布朗运动理论简介

由布朗运动的性质(2),布朗运动是独立增量过程
P{ X(t) ≥ a} = P{ X(t) ≥ a | Ta ≤ t} P{ Ta ≤ t} + P{ X(t) ≥ a | Ta > t} P{ Ta > t}
(9)
(9) 式的后项等于零 , 而在前项中，根据对称性
P{ X(t) ≥ a | Ta ≤ t} = 0.5 ( t 时刻 , X(t) 在 a 上和 a
简单说明如下, a ≥ 0 时,有布朗运动的连续性可 知 , FM (t) = P max X(s) ≥ a = P{ Ta ≤ t} , 从而可
0≤ s ≤ t
{
以求出 FM (t) 的表达式 ; 当 a < 0 时 , 因 X(0) = 0 , 故
FM (t) ≡ 1 .
(3) X(t) 在 t = 0 右
x ⎛ X(t) ⎞ 1 u2 ⎟ lim P ⎜ x exp du ≤ = − ⎜∆ x [t /∆t] ⎟ 2 [t / ∆ t ]→∞ ⎝ ⎠ ∫−∞ 2π
X(t) 应该渐进的服从 ∆ x [t /∆t]
( )
(4)
由此,我们给出以下的定义 : 随机过程 { X(t), t ≥ 0} 满足以下条件时 , 称之为 布朗运动过程,简称为布朗运动.
任意布朗运动 X(t) 都可以令 B(t) = 为标准布朗运动.
4
布朗运动与平稳随机过程、白噪声的关系
由前讨论 , 布朗运动的 n 维分布函数不满足严格
X(t) 而转化 σ
平稳随机过程的定义,其 2 维分布函数也不满足广义 平稳随机过程的要求,故布朗运动不是广义平稳的,自 然也不是严格平稳的.但我们可以计算一下布朗运动 的自相关函数[2]. 设 { X(t), t ≥ 0} 是参数为 σ 的布朗运动, t1 < t2 , 则
之所以假设 ∆ x = σ ∆t , 是因为 , 对于某个固定 时间 t ,当 ∆t → 0 时,(2)式中方差的极限应该是个常 数且不能为零,若为零,则 X(t) 依概率 1 为零. 根据中心极限定理[1],及 E[X i ] = 0; D[X i ] = 1 的 事实, 可以推出随机变量 正态分布 N(0,1) ,也即
1.2 扩散方程
⎛ x2 ⎞ 1 − 2⎟ exp ⎜ ⎜ 2π tσ ⎝ 2σ t⎟ ⎠
(5)
式中, X i 反映的是粒子在第 i 步的运动情况,若粒子是 向右移动 , 则 X i = 1 ; 若粒子向左移动 , 则 X i = −1 .
1.1 中给出的是用离散随机游走逼近的方法来推导
布朗运动的分布函数的,下面从扩散方程的角度推导. 爱因斯坦根据物理学上的定律指出, 布朗运动的 分布函数 f (x, t) 满足偏微分方程(扩散方程)
∀s > 0, X(t + s) − X(t) 的分布不依赖于 t .
(2)
( )
}
(11)
t1 < t2 < " < tn ,随机变量 X(tn ) − X(tn−1), X(tn−1) − X(tn−2)," , X(t2) − X(t1), X(t1) 是独立的. x(t)
这两条性质是布 朗运动的定义中所体 现的.
{ X(t), t ≥ 0} 是参数为 σ 2 的布朗运动,则
b b ⎡ b ⎤ E ⎢ f(t)X ′(t)dt g(t)X ′(t)dt⎥ = σ 2 g(t)f (t)dt ∫a ∫a ⎣∫ a ⎦
我们计算 E[V (t)] 和 RV (t1 , t2) .
布朗运动理论简介
E[V (t)] = exp( −αt / 2) E[X(exp(αt))] = 0 t1 < t2 时
桑峰(SY0802206) ⎧0 t ≠ 0 ∞ ⎪ ; δ(t) = ⎨ δ(t)dt = 1 ⎩ ⎪∞ t = 0 ∫−∞ 可以发现,当 h→0 时,
M (t) = max X(s) 也 是 一 随 机 过 程 , 其 分 布 函 数 [6]
0≤ s ≤ t
(1)
{ X(t), t ≥ 0} 增量是平稳的，即对于给定 { X(t), t ≥ 0} 增量是独立的,即对于所有的
FM (t) 为 ⎧ 2 ∞ u2 ⎪ exp − du a ≥ 0 ⎪ 2 FM (t) = ⎨ π ∫a / t ⎪ ⎪ ⎩ 1 a<0
2
(5) 首中时和最大值变量
标准布朗运动 X(t) 中 , 首次击中点 (a,0) 的时刻
Ta 是一随机过程,称为首中时. Ta 有如下的分布[2]
FTa (t) =
2 ∞ u2 exp − du 2 π ∫|a|/t
( )
(8)
简单说明如下,对于 a > 0 时,根据全概率公式有
R X (t1 , t2) = E[X(t1), X(t2)] = E[X(t1), X(t1) + X(t2) − X(t1)] = E[X(t1), X(t1)] + E[X(t1), X(t2) − X(t1)]
E[X(t)] = 0; D[X(t)] = σ 2t
(3)
0 概述
1827 年,英国植物学家布朗(Robert Brown)发现 浸没在液体中的花粉颗粒做无规则的运动,此现象后 被命名为布朗运动.爱因斯坦(Albert Einstein)于 1905 年解释了布朗运动的原因,认为花粉粒子受到周围介 质分子撞击的不均匀性造成了布朗运动.1918 年,维纳 (Wiener) 在他的博士论文中给出了布朗运动的简明 数学公式和一些相关的结论.如今,布朗运动的模型及 其推广形式在许多领域得到了广泛的应用,如经济学 中, 布朗运动的理论可以对股票权定价等问题加以描 述. 从数学角度来看,布朗运动是一个随机过程,具体 的说,是连续时间,连续状态空间的马尔科夫过程.
··3··
(20)
RV (t1 , t2) = E[V (t1), V (t2)] α(t2 + t1) E[X(exp(αt1), X(exp(αt1)] 2 (14) α(t + t1) = exp − 2 exp(αt1) 2 α(t1 − t2) = exp 2 = exp −
( ( (
)
) )
FTa (t) = P{ Ta ≤ t} = 2 P{ X(t) ≥ a}
(10)
从而再根据布朗运动的分布函数是正态分布的 性 质 可 以 求 出 FTa (t) . 当 a < 0 时 , 根 据 对 称 性, Ta = T−a 分布相同,可以求出 a < 0 时, FTa (t) 的
V (t) = exp( −αt / 2) X(exp(αt)) t ≥ 0
[2]
(1)
X(0) = 0; { X(t), t ≥ 0} 是独立平稳增量过程；
对于固定的时间 tf , X(tf ) 是均值为 0, 方差为
1 布朗运动的数学描述
1.1 离散随机游走逼近 如图 1, 设粒子在 t = 0 时刻位于原点 O 上 , 从
(2) (3)
σ 2tf 的正态随机变量.
其中条件(1)(3)是根据上面的推导得出的,(2)是 根据明确的物理背景的合理的假定. 从而布朗运动的分布函数为
连续,在 t > 0 连续,
3 布朗运动的变形形式
O
Biblioteka Baidu
X(t) 的任一样本函数 x(t) 在 t > 0 连续,但
却处处不可导(图 2).
t
布朗运动的变形可以导出其他的随机过程,他们 有各自特定的性质,在数学建模中也有广泛的应用,设
图 2 X(t) 的一个样本函数
X(t) 是标准的布朗运动,下面是布朗运动常用的一些
我们若设 ∆ x = σ ∆t ( σ 为正常数 ), 代入式 (2)
布朗运动理论简介
桑峰(SY0802206) 表达式,综合可以得到式(8).
··2··
2
布朗运动的性质
除了布朗运动的分布函数是正态分布外,布朗运
标准布朗运动在时间区间 [0, t] 上取得的最大值
动 { X(t), t ≥ 0} 具有以下的性质:
变形形式[2-3]:
性质(3)的严格的数学证明比较复杂,这里不再叙 述,感兴趣的读者可以参看文献[3-5].
(4) 联合概率密度
σ = 1 的布朗运动称为标准布朗运动.由布朗运动
的性质可以推出标准布朗运动的联合概率密度[2]为
X 1(t) = cX(t / c 2) c > 0; ⎧tX(1/ t) t > 0 X 2(t) = ⎪ ; ⎨ ⎩ ⎪0 t = 0 X 3(t) = X(t + h) − X(h) h > 0; Y (t) = | X(t)| t > 0; i X(t) = X(t) + μt t > 0.
《随机过程理论》大作业
桑峰(SY0802206)
布朗运动理论简介
桑 峰 (北京航空航天大学电子信息信息工程学院,学号:SY0802206)
摘
要
本文对应用随机过程中的布朗运动理论进行了介绍.首先对布朗运动的背景,性质进行了阐述,然后介
绍了布朗运动的变形,最后指出了其跟平稳随机过程,白噪声之间的关系. 关键词 布朗运动 白噪声 平稳随机过程
中,并且令 ∆t → 0 ,得到
∂f (x, t) ∂2 f (x, t) =D ∂t ∂x 2
(2)
(6)
上式中 , D 为扩散系数 , D = 2 RT / Nf , R, N 均为常 数, f 是反映液体性质的常量, T 是温度. 可以验证式
(5) 是方程 (6) 的解 , 已经证明 , 若 X(t) 在 t = 0 连续 (依概率连续)的条件下式(6)的解是唯一的.
t1 ≥ t2 时, RV (t1 ,t2) = exp
(
α(t2 − t1) 2
)
(15)
式(14-15)表明, V (t) 是一个广义平稳随机过程. 白噪声定义[6]为一个均值为零的且具有恒定功率 谱分布 S(ω) = N 0 / 2 ω ∈( −∞,+∞) 的平稳过程 , 根据维纳-辛钦公式,可以得到白噪声的自相关函数为
2 R(τ) → σ δ(τ) , 而
h → 0 时 , W (t) =
X(t) − X(t − h) 成 为 X ′(t) , 即 h
X ′(t) 为 X(t) 的导数过程,根据上面的分析, X ′(t) 过
程为平稳的随机过程,而且 X ′(t) 和白噪声有着一样的 性质,根据白噪声的定义, X ′(t) 就是白噪声过程. 从布朗运动的角度出发, 可以得到白噪声过程的 一个性质,这里我们不加证明的给出,详细证明可以参 看文献[6]. 设 f (x), g(x) 为 区 间 [a, b] 上 的 连 续 函 数 , 设
t > 0 时刻开始,每隔 ∆t 时间,粒子等概率的向左或者
向右移动大小为 ∆ x 距离 , 设 t 时 刻粒子的位置为 X(t) , 则 X(t) 可 以表示为
←⎯⎯⎯ → O
p = 1/ 2
x
图1
随机游走
X(t) =∆ x(X 1 + X 2 + " + X[t /∆ t ])
(1)
f (x, t) =
[t /∆t] 表示不超过 t /∆t 的最大整数.根据假设, X i 是
独立的,且有 P{ X i = 1} = P{ X i = −1} = 0.5 ,于是有
⎫ ⎪ ⎪ [t / ∆ t ] ⎪ ⎪ ⎪ =∆ x ∑ E[X k ] = 0; ⎪ k =1 ⎪ ⎬ 2 D[X(t)] = ( ∆ x) D[X 1 + X 2 + " + X [t /∆ t]]⎪ ⎪ ⎪ [t / ∆ t ] ⎪ 2 2⎡ t ⎤ ⎪ ∆ x) ∑ D[X k ] = ( ∆ x) ⎢ ⎥. ⎪ =( ∆ t ⎣ ⎦ ⎪ ⎭ k =1 E[X(t)] =∆ xE[X 1 + X 2 + " + X[t /∆ t]]
(12)
f (x1 , x2," , xn ) = ⎧ 1 ⎡x 2 (x − x )2 ⎫ (x − xn−1)2 ⎤ 1 ⎪ ⎪ ⎥ exp ⎨ − ⎢ 1+ 2 +" + n ⎬ (7) ⎢ ⎥ t t t t t 2 − − ⎭ n n−1 2 1 ⎩ ⎣ 1 ⎦ ⎪ ⎪ (2π)n / 2[t1(t2 − t1)"(tn − tn−1)]1/ 2
下的可能性是相同的),因此可以得到
∴ R X (t1 , t2) = E[X(t1), X(t1)] = D[X(t1)] = σ 2t1 (13)
但是,布朗运动的一些变形形式却具有平稳性质. 以下是一例. 设 X(t) 是标准的布朗运动,对于 α > 0 ,定义随机 过程(统计力学中的 Ornstein-Uhlenbeck 过程[2])