求解最短路径问题的DNA动态规划算法
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Ｂ１
Ａ
图 ｌ 赋权 三阶段 有 向图
（） ２ 运用逆序递推方法进行求解 ， 由最后一阶段到第一阶段逐步求出各点到终点的最短路径 ， 最后求
出起点 Ａ到终点 Ｄ 的最 短路 径 。
２２ 求解 最短 路径 问题 的ＤＮ 动 态 规划算 法 ． Ａ
求解 最短路 径 问题 的Ｄ Ａ Ｎ 动态 规 划算 法可 以分为 如下 几步 ：
（） １ 为有向图的每个节点分配一个 Ｄ Ａ序列 。 ， ４ Ｎ 如 用 个碱基的 Ｄ Ａ单链对图中的每个节点进行编 Ｎ
码。
（） ２ 用下面的方法创建 Ｄ Ａ链来编码每条有向边 Ｎ
Ｊ的权值 。 ，
①对 于有 向边 序 列相连接 。
Ｙ， 个 对节 点 编码 的相 同的 Ｄ Ａ链 连结 到一起 ， 后再 和一 个对 】编码 的 Ｄ Ａ Ｎ 然 ， Ｎ
（． １ 淮海工学院 理学院 ，江苏 连云港 ２２０ ；２ 连云港师范高等专科学校 数学系 ，江苏 连云港 ２２０ ） ２０５ ． ２０６ 摘要 ： 最短路径 问题是一个组合优化 问题 ，许多交通运输 、 工程 、 管理等实际问题 可转化为最短路径问题进行求 解。 文中利用 Ｄ Ａ计算 的并行计算模式 ， 出一个求解最短路径 问题 的 Ｄ Ａ动态规划算法 ， Ｎ 给 Ｎ 该算法最多需要 一 １ Ｉ
求解该问题的思想是 ：
（） １ 将以 为起点所有链的终点按链 的长度 （ 边数 ） 进行分类 。如图ｌ 以Ａ为起点所有链的终点按链
收稿 日期 ：２ ｌ－ ４ｏ ０ｏ ｏ－ ｌ
基金项目：淮海工学院特色专业项 目建设（ ０ ０７；信息与计算科学专业实践教学的研究与探索（５９０ ） ５ ９０ ） ５ ５ ０ｏ２ 作者衙 介：李 步军 （ ９ １ １７ －），男 ，山东临 沂人 ，讲师 ，硕 士 ，主要 从事 Ｄ Ａ 算方 面的研究 ，Ｉｈｌ ｙｈｏ ０ ．ｌ Ｎ计 ｈ ｊ ＠ ａｏ＿ ｍｃ。 ｊｓ ｃ ｒ
５’ ＣＣＴＡ一３’ 一 ３ 一ＧＧＧＧＡＴＡＴ一５ ５’ Ｉｒ 一Ｉ Ｔ Ａ一３’ ’ ３ －ＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡ ７ Ｔ一 ５
；Ｃ＝ Ｇ Ｇ； ３Ｃ Ｃ
Ｄ Ｃ Ａ （ 的方 向从左 到右 为 ：５ 一 ’，则对 有 向边 Ｂ Ｃ，Ｂ Ｃ 的编 码 的 Ｄ Ａ链分 别为 ＝ Ｔ Ｇ链 ’ ３） 。 ｚ ： Ｎ
第 ２ 卷第 ４ ６ 期
２１ ００年 ７ 月
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
Ｊ ｒａ ｆ ｑｈ ｒ ｉｅｒｉ ｏｕｎ ｌ ｉａ ｖ ｓｔ ｏ Ｑｉ Ｕｎ ｙ
Ｖｏ．６Ｎ ． １ 。ｏ４ ２
Ｊ ｌ，０１ ｕｙ２ ０
求解最 短路径 问题 的 Ｄ Ａ动态规划算法 Ｎ
李步军 ，王继顺 ２ ，王顺绪 ’
规模的组合优化问题和 Ｎ Ｐ完全问题等难解问题 ，这进一步激发 了人们对生物分子计算的兴趣 ，越来越多 的计算科学的研究者正致力于这一领域的研究，未来体积小 、耗能低 、 并行计算能力强的 Ｄ Ａ计算机ｌ Ｎ ’ 的
诞生 ， 将会对人们的工作 、 生活和科研带来深刻的变化。最短路径问题ｐ ’ 也是一个组合优化问题 ， 是图论 和网络理论中应用最广泛的问题之一 ，在交通运输 、管道铺设 、厂区布局等方面有着重要的应用。目 前求 解最短路径问题的算法主要有 Ｄｊｓａ算法 、Ｆ ｙ ｉ ｔ ｋｒ ｌ ｄ算法和 Ｗａ ｈｌ ｏ ｒａ ｓ ｌ算法 ，它们的时间复杂度分别为 等
个生物操作。 关键词 ：最短路径问题 ；Ｄ Ａ计算 ；动态规划算法 Ｎ
中图分类号 ：Ｏ１７ ５． ６ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１０ — ８Ｘ ２ １）４ ０ ７ － ３ ０７ ９ ４ （０ ００ － ０６ ０
１９ 年，美国南加州大学的 Ａ ｌ ａ” ９４ ｄ ｍ ｎ 教授利用现代分子生物技术 ，解决 了一有向图的 Ｈ ｍｌｎ ｅ ａ ｉ 路径 ｔ ｏ 问题 （ Ｐ ） 开创了 Ｄ Ａ计算的新科学，这种计算是一种模拟 Ｄ Ａ的结构并借助于各种 Ｄ Ａ的重组技 ＨＰ ， Ｎ Ｎ Ｎ 术和生化反应作为计算工具的并行计算模式。 由于 Ｄ Ａ计算潜在的并行计算机理 ， Ｎ 使得其非常适合解决大
圜 ／ ４ ／
．
】 其中 ，Ｊ ，（ ， 是相邻的节点 ） 是有向边 ，ｎ
②在连接的部分形成一个补链 ，可将相邻的有向边连接到一起。
设对 图 １ ７个节 点 的编码 分 别为 ：Ａ Ｃ Ｃ Ｂ＝ Ｇ Ｇ；Ｂ＝ Ａ Ａ；Ｃ＝－ Ｔ；Ｃ＝ 中 ＝ Ｃ Ｃ； 。Ｇ Ｇ ２Ａ Ａ １１ Ｊ Ｉ ２Ａ
求一条路 ， 使它是从 到 的所有路中总权最小的路 ，即
（ ＝ ｉ ∑ ｍｎ
（ ’ ，
最短路径问题是图论应用的一个基本问题 ，很多实际问题 ，如线路布设 、运输安排等问题 ，都可以通 过建立最短路径问题模型来求解。
２ Hale Waihona Puke Baidu短路径 问题 的 Ｄ Ａ算法 Ｎ
２１ 最短路径问题的动态规划算法 ． 图１ 给出以Ａ为起点 ，以 Ｄ为终点的赋权图 ， 以 为起点，以 Ｄ为终点的最短路径。利用动态规划 求
ｇｎ） ｕ， ） 和 ） 。
本文首先对最短路径问题及最短路径问题的动态规划ｐ 法思想进行描述 ，然后给出求解最短路径问 算
题的 Ｄ Ａ动态规划算法，借助于生物分子操作和生化反应求出有向图的最短路径及其长度。 Ｎ
１ 最短路径问题描述
图论 中最 短路 径 问题 的一般 提法 是 ： 设图ｃ （￣为连通图， － ｖ３ ＝ ， － 图中各边 （， 有权 （ ＝ 表示 到 ， ） ∞ 无关联边 ） 和 为图中任意两点 ， ，
第 ４期
求 解 最 短 路 径 问题 的 Ｄ Ａ 动 态规 划算 法 Ｎ
的长度可 分为４ 分 ，用集 合 分别 表示 为 部
： ， ＝
，
｝ ＝ ，） 蜀＝ ， 【 Ｇ ， ｝ （ ，
每一部分叫做一个状态 ，相邻两个状态以及它们之问的有向线段所构成的有向边叫做一个阶段 ，每一条边 都有一个权值 ，图ｌ 是一个赋权三阶段有向图。
Ａ
图 ｌ 赋权 三阶段 有 向图
（） ２ 运用逆序递推方法进行求解 ， 由最后一阶段到第一阶段逐步求出各点到终点的最短路径 ， 最后求
出起点 Ａ到终点 Ｄ 的最 短路 径 。
２２ 求解 最短 路径 问题 的ＤＮ 动 态 规划算 法 ． Ａ
求解 最短路 径 问题 的Ｄ Ａ Ｎ 动态 规 划算 法可 以分为 如下 几步 ：
（） １ 为有向图的每个节点分配一个 Ｄ Ａ序列 。 ， ４ Ｎ 如 用 个碱基的 Ｄ Ａ单链对图中的每个节点进行编 Ｎ
码。
（） ２ 用下面的方法创建 Ｄ Ａ链来编码每条有向边 Ｎ
Ｊ的权值 。 ，
①对 于有 向边 序 列相连接 。
Ｙ， 个 对节 点 编码 的相 同的 Ｄ Ａ链 连结 到一起 ， 后再 和一 个对 】编码 的 Ｄ Ａ Ｎ 然 ， Ｎ
（． １ 淮海工学院 理学院 ，江苏 连云港 ２２０ ；２ 连云港师范高等专科学校 数学系 ，江苏 连云港 ２２０ ） ２０５ ． ２０６ 摘要 ： 最短路径 问题是一个组合优化 问题 ，许多交通运输 、 工程 、 管理等实际问题 可转化为最短路径问题进行求 解。 文中利用 Ｄ Ａ计算 的并行计算模式 ， 出一个求解最短路径 问题 的 Ｄ Ａ动态规划算法 ， Ｎ 给 Ｎ 该算法最多需要 一 １ Ｉ
求解该问题的思想是 ：
（） １ 将以 为起点所有链的终点按链 的长度 （ 边数 ） 进行分类 。如图ｌ 以Ａ为起点所有链的终点按链
收稿 日期 ：２ ｌ－ ４ｏ ０ｏ ｏ－ ｌ
基金项目：淮海工学院特色专业项 目建设（ ０ ０７；信息与计算科学专业实践教学的研究与探索（５９０ ） ５ ９０ ） ５ ５ ０ｏ２ 作者衙 介：李 步军 （ ９ １ １７ －），男 ，山东临 沂人 ，讲师 ，硕 士 ，主要 从事 Ｄ Ａ 算方 面的研究 ，Ｉｈｌ ｙｈｏ ０ ．ｌ Ｎ计 ｈ ｊ ＠ ａｏ＿ ｍｃ。 ｊｓ ｃ ｒ
５’ ＣＣＴＡ一３’ 一 ３ 一ＧＧＧＧＡＴＡＴ一５ ５’ Ｉｒ 一Ｉ Ｔ Ａ一３’ ’ ３ －ＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡＡ ７ Ｔ一 ５
；Ｃ＝ Ｇ Ｇ； ３Ｃ Ｃ
Ｄ Ｃ Ａ （ 的方 向从左 到右 为 ：５ 一 ’，则对 有 向边 Ｂ Ｃ，Ｂ Ｃ 的编 码 的 Ｄ Ａ链分 别为 ＝ Ｔ Ｇ链 ’ ３） 。 ｚ ： Ｎ
第 ２ 卷第 ４ ６ 期
２１ ００年 ７ 月
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
Ｊ ｒａ ｆ ｑｈ ｒ ｉｅｒｉ ｏｕｎ ｌ ｉａ ｖ ｓｔ ｏ Ｑｉ Ｕｎ ｙ
Ｖｏ．６Ｎ ． １ 。ｏ４ ２
Ｊ ｌ，０１ ｕｙ２ ０
求解最 短路径 问题 的 Ｄ Ａ动态规划算法 Ｎ
李步军 ，王继顺 ２ ，王顺绪 ’
规模的组合优化问题和 Ｎ Ｐ完全问题等难解问题 ，这进一步激发 了人们对生物分子计算的兴趣 ，越来越多 的计算科学的研究者正致力于这一领域的研究，未来体积小 、耗能低 、 并行计算能力强的 Ｄ Ａ计算机ｌ Ｎ ’ 的
诞生 ， 将会对人们的工作 、 生活和科研带来深刻的变化。最短路径问题ｐ ’ 也是一个组合优化问题 ， 是图论 和网络理论中应用最广泛的问题之一 ，在交通运输 、管道铺设 、厂区布局等方面有着重要的应用。目 前求 解最短路径问题的算法主要有 Ｄｊｓａ算法 、Ｆ ｙ ｉ ｔ ｋｒ ｌ ｄ算法和 Ｗａ ｈｌ ｏ ｒａ ｓ ｌ算法 ，它们的时间复杂度分别为 等
个生物操作。 关键词 ：最短路径问题 ；Ｄ Ａ计算 ；动态规划算法 Ｎ
中图分类号 ：Ｏ１７ ５． ６ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１０ — ８Ｘ ２ １）４ ０ ７ － ３ ０７ ９ ４ （０ ００ － ０６ ０
１９ 年，美国南加州大学的 Ａ ｌ ａ” ９４ ｄ ｍ ｎ 教授利用现代分子生物技术 ，解决 了一有向图的 Ｈ ｍｌｎ ｅ ａ ｉ 路径 ｔ ｏ 问题 （ Ｐ ） 开创了 Ｄ Ａ计算的新科学，这种计算是一种模拟 Ｄ Ａ的结构并借助于各种 Ｄ Ａ的重组技 ＨＰ ， Ｎ Ｎ Ｎ 术和生化反应作为计算工具的并行计算模式。 由于 Ｄ Ａ计算潜在的并行计算机理 ， Ｎ 使得其非常适合解决大
圜 ／ ４ ／
．
】 其中 ，Ｊ ，（ ， 是相邻的节点 ） 是有向边 ，ｎ
②在连接的部分形成一个补链 ，可将相邻的有向边连接到一起。
设对 图 １ ７个节 点 的编码 分 别为 ：Ａ Ｃ Ｃ Ｂ＝ Ｇ Ｇ；Ｂ＝ Ａ Ａ；Ｃ＝－ Ｔ；Ｃ＝ 中 ＝ Ｃ Ｃ； 。Ｇ Ｇ ２Ａ Ａ １１ Ｊ Ｉ ２Ａ
求一条路 ， 使它是从 到 的所有路中总权最小的路 ，即
（ ＝ ｉ ∑ ｍｎ
（ ’ ，
最短路径问题是图论应用的一个基本问题 ，很多实际问题 ，如线路布设 、运输安排等问题 ，都可以通 过建立最短路径问题模型来求解。
２ Hale Waihona Puke Baidu短路径 问题 的 Ｄ Ａ算法 Ｎ
２１ 最短路径问题的动态规划算法 ． 图１ 给出以Ａ为起点 ，以 Ｄ为终点的赋权图 ， 以 为起点，以 Ｄ为终点的最短路径。利用动态规划 求
ｇｎ） ｕ， ） 和 ） 。
本文首先对最短路径问题及最短路径问题的动态规划ｐ 法思想进行描述 ，然后给出求解最短路径问 算
题的 Ｄ Ａ动态规划算法，借助于生物分子操作和生化反应求出有向图的最短路径及其长度。 Ｎ
１ 最短路径问题描述
图论 中最 短路 径 问题 的一般 提法 是 ： 设图ｃ （￣为连通图， － ｖ３ ＝ ， － 图中各边 （， 有权 （ ＝ 表示 到 ， ） ∞ 无关联边 ） 和 为图中任意两点 ， ，
第 ４期
求 解 最 短 路 径 问题 的 Ｄ Ａ 动 态规 划算 法 Ｎ
的长度可 分为４ 分 ，用集 合 分别 表示 为 部
： ， ＝
，
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每一部分叫做一个状态 ，相邻两个状态以及它们之问的有向线段所构成的有向边叫做一个阶段 ，每一条边 都有一个权值 ，图ｌ 是一个赋权三阶段有向图。