数的整除专题讲解

【第三专题】数的整除

数的整除问题包括丰富的内容，这个知识点对思维技巧性有很强的要求。数的整除问题是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

【必会知识点】

【概念】

1、整除

整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数时，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)，记作b︱a．

如:15÷5=3，所以15能被5整除(或5能整除15)，记作5︱15．

反之，则称为不能整除，用“”表示，如7 15.

如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是b的倍数，b是a 的约数．如15是5的倍数，5是15的约数．

特别的，注意0÷b=0(b≠0)，所以说零能被任何非零整数整除，零也是任何非零整数的倍数．

还有0÷1=0，所以说1能整除任何整数，1是任何整数的约数．如果a,b除了1，没有其他的公约数，则称a,b互质，记作：（a,b）=1

因为整除均在整数范围内考察，所以以下所指之数不特加说明均指整数．

因为符号“∵”，所以的符号“∴”；

【整除性质】

（1）如果数a、b都能被c整除，那么（a+b）与（a－b）也能被c整除。即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．

（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。如果b︱a，c︱b，那么c︱a．

（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。如果（abc……），并且m︱c，那么m︱（abc……）．

（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。

如果b,c互质，并且b︱a，c︱a，那么bc︱a．

例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．

反之，如果bc︱a，那么b︱a，c︱a．

（5）a个连续自然数中有并且只有一个数能被a整除。

（6）如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．

如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；

（7）如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac 也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；

【整除判断方法】

1、常见数字的整除判定方法

一些质数整除的数字特征(约数只有1和它本身的数，称为质数)：

(1)能被2整除的数，其末位数字只能是0，2，4，6，8；

(2)能被3整除的数，其各位的数字和能被3整除；

(3)能被5整除的数，其末位数字只能是0，5；

(4)能被7整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与前面隔出数

能被7整除，7︱cba-的差(大减小)能被7整除。(即qponm cba

qponm 或7︱qponm -cba)；

【第二种方法】若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述【截尾、倍大、相减、验差】的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：先截取末位3，再用剩下的13减去3的2倍，判断差，即13-3×2=7，所以133是7的倍数;

又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9×2=595 ，59-5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。

(5)能被11整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与前面隔出

能被11整除，11︱cba-数的差(大减小)能被11整除(即qponm cba

qponm 或11︱qponm cba)，

【第二种方法】奇数位数字之和与偶数位数字之和，所得的差能被11整除；

【第三种方法】除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.

如:判断583能不能被11整除，用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除。

表示这是一个多位数，而不是q与p、o、c、b、a等数的qponm cba

乘积，下同．

（6）能被13整除的数，末三位与前面隔开，末三位与前面隔出数的差(大减小)能被13整除，那么这个数能被13整除。

【第二种方法】若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断73957是否13的倍数的过程如下：先截取末位7，再用剩下的7395加上7的4倍，判断和，即7395+4×7=7423，

再重复上述过程，742+4×3=754，……75+4×4=91,91是13 的倍数，所以73957是13的倍数;

（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述【截尾、倍大、相减、验差】的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断8313是否17的倍数的过程如下：先截取末位3，再用剩下的831减去3的5倍，判断差，即831-5×3=816，再重复上述过程，81-5×6=51，……,51是17 的倍数，所以8313是17的倍数;

（8）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述【截尾、倍大、相加、验差】的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断16625是否19的倍数的过程如下：先截取末位5，再用剩下的1662加上5的2倍，判断和，即1662+2×5=1672，再重复上述过程，167+2×2=171，……,17+2×1=19，19是19 的倍数，所以16625是19的倍数;