≥3时，a1a2…an=1+an+1，a1a2…anan+1=1+an+2，将上两式相除并变形，得．……………………………………2分于是，当n∈N*时，．又a4=a1a2a3-1=7，故bn=n+3(n∈N*)．所以数列{bn}为等差数列，且bn=n+3．………………………………………………8分(2) 方法一因，…………………12分故．所以，………15分即 n＜Sn＜n+1．………………………………………………………………………16分方法二因，故>1，．……………………10分=<<，故<，于是．……………………………………16分20．(本题满分16分)设函数f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．(1)若=0，求函数f(x)的单调增区间；(2)求证：当0≤x≤1时，||≤．(注：max{a，b}表示a，b中的最大值)解：(1)由=0，得a=b．…………………………………………………………1分故f(x)= ax3－2ax2+ax+c．由=a(3x2－4x+1)=0，得x1=，x2=1．…………………………………………2分列表：由表可得，函数f(x)的单调增区间是(-∞，)及(1，+∞) ．…………………………4分(2)=3ax2-2(a+b)x+b=3．①当时，则在上是单调函数，所以≤≤，或≤≤，且+=a>0．所以||≤．………………………………………………………8分②当，即-a＜b＜2a，则≤≤．(i) 当-a＜b≤时，则0＜a+b≤．所以＝＝≥＞0．所以||≤．……………………………………………………12分(ii) 当＜b＜2a时，则＜0，即a2+b2－＜0．所以=＞＞0，即＞．所以||≤．综上所述：当0≤x≤1时，||≤．……………………………16分数学Ⅱ（附加题）(第21-A题图)ABPOEDC·21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．证明：因AE=AC，AB为直径，故∠OAC=∠OAE． (3)分所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．又∠EAC=∠PDE，所以，∠PDE=∠POC． (10)分B．选修4－2：矩阵与变换已知圆C：在矩阵对应的变换作用下变为椭圆，求a，b的值．解：设为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点，则，即…………………………………………………4分又因为点在椭圆上，所以．由已知条件可知，，所以 a2=9，b2=4．因为 a>0 ，b>0，所以 a=3，b=2．…………………………………………………10分(第21-C题图)xBAOC．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求经过三点O(0，0)，A(2，)，B(，)的圆的极坐标方程．解：设是所求圆上的任意一点， (3)分则，(第21-C题答图)xBAOP故所求的圆的极坐标方程为．…………………………………10分注：亦正确．D．选修4－5：不等式选讲已知x，y，z均为正数．求证：．证明：因为x，y，z都是为正数，所以．…………………3分同理可得．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．………10分22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数，其中a＞0．(1)若在x=1处取得极值，求a的值；(2)若的最小值为1，求a的取值范围．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：(1) ．因在处取得极值，故，解得a=1 (经检验)．……………………4分(2)，因，故ax+1＞0，1+x＞0．当a≥2时，在区间上，递增，的最小值为f(0)=1．当0<a<2时，由，解得；由，解得．∴f(x)的单调减区间为，单调增区间为．于是，f(x)在处取得最小值，不合．综上可知，若f(x)得最小值为1，则a的取值范围是 (10)分注：不检验不扣分．23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．ABDxyOEFCP(第23题图)过抛物线y2=4x上一点A(1，2)作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y 轴于点D，点C(异于点A)在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ1；点F在线段BC上，满足=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P．(1)设，求；(2)当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．解：(1)过点A的切线方程为y=x+1．…………………………………………………1分切线交x轴于点B(-1，0)，交y轴交于点D(0，1)，则D是AB的中点．所以．(1) ………………………3分由=(1+λ) ． (2)同理由=λ1，得=(1+λ1)， (3)=λ2，得=(1+λ2)． (4)将(2)、(3)、(4)式代入(1)得．因为E、P、F三点共线，所以 eq \f(1+λ1,2(1+λ)) + eq\f(1+λ2,2(1+λ)) =1，再由λ1+λ2=1，解之得λ= eq\f(1,2) ．……………………………………………………………6分(2)由(1)得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为△ABC的重心．所以，x= eq \f(1-1+x0,3) ，y= eq \f(2+0+y0,3) ．解得x0=3x，y0=3y-2，代入y02=4x0得，(3y-2)2=12x．由于x0≠1，故x≠3．所求轨迹方程为(3y-2)2=12x(x≠3)．………………………………………………10分南通市2011届高三第三次调研测试讲评建议5.摘自课本《必修2》P49练习2的原题，主要考查基本运算，应强调考生回归课本、注重运算、留心单位、认真审题．6.可以将问题变为“若椭圆的离心率为，则实数k= ”，这时需要增加分类讨论的意思．8.来自课本《必修1》P40练习4，对命题③的理解，考生容易产生失误．10.应强调对整体的把握，例如，．11.这是一道新定义的问题，但问题较为简单，三个目的：一是让学生能主动排除干扰，如题中的方阵(是可以没有的)，求和符号等；二是通过题目位置提高问题的难度；三是靠后的问题难度未必是大的，这需要引导考生提高主动得分意识．12.讲评时可以求“f(x0)＞f()”成立的一个充分条件．13.主要考查应用意识、阅读能力、思维触角．14.本题中的极大值点是局部最高点，其导数是不存在的．可以通过先3点求出c的值，当然最后需要进行严格的证明．另外本题还可以追问这些最值点能否落在顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线上．说明：苏教版没有极大值点的定义，按照人教版高中数学教材的陈述，极大值点是一个数（类同于函数的零点），因此本题有缺陷，讲评时要向学生说清楚。
(完整版)求椭圆离心率范围的常见题型及解析
求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e 的不等式.一、利用曲线的范围，建立不等关系例1已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂直于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围.例2已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a cPF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为()21,1-.二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2Ｃ．2(0,)2 Ｄ．2[,1)2xy OF 1F 2三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系例4已知ABC ∆的顶点B 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若ABC ∆的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围.四、利用函数的值域，建立不等关系例5椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=⋅OB OA （O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为[]6,5，求椭圆离心率的范围.五、利用均值不等式，建立不等关系.例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的范围；解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mncos 60°＝(m ＋n)2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2 xy OA BF MC(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥12.又0<e<1，∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.例7 已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围.解析1：令n PF m pF ==21,，则a n m 2=+ 由21PF PF ⊥2224c n m=+∴ ()22222224a nm n m c=+≥+=∴ 即21222≥=ac e又12210<≤∴<<e e 六、利用焦点三角形面积最大位置，建立不等关系解析2：不妨设短轴一端点为B 则2245tan 21b b S PFF =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯=∆22121b ⇒≤c 2b ⇒≤2c 22c a -⇒≤2c 222ac e =⇒≥21故22≤e ＜1 七、利用实数性质，建立不等关系解析3：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得1-=-⋅+cx y c x y ，即222x c y -=，代入12222=+by a x 得()22222c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥即222c a c-≥，22≥=∴a c e 又1<e 122<≤∴e 八、利用曲线之间位置关系，建立不等关系解析4：21PF PF ⊥ 为直径的圆上点在以21F F P ∴ 又P 在椭圆上，222c y x P =+∴为圆 与 12222=+by a x 的公共点.由图可知222a c b a c b <≤⇒<≤ ∴2222a c c a <≤-122<≤∴e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长.九、利用21PF F ∠最大位置，建立不等关系解析4：椭圆12222=+by a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <0902245sin sin 001=<∠=<∴OPF a c 又10<<e 所以若存在一点P 则 122<≤e .。
2015年江苏高考数学答案详细解析版
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】 试题分析：{123}{245}{12345}5AB ==，，，，，，，，，个元素考点：集合运算2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6考点：平均数3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 5 【解析】试题分析：22|||34|5||5||5z i z z =+=⇒=⇒=考点：复数的模4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.【答案】7 【解析】试题分析：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S =S ←1 I ←1While I <10 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S（第4题图）考点：循环结构流程图5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】5.6考点：古典概型概率6.已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为______. 【答案】3- 【解析】试题分析：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 考点：向量相等7.不等式224xx-<的解集为________.【答案】(1,2).- 【解析】试题分析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 考点：解指数不等式与一元二次不等式 8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3 【解析】试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
2012年江苏省高考数学试卷答案与解析
若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是
．
考点 ：等 比数列的性质；古典概型及其概率计算公式． 专题 ：等 差数列与等比数列；概率与统计． 分析：先 由题意写出成等比数列的 10 个数为，然后找出小于 8 的项的个数，代入古典概论
的计算公式即可求解 解答：解 ：由题意成等比数列的 10 个数为： 1，﹣ 3，（﹣ 3） 2，（﹣ 3பைடு நூலகம்3…（﹣ 3）9
并集即可 解答：解 ： ∵A={1 ， 2， 4} ， B={2 ，4， 6} ，
∴ A∪ B={1 ， 2， 4， 6} 故答案为 {1 ，2， 4， 6} 点评：本 题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义
2．（ 5 分）（ 2012 ?江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为
则 d=
≤2，即 3k2﹣ 4k≤0，
∴ 0≤k≤ ．
∴ k 的最大值是 ．
故答案为： ．
点评：本 题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为
“（ x﹣ 4） 2+y2=4 与直线 y=kx ﹣ 2 有公
共点 ”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．
13．（ 5 分）（ 2012?江苏）已知函数 f（ x）=x 2+ax+b （a， b∈R）的值域为 [0， +∞），若关于 x 的不等式 f（ x）＜ c 的解集为（ m， m+6），则实数 c 的值为 9 ．
a， b 的值，从而得到答案． 解答：
解： ∵ f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数， f（ x） =
，
∴ f（ ） =f （﹣ ） =1﹣ a，f （ ）= ；又
=
高中数学——猿题库——满分之路——解析几何--322
P21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点2,0（），且椭圆C 的离心率为12。
（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点01-（，）交椭圆于A ，B 两点，椭圆上存在一点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形，求直线l 的方程。
P42. 已知直线2:0(1)2m l x my m --=>，椭圆222:1x C y m+=，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点。
（1）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△12AF F ，△12BF F 的重心分别为G ，H ，若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围。
{P53. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为10F （，），M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且△OMF 是等腰直角三角形。
（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且使点F 为△PQM 的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。
P64. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，B 为短轴的端点，△12A BA 的面积为12。
（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1A P ，2A P 与直线4x =分别交于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆与直线PF 相切于点2F （2F 为椭圆C 的右焦点）。
￥P105. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点02（，），且离心率22e =。
（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线:1R l x my m =-∈（）交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由。
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：圆锥曲线(含解析)
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练圆锥曲线一、填空题1、（南京市2018高三9月学情调研）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 216－y 29＝1的焦点到其渐近线的距离为 ▲ ．2、（南京市2019高三9月学情调研）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则该双曲线的离心率是 ▲ ．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）双曲线125922=-y x 的渐近线方程是 ▲ ． 4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）已知椭圆2212x y +=与双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F 1、F 2，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，且F 1P ＝F 1F 2，则双曲线的离心率为 ．5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在平面直角坐标系xOy 中，已知y =是双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ． 6、（苏州市2018高三上期初调研）若双曲线()2210x y m m-=>的右焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则m 的值是7、（徐州市2019届高三上学期期中）已知双曲线2214x y a -=a 的值为▲ ．8、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为 ．9、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2211x y m m -=+的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为 ．10、（常州市2019届高三上学期期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，直线20x y ++=经过双曲线C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________. 11、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）已知经过双曲线221168x y -=的一个焦点，且垂直于实轴的直线l 与双曲线交于A 、B 两点，12、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ．13、（苏州市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(﹣3，1)，则该双曲线的离心率为 ． 14、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线22184x y -=的右焦点，则该抛物线的准线方程为 ．15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的右顶点(20)A ，到渐近线的 2，则b 的值为 ▲ ．16、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第三次模拟（5月））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b-=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为4ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知双曲线C 的方程为2214x y -=，则其离心率为 ．18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））抛物线24y x =的焦点坐标为 ． 19、（盐城市2019届高三第三次模拟）双曲线1222=-y x 的焦距为______.20、（江苏省2019年百校大联考）双曲线的两个焦点为1F ，2F ，以12F F 为边作正方形12F F MN ，且此双曲线恰好经过边1F N 和2F M 的中点，则此双曲线的离心率为 ．二、解答题1、（南京市2018高三9月学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点(1，32)．过椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线 l ：x ＝m (m ＞a )于点M ．已知点B (1，0)，直线PB 交l 于点N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．2、（南京市2019高三9月学情调研）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且直线l ：x ＝2被椭圆E 截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，且PQ 的中点R 在直线l 上．点M (1，0)．（1）求椭圆E 的方程； （2）求证：MR ⊥PQ ．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 上一点与两焦点构成的三角形的周长为4+23,3.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点（点P 在第一象限）.若四边形APBQ 面积为7，求直线l 的方程.4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1，F 2与椭圆C 的上顶点构成边长为2的等边三角形．（1）求椭圆C 的方程； （2）已知直线l 与椭圆C 相切于点P ，且分别与直线x ＝﹣4和直线x ＝﹣1相交于点M 、N ．试判断11NF MF 是否为定值，并说明理由．5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）如图，F 1、F 2分别为椭圆222210x y (a b )a b+=>>的焦点，椭圆的右准线l 与x 轴交于A 点，若()11,0F -，且122AF AF =. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F 1、F 2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P 、Q 、 M 、N 四点，求四边形PMQN 面积的取值范围．6、（苏州市2018高三上期初调研）如图，已知椭圆22:14x O y +=的右焦点为F ，点,B C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线:2l y =-上的一个动点（与y 轴的交点除外），直线PC 交椭圆于另一个点M .（1）当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求FBM ∆的面积； （2）①记直线,BM BP 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值；②求PB PM ⋅的取值范围.7、（宿迁市2019届高三上学期期末）如图所示，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为22，右准线方程为4x =，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点,A B ，2l 与椭圆交于不同两点,D C . （1）求椭圆M 的方程；（2）证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ； （3）求线段AC 长的取值范围.8、（扬州市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，左右顶点分別为A ，B ，线段AB 的长为4．P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C ． （1）若点C 的横坐标为﹣1，求P 点的坐标；（2）直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC AQ λ=，求λ的取值范围．9、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3100x y --=与圆O ：222(0)x y r r +=>相切．（1）直线l 过点(2，1)且截圆O 所得的弦长为6，求直线l 的方程；（2）已知直线y ＝3与圆O 交于A ，B 两点，P 是圆上异于A ，B 的任意一点，且直线AP ，BP 与y 轴相交于M ，N 点．判断点M 、N 的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．10、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，右准线方程为4x =，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若1232S S =，求k 的值； （3）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与右准线相交于点E ，记直线AM ，BN ，FE 的斜率分别为k 1，k 2，3k ，求k 2·(k 1－3k ) 的值．11、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且右焦点到右准线l 的距离为1．过x 轴上一点(,0)M m (m 为常数，且(0,2))m ∈的直线与椭圆C 交于,A B 两点，与l 交于点P ，D 是弦AB 的中点，直线OD 与l 交于点Q ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试判断以PQ 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．12、（南京市2019届高三第三次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，离心率为22．A ，B 分别是椭圆C 的上、下顶点，M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 在直线x －y ＋2＝0上，且BP →＝3BM →，求△PMA 的面积；（3）过点M 作斜率为1的直线分别交椭圆C 于另一点N ，交y 轴于点D ，且D 点在线段OA 上（不包括端点O ，A ），直线NA 与直线BM 交于点P ，求OD →·OP →的值．13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221y x a b+(0)a b 的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ．（1）已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为22，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF 外接圆的圆心在直线y x -上，求椭圆的离心率e 的值．14、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22221(0)y x a b a b+=>>，C 2与C 121，离心率相同． （1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设点P 为椭圆C 2上一点．① 射线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，求证：PA PB为定值；② 过点P 作两条斜率分别为12k k ，的直线12l l ，，且直线12l l ，与椭圆C 1均有且只有 一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221y x C a b+=：（0a b >>）的上顶点为()03A ，， 圆2224a O x y +=：经过点()01M ，． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ． 若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．16、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆上顶点，点A 是椭圆C 上异于顶点的任意一点，直线PA 交x 轴于点M ．点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：在y 轴的正半轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题 1、32、 53、x y 35±= 42+2解析：由题意得：F 1P ＝F 1F 2＝2，则PF 2＝222，所以2a ＝2﹣(222)＝4﹣22，则a ＝22，所以e ＝22c a =-＝2+22．5、26、37、28、3x =-9、52y x =± 10、3y x =± 11、4 12、4 13、10 14、23x =- 15、2 16、2 17、18、(1,0) 19、3 2051+二、解答题1、解：（1）因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2＝4b 2． ………………………2分 又因为椭圆C 过点(1，32)，所以1a 2＋34b 2＝1， ………………………3分解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ………………………5分（2）解法1设P (x 0，y 0)，－2＜x 0＜2， x 0≠1，则x 024＋y 02＝1．因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N (2－x 0，－y 0)， 所以2－x 0＝m ． ………………………7分由A (－2，0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝y 0(m ＋2) x 0＋2，即M (m ，y 0(m ＋2)x 0＋2)．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝y 0x 0－1·y 0(m ＋2)x 0＋2 m －1＝－1， ………………………10分即y 02（m ＋2）(x 0－1)( x 0＋2)( m －1)＝－1． 因为x 024＋y 02＝1．所以( x 0－2)(m ＋2)4(x 0－1) ( m －1)＝1． ………………………12分因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0，解得m ＝5±133． ………………………15分因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分解法2①当AP 的斜率不存在或为0时，不满足条件． ………………………6分 ②设AP 斜率为k ，则AP ：y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x ＋2)，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为x A ＝－2，所以x P ＝－8k 2＋24k 2＋1，所以y P ＝4k 4k 2＋1，所以P (－8k 2＋24k 2＋1，4k4k 2＋1)． ………………………8分因为PN 的中点为B ，所以m ＝2－－8k 2＋24k 2＋1＝16k 24k 2＋1．(*) ……………………10分因为AP 交直线l 于点M ，所以M (m ，k (m ＋2))， 因为直线PB 与x 轴不垂直，所以－8k 2＋24k 2＋1≠1，即k 2≠112，所以k PB ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－1＝－4k 12k 2－1，k MB ＝k (m ＋2)m －1． 因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以－4k 12k 2－1·k (m ＋2)m －1＝－1．（**） ………………………12分将(*)代入（**），化简得48k 4－32k 2＋1＝0，解得k 2＝4±1312，所以m ＝16k 24k 2＋1＝5±133． ………………………15分又因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分2、解：（1）因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2． …………………… 2分因为直线l ：x ＝2被椭圆E 截得的弦长为2， 所以点(2，1)在椭圆上，即 4a 2＋1b 2＝1． 解得a 2＝6，b 2＝3，所以椭圆E 的方程为 x 26＋y 23＝1． …………………… 6分 （2）解法一：因为直线PQ 与坐标轴不垂直，故设PQ 所在直线的方程为y ＝kx ＋m ．设 P (x 1，y 1)，Q (x 2， y 2) ．因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故R (2，2k ＋m )．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ＋m ，x 26＋y 23＝1，消去y ，并化简得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0， …………………… 9分 所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2． （*）由x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2＝4，得1＋2k 2＝－km ． ① ………………… 12分 因为M (1，0)，故k MR ＝2k ＋m 2－1＝2k ＋m ，所以k MR ·k PQ ＝(2k ＋m )k ＝2k 2＋km ＝2k 2－(1＋2k 2)＝－1，所以MR ⊥PQ ． …………………… 16分 解法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2， y 2)．因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故设R (2，t )． 因为点P ，Q 在椭圆E ：x 26＋y 23＝1上，所以⎩⎨⎧x 126＋y 123＝1，x 226＋y 223＝1，两式相减得 (x 1＋x 2) (x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2) (y 1－y 2)＝0．………………… 9分 因为线段PQ 的中点为R ，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2t ．代入上式并化简得 (x 1－x 2)＋t (y 1－y 2)＝0． …………………… 12分 又M (1，0)，所以 MR →·PQ →＝(2－1)×(x 2－x 1)＋(t －0)×(y 2－y 1)＝0，因此 MR ⊥PQ ． …………………… 16分 3、【解析】（1）由题设得，又e =，解得2,a c ==∴1b =.…2分 故椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………4分（2）设直线l 方程为：12y x m =+代入椭圆22:14x C y +=并整理得：222220x mx m ++-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12212222x x mx x m +=-⎧⎨=-⎩. …………………………………6分 ||(PQ =21|x x =-==， ……8分 B 到直线PQ 的距离为5121-=m d ，A 到直线PQ 的距离为5121+=m d ， ………………………………10分又因为P 在第一象限, 所以11<<-m ，所以5451251221=++-=+)m ()m (d d ， 所以74821221=-=⋅+=m PQ )d d (S APBQ ， ……………………………12分解得21±=m ，所以直线方程为2121±=x y ． …………………………………………14分4、解析：解：(1) 依题意，2c ＝a ＝2，所以c ＝1，b ＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) ① 因为直线l 分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交， 所以直线l 一定存在斜率．(6分) ② 设直线l ：y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由Δ＝(8km)2－4×(4k 2＋3)×4(m 2－3)＝0， 得4k 2＋3－m 2＝0 ①.(8分)把x ＝－4代入y ＝kx ＋m ，得M(－4，－4k ＋m)，把x ＝－1代入y ＝kx ＋m ，得N(－1，－k ＋m)，(10分) 所以NF 1＝|－k ＋m|，MF 1＝（－4＋1）2＋（－4k ＋m ）2＝9＋（－4k ＋m ）2 ②，(12分) 由①式，得3＝m 2－4k 2 ③，把③式代入②式，得MF 1＝4（k －m ）2＝2|－k ＋m|，∴ NF 1MF 1＝|k －m|2|k －m|＝12，即NF 1MF 1为定值12.(16分) 5、解：(I) 由F 1(-1，0)得1c =,∴A 点坐标为()2,0a ；……2分∵122AF AF = ∴2F 是1AF 的中点 ∴223,2a b == ∴ 椭圆方程为22132x y += ……4分 (II)当直线MN 与PQ 之一与x 轴垂直时，四边形PMQN 面积142S MN PQ ==；…………5分 当直线PQ ，MN 均与x 轴不垂直时，不妨设PQ ：()()10y k x k =+≠，联立22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩代入消去y 得()()2222236360k x k x k +++-=设()()1122,,,P x y Q x y 则22121222636,2323k k x x x x k k --+==++ ………8分∴)2122123k PQ x k +=-=+，同理2211123k MN k⎫+⎪⎝⎭=+∴四边形PMQN 面积22221242112613k k S MN PQ k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ………12分令221u k k=+，则()24242,4613613u u S u u +≥==-++，易知S 是以u 为变量的增函数 所以当1,2k u =±=时，min 9625S =，∴96425S ≤< 综上可知，96425S ≤≤，∴四边形PMQN 面积的取值范围为96,425⎡⎤⎢⎥⎣⎦………16分 6、（1）由题意()()0,1,0,1B C -，焦点)F，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM11y +=-，即1y =-，联立22141x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得17x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01x y =⎧⎨=-⎩(舍），即17M ⎫⎪⎪⎝⎭. 连BF，则直线11yBF +=，即0x +-=，而2BF a ==，72d ===.故11222MBF S BF d ∆=⋅⋅=⋅. （2）解:法一：①设(),2P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为()1210k mm---==--，则直线PM 的方程为11y x m=--， 联立221114y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得224810x x m m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得22284,44m m M m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+，()21230k m m --==--， 所以1231344k k m m ⋅=-⋅=-为定值. ②由①知，(),3PB m =-，2322222841212,2,4444m m m m m PM m m m m m ⎛⎫⎛⎫---+=--+= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 所以()324222212121536,3,444m m m m m PB PM m m m m ⎛⎫--+++⋅=-⋅= ⎪+++⎝⎭， 令244m t +=> 故()()224154367887t t t t PB PM t tt t-+-++-⋅===-+，因为87y t t=-+在()4,t ∈+∞上单调递增，所以8874794PB PM t t ⋅=-+>-+=，即PB PM ⋅的取值范围为()9,+∞.解法二：①设点()()000,0M x y x ≠，则直线PM 的方程为0011y y x x +=-，令2y =-，得00,21xP y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.所以()0012000031121,1y y k k x x x y +---===-+， 所以()()()()2200001222000031313113=441y y y y k k x x x y --+-⋅=⋅==--(定值）. ②由①知，00,31x PB y ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，0000,21xPM x y y ⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭，所以，()()()()20000000200023232111x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭ ()()()()()()200000200412723211y y y y y y y -+-+=++=++.令()010,2t y =+∈，则()()8187t t PB PM t tt-+⋅==-++，因为87y t t=-++在()0,2t ∈上单调递减,所以8872792PB PM t t ⋅=-++>-++=，即PB PM ⋅的取值范围为()9,+∞.7、解：（1）由24c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2a c ==，2224b a c ∴=-=，所以椭圆M 的方程22184x y +=.………………………………………………4分 （2）设直线14l y kx =+：，11221122(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y C x y --则，联立221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得221+2)16240k x kx ++=（， 1212221624,1+21+2k x x x x k k -∴+=⋅=， …………………………………6分 又212111,BQ DQ y y k k x x --==-， 212121211133BQ DQ y y kx kx k k x x x x --++∴-=-=+-212122483()122+=2+2202412k x x k k k k k x x k -++==-=+，………8分 =BQ DQ k k ∴，故点,,B D Q 三点共线，即直线BD 经过点(0,1)Q同理可得直线AC 经过点(0,1)Q ，所以直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q . …………………………10分（3）由（2）可知22222212121212()()()()AC x x y y x x k x x =++-=++-222121212()(+)4x x k x x x x ⎡⎤=++-⋅⎣⎦2222222222161624+41+21+21+2k k k k k k ⎡⎤⋅⋅=-⨯⎢⎥⎣⎦（）（）42424+10164+4+1k k k k ⋅=⨯24261161+4+4+1k k k ⎡⎤-=⨯⎢⎥⎣⎦…………………………12分 令22161,6t t k k ==+-则 又由222=16424(12)0k k ∆-⨯⨯+>得23,2k >所以8t > 221616+114+4+166tAC t t ∴=++⎛⎫⎪⎝⎭29161++8+16t t t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦9161+16++8t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ……………………………………14分21616++810t t t '⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在8+t ∈∞（，）上恒成立 16++8t t∴在8+t ∈∞（，）上单调递增 16++818t t ∴>， 910162++8t t ∴<<，9311+162++8t t∴<< 21624AC ∴<<4AC ∴<< …………………………………………………16分8、解：由题意得1224c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12c a =⎧⎨=⎩，∴2223b a c =-=∴椭圆M 的方程是22143x y +=且(2,0),(2,0)A B - …………3分（1）方法一：设00(,)P x y ，002PA y k x =+，∵1l PA ⊥ ∴直线AC 的方程为02(2)x y x y +=-+， 同理：直线BC 的方程为002(2)x y x y -=--． 联立方程00002(2)2(2)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，解得02004x x x y y =-⎧⎪-⎨=⎪⎩，又∵22000004444433y x y y y ---==-， ∴点C 的坐标为004(,)3x y --， …………6分∵点C 的横坐标为1- ∴01x =，又∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴032y =∴P 点的坐标为3(1,)2． …………8分（2）设(,)Q Q Q x y ∵AC AQ λ= ∴002(2)43Q Q x x y y λλ-+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：002243Q Q x x y y λλλ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵点Q 在椭圆M 上 ∴22001214(2)()1433x y λλλ-+-+-= 又22003(1)4x y =-整理得：200736(1)721000x x λλ--+-=，解得：02x =或036507x λ-= …………14分∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴3650027λ-<<，解得：2516189λ<< …………16分方法二：（1）设AP 的斜率为k ，00(,)P x y ， ∵P 为椭圆M 上第一象限内一点∴0k <<∵2000200032244AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+-- ∴BP 的斜率为34k-． 联立方程(2)3(2)4y k x y x k =+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得22268431243k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即2226812(,)4343k k P k k -++ ∵1l PA ⊥，∴1AC k k =-，则AC 的方程为1(2)y x k=-+∵2l PB ⊥，∴43BC k k =，则BC 的方程为4(2)3y k x =-． 由1(2)4(2)3y x k y k x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22286431643k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，即2228616(,)4343k k C k k --++ …………6分∵点C 的横坐标为1- ∴2286143k k -=-+，解得：12k =±∵0k <<∴12k = ∴P 点的坐标为3(1,)2． …………8分 （2）设(,)Q Q Q x y ，(,)C C C x y ，又直线AC 的方程为：1(2)y x k=-+联立方程221(2)143y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222(34)1616120k x x k +++-= ∴221612234Q k x k --⋅=+，解得：226834Q k x k -=+ ∵AC AQ λ= ∴222222222862216(34)743168212(43)129234C Q k x k k k k x k k k k λ-++++====+-+++++， …………14分∵0k <<∴2516(,)189λ∈ …………16分 9、解：∵直线3100x y --=与圆222:(0)O x y r r +=>相切 ∴圆心O 到直线3100x y --=的距离为r == …2分（1）记圆心到直线l 的距离为d，所以2d ==．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为2x =，满足题意； …3分 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即(12)0kx y k -+-=所以2d ==，解得34k =-，此时直线l 的方程为34100x y +-= …6分综上，直线l 的方程为2x =或34100x y +-=． …7分 （2）设00(,)P x y ．∵直线3y =与圆O 交于A 、B 两点，不妨取(1,3),(1,3)A B -， ∴直线PA 、PB 的方程分别为0033(1)1y y x x --=--，0033(1)1y y x x --=++ 令0x =，得00000033(0,),(0,)11x y x y M N x x -+-+，则220000002000339111M N x y x y x y y y x x x -+-⋅=⋅=-+-（*）…13分 因为点00(,)P x y 在圆C 上，所以220010x y +=，即220010y x =-，代入（*）式得M N y y ⋅=2200209(10)101x x x --=-为定值． …15分 10、【解】（1）设椭圆的焦距为2c (c ＞0)．依题意，12c a =，且24a c =，解得a ＝2，c ＝1．故b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． …… 4分（2）设点M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)．据题意，1232S S =，即12132122AF y BF y ⨯⨯=⨯⨯，整理可得1212y y =，所以2NF FM =． 代入坐标，可得()21211212x x y y -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，， 即2121322x x y y =-⎧⎨=-⎩．，又点M ， N 在椭圆C 上，所以()()22112211143322143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩，，解得1174x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以直线l的斜率8714k ==-． …… 9分（3）法一：依题意，直线l 的方程为()1y k x =-．联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()22224384120k x k x k +-+-=，所以2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．故21224243D x x k x k +==+，()23143D D k y k x k =-=-+， 所以直线OD 的方程为34y x k =-，令x ＝4，得3E y k =-，即34E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 所以33141k k k-==--． …… 12分所以()2121321211122y y k k k k k k x x k ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()()2211221211211111212222k x k x k x x x x x x k x x ----+-+⎡⎤=⋅+=⎢⎥-++-⎣⎦()2121212121212122224k x x x x x x x x x x x x -+++-+-⎡⎤⎣⎦=-+-()()()212121212212122123244k x x x x x x x x x x x x x x -+++-+-+⎡⎤⎣⎦=-+-+222222222222222412841281234343434341282444343k k k k k x k k k k k k x k k ⎡⎤---++--+⎢⎥++++⎣⎦=--⨯-+++22222222222276211833433432824476444343k k x x k k k k x x k k ⎛⎫++- ⎪-+⎝⎭+===+⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭． …… 16分法二：依题意，直线l 的方程为()1y k x =-，即11x y k =+，记1m k=， 则直线l 的方程为1x my =+，与椭圆C 联立方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()2243690m y my ++-=，所以122643m y y m +=-+，122943y y m =-+． 故1223243D y y m y m +==-+，24143D Dx my m =+=+， 所以直线OD 的方程为34my x =-，令x ＝4，得3E y m =-，即()43E m -，． 所以3341mk m -==--． …… 12分所以()()()()122121213212112212222y y my x y y k k k k k m k x x x x ++⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅+=⋅+= ⎪ ⎪-++-⎝⎭⎝⎭()()()()2122122121212121333133my y my y y my my my my m y y my my ++++==+--+-()()()22221222221212222291313439634344343m my m y y my m m m m y y m y y my my m m +-++++==-+-+-+-+++ ()()2222229133434121443m my m m my m +-++==+-++． …… 16分法三：依题意，点M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)在椭圆C 上，所以22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，两式相减，得22222121043x x y y --+=， 即2121212134y y y y x x x x +-⋅=-+-，所以34OD k k ⋅=-，即34OD k k=-，所以直线OD 的方程为34y x k =-，令x ＝4，得3E y k =-，即34E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 所以33141k k k-==--． …… 12分又直线AM 的方程为()12y k x =+，与椭圆C 联立方程组()1222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()2222111431616120k x k x k +++-=，所以211211612243k x k --⋅=+，得211216843k x k -=+，()11112112243ky k x k =+=+． 所以点M 的坐标为211221168124343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，．同理，点N 的坐标为222222286124343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． 又点M ，N ，F 三点共线，所以12221222122212121243436886114343k k k k k k k k k -++==----++，整理得()()12124330k k k k +-=， 依题意，10k >，20k >，故213k k =．由1211221121124346814143k k k k k k k +==---+可得，21111141144k k k k k -==-，即11114k k k +=． 所以()21311111133344k k k k k k k k ⎛⎫⋅-=⋅+=⋅= ⎪⎝⎭． …… 16分11、（1）由题意，得221c e a a c c⎧==⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩222,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=． ………………………………………4分（2）由题意，当直线AB 的斜率不存在或为零时显然不符合题意； 所以设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为()y k x m =-， 又准线方程为2x =，所以P 点的坐标为()2,(2)P k m -，………………………………………………6分由22()22y k x m x y =-⎧⎨+=⎩得，2222()2x k x m +-=，即22222(12)4220k x k mx k m +-+-=所以222214222121D k m k m x k k =⋅=++，22222121D k m km y k m k k ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭， …………8分 所以12OD k k=-，从而直线OD 的方程为12y x k =-，（也可用点差法求解） 所以Q 点的坐标为12,Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，…………………………………………………10分所以以,P Q 为直径的圆的方程为()()212(2)0x y k m y k ⎛⎫-+--+= ⎪⎝⎭，即22142(2)0x x m y k m y k ⎛⎫-+++---= ⎪⎝⎭， ………………………………14分因为该式对0k ∀≠恒成立，令0y =，得2x =±所以以PQ 为直径的圆经过定点(2±．………………………………16分 12、解：（1）因为椭圆过点(1，22)，离心率为22，所以1a 2＋12b 2＝1，b 2a 2＝1－e 2＝12，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1． ························································ 2分（2）由（1）知B (0，－1)，设M (x 0，y 0)，P (x ，y )．由BP →＝3BM →，得(x ，y ＋1)＝3(x 0，y 0＋1)， 则x ＝3x 0，y ＝3y 0＋2．又因为P 在直线x －y ＋2＝0上，所以y 0＝x 0．① ··································· 4分 因为M 在椭圆C 上，所以x 022＋y 02＝1，将①代入上式，得x 02＝23． ······························································· 6分所以|x 0|＝63，从而|x P |＝6， 所以S △PMA ＝S △P AB －S △MAB ＝12×2×6－12×2×63＝263． ···························· 8分（3）方法1由（1）知，A (0，1)，B (0，－1)．设D (0，m )，0＜m ＜1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为：y ＝x ＋m ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4m3，x 1·x 2＝2m 2－23． …………………………………………10分直线MB 的方程为：y ＝y 1＋1x 1x －1，直线NA 的方程为：y ＝y 2－1x 2x ＋1，联立解得y P ＝(y 1＋1)x 2＋(y 2－1)x 1(y 1＋1)x 2－(y 2－1)x 1．……………………………………………12分将y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入，得y P ＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋x 2－x 1x 1＋x 2＋m (x 2－x 1)＝2·2m 2－23－4m 23＋(x 2－x 1)－4m 3＋m (x 2－x 1)＝－43＋(x 2－x 1)－4m 3＋m (x 2－x 1)＝1m ． ······························································ 14分所以OD →·OP →＝(0，m )·(x P ，y P )＝my P ＝m ·1m＝1． ……………………………16分方法2A (0，1)，B (0，－1)．设M (x 0，y 0)，则x 022＋y 02＝1．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为：y ＝x －x 0＋y 0，则D (0，y 0－x 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 0＋y 0，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2－4(x 0－y 0)x ＋2(x 0－y 0)2－2＝0，所以x N ＋x 0＝4(x 0－y 0)3，…………………………………………………………10分所以x N ＝x 0－4y 03，y N ＝－2x 0＋y 03，所以直线NA 的方程为：y ＝y N －1x N x ＋1＝2x 0＋y 0＋34y 0－x 0x ＋1 直线MB 的方程为：y ＝y 0＋1x 0x －1联立解得y P ＝2y 02＋x 02＋x 0＋2y 02y 02－x 02－x 0y 0－2x 0＋2y 0．……………………………………12分又因为x 022＋y 02＝1，所以y P ＝2＋x 0＋2y 0(2＋x 0＋2y 0)(y 0－x 0)＝1y 0－x 0，………………………………………14分所以OD →·OP →＝(0，y 0－x 0)·(x P ，y P )＝(y 0－x 0)1y 0－x 0＝1．……………………16分13、【解】（1）因为椭圆22221x y a b +(0)a b 的离心率为12， 所以12c a =，则2a c ．因为线段AF， 所以222a c -． 所以2c ，则28a ，2226b a c -．所以椭圆的标准方程为22186x y +． …………………………………………………4分（2）因为(0)(0)A a F c -，，，，所以线段AF 的中垂线方程为：2a cx-． 又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y x -上， 所以()22a c a cC ---，．…………………………………………………………………6分 因为(0)(0)A a B b ，，，，所以线段AB 的中垂线方程为：()22b a ay x b --． 由C 在线段AB 的中垂线上，得()2222a cb a ac ab -----，整理得，2()b a c b ac -+=，…………………………………………………………10分 即()()0b c a b -+=．因为0a b +>，所以b c =．……………………………………………………………12分 所以椭圆的离心率c e a ===．…………………………………………14分14、【解】（1）设椭圆C2的焦距为2c ，由题意，a =，c a =，222a b c =+，解得b ，因此椭圆C 2的标准方程为22182y x+=． ……………………………3分（2）①1°当直线OP 斜率不存在时，1PA =-，1PB =，则3PA PB =-……………………………4分2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y=（第17题）代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22(41)4k x +=， 所以22441A x k =+，同理22841P x k =+．………6分所以222P A x x =，由题意，P A x x 与同号，所以P A x =，从而||||3||||P A P A P B P A x x x x PA PB x x x x --===--+所以3PA PB =- ……………………………………………………………8分 ②设00()P x y ，，所以直线1l 的方程为010()y y k x x -=-，即1100y k x k y x =+-， 记100t k y x =-，则1l 的方程为1y k x t =+，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22211(41)8440k x k tx t +++-=， 因为直线1l 与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以22211(8)4(41)(44)0k t k t =-+-=，即221410k t -+=，将100t k y x =-代入上式，整理得，222010010(4)210x k x y k y --+-=， ……………12分 同理可得，222020020(4)210x k x y k y --+-=，所以12k k ，为关于k 的方程2220000(4)210x k x y k y --+-=的两根，从而20122014y k k x -⋅=-．……………………………………………………………………14分又点在00()P x y ，椭圆C 2：22182y x +=上，所以2200124y x =-，所以2012201211444x k k x --⋅==--为定值． ………………………………………………16分 15、【解】（1）因为椭圆C的上顶点为(0A，所以b = 又圆22214O x y a +=：经过点()01M ，， 所以2a =． …… 2分所以椭圆C 的方程为22143y x +=． …… 4分 （2）若1l 的斜率为0，则PQ =，2MN =，所以△PQN 的面积为463，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0． …… 5分设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得22(34)880k x kx ++-=， 设()11P x y ，，()22Q x y ，， 则2124262134k k x k --⋅+=+，2224262134k k x k-+⋅+=+， 所以221212()()PQ x x y y =-+-22212246121134k k k x x k+⋅+=+-=+． …… 8分直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=，所以22222111k MN k k =-=++． …… 11分 所以△PQN 的面积12S PQ MN =⋅2222461211232341k k k k+⋅+=⨯⋅=++， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． …… 14分。
专题2.2 以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题-2019年高考数学备考系列(江苏专版)(解析版)
专题二 压轴解答题第二关 以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题【名师综述】解析几何中的范围、最值和离心率问题仍是高考考试的重点与难点，试题难度较大．注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值．类型一 离心率问题典例1．【2019江苏南京模拟】设双曲线与直线相交于两个不同的点求双曲线的离心率的取值范围． 【答案】【解析】由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，知方程组有两个不同的实数解． 消去y 并整理得：，所以，解得且．所以双曲线的离心率．因为且，所以且，故离心率e 的取值范围为．【名师指点】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)．【举一反三】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A B 、两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为________．【答案】55类型二最值、范围问题典例2．【2019江苏扬州第一学期期末检测】在平面直角坐标系中，椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，左右顶点分別为A，B，线段AB的长为4．P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C．（1）若点C的横坐标为﹣1，求P点的坐标；（2）直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得，解得a＝2，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆M的方程是1，且A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0），则k P A，∵l1⊥P A，∴直线AC的方程为y（x+2），同理：直线BC的方程为y（x﹣2）．联立方程，解得，又∵y0，∴点C的坐标为（﹣x0，y0），∵点C的横坐标为﹣1，∴x0＝1，又∵P为椭圆M上第一象限内一点∴y0∴P点的坐标为．（2）设Q（x Q，y Q）∵λ，∴，解得：，∵点Q在椭圆M上，∴，又，整理得：，解得：x0＝2或，∵P为椭圆M上第一象限内一点，∴，解得：，故λ的取值范围为（，）．【名师指点】求最值、范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．例3．【2019江苏清江中学第二次调研】在平面直角坐标系中，已知点F为抛物线的焦点，点A在抛物线E上，点B在x轴上，且是边长为2的等边三角形．（1）求抛物线E的方程；（2）设C是抛物线E上的动点，直线为抛物线E在点C处的切线，求点B到直线距离的最小值，并求此时点C的坐标．【答案】（1）（2）最小值为2，【解析】（1）因为是边长为2的等边三角形，所以，将代入得，，解得或（舍去）．所以抛物线的方程．(2)设点，直线的方程为，由，得，因为直线为抛物线在点处的切线，所以，解得，所以直线的方程为，所以点到直线的距离为，当且仅当，即时取得最小值2，此时．学-科网【举一反三】1．【2019江苏南通三县第一学期期末联考】如图，A是椭圆的左顶点，点P，Q在椭圆上且均在x轴上方．（1）若直线AP与OP垂直，求点P的坐标；（2）若直线AP，AQ的斜率之积为，求直线PQ的斜率的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】（1）设，则，因为直线AP与OP垂直，所以，即，得①又点P 在椭圆上，所以②由①②得或-2（舍去），代入②得，因为点P 在x 轴上方，所以．（2）由于直线AP ，AQ 的斜率之积为，点P ，Q 在椭圆上且均在x 轴上方． 所以可设直线AP ，AQ 的斜率分别为，则，所以直线AP 的方程为，联立得，设，则，即，同理可得，．所以直线PQ 的斜率为，因为，所以，注意到，点P ，Q 不重合，所以等号不成立，所以，所以直线PQ 的斜率的取值范围为．2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率33e =，左、右焦点分别为12,F F ，且2F 与抛物线24y x=的焦点重合．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥，求AC BD +的最小值．学科-网【答案】（1）椭圆的标准方程为22132x y +=；（2）AC BD +的最小值为1635．【解析】（1）抛物线24y x =的焦点为()1,0，所以1c =，又因为13c e a a ===，所以3a =所以22b =，所以椭圆的标准方程为22132x y +=．()()22121212114BD k x x k x x x x ⎡⎤=+⋅-=+⋅+-⎣⎦()2243132k k +=+．易知AC 的斜率为1k -， 所以()2222143143112332k k AC k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⨯+． ()222114313223AC BD k k k ⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭ ()()()()()()22222222220312031322332232k k k k k k ++=≥++⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()2222203116352514k k +==+． 当21k =，即1k =±时，上式取等号，故AC BD +的最小值为1635． （ii ）当直线BD 的斜率不存在或等于零时，易得103163AC BD +=> 综上：AC BD +的最小值为1635． 类型三 面积问题典例3．【2019江苏锡期末考】在平面直角坐标系x Oy 中，已知椭圆C：的离心率为，且过点(，)，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交y 轴于点C，PB 交x 轴于点D．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 求△PCD 面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知得，⇒，点（，）代入1可得．代入点（，）解得b2＝1，a=2，∴椭圆C的标准方程：．（2）可得A（﹣2，0），B（0，1）．设P（m，n），m＞0，n<0，且．P A：，PB：，可得C（0，），D（）．．由，可设．则．令，则，，则．又，当时，取得最大值，最大值为1．【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键．本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆和直线相交所形成的三角形的面积计算及面积最大值的求法，考查利用三角换元求最大值，综合性较强，属于较难的题目．求解椭圆中三角形的面积问题，一方面要利用几何关系表示面积，另一方面求出面积的表达后，要选择合适的方法来求最值．【2019江苏如东中学模拟二】已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，典例4．且椭圆的短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为﹣1，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB＋CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．【答案】（1）（2）①②【解析】（Ⅰ）由题意得2b=2，∴b=1，∵，a2=b2+c2，∴a=，c=1，∴椭圆的方程为．（2）由题意知k0，右焦点设：设A（）B()，，因为l1，l2的斜率乘积为﹣1，所以，所以= +=3，过定点可通过特殊情形猜想，若有定点，则在x 轴上．在k≠0，k≠±1的情况下，设直线l的方程为：x=ky+1，直线l的方程为：，由（2）得，y= ，故，即M（，），则N()…．（12分）可得直线MN的方程：，即，则，即y=，故直线MN 过定点（或令y=0，即得x=），易验证当k=0，k=±1时，结论仍成立．综上，直线MN 过定点，所以S = = ，所以面积最大．【举一反三】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点，点()2,3A --在椭圆M 上，且离心率为12e =． (1)求椭圆M 的方程；(2)若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆M 的另一个交点为,B C 为椭圆M 上的一点，当ABC 面积最大时，求点C 的坐标．【答案】(1)2211612x y += (2) 16191619⎝⎭【解析】(1)由椭圆M 经过点()2,3A --，离心率12e =，可得22491a { 12b c a +==，解得2216,12a b ==，所以椭圆的标准方程为2211612x y +=∴直线l 的方程为210x y -+=，设过C 点且平行于l 的直线为20x y m -+=由221{ 161220x y x y m +=-+=，整理得()2219164120x mx m ++-= 由()()22164194120m m =-⨯⨯-=，解得276m =，因为m 为直线20x y m -+=在y 轴上的截距，依题意，0m <，故219m =- 解得161919x =，161919y =-，所以C 点的坐标为16191619,1919⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 【精选名校模拟】1．【2019江苏如皋第一学期调研三】在平面直角坐标系中，已知定点，点在轴上运动，点在轴上运动，点为坐标平面内的动点，且满足，．（1）求动点的轨迹的方程； （2）过曲线第一象限上一点（其中）作切线交直线于点，连结并延长交直线于点，求当面积取最大值时切点的横坐标．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）设，，．因为，，所以，，，所以．（2）切线：，将代入得，直线：，将代入得，，因为在抛物线上且在第一象限，所以，所以，设，，，，．2．【2019江苏七市联考】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为．（1）已知椭圆的离心率为，线段中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△外接圆的圆心在直线上，求椭圆的离心率的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，则．因为线段中点的横坐标为，所以．所以，则，，所以椭圆的标准方程为．（2）因为，所以线段的中垂线方程为：．又因为△外接圆的圆心C在直线上，所以．因为，所以线段的中垂线方程为：．由C在线段的中垂线上，得，整理得，，即．因为，所以，所以椭圆的离心率．3．【2019江苏南京期末调研】如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点．动直线过点，且与椭圆相交于，两点（直线与轴不重合）．（1）若点的坐标为，求点坐标；（2）点，设直线，的斜率分别为，，求证：；（3）求面积最大时的直线的方程．【答案】(1) (2)见证明；(3)【解析】（1）因为直线经过点，，所以直线的方程为．由解得或所以．（3）方法一：的面积．由（2）知，，故，设函数．因为，所以在上单调递增，所以当，即时，取最小值10．即当时，的面积取最大值，此时直线的方程为．方法二：的面积．由（2）知，，，故，因为，所以，所以，即时，的面积取最大值．因此，的面积取最大值时，直线的方程为．学-科网4．【2019江苏清江中学模拟】如图，设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，（1）求椭圆的方程．（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】(1)因为直线过点，且斜率．所以直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，又因为，圆的半径为，所以，即，解之得，或（舍去）．所以，所以所示椭圆的方程为．(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为，离心率，则点到右准线的距离为，所以，即，把代入椭圆方程得，，因为直线的斜率，所以，因为直线经过和，所以直线的方程为，联立方程组得，解得或，所以，所以的面积．5．【2019江苏泰州上学期期末考】如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点Q的横坐标为，求的取值范围．【答案】（1）（2）（4，8）【解析】（1）依题意，有：，即，又＝6，所以，＝6，解得：＝2，c＝1，b＝＝，所以，椭圆C的方程为：，6．【2019江苏连云港第一学期期末考】已知椭圆的离心率，且经过点，，，，为椭圆的四个顶点（如图），直线过右顶点且垂直于轴．（1）求该椭圆的标准方程；（2）为上一点（轴上方），直线，分别交椭圆于，两点，若，求点的坐标．【答案】（1）（2）【解析】（1）因的离心率，且经过点，所以解得，．所以椭圆标准方程为．（2）由（1）知椭圆方程为，所以直线方程为，，．设，，则直线的方程为，联立方程组消得，所以点的横坐标为；又直线的方程为联立方程组消得，所以点的横坐标为．由得，则有，则，化简得，解得，因为，所以，所以点的坐标为．7．【2019江苏七校联盟期中联考】已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值；（3）求线段MN的长度的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为故椭圆的方程为（2）设（3）（常规方法，函数思想）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而即又由得故又当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值．8．【2019江苏如皋第一学期调研一】已知椭圆T的焦点分别为F1(﹣1，0)、F2(1，0)，且经过点P(，)．（1）求椭圆T的标准方程；（2）设椭圆T的左右顶点分别为A、B，过左焦点的直线与椭圆交于点C、D，△ABD和△ABC的面积分别为S1、S2，求的最大值；（3）设点M在椭圆T外，直线ME、MF与椭圆T分别相切于点E、F，若ME⊥MF，求证：点M在定圆上．【答案】（1）（2）点M在定圆上【解析】（1）设所求的方程为，其中，且，解得，，椭圆T的标准方程为．（2）点A、B的坐标分别为、，设点C、D的坐标为、，因为要构成三角形，又直线CD过焦点，则C、D分别在x轴两侧，所以，不妨设，，则，直线CD过焦点，且斜率不为0，设直线CD方程为，与椭圆方程联立消元得，、是该方程的两个异号实根，，当时，当时，，当且仅当，即时取等号，综上，的最大值为．（3）当直线ME、MF斜率分别不存在和为0时，ME、MF分别垂直于坐标轴，点M坐标为或或或，则（定值），其中O是坐标原点，点M在定圆上．当直线ME、MF斜率存在且不为0时，设点M坐标为，设直线ME、MF的方程分别为、，可以统一为的形式，并与椭圆方程联立消元得：，直线ME、MF与椭圆相切，则直线ME、MF与椭圆相切，则展开化简得：（且），、可以看作是这个方程的两根，由得，即，并且此时方程中的判别式恒成立，点M也在定圆上．综上，点M在定圆上．9．【2019江苏苏北四市第一学期期末考】如图，在平面直角坐标系中，已知直线：，抛物线：（）．（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．①求证：线段PQ的中点坐标为；②求的取值范围．【答案】（1）（2）①见证明；②【解析】（1）抛物线：（）的焦点为，由点在直线：上得，即，所以抛物线的方程为（2）设、，线段的中点．因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，于是的方程可设为．①由得（﹡），因为和是抛物线上相异两点，所以，从而，化简得，方程（﹡）的两根为，从而．因为在直线上，所以，因此，线段的中点坐标为②因为在直线上，所以，即．由①知，于是，所以，即的取值范围为．10．【2019江苏明德实验学校12月调研】把半椭圆（x≥0）与圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲线称作“曲圆”，其中F（c，0）为半椭圆的右焦点．如图，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面积为．（1）求a，c的值；学-科网（2）过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P，Q两点，试将△A1PQ的周长L表示为θ的函数；（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时，试探究△A1PQ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．-【答案】（1）a=2，c=1；（2）见解析；（3）．【解析】（1）根据椭圆的性质有，根据扇形面积公式得，由于，故．（2）由（1）知，故半椭圆方程为，圆弧的方程为．且恰好是椭圆的左焦点．显然直线的斜率不能为，故设的方程为．①当时，分别在圆弧和半椭圆上，为腰为的当腰三角形，，故的周长②当时，分别圆弧和半椭圆上，同理①可求得的周长．③当时，都在半椭圆上，此时的周长．（3）由（2）知，当都在半椭圆上时，的周长取得最大值．将直线的方程代入椭圆方程并化简得，所以，由弦长公式得，点到直线的距离，故三角形的面积，令，，，而在上递增，故，所以．11．【2019江苏前黄高级中学、溧阳中学检测二】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右顶点为，右焦点为，一条准线方程是，点为椭圆上异于的两点，点为的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交直线于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；（3）若，求直线斜率的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【解析】（1）设椭圆焦距为，∵右焦点为，∴，∵一条准线方程是，∴，∴．∴椭圆的标准方程为；（3）设直线，代入，消去整理得，由，得，，∵，∴直线，同理可得，∵点为的中点，∴，又，∴，设，则，∴，当时，，当时，，∵或，∴或．综上可知直线斜率的取值范围是．。
高三数学椭圆试题答案及解析
高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。
（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.（1）当时，求直线AB的方程;（2）设点，求证:当实数变化时，恒为定值.【答案】（1）；（2）见解析。
【解析】（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标.试题解析：（1）由已知条件知，直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.设，由根与系数的关系得，.又由得，所以，.于是，解之得.故直线AB的方程为.（7分）（2）为定值.（经检验，当与轴重合时也成立）（13分）【考点】【考点】直线与椭圆的位置关系，平面向量3.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1【答案】D【解析】M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1．4.已知椭圆C：（）的左焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.再结合韦达定理即可得的值.试题解析：（1）由已知得：，，所以又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）椭圆方程化为.设T点的坐标为，则直线TF的斜率.当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.将代入椭圆方程得：.其判别式.设，则.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.所以，解得.此时四边形OPTQ的面积.【考点】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．【考点】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．6.已知抛物线的准线与椭圆相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线为又抛物线的准线与椭圆相切，所以，且切点为下顶点因为该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2，所以，即得由得所以故选【考点】抛物线和椭圆的简单几何性质；椭圆的离心率.7.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.选．【考点】椭圆、双曲线的几何性质.8.已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2+2．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．【答案】(1) ； (2)【解析】(1)由题设知椭圆的标准方程为(2)因为当直线的斜率不存在时，，不适合题意，所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，它与椭圆的两交点坐标，则由得通过方程组，借助韦达定理，得到，结合得到与的关系式，并且可由得到的取值范围；另一方面，因为由前述的取值范围可使问题得到解决.试题解析：解：(1)由题意知：，且， 2分解得， 3分椭圆的方程为 . 4分(2)由题意得直线的斜率存在，右焦点，可设直线的方程为：由得由题意设，则 6分由得 7分9分令，在上单调递增，可得故，解得 2分= 13分即的取值范围是 14分【考点】1、椭圆的标准方程；2、平面向量的数乘运算与数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 9.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则的离心率是（）．A．B．C．D．【答案】【解析】由题意知，的离心率是，故选【考点】椭圆、双曲线的几何性质.10.已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且．(1)求椭圆的标准方程；（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】（1）根据椭圆的右焦点，右顶点，且，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）直线：，代入椭圆方程，结合，求出的坐标(参数表示)，求出向量的坐标，利用，进行整理，如果为定值，那么不随的变化而变化，建立关于的方程，即可得出结论．此题属于中等题型，关键表示出P点坐标，转化为过定点恒成立的形式.试题解析：（1）由，，椭圆C的标准方程为. 4分得：， 6分.,,即P. 9分M.又Q，，，+=恒成立，故，即.存在点M（1,0）适合题意. 12分【考点】直线与圆锥的综合问题11.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．【答案】（1）；（2）满足条件的点Q存在，且有两个.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，考查学生的转化思想和数形结合思想，考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先由长轴长得到a的值，设出椭圆的标准方程，利用已知条件数形结合得到C点坐标，将C点坐标代入到椭圆中，得到b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先设出Q点坐标，利用已知等式计算，可知点Q在直线上，点在直线上，而在椭圆内部，数形结合得存在点Q而且存在2个；法二：用和椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，看方程的判别式，判别式大于0时，方程有2个根，则直线与椭圆有2个交点；第三问，设出点P的坐标，由切线的性质得四点共圆，此圆的圆心为，直径为OP，得到此圆的方程，M、N既在此圆上，又在圆O上，2个方程联立，解出直线MN的方程，得出截距的值，再转化出P点坐标代入到椭圆中即可；法二：设出点P、M、N的坐标，利用直线的垂直关系，利用斜率列出等式，转化成直线PM和直线PN的方程，从而得到直线MN的方程.试题解析：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为 2分由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)， 4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E的方程为 5分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上， 7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个． 9分解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，① -7分又∵点Q在椭圆E上，∴，②由①式得代入②式并整理得：， -③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个． 9分（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上， 10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为， 11分即 -④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程 -⑤⑤-④得直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值. 14分解法二：设点则 10分直线PM的方程为化简得④同理可得直线PN的方程为 -⑤ 11分把P点的坐标代入④、⑤得∴直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值． -14分【考点】1.椭圆的标准方程；2.四点共圆；3.圆的标准方程.12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，（1）求椭圆C的方程；（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的中心在原点可以设出椭圆的标准方程，已知焦点坐标，故可求的c值，所以利用长轴长与短轴长之比和a,b,c的关系可以建立关于a,b的两个方程式联立消元即可求的a,b的值，得到椭圆的标准方差.（2）根据题意设点P的坐标，表示,利用点P在椭圆上，得到关于m和P点横坐标的表达式，利用二次函数最值问题，可以得到取得最小值时，m和P点横坐标之间的关系，再利用P横坐标的范围得到m的取值范围即可.试题解析：（1）设椭圆的方程为. 1分由题意有：， 3分解得. 5分故椭圆的方程为. 6分（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故. 7分因为，所以10分因为当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，即当时，取得最小值．而，故有，解得． 12分又点在椭圆的长轴上，即． 13分故实数的取值范围是． 14分【考点】椭圆标准方程椭圆几何性质最值13.已知是椭圆上两点，点的坐标为.（1）当关于点对称时，求证：；（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以，代入椭圆方程得，两式相减得，所以（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为，由“点差法”得又假设为等边三角形时，有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.试题解析：（1）证明：因为在椭圆上，所以 1分因为关于点对称，所以， 2分将代入②得③，由①和③消解得， 4分所以. 5分（2）当直线斜率不存在时，，可得，不是等边三角形. 6分当直线斜率存在时，显然斜率不为0.设直线：，中点为，联立消去得， 7分由，得到① 8分又,所以，所以 10分假设为等边三角形，则有，又因为，所以，即， 11分化简，解得或 12分这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分【考点】弦中点问题，点代法求点的坐标14.已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得所以【考点】圆的切线长，椭圆定义15.如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=．(1)求椭圆的方程；(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由图形分析，利用CD和PQ的边长得出点E和点G的坐标，由于这2点都在椭圆上，联立方程得出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过对题意的分析，只需证明直线MA，MB的斜率之和为0即可，设出A，B点坐标，列出2条直线的斜率的表达式，直线与椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，列出两根之和与两根之积，而通过转化可以将得到的两根之和与两根之积代入，只要最后化简结果为0即可.试题解析：(1)∵，∴点，又∵，∴点，则，解得，∴椭圆方程.（4分）(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）而，（12分）∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）【考点】1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.(1) 求直线BD的方程；(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x＋y－1＝0.（2）4（3）x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2【解析】1) 设P(x0，y)．因为＝，且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x，y 0)，所以x＝1，将其代入椭圆，得y＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2 ＝4.(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝217.P为圆A：上的动点，点.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）当点P在第一象限，且时，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、圆的方程、直线的方程、直线与曲线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 第一问，根据圆的方程得到圆心A的坐标和半径的长，利用垂直平分线得到，而，所以，根据椭圆的定义，判断点M的轨迹为椭圆，得到椭圆的标准方程；根据已知条件先得出P点坐标，从而得到直线AP的方程，利用直线与椭圆相交解出M点坐标，过程中应注意方程根的取舍.试题解析：（1）圆的圆心为，半径等于．由已知，于是，故曲线Γ是以为焦点，以为长轴长的椭圆，，曲线Γ的方程为． 5分（2）由，，得． 8分于是直线方程为．由解得，，．由于点在线段上，所以点坐标为． 12分【考点】1.椭圆的定义及标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.18.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且=3,则C的方程为()(A) +y2=1 (B) +=1(C) +=1 (D) +=1【答案】C【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由条件可得A（1,）,B（1,-）,因|AB|= -（-）==3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C.19.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为.【答案】4【解析】【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使△PAB的面积为,即··h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2,即平移直线l到y=-2x±2时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符合要求.20.已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x 轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA ＋kPB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.21.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．【解析】（1）求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，首先确定抛物线的焦点与准线方程为，利用椭圆焦点与抛物线的焦点重合，得，且截抛物线的准线所得弦长为，得交点为，建立方程，求出的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据倾斜角为的直线过点，可得直线的方程，由（1）知椭圆的另一个焦点为，利用与关于直线对称，利用对称，可求得的坐标，由此可得结论．试题解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，∴① 2分又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，∴得上交点为，∴② 4分由①代入②得，解得或（舍去），从而∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 6分（2）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，即， 7分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得， 9分解得，即， 2分又满足，故点在抛物线上。
2019-2020年高三上学期期末数学试卷含解析(I)
2019-2020年高三上学期期末数学试卷含解析(I)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，则A∪B=．2．已知复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则z的模为．3．某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为．4．根据如图所示的伪代码，则输出S的值为．5．从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为．6．若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数a的值为．7．已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为．8．若函数的最小正周期为，则的值为．9．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2a2+3，S3=2a3+3，则公比q的值为．10．已知函数f（x）是定义R在上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x）≤﹣5的解集为．11．若实数x，y满足，则的最小值为．12．已知非零向量满足，则与夹角的余弦值为．13．已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为．14．已知函数，若函数f（x）的图象与直线y=x 有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．（1）求角A的值；（2）若，求sin（B﹣C）的值．16．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD 为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．17．（14分）如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN=，∠BCN=，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km 、4万元∕km ． （1）求A ，B 两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且右焦点F 到左准线的距离为6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N ．（i ）当直线PA 的斜率为时，求△MFN 的外接圆的方程； （ii ）设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△PAQ 的面积的最大值．19．（16分）已知函数ax ex x f -=2)(2,ax x x g -=ln )(,R a ∈（1）解关于x （x ∈R ）的不等式f （x ）≤0； （2）证明：f （x ）≥g （x ）；（3）是否存在常数a ，b ，使得f （x ）≥ax +b ≥g （x ）对任意的x ＞0恒成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=a ，（a n +1）（a n +1+1）=6（S n +n ），n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若对于∀n ∈N *，都有S n ≤n （3n +1）成立，求实数a 取值范围；（3）当a=2时，将数列{a n }中的部分项按原来的顺序构成数列{b n }，且b 1=a 2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{b n }．附加题[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点，求证：AB•BC=2AD•BD．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=，求实数a，b的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：ρsin（θ﹣）=m（m∈R），圆C的参数方程为（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为时，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a，b，c为正实数， +++27abc的最小值为m，解关于x的不等式|x+l|﹣2x＜m．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B 题．（1）求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；（2）设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E（X）．26．已知等式（1+x）2n﹣1=（1+x）n﹣1（1+x）n．（1）求（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数，并化简：++…+；（2）证明：（）2+2（）2+…+n（）2=n．2016-2017学年江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）联考高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，则A∪B={﹣2，0，3} ．【考点】并集及其运算．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，∴A∪B={﹣2，0，3}．故答案为：{﹣2，0，3}．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2．已知复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则z的模为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1﹣i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得=，则z的模为：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为14．【考点】茎叶图．【分析】求出剩下的4个分数平均数，代入方差公式，求出方差即可．【解答】解：剩下的4个分数是：42，44，46，52，平均数是：46，故方差是：（16+4+0+36）=14，故答案为：14．【点评】本题考查了读茎叶图问题，考查求平均数以及方差问题，是一道基础题．4．根据如图所示的伪代码，则输出S的值为20．【考点】程序框图．【分析】根据条件进行模拟计算即可．【解答】解：第一次I=1，满足条件I≤5，I=1+1=2，S=0+2=2，第二次I=2，满足条件I≤5，I=2+1=3，S=2+3=5，第三次I=3，满足条件I≤5，I=3+1=4，S=5+4=9，第四次I=4，满足条件I≤5，I=4+1=5，S=9+5=14，第五次I=5，满足条件I≤5，I=5+1=6，S=14+6=20，第六次I=6不满足条件I≤5，查询终止，输出S=20，故答案为：20【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=，再用列举法求出所取2个数的和能被3整除包含的基本事件个数，由此能求出所取2个数的和能被3整除的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件总数n=，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有：（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共有5个，∴所取2个数的和能被3整除的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．6．若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数a 的值为1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的右焦点，由题意可得方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线的右焦点为（，0），由题意可得为=2，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，同时考查抛物线的焦点，考查运算能力，属于基础题．7．已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面直径与高都是2，∴母线长为：=，∴圆锥的侧面积为：πrl=．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．8．若函数的最小正周期为，则的值为﹣．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的周期性求得ω，再利用诱导公式求得的值．【解答】解：∵函数的最小正周期为=，∴ω=10，则=sin（10π•﹣）=sin=sin=﹣sin=﹣，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，利用诱导公式求三角函数的值，属于基础题．9．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2a2+3，S3=2a3+3，则公比q的值为2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵S2=2a2+3，S3=2a3+3，∴a1=a1q+3，a1（1+q）=+3，∴q2﹣2q=0，q≠0．则公比q=2．故答案为：2．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）是定义R在上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x）≤﹣5的解集为（﹣∞，﹣3] ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，讨论x＞0，x＜0，x=0，解不等式即可．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=2x﹣3，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=2﹣x﹣3，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=2﹣x﹣3=﹣f（x），则f（x）=﹣2﹣x+3，x＜0，当x＞0时，不等式f（x）≤﹣5等价为2x﹣3≤﹣5即2x≤﹣2，无解，不成立；当x＜0时，不等式f（x）≤﹣5等价为﹣2﹣x+3≤﹣5即2﹣x≥8，得﹣x≥3，即x≤﹣3；当x=0时，f（0）=0，不等式f（x）≤﹣5不成立，综上，不等式的解为x≤﹣3．故不等式的解集为（﹣∞，﹣3]．故答案为：（﹣∞，﹣3]．【点评】本题主要考查不等式的解集的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．11．若实数x，y满足，则的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】实数x，y满足，可得x=∈，解得y＞3．则=y+3+=y﹣3++6，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足，∴x=∈，解得y＞3．则=y+3+=y﹣3++6≥+6=8，当且仅当y=4（x=）时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知非零向量满足，则与夹角的余弦值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理，数形结合求得与夹角的余弦值．【解答】解：非零向量满足，不妨设=1，设与夹角为θ，如图所示：设=，=，=+，则OA=0B=0C=1，设=2=2，则=2﹣，∠ODA即为θ，△OAC和△OBC都是边长等于3的等边三角形．利用余弦定理可得BD==，cosθ==，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理的应用，属于中档题．13．已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为[7，13] ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出AB的中点的轨迹方程，即可求出的取值范围．【解答】解：取AB的中点C，则=2||，C的轨迹方程是x2+y2=，|C1C2|=5由题意，||最大值为5+1+=，最小值为5﹣1﹣=．∴的取值范围为[7，13]，故答案为[：7，13]．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确转化是关键．14．已知函数，若函数f（x）的图象与直线y=x 有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为[﹣20，﹣16] ．【考点】分段函数的应用．【分析】因为y=sinx （x＜1）与y=x无交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a （x≥1）的图象与直线y=x有三个不同的公共点即可，只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a （x≥1）与x轴有3个交点即可，【解答】解：因为y=sinx （x＜1）与y=x无交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a （x≥1）的图象与直线y=x有三个不同的公共点即可，令g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1），g′（x）=3x2﹣18x+24=3（x2﹣6x+8）=2（x﹣2）（x﹣4），当x∈（1，2），（4，+∞）时g（x）单调递增，当x∈（2，4）时g（x）单调递减，依题意只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1）与x轴有3个交点即可，及g（1）=16+a≤0，g（2）=20+a≥0，∴﹣20≤a≤﹣16．故答案为[﹣20，﹣16]【点评】题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，属于基础题．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15．（14分）（2016秋•淮安期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．（1）求角A的值；（2）若，求sin（B﹣C）的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得2cosAsinA=sinA，结合sinA≠0，可求，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用倍角公式可求sin2B，cos2B，由sin（B﹣C）=sin（2B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由正弦定理可知，2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA，…（2分）即2cosAsinA=sinA，因为A∈（0，π），所以sinA≠0，所以2cosA=1，即，…（4分）又A∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，B∈（0，π），所以，…（8分）所以，，…（10分）所以=…（12分）==．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，倍角公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．（14分）（2016秋•淮安期末）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取BE中点F，连结CF，MF，证明四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF，即可证明直线MN∥平面EBC；（2）证明BC⊥平面EAB，得到BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，即可证明直线EA⊥平面EBC．【解答】证明：（1）取BE中点F，连结CF，MF，又M是AE的中点，所以MF=AB，又N是矩形ABCD边CD的中点，所以NC=AB，所以MF平行且等于NC，所以四边形MNCF是平行四边形，…（4分）所以MN∥CF，又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，所以MN∥平面EBC．…（7分）（2）在矩形ABCD中，BC⊥AB，又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB=AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面EAB，…（10分）又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，所以EA⊥平面EBC．…（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（14分）（2016秋•淮安期末）如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN=，∠BCN=，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求A，B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由tan∠BAN=，∠BCN=，得到|AD|，|DB|、|AB|间的关系，然后利用直角三角形的性质求解；（2）方案①：总铺设费用为5×4=20（万元）．方案②：设∠BPD=θ，则，其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，，，则总铺设费用为．设，则，，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案．【解答】解：（1）过B作MN的垂线，垂足为D，如图示：在Rt△ABD中，，所以，在Rt△BCD中，，所以CD=BD．则，即BD=3，所以CD=3，AD=4，由勾股定理得，（km）．所以A，B两镇间的距离为5km．…（4分）（2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5×4=20（万元）．…（6分）方案②：设∠BPD=θ，则，其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，，，所以．则总铺设费用为．…（8分）设，则，令f'（θ）=0，得，列表如下：所以f（θ）的最小值为．所以方案②的总铺设费用最小为（万元），此时．…（12分）而，所以应选择方案②进行铺设，点P选在A的正西方向km处，总铺设费用最低．…（14分）【点评】本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用导数求函数的最值，是中档题18．（16分）（2016秋•淮安期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（i）当直线PA的斜率为时，求△MFN的外接圆的方程；（ii）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△PAQ的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：离心率e==，则a=c，右焦点F到左准线的距离c+=6，即可求得c和a的值，则b2=a2﹣c2=8，即可求得椭圆方程；（2）（i）设直线方程为：y=（x+4），求得M点，即可求得NF的方程和N的坐标，则丨MN丨=6，则以MN为圆心（0，﹣1），半径为3，即x2+（y+1）2=9；（ii）设直线方程为：y=k（x+4），代入椭圆方程，求得P点坐标，求得直线PF方程，则求得N点坐标，则直线AN：y=﹣﹣，代入椭圆方程，求得M点坐标，求得丨AM丨，△PAQ的面积S===≤=10．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由离心率e==，则a=c，由右焦点F到左准线的距离c+=6，解得：c=2，则a=4，由b2=a2﹣c2=8，∴椭圆的标准方程为：；（2）（i）由（1）可知：椭圆的左顶点（﹣4，0），F（2，0），设直线方程为：y=（x+4），即y=x+2，则M（2，0），k MF==﹣，则k NF=，直线NF：y=（x﹣2）=﹣4，则N（0，﹣4），丨MN丨=6，则以MN为圆心（0，﹣1），半径为3，即x2+（y+1）2=9，（ii）设直线方程为：y=k（x+4），∴，整理得：（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣16=0，解得：x1=4，x2=，则y2=，则P（，），∴k MF==﹣k，由M（0，4k），F（2，0），∴k NF=，则NF：y=（x﹣2），则N（0，﹣），则直线AN：y=﹣﹣，代入椭圆方程：整理得：（1+）x2+x+﹣16=0，解得：x1=4，x2=，则y2=，则Q（，），∴k PQ=，直线PQ：y﹣=（x﹣），则x M =﹣=，∴丨AM 丨=+4=，△PAQ 的面积S==••=，=≤=10，当且仅当2k=，即k=时，取最大值，△PAQ 的面积的最大值10．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考三角形的面积公式的应用，考查基本不等式的综合应用，属于难题．19．（16分）已知函数ax ex x f -=2)(2,ax x x g -=ln )(,R a ∈（1）解关于x （x ∈R ）的不等式f （x ）≤0； （2）证明：f （x ）≥g （x ）；（3）是否存在常数a ，b ，使得f （x ）≥ax +b ≥g （x ）对任意的x ＞0恒成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）通过讨论a 的范围，求出不等式的解集即可；（2）设h （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，证出结论即可；（3）假设存在，得到对任意的x ＞0恒成立，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）当a=0时，，所以f （x ）≤0的解集为{0}；当a ≠0时，，若a＞0，则f（x）≤0的解集为[0，2ea]；若a＜0，则f（x）≤0的解集为[2ea，0]．综上所述，当a=0时，f（x）≤0的解集为{0}；当a＞0时，f（x）≤0的解集为[0，2ea]；当a＜0时，f（x）≤0的解集为[2ea，0]．…（4分）（2）设，则．令h'（x）=0，得，列表如下：所以函数h（x）的最小值为，所以，即f（x）≥g（x）．…（8分）（3）假设存在常数a，b使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立，即对任意的x＞0恒成立．而当时，，所以，所以，则，所以恒成立，①当a≤0时，，所以（*）式在（0，+∞）上不恒成立；②当a＞0时，则，即，所以，则．…（12分）令，则，令φ'（x）=0，得，当时，φ'（x）＞0，φ（x）在上单调增；当时，φ'（x）＜0，φ（x）在上单调减．所以φ（x）的最大值．所以恒成立．所以存在，符合题意．…（16分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．20．（16分）（2016秋•淮安期末）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，（a n+1）（a n+1+1）=6（S n+n），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对于∀n∈N*，都有S n≤n（3n+1）成立，求实数a取值范围；（3）当a=2时，将数列{a n}中的部分项按原来的顺序构成数列{b n}，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{b n}．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（a n﹣1+1）（a n+1）=6（S n﹣1+n﹣1），可得（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6（a n+1），因此a n+1﹣a n﹣1=6，分奇数偶数即可得出．（2）当n为奇数时，，由S n≤n（3n+1）得，恒成立，利用单调性即可得出．当n为偶数时，，由S n≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，即可得出．（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则a n=3n﹣1，所以a n=3n﹣1．解法1：令等比数列{b n}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），可得5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+...+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+ (4)﹣1）+2]﹣1，…．因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，可得数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，进而证明结论．解法2：设，所以公比．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，n≥2时，，可得k n是正整数，因此以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（a n﹣1+1）（a n+1）=6（S n﹣1+n﹣1），所以（a n+1）（a n+1+1）﹣（a n﹣1+1）（a n+1）=6（S n+n）﹣6（S n﹣1+n﹣1），即（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6（a n+1），又a n＞0，所以a n+1﹣a n﹣1=6，…（3分）所以a2k﹣1=a+6（k﹣1）=6k+a﹣6，a2k=5+6（k﹣1）=6k﹣1，k∈N*，故…（2）当n为奇数时，，由S n≤n（3n+1）得，恒成立，令，则，所以a≤f（1）=4．…（8分）当n为偶数时，，由S n≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，所以a≤9．又a1=a＞0，所以实数a的取值范围是（0，4]．…（10分）（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则a n=3n﹣1，所以a n=3n﹣1．解法1：令等比数列{b n}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），因为，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{b n}有无数个．…（16分）解法2：设，所以公比．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，而当n≥2时，，即，…（14分）又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，所以k n也都是正整数，所以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=3m+1（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{b n}有无数个．…（16分）【点评】本题考查了构造方法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．附加题[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）21．（2016秋•淮安期末）如图，AB为半圆O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点，求证：AB•BC=2AD•BD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】证明△ABD∽△BDE，即可证明结论．【解答】证明：因为D为弧BC的中点，所以∠DBC=∠DAB，DC=DB，因为AB为半圆O的直径，所以∠ADB=90°，又E为BC的中点，所以EC=EB，所以DE⊥BC，所以△ABD∽△BDE，所以，所以AB•BC=2AD•BD．…（10分）【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．（2016秋•淮安期末）已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=，求实数a，b的值．【考点】特征向量的定义．【分析】由条件知，Aα=2α，从而，由此能求出a，b的值．【解答】解：∵矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=，∴由条件知，Aα=2α，即，即，…（6分）∴，解得∴a，b的值分别为2，4．…（10分）【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．（2016秋•淮安期末）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：ρsin（θ﹣）=m（m∈R），圆C的参数方程为（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为时，求m的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】根据极坐标方程，参数方程与普通方程的关系求出曲线的普通方程，利用点到hi直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：由ρsin（θ﹣）=m得ρsinθcos﹣ρcosθsin=m，即x﹣y+m=0，即直线l的直角坐标方程为x﹣y+m=0，圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，圆心C到直线l的距离，解得m=﹣1或m=﹣5．【点评】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的关系，结合点到直线的距离公式解决本题的关键．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．（2016秋•淮安期末）已知a，b，c为正实数， +++27abc的最小值为m，解关于x的不等式|x+l|﹣2x＜m．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】根据基本不等式的性质求出m的值，从而解不等式即可．【解答】解：因为a，b，c＞0，所以=，当且仅当时，取“=”，所以m=18．…（6分）所以不等式|x+1|﹣2x＜m即|x+1|＜2x+18，所以﹣2x﹣18＜x+1＜2x+18，解得，所以原不等式的解集为．…（10分）【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查解不等式问题，是一道基础题．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（2016秋•淮安期末）甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B题．（1）求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；（2）设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用古典概率计算公式、相互独立事件概率计算公式即可得出．（2）利用互斥事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）设“甲选做D题，且乙、丙都不选做D题”为事件E．甲选做D题的概率为，乙，丙不选做D题的概率都是．则．答：甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率为．（2）X的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以X的概率分布为X的数学期望．【点评】本题考查了古典概率计算公式、互斥事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．（2016秋•淮安期末）已知等式（1+x）2n﹣1=（1+x）n﹣1（1+x）n．（1）求（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数，并化简：++…+；（2）证明：（）2+2（）2+…+n（）2=n．【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质．【分析】（1）（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数为，由可知，（1+x）n﹣1（1+x）n的展开式中含x n的项的系数为．即可证明．（2）当k∈N*时，=．即可证明．【解答】（1）解：（1+x）2n﹣1的展开式中含x n的项的系数为，由可知，（1+x）n﹣1（1+x）n的展开式中含x n的项的系数为．所以．（2）证明：当k∈N*时，=．所以=．由（1）知，即，所以．【点评】本题考查了二项式定理的性质、组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
部编版高中数学选修一综合测试题带答案基础知识点归纳总结
(名师选题)部编版高中数学选修一综合测试题带答案基础知识点归纳总结单选题1、圆x 2+y 2+2x −4y −6=0的圆心和半径分别是（ ） A ．(−1,−2)，11B ．(−1,2)，11C ．(−1,−2)，√11D ．(−1,2)，√112、已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，其中F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．(0,14]B ．(14,1)C ．(12,1)D ．[12,1)3、已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点分别是F 1，F 2，直线y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，且∠F 1AF 2=60°，则椭圆C 的离心率是（ ） A ．716B ．√74C ．916D ．344、若直线 y =kx +1与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点， 且∠AOB =60∘(其中O 为原点)， 则k 的值为（ ） A ．−√33或√33B ．√33C ．−√2或√2D ．√2 5、已知椭圆x 24+y 23=1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，若△F 1MN 的周长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86、已知抛物线x 2=my 焦点的坐标为F(0,1)，P 为抛物线上的任意一点，B(2,2)，则|PB|+|PF|的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．1127、如图所示，在空间直角坐标系中，BC =2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC =90∘，∠DCB =30∘，则点D 的坐标为（ ）．A ．(0，−12，−√32) B ．(0，−12，√32) C ．(0，12，−√32) D ．(0，12，√32) 8、设x 、y ∈R ，向量a ⃑=(x,1,1)，b ⃑⃑=(1,y,1)，c ⃑=(3,−6,3)且a ⃑⊥c ⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则|a ⃑+b ⃑⃑|=（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4D ．3 多选题9、(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．AC 1=6√6B ．AC 1⊥DBC ．向量B 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的夹角是60°D ．BD 1与AC 所成角的余弦值为√6310、已知直线l 过点(3,4)，点A (−2,2)，B (4,−2)到l 的距离相等，则l 的方程可能是( ) A ．x −2y +2=0B ．2x −y −2=0 C ．2x +3y −18=0D ．2x −3y +6=011、对于任意非零向量a ⃑=(x 1,y 1,z 1)，b ⃑⃑=(x 2,y 2,z 2)，以下说法错误的有 A ．若a ⃑⊥b⃑⃑，则x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0B ．若a ⃑//b ⃑⃑，则x 1x 2=y 1y 2=z 1z2C ．cos <a ⃑,b⃑⃑>=121212√x 12+y 12+z 12⋅√x 22+y 22+z 22D ．若x 1=y 1=z 1=1，则a ⃑为单位向量 填空题12、在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1，AA 1=2，点P 为底面ABCD 上一点，则PA →⋅PC 1→的最小值为________.13、已知椭圆的方程为x 29+y 24=1，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为______．部编版高中数学选修一综合测试题带答案(六)参考答案1、答案：D分析：先化为标准方程，再求圆心半径即可.先化为标准方程可得(x+1)2+(y−2)2=11，故圆心为(−1,2)，半径为√11.故选：D.2、答案：D分析：先由椭圆的定义结合已知求得|PF1|,|PF2|，再由|PF1|−|PF2|≤|F1F2|求得a,c的不等关系，即可求得离心率的取值范围.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=32a，|PF2|=12a，而|PF1|−|PF2|≤|F1F2|=2c，当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立，即32a−12a≤2c，即a≤2c，则e=ca≥12，即12≤e<1.故选：D．3、答案：B分析：根据椭圆的对称性可知，|AF2|=|BF1|，设|AF2|=m，由|AF1|=3|BF1|以及椭圆定义可得|AF1|=3a2，|AF2|=a2，在△AF1F2中再根据余弦定理即可得到4c2=7a24，从而可求出椭圆C的离心率．由椭圆的对称性，得|AF2|=|BF1|.设|AF2|=m，则|AF1|=3m.由椭圆的定义，知|AF1|+|AF2|=2a，即m+3m=2a，解得m=a2，故|AF1|=3a2，|AF2|=a2.在△AF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF1||AF2|cos∠F1AF2，即4c2=9a24+a24−2×3a 2×a2×12=7a24，则e2=c2a2=716，故e=√74.故选：B.4、答案：A分析：根据点到直线的距离公式即可求解.由∠AOB =60∘可知，圆心(0,0)到直线y =kx +1的距离为√32，根据点到直线的距离公式可得√12+k 2=√32⇒k =±√33故选：A小提示：5、答案：D分析：运用椭圆的定义进行求解即可. 由x 24+y 23=1⇒a =2.因为M ，N 是椭圆的上的点，F 1、F 2是椭圆的焦点， 所以MF 1+MF 2=2a,NF 1+NF 2=2a ，因此△F 1MN 的周长为MF 1+MN +NF 1=MF 1+MF 2+NF 2+NF 1=2a +2a =4a =8， 故选：D 6、答案：A分析：先根据焦点坐标求出m ，结合抛物线的定义可求答案. 因为抛物线x 2=my 焦点的坐标为(0,1)，所以m4=1，解得m =4．记抛物线的准线为l ，作PN ⊥l 于N ，作BA ⊥l 于A ，则由抛物线的定义得|PB|+|PF|=|PB|+|PN|⩾|BA|=3，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A. 7、答案：B分析：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，然后在Rt △BDC 中求解. 过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，∠BDC =90∘，∠DCB =30∘，BC =2， 得|BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1、|CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√3， 所以|DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|⋅sin30∘=√32， 所以|OE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|⋅cos60∘=1−12=12， 所以点D 的坐标为(0，−12，√32)， 故选：B ． 8、答案：D分析：利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a ⃑+b ⃑⃑的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.因为a ⃑⊥c ⃑，则a ⃑⋅c ⃑=3x −6+3=0，解得x =1，则a ⃑=(1,1,1)，因为b ⃑⃑//c ⃑，则13=y−6，解得y =−2，即b⃑⃑=(1,−2,1)，所以，a ⃑+b ⃑⃑=(2,−1,2)，因此，|a ⃑+b ⃑⃑|=√4+1+4=3. 故选：D. 9、答案：AB分析：根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可. 因为以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°， 所以AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=6×6×cos 60°=18， (AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)2=AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+2AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =36+36+36+3×2×18=216，则|AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=6√6， 所以A 正确； AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)·(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑-AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑-AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2-AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑-AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2 =0，所以B 正确； 显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D =60°.因为B 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=A 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，且向量A 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的夹角是120°，所以B 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的夹角是120°，所以C 不正确； 因为BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑-AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以|BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√(AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑-AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)2=6√2，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)2=6√3， BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑-AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)·(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=36， 所以cos <BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑>=BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|·|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=6√2×6√3=√66，所以D 不正确.故选:AB. 10、答案：BC分析：分直线l 斜率存在和不存在进行讨论﹒当l 斜率存在时，设其方程为y −4=k (x −3)，根据点到直线的距离公式列出关于k 的方程，解方程即可求直线l 的方程．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y −4=k (x −3)，即kx −y +4−3k =0，∵点A (−2,2)，B (4,−2)到直线的距离相等， ∴√k 2+1=√k 2+1，解得k =−23，或k =2，当k =−23时，直线l 的方程为y −4=−23(x −3)，整理得2x +3y −18=0， 当k =2时，直线l 的方程为y −4=2(x −3)，整理得2x −y −2=0. 综上，直线l 的方程可能为2x +3y −18=0或2x −y −2=0 故选：BC ． 11、答案：BD分析：利用空间向量垂直的坐标表示可判断A 选项的正误；取x 2=0，y 2≠0且z 2≠0可判断B 选项的正误；利用空间向量夹角余弦的坐标表示可判断C 选项的正误；求得|a ⃑|，可判断D 选项的正误. 对于A 选项，因为a ⃑⊥b ⃑⃑，则a ⃑⋅b⃑⃑=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0，A 选项正确； 对于B 选项，若x 2=0，且y 2≠0，z 2≠0，若a ⃑//b ⃑⃑，但分式x 1x2无意义，B 选项错误； 对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos <a ⃑,b⃑⃑>=121212√x 1+y 1+z 1⋅√x 2+y 2+z 2，C 选项正确；对于D 选项，若x 1=y 1=z 1=1，则|a ⃑|=√12+12+12=√3，此时，a ⃑不是单位向量，D 选项错误. 故选：BD.小提示：本题考查与空间向量相关的命题真假的判断，考查了空间向量数量积的坐标运算以及空间共线向量的坐标表示，属于基础题. 12、答案：−12分析：根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 解：如图，以AD,AB,AA 1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0),C 1(1,1,2)，设P (x,y,0)，所以PA →=(−x,−y,0),PC 1→=(1−x,1−y,2)，所以PA →⋅PC 1→=−x (1−x )−y (1−y )=x 2+y 2−x −y =(x −12)2+(y −12)2−12， 所以当x =y =12时，PA →⋅PC 1→有最小值−12.所以答案是：−1213、答案：10分析：连接AF1，BF1，则由椭圆的中心对称性将△ABF2的周长转化为|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|，所以当|AB|取最小值时，周长最小解：椭圆的方程为x29+y24=1，∴2a=6，2b=4，c=√5，连接AF1，BF1，则由椭圆的中心对称性可得△ABF2的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|，当AB位于短轴的端点时，|AB|取最小值，最小值为2b=4，1=2a+|AB|=6+|AB|≥6+4=10．所以答案是：10。
2020年最新高考数学--以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题(原卷版)
专题二 压轴解答题第11关 以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题【名师综述】解析几何中的范围、最值和离心率问题仍是高考考试的重点与难点，试题难度较大．注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值．【典例解剖】类型一 离心率问题典例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)43x y t t t+=>的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ．过点A 且斜率为k （0k >）的直线交椭圆C 于另一点P ．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若12k =，求22PA PB的值； （3）设直线l ：2x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上．【举一反三】（2020·陕西渭南期末考试）如图，12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是椭圆C的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，123F AF π∠=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知1AF B ∆的面积为,a b 的值．类型二 最值、范围问题典例2．（2020上海南模中学月考）某景区欲建两条圆形观景步道12,M M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆M 与,AB AD 分别相切于点B ，D ，圆2M 与,AC AD 分别相切于点C ，D ．（1）若BAD 3π∠=，求圆12,M M 的半径；（结果精确到0．1米）（2）若观景步道12,M M 的造价分别为每米0．8千元与每米0．9千元，则当BAD ∠多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0．1°和0．1千元）例3．（2020上海高三模拟考试）已知圆：()，定点，，其中为正实数．（1）当时，判断直线与圆的位置关系；（2）当时，若对于圆上任意一点均有成立(为坐标原点)，求实数的值； （3）当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围．【举一反三】1．（2020上海高三模拟考试）如图，某市有相交于点O 的一条东西走向的公路l ，与南北走向的公路m ，这两条公路都与一块半径为1（单位：千米）的圆形商城A 相切．根据市民建议，欲再新建一条公路PQ ，点P 、Q 分别在公路l 、m 上，且要求PQ 与圆形商城A 也相切．（1）当P 距O 处4千米时，求OQ 的长； （2）当公路PQ 长最短时，求OQ 的长．C 22(1)x y a ++=0a >(,0)A m (0,)B n ,m n3a m n ===AB C 4a =C P PA PO λ=O ,m λ2,4m n ==AB P C ,M N M PNa2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率e =左、右焦点分别为12,F F ，且2F 与抛物线24y x =的焦点重合．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥，求AC BD +的最小值．类型三 面积问题典例3．（2020上海松江区一模）设抛物线的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和．（1）若，求点的坐标；（2）若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部；（3）若，且直线∥，与有且只有一个公共点，问：△的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由．2:4y x Γ=F x (,0)M m lΓA B ||3FA =A 2m =O AB ||||FA FM =1l l 1l ΓE OAE M典例4．（2020上海吴淞中学月考）已知椭圆，是它的上顶点，点各不相同且均在椭圆上．（1）若恰为椭圆长轴的两个端点，求的面积； （2）若，求证：直线过一定点；（3）若，的外接圆半径为，求的值．【举一反三】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左、右焦点，点()2,3A --在椭圆M 上，且离心率为12e =．(1)求椭圆M 的方程；(2)若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆M 的另一个交点为,B C 为椭圆M 上的一点，当ABC V 面积最大时，求点C 的坐标．2214x y +=A ()*,n n P Q n N∈11,P Q 11APQ∆0n n AP AQ ⋅=u u u v u u u u vn n P Q 11n n P Q y y n==-n n AP Q ∆n R lim n n R →∞【精选名校模拟】1．（2020·上海闵行区期末考试）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(3)9x y C a a a +=>-．(1)过椭圆C 的左焦点，作垂直于x 轴的直线交椭圆C 于M 、N 两点，若||9MN =，求实数a 的值； (2)已知点(1,0),6T a =，A 、B 是椭圆C 上的动点，0TA TB ⋅=u u r u u r ，求TA BA ⋅u u r u u u r的取值范围； (3)若直线:13x yl a a +=-与椭圆C 交于P 、Q 两点，求证：对任意大于3的实数a ，以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求该定点的坐标．2．（2019·上海南模中学高三月考）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A 、B 关于直线()102y mx m =+≠对称．（1）若已知10,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 为椭圆上动点，证明：MC ≤（2）求实数m 的取值范围；（3）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．3．（2020·上海南模中学期末）已知定点()1,0F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作直线PM 交x 轴于点M ，延长MP 至点N ，使0PM PF ⋅=u u u u r u u u r ．||||PM PN =u u u u r u u u r点N 的轨迹是曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若S ，T 是曲线C 上的两个动点，满足0OS OT ⋅=u u u r u u u r，证明：直线ST 过定点；（3）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且4OA OB ⋅=-u u u r u u u r，||AB ≤u u u r l 的斜率k 的取值范围．4．（2020·上海南模中学期末）教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线0x y -+=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点．（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）的条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由．5．（2020·上海普陀区一模）已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形．（1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；（3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值．6．（2020·上海金山中学期末）已知椭圆C ：2221tan y x α+=，其中04πα<<，点A 是椭圆C 的右顶点，射线l ：(0)y x x =≥与椭圆C 的交点为B ． （1）求点B 的坐标；（2）设椭圆C 的长半轴、短半轴的长分别为a 、b ，当ba 的值在区间0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中变化时，求α的取值范围； （3）在（2）的条件下，以A 为焦点，(,0)D m 为顶点且开口方向向左的抛物线过点B ，求实数m 的取值范围．7．（2020·上海闵行区一模）已知抛物线2:8y x Γ=和圆22:40x y x Ω+-=，抛物线Γ的焦点为F ．（1）求Ω的圆心到Γ的准线的距离；（2）若点(),T x y 在抛物线Γ上，且满足[]1,4x ∈，过点Γ作圆Ω的两条切线，记切点为A B 、，求四边形TAFB 的面积的取值范围；（3）如图，若直线l 与抛物线Γ和圆Ω依次交于M P Q N 、、、四点，证明：12MP QN PQ ==的充要条件是“直线l 的方程为2x =”8．（2020·上海川沙中学期末考试）已知两点1(F 、2F ，动点(,)M x y 满足12|||4|MF MF +=，记M 的轨迹为曲线C ，直线:l y kx =（0k ≠）交曲线C 于P 、Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交曲线C 于点G ． （1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么曲线； （2）若2k =，求△PQG 的面积； （3）证明：△PQG 为直角三角形．9．（2020·上海东昌中学期末考试）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆221:14x C y +=．（1）若椭圆222:1164x y C +=，判断2C 与1C 是否相似？如果相似，求出2C 与1C 的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆1C 相似且焦点在x 轴上、短半轴长为b 的椭圆b C 的标准方程；若在椭圆b C 上存在两点M 、N 关于直线1y x =+对称，求实数b 的取值范围；（3）如图：直线y x =与两个“相似椭圆”和分别交于点,A B 和点,C D ，试在椭圆M 和椭圆M λ上分别作出点E 和点F （非椭圆顶点），使CDF ∆和ABE ∆组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）10．（2020·上海华师大附中月考）已知椭圆Γ的方程为22184x y +=，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于A 、B 两点，且3AB =，如图1．（1）求圆C 的方程；（2）如图1，过点B 的直线l 与椭圆Γ相交于P 、Q 两点，求证：射线AB 平分PAQ ∠；（3）如图2所示，点M 、N 是椭圆Γ的两个顶点，且第三象限的动点R 在椭圆Γ上，若直线RM 与y 轴交于点1M ，直线RN 与x 轴交于点1N ，试问：四边形11MNN M 的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．11．（2020·上海奉贤区一模）平面内任意一点P 到两定点()1F 、)2F 的距离之和为4． （1）若点P 是第二象限内的一点且满足120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，求点P 的坐标；（2）设平面内有关于原点对称的两定点12M M 、，判别12PM PM ⋅u u u u v u u u u u v 是否有最大值和最小值，请说明理由？12．（2019·上海华师大二附中期中）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>经过点(2,1)A ，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M N 、，（1）求椭圆C 的方程；（2）求BM BN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围；（3）设直线AM 和AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证：AM AN k k +为定值．13．（2019·上海七宝中学月考）已知动点(),M x y 4=，记M 的轨迹为曲线C ，直线l ：y kx =（0k ≠）交曲线C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连接QE 并延长交曲线C 于点G ．（1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么曲线；（2）若2k =，求PQG V 的面积．（3）求PQG V 面积的最大值．14．（2019·上海格致中学期中考试）已知抛物线2:4x C y =的焦点为F ，直线:240l x y --=，点(1,2)P ，M 是抛物线C 上的动点．（1）求||||MP MF +的最小值及相应点M 的坐标；（2）点M 到直线l 距离的最小值及相应点M 的坐标；（3）直线l '过点P 与抛物线C 交于A 、B 两点，交直线l 于Q 点，若QA a AP =u u u r u u u r ，QB bBP =u u u r u u u r，求+a b 的值．15．（2019·上海青浦区一模）已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点16(3,)5． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1l ，直线1l 上存在M 、N 两点满足OM ON ⊥，求△OMN 面积的最小值；（3）若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，且||||AB MN 为定值，求点M 的坐标．16．（2019·上海曹杨二中高三月考）给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，半径为C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是())12,F F ．（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=u u u u u r u u u u u r ，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为P 点的坐标；（3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m mn n 的直线的最短距离min d b =．若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．。
江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研(一)数学试题含附加题(解析版) 含解析
2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查数学I一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知i 为虚数单位，复数11iz =+，则z ＝ ． 2．已知集合A ＝{}01x x ≤≤，B ＝{}13x a x -≤≤，若AB 中有且只有一个元素，则实数a 的值为 ．3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22214x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =，则a ＝ ．5．甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是 ．6．右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为 ．7．“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）． 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n a ＝ ． 9．已知点M 是曲线y ＝2ln x ＋x 2﹣3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ． 10．已知3cos 24sin()4παα=-，α∈(4π，π)，则sin 2α＝ ． 11．如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB ＝1，BC ＝2．分别以A ，D 为圆心，1为半经作圆弧EB ，EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．12．在△ABC 中，(AB AC λ-)⊥BC (λ＞1)，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是 ．13．若函数()xf x a =(a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n )，则a 的取值范围是 ．14．如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE ＝2EC ，CD 与BE交于点O ，若OB ＝2OC ，则△ABC 面积的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 3sin B 0b a -=． （1）求A ；（2）已知a ＝23，B ＝3π，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ； （2）证明：BE ⊥PC ．17．（本小题满分14分）某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l 1和l 2通过一段抛物线形状的栈道AB 连通（道路不计宽度），l 1和l 2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l 3平行于观光道且与l 2相距1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l 3，且交l 3于M ），在堤岸线l 3上的E ，F 两处建造建筑物，其中E ，F 到M 的距离为1 （百米），且F 恰在B 的正对岸（即BF ⊥l 3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12．且经过点(1，32)，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（其中D 在x 轴上方）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若△AEF 与△BDF 的面积之比为1：7，求直线l 的方程．19．（本小题满分16分）已知函数3222()3f x x mx m x =-+(m ∈R)的导函数为()f x '． （1）若函数()()()g x f x f x '=-存在极值，求m 的取值范围；（2）设函数()(e )(ln )xh x f f x ''=+（其中e 为自然对数的底数），对任意m ∈R ，若关于x 的不等式22()h x m k ≥+在(0，+∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b ，数列{}n c 满足n n n a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数，为偶数，n N *∈．（1）若n a n =，2n n b =，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意n N *∈，1n n c c +>恒成立．①当数列{}n b 为等差数列时，求证：数列{}n a ，{}n b 的公差相等；②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由．第II卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量。
湘豫名校2021届高三第二学期3月联考试卷 数学(文)【含答案】
湘豫名校2021届高三第二学期3月联考试卷数学（文）【含答案】注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U，集合M，N是U的子集，且M N，则下列结论中一定正确的是A(∁U M)∪(∁U N)＝U B.M∩(∁U N)＝∅ C.M∪(∁U N)＝U D.(∁U M)∩N＝∅2.在复平面内，若复数z与112ii-+表示的点关于虚轴对称，则复数z＝A.1355i- B.1355i-- C.1355i+ D.1355i-+3.关于x的方程x2－ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是方程的一个根；乙：x＝4是方程的一个根；丙：该方程两根之和为3；丁：该方程两根异号。
如果只有一个假命题，则假命题是A.甲B.乙C.丙D.丁4.在平面直角坐标系中定义点P(x，y)的“准奇函数点”为P'(2a－x，2b－y)，若函数C 上所有点的“准奇函数点”都在函数C上，则称函数C为“准奇函数”。
下列函数不是“准奇函数”的是A.f(x)＝cos(x ＋1)B.f(x)＝2x 1x 1-+ C.f(x)＝e |x| D.f(x)＝x 5.已知空间中不重合的直线a ，b 和不重合的平面α，β，下列判断正确的是 A.若a//α，b//α，则a//b B.若a//b ，b ⊂α，则a//α C.若a ⊥b ，a ⊥α，则b//α D.若a ⊥α，a ⊥β，则α//β6.已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c 53，则sin<a ，c>＝10 6 5597.已知x ，y 满足约束条件x y 0x y 40y 1-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则z ＝－2x ＋y 的最大值是A.－1B.－2C.－5D.－78.下列函数中，同时满足以下两个条件①“∀x ∈R ，f(－6π＋x)＋f(－6π－x)＝0”；②“将图象向左平移12π个单位长度后得到的图象对应函数为g(x)＝cos2x ”的一个函数是 A.sin(2x ＋56π) B.cos(2x ＋3π) C.cos(2x ＋56π) D.sin(2x ＋3π)9.在平面直角坐标系xOy 中，A(3，0)，B(0，－3)，点M 满足OM xOA yOB =+，x ＋y ＝1，点N 为曲线y ＝2x 2x --上的动点，则|MN|的最小值为2－1 2 C.322 D.3212- 10.已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形。
2020年江苏省高考数学试卷(包括附加题)【含详答】
2020年江苏省高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共16小题，共100.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={0,2，3}，则A∩B=______．2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是______．3.已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是______．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______．5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为−2，则输入x的值是______．6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是______．7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x23，则f(−8)的值是______．8.已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是______．9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是______cm3．10.将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．11.设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n=n2−n+2n−1(n∈N∗)，则d+q的值是______．12.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是______．13. 在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数)，则CD 的长度是______．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P(√32,0)，A 、B 是圆C ：x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是______．15. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO′为铅垂线(O′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离ℎ1(米)与D 到OO′的距离a(米)之间满足关系式ℎ1=140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离ℎ2(米)与F 到OO′的距离b(米)之间满足关系式ℎ2=−1800b 3+6b.已知点B 到OO′的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k(万元)，桥墩CD 每米造价32k(万元)(k >0)，问O′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．二、解答题（本大题共9小题，共112.0分）17.在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF//平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=3，c=√2，B=45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−4，求tan∠DAC的值．519. 已知关于x 的函数y =f(x)，y =g(x)与ℎ(x)=kx +b(k,b ∈R)在区间D 上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．(1)若f(x)=x 2+2x ，g(x)=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x)的表达式； (2)若f(x)=x 2−x +1，g(x)=klnx ，ℎ(x)=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f(x)=x 4−2x 2，g(x)=4x 2−8，ℎ(x)=4(t 3−t)x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7．20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k =λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．21. 平面上的点A(2,−1)在矩阵M =[a 1−1b]对应的变换作用下得到点B (3,−4)． (1)求实数a ，b 的值；(2)求矩阵M 的逆矩阵M −1．22. 在极坐标系中，已知A(ρ1,π3)在直线1：ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上(其中ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求ρ1，ρ2的值；(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．23.设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|<4．24.在三棱锥A−BCD中，已知CB=CD=√5，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC中点．(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；BC，设二面角F−DE−C的大小为θ，求sinθ的(2)若点F在BC上，满足BF=14值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．(1)求p1，q1和p2，q2；(2)求2p n+q n与2p n−1+q n−1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示)．2020年江苏省高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共16小题，共100.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={0,2，3}，则A∩B=______．【答案】{0,2}【解析】解：集合B={0,2，3}，A={−1,0，1，2}，则A∩B={0,2}，故答案为：{0,2}．运用集合的交集运算，可得所求集合．本题考查集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题．2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是______．【答案】3【解析】解：复数z=(1+i)(2−i)=3+i，所以复数z=(1+i)(2−i)的实部是：3．故答案为：3．利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可．本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，是基本知识的考查．3.已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是______．【答案】2【解析】解：一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则4+2a+(3−a)+5+6=4×5，解得a=2．故答案为：2．运用平均数的定义，解方程可得a的值．本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______．【答案】19【解析】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6=36种，而点数和为5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，则点数和为5的概率为P=436=19．故答案为：19．分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值．本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题．5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为−2，则输入x的值是______．【答案】−3【解析】解：由题意可得程序框图表达式为分段函数y ={2x ,x >0x +1,x ≤0，若输出y 值为−2时，由于2x >0， 所以解x +1=−2， 即x =−3，故答案为：−3，由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2−y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ，则该双曲线的离心率是______． 【答案】32【解析】解：双曲线x 2a2−y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ，可得√5a=√52，所以a =2，所以双曲线的离心率为：e =c a =√4+52=32， 故答案为：32．利用双曲线的渐近线方程，求出a ，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7. 已知y =f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 23，则f(−8)的值是______． 【答案】−4【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，由已知可得f(8)，进而得到f(−8)．【解答】解：y=f(x)是奇函数，可得f(−x)=−f(x)，当x≥0时，f(x)=x23，可得f(8)=823=4，则f(−8)=−f(8)=−4，故答案为：−4．8.已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是______．【答案】13【解析】解：因为sin2(π4+α)=23，则sin2(π4+α)=1−cos(π2+2α)2=1+sin2α2=23，解得sin2α=13，故答案为：13根据二倍角公式即可求出．本题考查了二倍角公式，属于基础题．9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是______cm3．【答案】12√3−π2【解析】【分析】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．【解答】解：六棱柱的体积为：6×12×2×2×sin60°×2=12√3，圆柱的体积为：π×(0.5)2×2=π2，所以此六角螺帽毛坯的体积是：(12√3−π2)cm3，故答案为：12√3−π2．10.将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．【答案】x =−5π24【解析】【分析】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．利用三角函数的平移可得新函数g(x)=f(x −π6)，求g(x)的所有对称轴x =7π24+kπ2，k ∈Z ，从而可判断平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程， 【解答】解：因为函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度可得 g(x)=f(x −π6)=3sin(2x −π3+π4)=3sin(2x −π12)， 则y =g(x)的对称轴为2x −π12=π2+kπ，k ∈Z ， 即x =7π24+kπ2，k ∈Z ，当k =0时，x =7π24，当k =−1时，x =−5π24，所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是x =−5π24， 故答案为：x =−5π24．11. 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，则d +q 的值是______． 【答案】4【解析】解：因为{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，因为{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1，所以{a n }的通项公式a n =a 1+(n −1)d ，所以其前n 项和S a n =n[a 1+a 1+(n−1)d]2=d 2n 2+(a 1−d2)n ，当{b n }中，当公比q =1时，其前n 项和S b n =nb 1，所以{a n +b n }的前n 项和S n =S a n +S b n =d2n 2+(a 1−d2)n +nb 1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，显然没有出现2n ，所以q ≠1， 则{b n }的前n 项和为S b n =b 1(q n −1)q−1=b 1q n q−1+b 1q−1，所以S n =S a n +S b n =d2n 2+(a 1−d2)n +b 1q n q−1−b1q−1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由两边对应项相等可得：{d2=1a 1−d 2=−1q =2b 1q−1=1解得：d =2，a 1=0，q =2，b 1=1，所以d +q =4， 故答案为：4．由{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；求出等差数列的前n 项和的表达式；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1，讨论当q 为1和不为1时的前n 项和的表达式，由题意可得q ≠1，由对应项的系数相等可得d ，q 的值，进而求出d +q 的值．本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质，属于中档题．12. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R)，则x 2+y 2的最小值是______． 【答案】45【解析】解：方法一、由5x 2y 2+y 4=1，可得x 2=1−y 45y 2，由x 2≥0，可得y 2∈(0,1]， 则x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=1+4y 45y 2=15(4y 2+1y 2)≥15⋅2√4y 2⋅1y 2=45，当且仅当y 2=12，x 2=310， 可得x 2+y 2的最小值为45； 方法二、4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤(5x 2+y 2+4y 22)2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2，即y 2=12，x 2=310时取得等号， 可得x 2+y 2的最小值为45． 故答案为：45．方法一、由已知求得x 2，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值； 方法二、由4=(5x 2+y 2)⋅4y 2，运用基本不等式，计算可得所求最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题．13. 在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数)，则CD 的长度是______．【答案】0或185【解析】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(0,3)，由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(32−m)(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得：PA⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m −3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m(4,0)+(2m −3)(0,3)=(−8m,6m −9)．由AP =9，得64m 2+(6m −9)2=81，解得m =2725或m =0．当m =0时，PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−9)，此时C 与D 重合，|CD|=0； 当m =2725时，直线PA 的方程为y =9−6m 8mx ，直线BC 的方程为x4+y3=1，联立两直线方程可得x =83m ，y =3−2m ． 即D(7225,2125)，∴|CD|=√(7225)2+(2125−3)2=185．∴CD 的长度是0或185． 故答案为：0或185．以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，求得B 与C 的坐标，再把PA⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标用m 表示．由AP =9列式求得m 值，然后分类求得D 的坐标，则CD 的长度可求．本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P(√32,0)，A 、B 是圆C ：x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是______． 【答案】10√5【解析】解：圆C ：x 2+(y −12)2=36的圆心C(0,12)，半径为6，如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，因为PA =PB ，CA =CB =R =6，所以PC ⊥AB ，EF 为垂径，要使面积S △PAB 最大，则P ，D 位于C 的两侧， 并设CD =x ，可得PC =√14+34=1，故PD =1+x ，AB =2BD =2√36−x 2，可令x =6cosθ，S △PAB =12|AB|⋅|PD|=(1+x)√36−x 2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2，设函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2， f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos 2θ+cosθ−6)，由f′(θ)=6(12cos 2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23(cosθ=−34<0舍去)， 显然，当0≤cosθ<23，f′(θ)<0，f(θ)递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)递增，结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos 2θ=√53，故f(θ)max =6×√53+36×√53×23=10√5，则△PAB 面积的最大值为10√5． 故答案为：10√5．求得圆的圆心C 和半径，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值．本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题．15. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO′为铅垂线(O′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离ℎ1(米)与D 到OO′的距离a(米)之间满足关系式ℎ1=140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离ℎ2(米)与F 到OO′的距离b(米)之间满足关系式ℎ2=−1800b 3+6b.已知点B 到OO′的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k(万元)，桥墩CD 每米造价32k(万元)(k >0)，问O′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？【答案】解：(1)ℎ2=−1800b3+6b，点B到OO′的距离为40米，可令b=40，可得ℎ2=−1800×403+6×40=160，即为|O′O|=160，由题意可设ℎ1=160，由140a2=160，解得a=80，则|AB|=80+40=120米；(2)可设O′E=x，则CO′=80−x，由{0<x<400<80−x<80，可得0<x<40，总造价为y=32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x−1800x3)]=k800(x3−30x2+160×800)，y′=k800(3x2−60x)=3k800x(x−20)，由k>0，当0<x<20时，y′<0，函数y递减；当20<x<40时，y′>0，函数y递增，所以当x=20时，y取得最小值，即总造价最低．答：(1)桥|AB|长为120米；(2)O′E为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低．【解析】(1)由题意可令b=40，求得ℎ2，即O′O的长，再令ℎ1=|OO′|，求得a，可得|AB|=a+b；(2)可设O′E=x，则CO′=80−x，0<x<40，求得总造价y=32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x−1800x3)]，化简整理，应用导数，求得单调区间，可得最小值．本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题．16.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．(1)求△AF1F2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】解：(1)由椭圆的标准方程可知，a 2=4，b 2=3，c 2=a 2−b 2=1， 所以△AF 1F 2的周长=2a +2c =6．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t)，椭圆的右准线为：x =a 2c =4，所以直线AP 与右准线的交点为Q(4,32⋅4−t1−t )，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0)⋅(t −4,0−32⋅4−t 1−t)=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 当t =2时，(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−4．(3)若S 2=3S 1，设O 到直线AB 距离d 1，M 到直线AB 距离d 2，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1，即d 2=3d 1，A(1,32)，F 1(−1,0)，可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35，d 2=95， 由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点， 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以|m−3|√9+16=95，即m =−6或12，当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2)，联立{y =34(x −2)x 24+y 23=1，可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2y N =0或{x M =−27y M =−127， 所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4)，联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1，可得214x 2+18x +24=0，△=9×(36−56)<0，所以无解，综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【解析】(1)由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得△AF 1F 2的周长=2a +2c ，代入计算即可．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，进而由点斜式写出直线AP 方程，再结合椭圆的右准线为：x =4，得点Q 为(4,32⋅4−t1−t )，再由向量数量积计算最小值即可．(3)在计算△OAB 与△MAB 的面积时，AB 可以最为同底，所以若S 2=3S 1，则O 到直线AB 距离d 1与M 到直线AB 距离d 2，之间的关系为d 2=3d 1，根据点到直线距离公式可得d 1=35，d 2=95，所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，m =−6或12，然后在分两种情况算出M 点的坐标即可．本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．二、解答题（本大题共9小题，共112.0分）17. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证：EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】证明：(1)E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．所以EF//AB 1，因为EF ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1， 所以EF//平面AB 1C 1；(2)因为B 1C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABB 1， 所以B 1C ⊥AB ，又因为AB ⊥AC ，AC ∩B 1C =C ，AC ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊂平面AB 1C ， 所以AB ⊥平面AB 1C ， 因为AB ⊂平面ABB 1，所以平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【解析】(1)证明EF//AB 1，然后利用直线与平面平行的判断定理证明EF//平面AB 1C 1；(2)证明B 1C ⊥AB ，结合AB ⊥AC ，证明AB ⊥平面AB 1C ，然后证明平面AB 1C ⊥平面ABB 1．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =3，c =√2，B =45°．(1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos∠ADC =−45，求tan∠DAC 的值．【答案】解：(1)因为a =3，c =√2，B =45°.，由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得csinC =bsinB ，所以sinC =cb ⋅sin45°=√2√5⋅√22=√55， 所以sinC =√55；(2)因为cos∠ADC =−45，所以sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得cosC =√1−sin 2C =2√55， 所以在三角形ADC 中，sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)=sin∠ADCcos∠C +cos∠ADCsin∠C =2√525，因为∠DAC ∈(0,π2)，所以cos∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525，所以tan∠DAC =sin∠DAC cos∠DAC =211．【解析】(1)由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sin C 的值； (2)三角形的内角和为180°，cos∠ADC =−45，可得∠ADC 为钝角，可得∠DAC 与∠ADC +∠C 互为补角，所以sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)展开可得sin∠DAC 及cos∠DAC ，进而求出tan∠DAC 的值．本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．19. 已知关于x 的函数y =f(x)，y =g(x)与ℎ(x)=kx +b(k,b ∈R)在区间D 上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．(1)若f(x)=x 2+2x ，g(x)=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x)的表达式； (2)若f(x)=x 2−x +1，g(x)=klnx ，ℎ(x)=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f(x)=x4−2x2，g(x)=4x2−8，ℎ(x)=4(t3−t)x−3t4+2t2(0<|t|≤√2)，D=[m,n]⊂[−√2,√2]，求证：n−m≤√7．【答案】解：(1)由f(x)=g(x)得x=0，又f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x，符合任意，(2)ℎ(x)−g(x)=k(x−1−lnx)，设φ(x)=x−1−lnx，设φ′(x)=1−1x =x−1x，在(1,+∞)上，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，在(0,1)上，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，所以φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0，令p(x)=f(x)−ℎ(x)所以p(x)=x2−x+1−(kx−k)=x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得，当x=k+1≤0时，即k≤−1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，k≥−1，所以k=−1，当k+1>0时，即k>−1时，△≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，解得−1<k≤3，综上，k∈[0,3]．423所以函数y=f(x)的图象在x=x0处的切线为：y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x03)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图象在x=t(0<|t|≤√2)处的切线．由函数y=f(x)的图象可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2]，又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0，设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1，x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84，所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t2−8)=√t6−5t4+3t2+8，t2=λ，则λ∈[1,2]，由图象可知，n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√7，即n−m≤√7．【解析】(1)由f(x)=g(x)得x=0，求导可得f′(0)=g′(0)=2，能推出函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，进而可得ℎ(x)=2x，再进行检验即可．(2)由题可知ℎ(x)−g(x)=k(x−1−lnx)，设φ(x)=x−1−lnx，求导分析单调性可得，φ(x)≥φ(1)=0，那么要使的ℎ(x)−g(x)≥0，则k≥0；令p(x)=f(x)−ℎ(x)为二次函数，则要使得p(x)≥0，分两种情况，当x=k+1≤0时，当k+1>0时进行讨论，进而得出答案．(3)因为f(x)=x4−2x2，求导，分析f(x)单调性及图象得函数y=f(x)的图象在x=x 0处的切线为：y =(4x 03−4x 0)x −3x 04+2x 02，可推出直线y =ℎ(x)为函数y =f(x)的图象在x =t(0<|t|≤√2)处的切线．进而f(x)≥ℎ(x)在区间D 上恒成立；在分析g(x)−ℎ(x)=0，设4x 2−4(t 3−t)x +3t 4−2t 2−8=0，两根为x 1，x 2，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，所以n −m =|x 1−x 2|=√t 6−5t 4+3t 2+8，再求最值即可得出结论．本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意数形结合思想的应用，属于中档题．20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k =λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1，由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0，可得λ=1； (2)√S n+1−√S n =√33√a n+1，则a n+1=S n+1−S n =(√S n+1−√S n )⋅(√S n+1+√S n )=√33⋅√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3⋅√a n+1，即√S n+1=23√3a n+1，S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )，从而S n+1=4S n ，又S 1=a 1=1，可得S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2， 综上可得a n ={1,n =13⋅4n−2,n ≥2，n ∈N ∗；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n )， 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0，令p n =(S n+1S n)13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0，可得p n =1，则S n+1=S n ， 即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }，λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，△=(1−t)2−4<0，p n2+(1−t)p n +1=0无解， 则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }；③t =3时，(p n −1)3=0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }.④t >3时，即0<λ<1时，△=(1−t)2−4>0，p n2+(1−t)p n +1=0有两解α，β，设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0，则0<α<1<β， 则对任意n ∈N ∗，S n+1S n=1或S n+1S n=α3或S n+1S n=β3，此时S n =1，S n ={1,n =1β3,n ≥2，S n ={1,n =1,2β3,n ≥3均符合条件．对应a n ={1,n =10,n ≥2，a n ={1,n =1β3−1,n =20,n ≥3，a n ={1,n =1β3−1,n =30,n =2,n ≥4，则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0，综上可得0<λ<1．【解析】(1)由“λ−1”数列可得k =1，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得λ的值；(2)运用“√33−2”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，则Sn+113−S n 13=λa n+113，由两边立方，结合数列的递推式，以及t 的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在λ，并可得取值范围．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是一道难题．21. 平面上的点A(2,−1)在矩阵M =[a 1−1b]对应的变换作用下得到点B (3,−4)． (1)求实数a ，b 的值；(2)求矩阵M 的逆矩阵M −1．【答案】解：(1)由题意，知[a 1−1b ]⋅[2−1]=[2a −1−2−b ]=[3−4]， 则{2a −1=3−2−b =−4，解得a =2，b =2； (2)由(1)知，矩阵M =[21−12]，设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn p q ]，∴M ⋅M −1=[21−12]⋅[mn pq ]=[2m +p 2n +q −m +2p −n +2q ]=[1001]， ∴{2m +p =12n +q =0−m +2p =0−n +2q =1，解得m =25，n =−15，p =15，q =25， ∴M −1=[25−151525]．【解析】(1)由[a 1−1b ]⋅[2−1]=[3−4]，列方程组，求出a 、b 的值； (2)设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn pq ]，利用M ⋅M −1=[1001]，列方程组求出m 、n 、p 和q 的值即可．本题考查了矩阵的变换与计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．22. 在极坐标系中，已知A(ρ1,π3)在直线1：ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上(其中ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求ρ1，ρ2的值；(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【答案】解：(1)∵A(ρ1,π3)在直线1：ρcosθ=2上， ∴ρ1cos π3=2，解得ρ1=4．∵点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上， ∴ρ2=4sin π6，解得ρ2=2．(2)由直线l 与圆C 得，方程组{ρcosθ=2ρ=4sinθ，则sin2θ=1．∵θ∈[0,2π]，∴2θ=π2，∴θ=π4． ∴ρ=4×sin π4=2√2．故公共点的极坐标为(2√2,π4).【解析】(1)直接根据点A 在直线l 上，列方程求出ρ1的值，点B 在圆C 上，列方程求出ρ2的值；(2)联立直线l 与圆C 的方程，然后求出其公共点的极坐标即可．本题考查的知识要点：极坐标与极坐标方程的关系和根据简单曲线极坐标方程求交点坐标，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23. 设x ∈R ，解不等式2|x +1|+|x|<4． 【答案】解：2|x +1|+|x|={3x +2,x >0x +2,−1≤x ≤0−3x −2,x <−1．∵2|x +1|+|x|<4，∴{3x +2<4x >0或{x +2<4−1≤x ≤0或{−3x −2<4x <−1，∴0<x <23或−1<x <0或−2<x <−1，∴−2<x <23， ∴不等式的解集为{x|−2<x <23}.【解析】先将2|x +1|+|x|写为分段函数的形式，然后根据2|x +1|+|x|<4，利用零点分段法解不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题．24. 在三棱锥A −BCD 中，已知CB =CD =√5，BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 中点．(1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2)若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F −DE −C 的大小为θ，求sinθ的值．【答案】解：(1)如图，连接OC ，∵CB =CD ，O 为BD 的中点，∴CO ⊥BD ．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ∵BD =2，∴OB =OD =1，则OC =√BC 2−OB 2=√5−1=2．∴B(1,0，0)，A(0,0，2)，C(0,2，0)，D(−1,0，0)，∵E 是AC 的中点，∴E(0,1，1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)． 设直线AB 与DE 所成角为α，则cosα=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|−1+2|√1+4⋅√1+1+1=√1515， 即直线AB 与DE 所成角的余弦值为√1515； (2)∵BF =14BC ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设F(x,y ，z)，则(x −1,y ，z)=(−14，12，0)，∴F(34,12,0)．∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(74,12,0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0)． 设平面DEF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1+z 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =74x 1+12y 1=0，取x 1=−2，得m ⃗⃗⃗ =(−2,7,−5)；设平面DEC 的一个法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 由{n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2+z 2=0n⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+2y 2=0，取x 2=−2，得n ⃗ =(−2,1,1)． ∴|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√4+49+25⋅√4+1+1=√1313． ∴sinθ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913． 【解析】(1)由题意画出图形，连接OC ，由已知可得CO ⊥BD ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，设直线AB 与DE 所成角为α，由两向量所成角的余弦值，可得直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2)由BF =14BC ，得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设F(x,y ，z)，由向量等式求得F(34,12,0)，进一步求出平面DEF 的一个法向量与平面DEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得cosθ，再由同角三角函数基本关系式求解sinθ．本题考查利用空间向量求空间角，考查空间想象能力与逻辑思维能力和运算求解能力，是中档题．25. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．(1)求p 1，q 1和p 2，q 2；(2)求2p n +q n 与2p n−1+q n−1的递推关系式和X n 的数学期望E(X n )(用n 表示)．【答案】解：(1)由题意可知：p 1=13，q 1=23，则p 2=13p 1+23×13q 1=727； q 2=23p 1+(23×23+13×13)q 1=1627． (2)由题意可知：p n+1=13p n +23×13q n =13p n +29q n ，q n+1=23p n +(23×23+13×13)q n +23(1−p n −q n )=−19q n +23， 两式相加可得2p n+1+q n+1=23p n +13q n +23=13(2p n +q n )+23，则：2p n +q n =13(2p n−1+q n−1)+23，所以，2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，因为2p 1+q 1−1=13，数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列， 所以2p n +q n −1=(13)n ，即2p n +q n =(13)n +1，所以E(X n )=2p n +q n +0×(1−p n −q n )=(13)n +1．【解析】(1)利用已知条件求出p 1=13，q 1=23，推出p 2；q 2即可．(2)推出p n+1=13p n +29q n ，q n+1=−19q n +23，得到2p n+1+q n+1=13(2p n +q n )+23，推出2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，说明数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即可．本题考查数列与概率相结合，期望的求法，数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是难题．。
(完整版)椭圆定义与几何意义有关习题及答案
椭圆定义与几何意义习题及答案一、选择题 (每小题4分，共40分)1. 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 （ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）2. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足12.0MF MF =u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ． 1(0,]2C ．(0,)2D ．[2 3. 已知椭圆1121622=+y x 的左焦点是1F ，右焦点是2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么 12:PF PF 的值为A ．35B ．12C ．56D ．534. 已知椭圆的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，M 是椭圆上一点，若021=⋅MF MF 8=，则该椭圆的方程是（ ） (A) 12722=+y x (B) 17222=+y x(C) 14922=+y x (D) 19422=+y x5. 设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y +=6. 椭圆22ax +22b y =1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈[12π,4π]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） A ．[22,1 ) B ．[22,36] C ．[36，1) D ．[22,23] 7. 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 恰好是椭圆12222=+by a x ()0>>b a 的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为 （A ）23-（B ）32（C ）12- （D ）36 8. 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若2212||||b MF MF =⋅，则椭圆离心率的范围是（ ） A ．]22,0( B ．)1,22[C ．)1,23[D ．)1,2[9. 设椭圆)0,0(12222>>=+n m n y m x 的右焦点与抛物线x y 82=的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的方程为 （ ） A.1161222=+y x B.1121622=+y x C.1644822=+y x D.1486422=+y x 10. 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若2212||||b MF MF =⋅，则椭圆离心率的范围是（ ） A ．]22,0( B ．)1,22[ C ．)1,23[ D ．)1,2[二、填空题 (共4小题，每小题4分)11. 已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2，点P 是C1与C2的一个公共点，12PF F ∆是一个以PF1为底的等腰三角形，1||4,PF =C1的离心率为3,7则C2的离心率为 。
第11讲 坐标法秒解离心率问题(解析版)
第11讲 坐标法秒解离心率问题参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．已知椭圆22221x y a b +=左右焦点分别为1F ，2F ，双曲线22221x y m n-=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，已知椭圆的离心率为134e =，则双曲线的离心率2(e = ) A 2B 92C 92D 32【解答】解：椭圆22221x y a b +=左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆的离心率为134e =，不妨令4a =，3c =，则7b ，所以椭圆方程为：221167x y +=，双曲线22221x y m n-=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，可设(,)0P s t s >，0t >，则：222291167s t s t ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得249()32t s =，可得224932n m =， 2224992132m n m ++=． 故选：B ．2．双曲线C 的中心在坐标原点O ，右顶点2A ，虚轴的上端点2B ，虚轴下端点1B ，左右焦点分别为1F 、2F ，直线12B F 与直线22A B 交于P 点，若22B PF ∠为锐角，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A ．15()-++∞ B ．15+ C ．15()++∞D ．35()++∞ 【解答】解：设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b-=>，由题意可得2(,0)A a ，2(,0)F c ，2(0,)B b ，1(0,)B b -，故直线12B F 的方程为b y b x c +=，直线22A B 的方程为by b x a-=-，联立方程组，解得2ac x a c =+，()b a c y a c-=+， 即2(acP a c+，())b a c a c -+，∴2()(c c a PF c a -=+，())b c a c a -+，22(ac PB a c =-+，2)bcc a+，22B PF ∠为锐角，∴220PF PB >，()2()2()0c c a ac b c a bcc a a c c a c a---+>++++， 2b ac ∴>，22c a ac ∴->即210e e -->，15e +， 故选：C ．3．双曲线C 的中心在坐标原点O ，右顶点2A ，虚轴的上端点2B ，虚轴下端点1B ，左右焦点分别为1F 、2F ，直线12B F 与直线22A B 交于P 点，若22B PF ∠为钝角，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．15(-+，)+∞ B ．15+ C ．15(+，)+∞D ．35(+)+∞ 【解答】设双曲线的方程为22221x y a b-=，由题意可得2(,0)A a ，2(,0)F c ，2(0,)B b ，1(0,)B b -，故直线12B F 的方程为b y b x c +=，直线22A B 的方程为by b x a-=-，联立方程组，解得2ac x a c =+，()b ac y a c-=+， 即2()(,)ac b a c P a c a c-++， ∴2()(c c a PF c a -=+，())b c a c a -+，22(ac PB a c -=-+，2)bc a c+，APF ∠是钝角，∴220PF PB <，()2()20c c a ac b c a bcc a c a c a a c---+<++++，2b ac ∴<，22c a ac ∴-<即210e e --<1515e -+<<又1e >，151e +∴<<，故选：B ．4．已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，B 为该椭圆的右顶点，过2F 作垂直于x 轴的直线与椭圆交于P ，Q 两点(P 在x 轴上方），若1//BP F Q ，则椭圆的离心率为( ) A 2B ．12 C ．13D ．23【解答】解：设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则122F F c =，2F B a c =-， 由对称性可知22PF QF =，若1//PB F Q ，则212PBF QF F ∠=∠， 2PBF ∴∆≅△12QF F ，122F F F B ∴=，即2c a c =-，13c e a ∴==， 故选：C ．5．已知A ，B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点，点P ，Q 在E 上，直线PQ垂直于x 轴且过E 的右焦点，直线PA 与y 轴交于点M ，若//PB MQ ，则椭圆E 的离心率为( ) A 51-B 31-C 21- D 21【解答】解：如图，可得2(,)b P c a ，2(,)b Q c a-，(,0)A a -，(,0)B a ，∴2APb a kc a =+．直线AP 方程：2()()b y x a ac a =++令0x =，可得2(0,)b M a c+PBMQ k k =，∴222222010b b b a a c a c ac a e e c a c++=⇒+-=⇒+-=--， 51e -=故选：A ．6．已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴．若122||2||F F PF =，则该椭圆的离心率为( ) A 2 B 3 C 31- D 51-【解答】解：1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，设1(,0)F c -，2(,0)F c ，(0)c >，P 为椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴．若122||2||F F PF =， 可得222b c a=，即222ac b a c ==-．可得210e e +-=．解得51e -=故选：D ．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率为( )A 6B 23C ．12D 2 【解答】解：设右焦点(,0)F c ，将2by =代入椭圆方程可得22314b x b =±-=， 可得3(B ，)2b ，3(C ，)2b，由90BFC ∠=︒，可得1BF CF k k =-， 22133b ba c a c =----， 化简为22234b ac =-，由222b a c =-，即有2232c a =，由c e a=，可得22223c e a ==，可得6e ， 故选：A ．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，且113PF F Q =，若2PF 垂直于x 轴，则椭圆C 的离心率为( )A ．13B ．12C 3D 3 【解答】解：设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设(,)P m n ，0n >，由2PF 垂直于x 轴可得m c =，由242222(1)c b n b a a =-=，可得2b n a=，设(,)Q s t ，由113PF F Q =，可得3()c c s c --=+，23b t a -=，解得53s c =-，23b t a =-，将5(3Q c -，2)3b a -代入椭圆方程可得222225199c b a a ⋅+=，即2222259c a c a +-=，即有223a c =， 则3c e a ==故选：C ．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，1A ，2A ，1B ，2B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为( )A ．275B 271+C 572D 271-【解答】解：对椭圆进行压缩变换，x x a '=，y y b'=， 椭圆变为单位圆：221x y ''+=，(F 'ca，0)． 延长TO 交圆O 于N易知直线11A B 斜率为1，1TM MO ON ===，122A B = 设(,)T x y ''，则22TB x '，1y x '='+， 由割线定理：21TB TA TM TN ⨯=⨯ 2(22)13x x ''=⨯，71x -'=（负值舍去） 71y +'=易知：1(0,1)B -直线1B T 方程：7111271y x ++'+='-令0y '=275x '=，即F 横坐标即原椭圆的离心率275ce a==． 故选：A ．10．平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(2,0)F ，以F 为圆心，FO 为半径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B （不同于)O ，当||AB 取最大值时双曲线的离心率为()A 2B 3C ．2D 5【解答】解：F 为圆心，FO 为半径的圆的方程为222()x c y c -+=， 双曲线的渐近线方程为by x a=±，代入圆的方程可得，222(1)2b x cx a +=，解得222222222ca ca a x a b c c===+， 即有22(a A c ，2)ab c ，22(a B c ，2)abc-，22244||242ab ab AB ab a b c c ===+==， 当且仅当2a b ==，取得等号． 则双曲线的离心率为2ce a==． 故选：A ．11．在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，圆M 的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为双曲线的实轴长2a ，若圆M 与双曲线的两渐近线均相切，且直线MF 与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为( ) A 5B 23C 2D 5【解答】解：设圆心(0,)M m ，双曲线的渐近线方程为by x a=±，(,0)F c -，直线MF 与双曲线的一条渐近线by x a=-垂直，则()1m b c a -=-，即acm b=， 则圆心坐标(0,)acM b， 圆M 与双曲线的两渐近线均相切，∴圆心M 到直线b y x a=±即0bx ay ±=的距离2d a =，即2222a c b d a a b==+，整理得2a b =，则2222444a b c a ==-， 则2254a c =，即2254c a =， 则554c e a == 故选：A ．12．设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线分别交于点A 、B ，若点(,0)P m 满足()PA PB AB +⊥，则该双曲线的离心率是( )A 5B 5C ．52D 5【解答】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>两条渐近线分别为：by x a=±，由30b y x ax y m ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩得，33ma x b amb y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩， 则点A 的坐标是(3ma b a -，)3mb b a-， 同理可求B 的坐标是(3ma b a -+，)3mbb a+， 设AB 的中点是C ，则C 的坐标是1(()233ma ma b a b a -+-+，1())233mb mbb a b a+-+，因为()PA PB AB +⊥，所以PC AB⊥，因为AB 的斜率是13，所以PC 的斜率是3-，则1()023331()233mb mb b a b a ma ma m b a b a +--+=--+--+，化简得224a b =， 所以222254c a b a =+=，则254e =，5， 故选：B ．13．设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是( )A 5B ．32C ．52D 51【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为by x a=±，分别与30(0)x y m m -+=≠联立，解得(3am A a b --，)3bm a b --，(3am B a b -+，)3bma b+， AB ∴中点坐标为222(9ma b a -，2223)9mb b a -， 点(,0)P m 满足||||PA PB =， ∴22222230939mb b a ma mb a --=---， 2a b ∴=， 5c b ∴，5c e a ∴==． 故选：A ．14．设直线30(0)x y m m +=≠与x 轴交于点C ，与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ．若A 为BC 中点，则该双曲线的离心率是( ) A 5B 5C 3D ．2【解答】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为0bx ay ±=，直线30(0)x m m +=≠与x 轴交于点(,0)C m -， 由300x y m bx ay ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得(3A a b +3a b +，由300x y m bx ay ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得(3B b a -3b a -，因为A 为BC 的中点， 33a bb a=+-，由0m ≠，0b >，可得32(3)a b b a +=-， 即为3b a =，所以221132c b e a a==+=+=．故选：D ．15．设m R ∈，已知直线20(0)x y m m --=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点M ，N ，若点(2,0)Q m 满足||||QM QN =，则该双曲线的离心率为()A 2B 5C ．2D 10 【解答】解：由2y x m by x a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得(2ma M a b-，)2mb a b -， 由2y x mby x a =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得(2ma N a b +，)2mba b-+． MN ∴的中点坐标为2222(4ma P a b -，222)4mb a b -，点(2,0)Q m 满足||||QM QN =， 1PQ MN k k ∴⋅=-，即222222142224b ma b a m ma b -=---， 整理得：2232a b =，22232()a c a ∴=-， 解得：10e =． 故选：D ．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点(0,2)B b ，双曲线渐近线上存在一点P ，使得顺次连接A ，B ，F ，P 构成平行四边形，则双曲线C 的离心率为( ) A 2B 3C ．2D ．3【解答】解：由双曲线方程知：(,0)A a -，(,0)F c ，渐近线方程为by x a=±；①若点P 在by x a=上，可设00(,)b P x x a ，顺次连接A ，B ，F ，P 构成平行四边形，∴AP BF =，即00(,)(,2)bx a x c b a+=-，∴002x a c b x b a +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即a c -=，不合题意；②若点P 在by x a=-上，可设00(,)b P x x a -，顺次连接A ，B ，F ，P 构成平行四边形，∴AP BF =，即00(,)(,2)bx a x c b a+-=-，∴002x a c b x b a+=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，即3a c =，3e ∴=；综上所述：双曲线的离心率3e =． 故选：D ．17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，P 为双曲线渐近线上一点，且PF AF ⊥，若23tan PAF ∠=，则双曲线C 的离心率为( ) A 2B 3C ．2 D ．3【解答】解：联立x cb y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴,bc x c y a ==，∴||bc PF a =．所以233bca a c =+，∴2233bc a ac =+4322438740c a c a c a ∴---=．所以4237840e e e ---=，4223125840e e e e ∴-+--=， 所以23(2)(2)(52)(2)0e e e e e +-++-=， 所以32(2)(3652)0e e e e -+++=， 因为1e >，所以3236520e e e +++>， 所以2e =．所以双曲线C 的离心率为2． 故选：C ．18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点(0,)B b ，若BA BF ⊥，则双曲线C 的离心率为( )A 51-B 51+C ．2 D 2【解答】解：双曲线的左顶点为(,0)A a -，右焦点为(,0)F c ，点(0,)B b ，且BA BF ⊥， (a ∴-，)(b c -⋅，)0b -=，即20ac b -+=， 即220c a ac --=， 即210e e --=，得51e +=， 故选：B ．二．填空题（共7小题）19．设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ．若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是5． 【解答】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为by x a=±，则与直线30x y m -+=联立，可得(3ma A b a -，)3mb b a -，(3ma B b a -+，)3mbb a+，AB ∴中点坐标为222(9ma b a -，2223)9mb b a -，点(,0)P m 满足||||PA PB =， ∴22222230939mb b a ma mb a --=---， 2a b ∴=，∴225c a b b =+，5c e a ∴==． 520．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点(0,)B b ，双曲线的渐近线上存在一点P ，使得A ，B ，F ，P 顺次连接构成平行四边形，则双曲线C 的离心率e = 2 ．【解答】解：由双曲线的方程可得(,0)A a -， 设双曲线的半焦距为c ，则(,0)F c ， 双曲线的渐近线方程为by x a=±，由平行四边形ABFP ，可得P 在渐近线by x a=-上，由//AB FP ，可得FP AB b k k a==， 设FP 的方程为()by x c a =-，与by x a=-联立，解得(2c P ，)2bc a -，又||||AB FP =2222()()22c bca b c a+-+，化为2222344b c c a=，即为3b a =，所以2212c b e a a==+=．故答案为：2．21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，以F 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线相切于第一象限内的一点B ．若直线AB 的斜率为12，则双曲线C 的离心率为53． 【解答】解：由题意可知(,0)A a -，经过第一象限的渐近线方程为by x a=， 过点F 且与渐近线垂直的直线相交于点B ，∴()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2(,)a ab B c c∴，∴2012ab c aa c-=+，即2a c b +=， 222c a b =+，∴222()4a c c a +=+，即23250e e --=，53e ∴=， 故答案为：53．22．设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的其中一条渐近线交于点P （不同于)O ，若双曲线C 右支上存在点M 满足PM MF =，则双曲线C 的离心率为2 ．【解答】解：如图所示：双曲线对称性，设渐近线的方程为：by x a=，即0bx ay -=，右焦点(,0)F c ，所以F 到渐近线的距离22bcd b ca b ===+，在直角三角形OPF 中可得2222||OP OF d c b a =-=-=，所以||OP a =，||PF b =，所以可求得2(,)a abP c c，(,0)F c ，因为PM MF =，则可得M 为P ，F 的中点，所以22(,)22a c abM c c +， 把M 代入双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，可得222222222()144a c a b a c b c+-=，整理可得222c a =，所以2e 223．设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为 2 ．【解答】解：如图，以OF 为直径的圆的方程为220x y cx +-=， 又圆O 的方程为222x y a +=，PQ ∴所在直线方程为2a x c=． 把2a x c =代入222x y a +=，得2ab PQ c=，再由||||PQ OF =，得2ab c c=，即22244()a c a c -=， 22e ∴=，解得2e =224．设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，过F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作椭圆C 的切线并相交于点P ，线段(OP O 为坐标原点）交椭圆C 于点Q ，满足2OQ QP =，且0FQ OF =，则椭圆C 的离心率为 6． 【解答】解：0FQ OF =，∴可取2(,)b Q c a-，满足2OQ QP =，∴32OP OQ =，233(,)22c b P a∴-．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 可得过点A ，B 的切线方程分别为：11221x x y y a b +=，22221x x y ya b+=． 联立解得22121212211221()()(,)a y y b x x P x y x y x y x y -----． 设直线AB 的方程为：()y k x c =+，22121221()()()P a k x x a x x k x c x k x c c-∴=-=-+-+，∴232c a c-=-，解得6c e a ==625．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且与圆222:O x y a +=相切的直线与双曲线C 的一条渐近线相交于点M （点M 在第一象限），若12MF MF ⊥，则双曲线C 的离心率e = 2 ． 【解答】解：如图，依题意可知1ON MF ⊥，即可得2//MF NO ，22MF a ∴=，设(,)b M x x a ，由2222()bMO x x c a=+=，可得x a =，故(,)M a b ，22MF a =，222()4a c b c ∴-+=，整理可得2220c ac a --=，220e e ∴--=， 1e >，2e ∴=，故答案为：2．。
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平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>
的离心率为2，左、右焦点分别是12,F F .以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆22
22:1,44x y E P a b
+=为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . （ⅰ）求||||
OQ OP 的值； （ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值.
（Ⅰ）由题意知24a =，则2a =
又2
c a =，222a c b -=， 可得1b =，
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E 的方程为22
1164
x y += （ⅰ）设点00(,)P x y ，||||
OQ OP λ=，由题意知00(,)Q x y λλ-- 因为220014
x y +=， 又2200()()1164x y λλ--+=，即22200()144
x y λ+=， 所以2λ=，即||2||
OQ OP = （ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y
将y kx m =+代入椭圆E 的方程，
可得222
(14)84160k x kmx m +++-=，
由0∆>，可得22416m k <+ ① 则有2121222
8416,1414km m x x x x k k -+=-=++
所以122
14x x k -=+ 因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为(0,)m ， 所以OAB ∆的面积121||||2
S m x x =-
=
=
= 设2
2
14m t k =+
将y kx m =+代入椭圆C 的方程，
可得222(14)8440k x kmx m +++-=， 由0∆≥，可得2214m k ≤+
② 由①②可知01t <≤，
因此S ==
故S ≤
当且仅当1t =，即2214m k =+时取得最大值由（ⅰ）知，ABQ ∆面积为3S ,
所以ABQ ∆面积的最大值为。