理论力学第七章
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得
tan θ =
r sin ϕ h − r cos ϕ
sin ω 0 t h − cos ω 0 t r ]
图 7-5
注意到 ϕ = ω 0 t ，得
θ = tan −1 [
（2）
自 B 作直线 BD 垂直相交 CO 于 D，则
tan θ =
r sin ω 0 t BD = DO h − r cos ω 0 t
7-13
半 径 R = 100 mm 的 圆 盘 绕 其 圆 心 转 动 ， 图 7-12a 所 示 瞬 时 ， 点 A 的 速 度 为
t v a = 200 j mm/s ，点 B 的切向加速度 a B = 150i mm/s 2 。求角速度 ω 和角加速度 α ，并进一步写
出点 C 的加速度和矢量表达式。
dω dr + ω =0 dt dt dr r dω =− dt ω dt dω aω 2 av 2 = = 2π r 2π r 2 dt
（2）
α=
7-9
AB = O1O2 ， 齿轮 1 和半径为 r2 的齿轮 2 啮合， 图 7-9 所示机构中齿轮 1 紧固在杆 AC 上，
设 O1 A = O2 B = l ，ϕ = b sin ωt ， 试确定 t = 齿轮 2 可绕 O2 轴转动且和曲柄 O2 B 没有联系。 时，轮 2 的角速度和角加速度。
⎤ ⎡ ⎥ ⎢ sin ω t 0 θ = tan −1 ⎢ ⎥ ⎢ h − cos ω 0 t ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣r
故
50 π ⋅ 600 100π r ω1 = rad/s ⋅ = 100 − 5t 30 10 − 0.5t d dω 5 000 π d ⎛ 1 000π ⎞ α2 = 2 = ⎜ ⎟= dt dt ⎝ 100 − 5t ⎠ (100 − 5π )2
解
设轮缘上任 1 点 M 的全加速度为 a，切向加速度 a t = rα ，法向加速度 a n = ω r ，如图
2
7-11b 所示。
tan θ =
把
α=
dω ， θ = 60° 代入上式，得 dt
at α = 2 an ω
dω tan 60° = dt2
ω
分离变量后，两边积分：
∫ω
得
ω
0
dω
ω
2
=∫
80
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
7-6 如图 7-6 所示，摩擦传动机构的主动轴 I 的转速为 n = 600 r/min 。轴 I 的轮盘与轴Ⅱ的轮 盘接触，接触点按箭头 A 所示的方向移动。距离 d 的变化规律为 d = 100 − 5t ，其中 d 以 mm 计， t 以 s 计。已知 r = 50 mm ， R = 150 mm 。求： （1）以距离 d 表示轴 II 的角加速度； （2）当 d = r 时，轮 B 边缘上 1 点的全加速度。 解 （1）两轮接触点的速度以及切向加速度相同
ω2 =
2 4 a = R α2 + ω2 = 150 (2 π ) 2 + (20π) 4 = 300π 1 + 40 000π 2
= 592 000 mm/s 2 = 592 m/s 2
7-7 车床的传动装置如图 7-7 所示。已知各齿轮的齿数分别为： z1 = 40 ， z 2 = 84 ， z 3 = 28 ，
7-11 杆 AB 在铅垂方向以恒速 v 向下运动并由 B 端的小轮带着半径为 R 的圆弧 OC 绕轴 O 转 动。如图 7-10a 所示。设运动开始时，ϕ =
π ，求此后任意瞬时 t，OC 杆的角速度 ω 和点 C 的速度。 4
ϕ
R C B v
x
O
ω
(a) 图 7-10
(b)
解 又 由图 7-10b，得
v A lbω cos ωt t = 2ω & = =0 v A = lϕ = lbω cos ωt ， ω 2 = r2 r2
π
&& = −lbω 2 sin ωt = −lbω 2 ， α 2 = a = lϕ
t A
t aA lbω 2 =− r2 r2
7-10 律。 解
在上题图中，设机构从静止开始转动，轮 2 的角加速度为常数 α 2 。求曲柄 O1 A 的转动规 轮 1、轮 2 上点 D 切向加速度相同
图 7-4
杆 OC 的角加速度
7-5
如图 7-5 所示，曲柄 CB 以等角速度 ω 0 绕轴 C 转动，其转动方程为 ϕ = ω 0 t 。滑块 B 带
动摇杆 OA 绕轴 O 转动。设 OC = h ， CB = r 。求摇杆的转动方程。 解 （1） 曲柄和摇杆均作定轴转动。由 ΔOBC 知
r h = sin θ sin[180° − (θ + ϕ )]
∠CBO =
π ， x B = 2 R cos ϕ 2 & B = 2 R + vt （↓） x B ( 0) = 2 R ， x
(2 R) 2 − x B
2
vt vt 1 2 − 2 2 − ( )2 R R 2R 2 v v ， vC = 2 Rω = − ω =− 2 R sin ϕ sin ϕ sin ϕ = =
பைடு நூலகம்
z 4 = 80 ； 带动刀具的丝杠的螺距为 h4 = 12 mm 。 求车刀切削工件 的螺距 h1 。
解 根据齿轮传动比，得
ω ω1 z 2 z = ，ω2 = ω3 ， 3 = 4 ω 2 z1 ω 4 z3 ω 1 z 2 ⋅ z 4 84 ⋅ 80 =6 = = ω 4 z1 ⋅ z 3 40 ⋅ 28
t aD = r2α 2
82
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
ACB 平移，点 A 切向加速度
t t aA = aD t && aA = lϕ
即 积分，得
&& = r2α 2 ， ϕ && = lϕ
&= ϕ
r2 α2 l
r2 r α 2 t + C1 ， ϕ = 2 α 2 t 2 + C1t + C 2 l 2l & = 0 ， C1 = 0 ， ϕ = 0 ， C 2 = 0 初始静止， t = 0 ， ϕ rα ϕ = 2 2 t2 2l
纸盘的角速度
− 2π dr a
81
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
ω=
dθ − 2π dr dr − a ω ， = = dt a dt dt 2π
v
（1）
θ r
dθ
(a)
(b) 图 7-8
又 rω = v ，两边对时间 t 求导：
r
即 式（1）代入式（2） ，得纸盘的角加速度
z1 ⋅ ω1 z3
图 7-3
20 950 × 2π × = 9.95 m/s 50 60
7-4
机构如图 7-4 所示，假定杆 AB 以匀速 v 运动，开始时 ϕ = 0 。求当 ϕ =
π 时，摇杆 OC 4
的角速度和角加速度。 解 依题意，在 ϕ = 0 时，A 在 D 处。由几何关系得：
tan ϕ =
ω 2 d = ω1r
ω2 =
=
（2）轮 B 作定轴转动，当 d = r 时轮缘上 1 点的加速度可如下求得：
5 000π rad/s 2 2 d
图 7-6
r ω1 = ω 1 = 20π rad/s d 5 × 10 3π 5 × 10 3π α2 = = = 2π rad/s 2 2 2 d r
t vA aA A n aA ϕ
π s 2ω
O1
(a) 图 7-9
C 1B vD a D r ω2 2 O2 2
t D
α2
(b)
解
AB 平移，所以轮 B 上与轮 2 接触点 D 处：
n t vD = v A ， aD = aA = aA + aA
因为轮 1、轮 2 啮合，所以轮 2 上点 D 速度与轮 1 上点 D 速度相同，切向加速度也相同。
v A = vB & v B = v A = lϕ
dϕ = 0.05 dt 1 1 图 7-2 dt ， ϕ = t + c dϕ = 30 30 1 t = 0 时， ϕ = 0 ， c = 0 ， ϕ = t 30 ⎧ x B = l cos ϕ （单位：m） ⎨ ⎩ x A = l sin ϕ − 0.8 点 B 轨迹方程为 l = 1.5 m 2 xB + ( y B + 0.8) 2 = 1.5 2 （单位：m） 7-3 已知搅拌机的主动齿轮 O1 以 n = 950 r/min 的转速转动。 搅杆 ABC 用销钉 A、 B 与齿轮 O2 、 如图 7-3 所示。 且 AB = O2 O3 ，O3 A = O2 B = 0.25 m ， 各齿轮齿数为 z1 = 20 ，z 2 = 50 ， O3 相连， 1.5
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
第7章 刚体的简单运动
7-1 图 7-1a 所示曲柄滑杆机构中，滑杆有 1 圆弧形滑道，其半径 R = 100 mm ，圆心 O1 在导 杆 BC 上。曲柄长 OA=100 mm，以等角速度 ω = 4 rad/s 绕轴 O 转动。求导杆 BC 的运动规律以及 当轴柄与水平线间的交角 ϕ 为 30°时，导杆 BC 的速度和加速度。
79
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
z 3 = 50 ，求搅杆端点 C 的速度和轨迹。 解 O2 O3 AB 为平行四边形， 搅杆 ABC 作平移， 点
C 的运动参数与点 A 相同， 显然点 A 的轨迹为 1 个半径 为 O3 A = r = 0.25 m 的圆。
v = O3 A ⋅ ω 3 = O3 A ⋅ = 0.25 ×
t
0
3dt
ω=
把
ω=
dϕ 代入上式进行积分 dt
ω0 1 − 3ω 0 t ω0
1 − 3ω 0 t
（1）
∫
得
ϕ
0
dω = ∫
1
t
0
dt
ϕ=
这就是飞轮的转动方程。 式（1）代入式（2） ，得
1 ) ln( 3 1 − 3ω 0 t
（2）
ϕ=
于是飞轮角速度与转角的关系为
1 3
ln
ω ω0
3ϕ
ω = ω0e
ω A
O ϕ B
(a) 图 7-1
R
O1
(b)
C
x
解 方程为
建立坐标轴 Ox，如图 7-1b 所示。导杆上点 O1 的运动可以代表导杆的运动，点 O1 的运动
x = 2 R cos ϕ = 0.20 cos 4t m
& = −0.80 sin 4t m/s x & & = −3.20 cos 4t m/s 2 x
对时间 t 求导得
当 ϕ = 4t = 30° 时，
& = −0.40 m/s v BC = x
& = −2.77 m/s 2 a BC = & x
7-2 图 7-2 示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆 OA=1.5 m 在铅垂面内转动，杆 AB=0.8 m， A 端为铰链，B 端有放置工件的框架。在机构运动时，工件的速度恒为 0.05 m/s，杆 AB 始终铅垂。 设运动开始时，角 ϕ = 0 。求运动过程中角 ϕ 与时间的关系，以及点 B 的轨迹方程。 解 （1）求 ϕ (t ) AB 平移： 令 l = OA = 1.5 m ，则 即
故得
h1 =
h4 = 2 mm 6
图 7-7
7-8 如图 7-8 所示，纸盘由厚度为 a 的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速 v 拉纸条。求 纸盘的角加速度（以半径 r 的函数表示） 。 解 纸盘作定轴转动，当纸盘转过 2π rad 时半径减小 a。设纸盘转过 dθ 角时半径增加 dr ，则
dθ =
y
B
t aB
α j
O
vA x
ω
(a) 图 7-12
aC
(b)
i 45° A n
C
t aC
解
由图 7-12b 得出
84
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v A = 0.2 j m/s ， v A = ω × Ri ， ω × 0.1i = 0.200 j ， ω = 2k ，
a τB = α × Rj ， 0.150i = α × 0.1 j ， α = −1.5k
两边对时间 t 求导：
vt l
& = cos 2 ϕ ， & sec 2 ϕ = ， ϕ ϕ && = − ϕ
当ϕ =
v l
v l
2v & cos ϕ sin ϕ ⋅ ϕ l
π 时，杆 OC 的角速度 4 2v &= （逆） ω =ϕ l
&& = − α =ϕ v2 2v 2 2 v ⋅ ⋅ ⋅ = − 2 （顺） l 2 2 2l 2l
7-12 图 7-11a 所示 1 飞轮绕固定轴 O 转动,其轮缘上任 1 点的全加速度在某段运动过程中与轮 半径的交角恒为 60°,当运动开始时，其转角 ϕ 0 等于零，角速度为 ω 0 。求飞轮的转动方程以及角 速度与转角的关系。
M
at
θ
an
(a) 图 7-11 (b)
a
83
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tan θ =
r sin ϕ h − r cos ϕ
sin ω 0 t h − cos ω 0 t r ]
图 7-5
注意到 ϕ = ω 0 t ，得
θ = tan −1 [
（2）
自 B 作直线 BD 垂直相交 CO 于 D，则
tan θ =
r sin ω 0 t BD = DO h − r cos ω 0 t
7-13
半 径 R = 100 mm 的 圆 盘 绕 其 圆 心 转 动 ， 图 7-12a 所 示 瞬 时 ， 点 A 的 速 度 为
t v a = 200 j mm/s ，点 B 的切向加速度 a B = 150i mm/s 2 。求角速度 ω 和角加速度 α ，并进一步写
出点 C 的加速度和矢量表达式。
dω dr + ω =0 dt dt dr r dω =− dt ω dt dω aω 2 av 2 = = 2π r 2π r 2 dt
（2）
α=
7-9
AB = O1O2 ， 齿轮 1 和半径为 r2 的齿轮 2 啮合， 图 7-9 所示机构中齿轮 1 紧固在杆 AC 上，
设 O1 A = O2 B = l ，ϕ = b sin ωt ， 试确定 t = 齿轮 2 可绕 O2 轴转动且和曲柄 O2 B 没有联系。 时，轮 2 的角速度和角加速度。
⎤ ⎡ ⎥ ⎢ sin ω t 0 θ = tan −1 ⎢ ⎥ ⎢ h − cos ω 0 t ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣r
故
50 π ⋅ 600 100π r ω1 = rad/s ⋅ = 100 − 5t 30 10 − 0.5t d dω 5 000 π d ⎛ 1 000π ⎞ α2 = 2 = ⎜ ⎟= dt dt ⎝ 100 − 5t ⎠ (100 − 5π )2
解
设轮缘上任 1 点 M 的全加速度为 a，切向加速度 a t = rα ，法向加速度 a n = ω r ，如图
2
7-11b 所示。
tan θ =
把
α=
dω ， θ = 60° 代入上式，得 dt
at α = 2 an ω
dω tan 60° = dt2
ω
分离变量后，两边积分：
∫ω
得
ω
0
dω
ω
2
=∫
80
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7-6 如图 7-6 所示，摩擦传动机构的主动轴 I 的转速为 n = 600 r/min 。轴 I 的轮盘与轴Ⅱ的轮 盘接触，接触点按箭头 A 所示的方向移动。距离 d 的变化规律为 d = 100 − 5t ，其中 d 以 mm 计， t 以 s 计。已知 r = 50 mm ， R = 150 mm 。求： （1）以距离 d 表示轴 II 的角加速度； （2）当 d = r 时，轮 B 边缘上 1 点的全加速度。 解 （1）两轮接触点的速度以及切向加速度相同
ω2 =
2 4 a = R α2 + ω2 = 150 (2 π ) 2 + (20π) 4 = 300π 1 + 40 000π 2
= 592 000 mm/s 2 = 592 m/s 2
7-7 车床的传动装置如图 7-7 所示。已知各齿轮的齿数分别为： z1 = 40 ， z 2 = 84 ， z 3 = 28 ，
7-11 杆 AB 在铅垂方向以恒速 v 向下运动并由 B 端的小轮带着半径为 R 的圆弧 OC 绕轴 O 转 动。如图 7-10a 所示。设运动开始时，ϕ =
π ，求此后任意瞬时 t，OC 杆的角速度 ω 和点 C 的速度。 4
ϕ
R C B v
x
O
ω
(a) 图 7-10
(b)
解 又 由图 7-10b，得
v A lbω cos ωt t = 2ω & = =0 v A = lϕ = lbω cos ωt ， ω 2 = r2 r2
π
&& = −lbω 2 sin ωt = −lbω 2 ， α 2 = a = lϕ
t A
t aA lbω 2 =− r2 r2
7-10 律。 解
在上题图中，设机构从静止开始转动，轮 2 的角加速度为常数 α 2 。求曲柄 O1 A 的转动规 轮 1、轮 2 上点 D 切向加速度相同
图 7-4
杆 OC 的角加速度
7-5
如图 7-5 所示，曲柄 CB 以等角速度 ω 0 绕轴 C 转动，其转动方程为 ϕ = ω 0 t 。滑块 B 带
动摇杆 OA 绕轴 O 转动。设 OC = h ， CB = r 。求摇杆的转动方程。 解 （1） 曲柄和摇杆均作定轴转动。由 ΔOBC 知
r h = sin θ sin[180° − (θ + ϕ )]
∠CBO =
π ， x B = 2 R cos ϕ 2 & B = 2 R + vt （↓） x B ( 0) = 2 R ， x
(2 R) 2 − x B
2
vt vt 1 2 − 2 2 − ( )2 R R 2R 2 v v ， vC = 2 Rω = − ω =− 2 R sin ϕ sin ϕ sin ϕ = =
பைடு நூலகம்
z 4 = 80 ； 带动刀具的丝杠的螺距为 h4 = 12 mm 。 求车刀切削工件 的螺距 h1 。
解 根据齿轮传动比，得
ω ω1 z 2 z = ，ω2 = ω3 ， 3 = 4 ω 2 z1 ω 4 z3 ω 1 z 2 ⋅ z 4 84 ⋅ 80 =6 = = ω 4 z1 ⋅ z 3 40 ⋅ 28
t aD = r2α 2
82
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ACB 平移，点 A 切向加速度
t t aA = aD t && aA = lϕ
即 积分，得
&& = r2α 2 ， ϕ && = lϕ
&= ϕ
r2 α2 l
r2 r α 2 t + C1 ， ϕ = 2 α 2 t 2 + C1t + C 2 l 2l & = 0 ， C1 = 0 ， ϕ = 0 ， C 2 = 0 初始静止， t = 0 ， ϕ rα ϕ = 2 2 t2 2l
纸盘的角速度
− 2π dr a
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ω=
dθ − 2π dr dr − a ω ， = = dt a dt dt 2π
v
（1）
θ r
dθ
(a)
(b) 图 7-8
又 rω = v ，两边对时间 t 求导：
r
即 式（1）代入式（2） ，得纸盘的角加速度
z1 ⋅ ω1 z3
图 7-3
20 950 × 2π × = 9.95 m/s 50 60
7-4
机构如图 7-4 所示，假定杆 AB 以匀速 v 运动，开始时 ϕ = 0 。求当 ϕ =
π 时，摇杆 OC 4
的角速度和角加速度。 解 依题意，在 ϕ = 0 时，A 在 D 处。由几何关系得：
tan ϕ =
ω 2 d = ω1r
ω2 =
=
（2）轮 B 作定轴转动，当 d = r 时轮缘上 1 点的加速度可如下求得：
5 000π rad/s 2 2 d
图 7-6
r ω1 = ω 1 = 20π rad/s d 5 × 10 3π 5 × 10 3π α2 = = = 2π rad/s 2 2 2 d r
t vA aA A n aA ϕ
π s 2ω
O1
(a) 图 7-9
C 1B vD a D r ω2 2 O2 2
t D
α2
(b)
解
AB 平移，所以轮 B 上与轮 2 接触点 D 处：
n t vD = v A ， aD = aA = aA + aA
因为轮 1、轮 2 啮合，所以轮 2 上点 D 速度与轮 1 上点 D 速度相同，切向加速度也相同。
v A = vB & v B = v A = lϕ
dϕ = 0.05 dt 1 1 图 7-2 dt ， ϕ = t + c dϕ = 30 30 1 t = 0 时， ϕ = 0 ， c = 0 ， ϕ = t 30 ⎧ x B = l cos ϕ （单位：m） ⎨ ⎩ x A = l sin ϕ − 0.8 点 B 轨迹方程为 l = 1.5 m 2 xB + ( y B + 0.8) 2 = 1.5 2 （单位：m） 7-3 已知搅拌机的主动齿轮 O1 以 n = 950 r/min 的转速转动。 搅杆 ABC 用销钉 A、 B 与齿轮 O2 、 如图 7-3 所示。 且 AB = O2 O3 ，O3 A = O2 B = 0.25 m ， 各齿轮齿数为 z1 = 20 ，z 2 = 50 ， O3 相连， 1.5
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第7章 刚体的简单运动
7-1 图 7-1a 所示曲柄滑杆机构中，滑杆有 1 圆弧形滑道，其半径 R = 100 mm ，圆心 O1 在导 杆 BC 上。曲柄长 OA=100 mm，以等角速度 ω = 4 rad/s 绕轴 O 转动。求导杆 BC 的运动规律以及 当轴柄与水平线间的交角 ϕ 为 30°时，导杆 BC 的速度和加速度。
79
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z 3 = 50 ，求搅杆端点 C 的速度和轨迹。 解 O2 O3 AB 为平行四边形， 搅杆 ABC 作平移， 点
C 的运动参数与点 A 相同， 显然点 A 的轨迹为 1 个半径 为 O3 A = r = 0.25 m 的圆。
v = O3 A ⋅ ω 3 = O3 A ⋅ = 0.25 ×
t
0
3dt
ω=
把
ω=
dϕ 代入上式进行积分 dt
ω0 1 − 3ω 0 t ω0
1 − 3ω 0 t
（1）
∫
得
ϕ
0
dω = ∫
1
t
0
dt
ϕ=
这就是飞轮的转动方程。 式（1）代入式（2） ，得
1 ) ln( 3 1 − 3ω 0 t
（2）
ϕ=
于是飞轮角速度与转角的关系为
1 3
ln
ω ω0
3ϕ
ω = ω0e
ω A
O ϕ B
(a) 图 7-1
R
O1
(b)
C
x
解 方程为
建立坐标轴 Ox，如图 7-1b 所示。导杆上点 O1 的运动可以代表导杆的运动，点 O1 的运动
x = 2 R cos ϕ = 0.20 cos 4t m
& = −0.80 sin 4t m/s x & & = −3.20 cos 4t m/s 2 x
对时间 t 求导得
当 ϕ = 4t = 30° 时，
& = −0.40 m/s v BC = x
& = −2.77 m/s 2 a BC = & x
7-2 图 7-2 示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆 OA=1.5 m 在铅垂面内转动，杆 AB=0.8 m， A 端为铰链，B 端有放置工件的框架。在机构运动时，工件的速度恒为 0.05 m/s，杆 AB 始终铅垂。 设运动开始时，角 ϕ = 0 。求运动过程中角 ϕ 与时间的关系，以及点 B 的轨迹方程。 解 （1）求 ϕ (t ) AB 平移： 令 l = OA = 1.5 m ，则 即
故得
h1 =
h4 = 2 mm 6
图 7-7
7-8 如图 7-8 所示，纸盘由厚度为 a 的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速 v 拉纸条。求 纸盘的角加速度（以半径 r 的函数表示） 。 解 纸盘作定轴转动，当纸盘转过 2π rad 时半径减小 a。设纸盘转过 dθ 角时半径增加 dr ，则
dθ =
y
B
t aB
α j
O
vA x
ω
(a) 图 7-12
aC
(b)
i 45° A n
C
t aC
解
由图 7-12b 得出
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v A = 0.2 j m/s ， v A = ω × Ri ， ω × 0.1i = 0.200 j ， ω = 2k ，
a τB = α × Rj ， 0.150i = α × 0.1 j ， α = −1.5k
两边对时间 t 求导：
vt l
& = cos 2 ϕ ， & sec 2 ϕ = ， ϕ ϕ && = − ϕ
当ϕ =
v l
v l
2v & cos ϕ sin ϕ ⋅ ϕ l
π 时，杆 OC 的角速度 4 2v &= （逆） ω =ϕ l
&& = − α =ϕ v2 2v 2 2 v ⋅ ⋅ ⋅ = − 2 （顺） l 2 2 2l 2l
7-12 图 7-11a 所示 1 飞轮绕固定轴 O 转动,其轮缘上任 1 点的全加速度在某段运动过程中与轮 半径的交角恒为 60°,当运动开始时，其转角 ϕ 0 等于零，角速度为 ω 0 。求飞轮的转动方程以及角 速度与转角的关系。
M
at
θ
an
(a) 图 7-11 (b)
a
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理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社