第5、6章(热学部分)习题解答

第五章气体分子动理论
5-6 在容积为332.010m -⨯的容器中，有内能为2
6.7510⨯ J 的刚性双原子分子理想气体。

求:（1）气体的压强；（2）若容器中分子总数为22
5.410⨯个，则分子的平均平动动能及气体的温度为多少？
分析：（1）由一定量理想气体的内能公式和理想气体物态方程可求出气体的压强，刚性双原子分子的自由度5i =。

（2）由分子数密度定义和p nkT =求出T ，最后由气体分子的平均平动动能公式求出分子的平均平动动能。

解：（1）由2M i E RT μ=
和M
pV RT μ
=得气体压强：
（2）分子数密度N
n V
=
，则该气体的温度： 532
2223
1.3510
2.010
3.6210()5.410 1.3810
p pV T K nk Nk --⨯⨯⨯====⨯⨯⨯⨯ 气体分子的平均平动动能为：
232
2133 1.3810 3.62107.4910()22
k kT J ε--⨯⨯⨯⨯===⨯
5-7 自行车轮直径为71.12cm ，内胎截面直径为3cm 。

在0
3C -的空气里向空胎里打气。

打气筒长30cm ，截面半径为1.5cm 。

打了20下，气打足了，问此时胎内压强是多少？设车胎内最后气体温度为0
7C 。

分析：可根据理想气体物态方程求解此题。

解： 设向自行车内胎所打的空气的摩尔数为γ由理想气体物态方程pV RT γ=得 ：
11
1
p V RT γ=
其中，22231111,203010(1.510),3273270p atm V m T K π--==⨯⨯⨯⨯⨯=-+= 气打足后，胎内空气的体积 2
22
3
2371.1210(10)2
V m ππ--=⨯⨯⨯⨯⨯温度
2(7273)280T K K =+=，压强为 2p ， 2
22
RT p V γ=
11
2
5222
11122222221
1.01310203010(1.510)280
371.1210(10)270
2
pV RT RT pVT p V V T πππ----⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯∴===
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 52.8410() 2.8()a p atm -=⨯=
2
53
22 6.7510 1.3510()5 2.010
E p Pa iV -⨯⨯===⨯⨯⨯
5-8 某柴油机的气缸充满空气，压缩前其中空气的温度为047C ，压强为4
8.6110Pa ⨯。

当活塞急剧上升时，可把空气压缩到原体积的1/17，其时压强增大到6
4.2510Pa ⨯，求这时空气的温度（分别以K 和0C 表示）
分析：此题由理想气体过程方程求解。

解：设压缩前空气的体积为 4111,(47273)320,8.6110a V V T K K p P ==+==⨯，压缩后空气的体积为 6221
, 4.251017
a V V p P =
=⨯，对于一定质量的理想气体，由1122
12
p V p V T T =
得： 64
2
14.25108.611017320
V V
T ⨯⨯
⨯⨯=
2929()T K ∴=
022273(929273)656()t T C =-=-=
5-9 温度为0
27C 时，1mol 氦气、氢气和氧气各有多少内能？1g 的这些气体各有多少内能？
分析：由理想气体内能公式求解此题。

刚性双原子分子氢气的自由度5i =，刚性单原子分子氦气的自由度3i =。

解：由22
i M i E RT RT γμ==理想气体的内能，得 1mol 氦气的内能 33
18.31(27273) 3.7410()2
e H E J =⨯⨯⨯+=⨯ 1mol 氢气的内能 235
18.31(27273) 6.2310()2
H E J =⨯⨯⨯+=⨯ 1mol 氧气的内能 235
18.31(27273) 6.2310()2
O E J =⨯⨯⨯+=⨯ 1g 氦气的内能 '
213
8.31(27273)9.3510()42
e H E J =⨯⨯⨯+=⨯ 1g 氢气的内能 2'
215
8.31(27273) 3.1210()22
H E J =⨯⨯⨯+=⨯ 1g 氧气的内能 2'215
8.31(27273) 1.9510()322
O E J =
⨯⨯⨯+=⨯ 5-10 已知某理想气体分子的方均根速率为1
400m s -⋅。

当其压强为1atm 时，气体的密度为多大？
分析：由,N V n m V N ρ=
=得2
22111333
N V p nm V N ρυυρυ==⋅⋅=，而方均根速
率1400m s -=⋅
解：气体的密度为：
53
2
233 1.01310 1.9(.)400p
kg m ρυ
-⨯⨯=== 5-11 容器中贮有氧气，其压强P=1atm ，温度0
27t C =。

试求： (1)单位体积内的分子数； (2)氧分子质量m ； (3)氧气密度ρ； (4)分子的方均根速率； (5)分子的平均平动动能。

分析：（1）由p nkT =可求得单位体积内的分子数，压强p 和热力学温度T 换成国际单位制。

（2）氧分子的质量由0
m N μ
=
=
摩尔质量阿伏伽德罗常数可解得。

（3）由5－10题推出的213p ρυ=
和分子的方均根速
率=可解得氧气密度p RT μρ=。

（4）由分子的方均根速率公式求解。

（5）由分子的平均平动动能公式求解。

解：（1）单位体积内的分子数为：
5
25323
1 1.01310 2.4510()1.3810(27273)
p n m kT --⨯⨯===⨯⨯⨯+ （2）氧分子的质量为：
2326
23
32 5.3110() 5.3110()6.0210
m g kg N μ
--=
=
=⨯=⨯⨯ （3）氧气密度为：
53
31 1.013103210 1.30()8.31(27273)
p kg m RT μρ--⨯⨯⨯⨯====⋅⨯+
（4）分子的方均根速率为：
21
4.8310()m s -=
=
=⨯⋅ （5）分子的平均平动动能232133
1.3810(27273) 6.2110()22
k kT J ε--=
=⨯⨯⨯+=⨯ 5-12 某些恒星的温度可达到约8
1.010K ⨯，这也是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。

在此温度下，恒星可视为由质子组成的。

问：（1）质子的平均动能是多少？（2）质子的方均根速率为多大？
分析：（1）将组成恒星的大量质子视为理想气体，质子可作为质点，其自由度 i =3，因此，质子的平均动能就等于平均平动动能。

（2）由方均根速率公式求解。

解： （1）质子的平均动能为
k ε2383
3( 1.3810 1.010)22
kT -==⨯⨯⨯⨯152.0710()J -=⨯
（2）质子的方均根速率为
611.5810(.)m s -=
==⨯
5-13 摩尔质量为89g/mol的氨基酸分子和摩尔质量为5.0⨯4
10g/mol的蛋白质分子在0
37C的活细胞内的方均根速率各是多少？
分析：由方均根速率公式求解。

解：氨基酸分子的方均根速率为：
21
2.910()
m s-
==≈⨯⋅蛋白质分子的方均根速率为：
1
12()
m s-
=≈⋅
5-14 求温度为0
127C时的氢气分子和氧气分子的平均速率、方均根速率及最概然速率。

分析：由平均速率、方均根速率、最概然速率的公式求解。

氢气的摩尔质量2
31
210
H
kg mol
μ--
=⨯ ，氧气的摩尔质量为21
2
3.210,
o kg mol
μ--
=⨯ 气体温度400
T K
=
解：氢气分子平均速率为：
2
31
2.0610()
H m s
υ-
===⨯
氢气分子方均根速率为：
31
2.2310()
m s-
==⨯
氢气分子最概然速率为：
2
31
()
1.8210()
p H
m s
υ-
===⨯
氧气分子平均速率为：
2
21
5.1610()
o m s
υ-
==⨯
氧气分子方均根速率为：
21
5.5810()
m s-
==⨯
氧气分子最概然速率为：
2
21
(0)
4.5510()
p
m s
υ-
===⨯
5-15 有N个质量均为m的同种气体分子，它们的速率分布如图5-15
所示。

（1）说明曲线与横坐标所包围面积的含义；
（2）由N 和0υ 求a 值；
（3）求在速率0υ/2到30υ/2间隔内的分子数； （4）求分子的平均平动动能。

分析：（1）由速率分布函数()/f dN Nd υυ=得，分子所允许的速率在0到02υ的范围内，曲线与横坐标所包围的面积的含义；（2）由速率分布函数的归一化条件0
()1
f d υυ∞
=⎰
可求解；（3）由00
3/2
/2
()N Nf d υυ
υυ∆=
⎰可求解；
（4）由分子速率平方的平均值定义和分子的平均平动动能求解。

解： （1）分子所允许的速率在0到02υ的范围内，曲线与横坐标所包围的面积
20
()S N f d N υυυ==⎰
（1）
即曲线与横坐标所包围的面积的含义是表示系统分子总数N 。

（2）从图中可知， 000 (0)
(2)
0a
Nf()=a ⎧υ≤υ<υ⎪υυ⎨⎪υ<υ≤υ⎩
由（1）式得
220
()a N f d d ad N υυυυυ
υυυυυ=+=⎰
⎰
⎰
02/3a N υ∴=
（3）速率在0
/2υ到03/2υ间隔内的分子数为
000
3/2
/2
7/12a N d ad N υυυυυ
υυυ∆=+=⎰
⎰
（4）分子速率平方
2
2
20
/()dN N f d υυυυυ∞∞
==⎰⎰
故分子的平均平动动能为
0002232
200011312236
k a a m m d d m N N υυυευυυυυυυ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭⎰⎰ 5-16 设有N 个粒子，其速率分布函数为
000
0 0 20 200
a
a f()=2a -⎧υ<υ<υ⎪υ⎪⎪υυυ<υ<υ⎨υ⎪
⎪υ>υ⎪⎩
(1)作出速率分布曲线； （2）由N 和0υ，求a ；
（3）求最概然速率p υ； （4）求N 个粒子的平均速率；
（5）求速率介于0— 0υ/2之间的粒子数； （6）求0υ/2— 0υ区间内分子的平均速率。

分析：（1）水平方向的轴表示速率，纵轴表示速率分布函数，用描点法可作出速率分布曲线；（2）可根据归一化条件求解；（3）根据最概然速率p υ的定义求解；（4）由平均速率的定义求解；（5）由速率分布函数()/f dN Nd υυ=取积分可求解；（6）先由速率分布函数取积分求/2—o o υυ区间内分子总数，然后由分子的平均速率的定义求解。

解：（1）速率分布曲线如图（1）所示： (2)根据归一化条件
()1f d υυ∞
=⎰
得：
2(2)01o
o
o
a a
a d d υυυ
υυυυ∞-
+=⎰
⎰0o
即 ：
211
122o o
o a a υυυ⋅+= 1
o
a υ∴=
（3）根据最概然速率的定义，由速率分布曲线得 p o υυ= （4）N 个粒子的平均速率为：
()o dN
f d N υυυυυ∞∞=
=⎰⎰
22(2)o
o o
o o o
a a d a d υυυυυυυυυυ=+-⎰⎰ 322142()333
o o o o a a υυυ=
⋅+- 22
1
o o o o
a υυυυ==
⨯=
（5）在速率 0/2o υ 之间的粒子数
/2/2
211111
()(22888
o o o o o
o o o
o o a
aN N f Nd Nd aN N N υυυυυυυυυυυυ∆===
==⨯⨯⨯=⎰⎰
（6）/2—o o υυ区间内分子总数为：
'22/2/2
0113
()()228
o
o o o o o
o a
aN N f Nd Nd N υυυυυυυυυυυ⎡⎤===
⋅-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ /2o o υυ∴-区间内分子的平均速率为：
/2
/2/2
'
()8338
o o o o o o o
dN
f Nd a
d N N υυυυυυυυυυ
υυυυυ⋅=
=
=
⋅⎰⎰⎰ 33381187
()332338
o o o o o a a υυυυυ⎡⎤=⋅⋅-=⋅⋅⎢⎥⎣⎦ 2277170.778999
o o o o o a υυυυυ=
=⋅=≈ 5-17 设氮气分子的有效直径为-10
10
m ，（1）求氮气分子在标准状态下的碰撞频率；（2）
若温度不变，气压降到4
1.3310Pa -⨯，求碰撞频率。

分析：标准状态下，51.01310,273a p p T k =⨯=，（1）和（2）可由平均自由程公式、平均速度公式、碰撞频率的定义求解。

解 （1）氮气分子在标准状态下的平均自由程为：
237
8.410()m λ--===⨯ 氮气分子的平均速度
21
4.5410()m s υ-=
==⨯⋅ 氮气分子在标准状态下的碰撞频率 2
817
4.5410
5.4310()8.410
z s λ--⨯===⨯⨯ （2）当温度 273T K =，压强 41.3310a p p -=⨯时， 氮分子的平均自由程：
232
6.3710()m λ-===⨯ 所以氮气分子的碰撞频率为： 21
2
4.54100.71()6.3710
z s υλ-⨯===⨯ 5-18 目前实验室获得的极限真空约为11
1.3310
Pa -⨯，这与距地球表面41.010km ⨯处
的压强大致相等。

试求在0
27C 时单位体积中的分子数及分子的平均自由程。

（设气体分子的有效直径8
3.010cm -⨯）
分析：由理想气体压强公式p nkT =和平均自由程公式求解此题。

解：分子数密度为：
1193
23
1.3310 3.2110()1.3810(27327)
p n m kT ---⨯===⨯⨯⨯+ 分子的平均自由程为：
238
7.810()m λ-===⨯ 可见分子间几乎不发生碰撞。

5-19 一架飞机在地面时机舱中的压力计指示为5
1.0110Pa ⨯，到高空后压强为
48.1110Pa ⨯。

设大气的温度均为027C 。

问此时飞机距地面的高度为多少？（设空气的摩
尔质量为212.8910kg mol --⨯⋅1）
分析：当温度不变时，大气压强随高度的变化主要由分子数密度的改变而确定，且气体分子在重力场中的分布满足玻耳兹曼分布。

利用地球表面附近气压公式可求此题。

解：由地球表面附近气压公式0e(/)p p mgh kT =- 即可得飞机距地面的高度为：
00ln(/)ln(/)kT RT h p p p p mg g
μ== 543
2
8.31(27327)ln(1.0110/8.1110) 1.9310()2.89109.8
m -⨯+=
⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 5-20 一圆柱形杜瓦瓶的内外半径分别为1R =9cm 和2R =10cm ，瓶中贮有0
0C 的冰，瓶外周围空气的温度为0
20C ，求杜瓦瓶两壁间的空气压强降到何值以下时，才能起保温作用？（设空气分子的有效直径为3⨯-1010
m ，壁间空气温度等于冰和周围空气温度的平均
值。

）
分析：先求得杜瓦瓶两壁间的空气温度，再由平均自由程公式和p nkT =求得压强。

由于当杜瓦瓶没有分子碰撞时，它才能起到保温作用。

而杜瓦瓶两壁间分子的平均自由程越大，它起到的保温效果就越好。

解 ：杜瓦瓶两壁间的空气温度为 202730273
283()2
T K +++==
λ=
=
p ∴= 即1
p λ
∝
，压强越低，分子间平均自由程越大。

当2(109)10m λ-≥-⨯时，
p ≤
故杜瓦瓶两壁间空气的最大压强为：
23
max
0.997a a p p p ==≈ 所以，当杜瓦瓶两壁间的空气压强降到0.997a p 以下时，才能起保温作用。

5-21 真空管的线度为2
10-m ，其中真空度为3
1.3310Pa -⨯，设空气分子的有效直径为3⨯-1010
m ，求0
27C 时单位体积内的空气分子数、平均自由程和平均碰撞频率。

分析：由理想气体压强公式p nkT =求单位体积内的空气分子数，由求平均自由程的定义求平均自由程，再由平均速率的公式和平均碰撞频率的定义求解平均碰撞频率。

解： 单位体积内空气分子数为：
3173
23
1.3310 3.2110()1.3810(27273)
p n m KT ---⨯===⨯⨯⨯+ 空气分子的平均自由程：23
7.79()m -=== 7.79m λ=> 真空管的线度210-m ，故真空管中分子间很难发生碰撞。

空气分子的平均速率21
4.6910()m s -===⨯⋅ ∴空气分子的平均碰撞频率 2
14.691060.2()7.79z s λ
-⨯==
≈
第六章 热力学基础
6-21 一热力学系统由如图6—23所示的状态a 沿acb 过程到达状态b 时，吸收了560J 的热量，对外做了356J 的功。

(1) 如果它沿adb 过程到达状态b 时，对外做了220J 的功，它吸收了多少热量?
(2)当它由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时，外界对它做了282J 的功，它将吸收多少热量？是真吸了热，还是放了热?
分析：由于内能是状态函数，与系统所经过的过程无关，
acb adb ab b E E E E a ∆=∆=∆=-∆，根据热力学第一定律
Q E W =∆+就可求此题，其中，吸收热量Q 取正，放出热量系统作功W 取正，内能增加E ∆取正，内能减小E ∆取负。

解：根据热力学第一定律 Q E W =∆+
（1）∵a 沿acb 过程达到状态b ，系统的内能变化是： 560356204
(a c b a c b
a c b
E Q
W
J ∆=-=-= ∴系统由a 沿adb 过程到达状态b 时204()adb E J ∆=
系统吸收的热量是：204220424()adb ab acb Q E W J =∆+=+=
（2）系统由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时，系统的内能变化：204()ba ab E E J =-=-
204(282)486()ba ba ba Q E W J ∴=∆+=-+-=-
即系统放出热量486J
6-22 64g 氧气（可看成刚性双原子分子理想气体）的温度由0℃升至50℃，〔1〕保持体积不变；(2)保持压强不变。

在这两个过程中氧气各吸收了多少热量?各增加了多少内能？对外各做了多少功？
分析：（1）在体积不变时，理想气体吸收的热量由热量公式解，其中，刚性双原子分子理想气体.5
2
V m C R =
，理想气体不做功，理想气体的内能由热力学第一定律求出内能的增量V E ∆。

（2）保持压强不变时，理想气体吸收的热量由热量公式求解，其中，刚性双原子分子理想气体.7
2
p m C R =。

由于理想气体的内能只是温度的函数，所以p V E E ∆=∆，再由热力学第一定律求出P W 。

解：（1）体积不变时，3.645
8.31(500) 2.0810()322
V V m M
Q C T J μ
=
∆=
⨯⨯⨯-=⨯ 0V W = 由热力学第一定律Q E W =∆+ 得
32.0810()V V E Q J ∆==⨯
（2）压强不变时 ，3.64528.31(500) 2.9110()322
p p m M
Q C T J μ
+=
∆=
⨯⨯⨯-=⨯ 32.0810()p V E E J ∆=∆=⨯
33(2.91 2.08)100.8310()p p p W Q E J =-∆=-⨯=⨯
6-23 l0g 氦气吸收103 J 的热量时压强未发生变化，它原来的温度是300K ，最后的温度是多少？
分析：保持压强不变时，由理想气体吸收的热量公式可求出2T ，其中，刚性单原子分子理想气体.5
2
p m C R =。

解： 由.21215
()()2
p p m M
M Q C T T R T T μ
μ=
-=
⨯- 得33
213
2210410300319()558.311010
P Q T T K RM μ--⨯⨯⨯=+=+=⨯⨯⨯ 6-24 一定量氢气在保持压强为4.00×5
10Pa 不变的情况下，温度由0．0℃ 升高到50．0℃时，吸收了6.0×104 J 的热量。

(1) 求氢气的量是多少摩尔? (2) 求氢气内能变化多少? (3) 氢气对外做了多少功?
(4) 如果这氢气的体积保持不变而温度发生同样变化、它该吸收多少热量?
分析：（1）保持压强不变时，由理想气体吸收热量的公式可求出氢气的摩尔数，其中，刚性双原子分子理想气体.7
2
p m C R =。

（2）由内能变化公式求出氢气的内能变化，其中5i =。

（3）由热力学第一定律Q E W =∆+求出P W 。

（4）因为理想气体的内能只是温度的函数，所以 V P E E ∆=∆，由热力学第一定律可求出V Q ，其中0V W =。

解： （1）由,2
2
p p m i Q vC T v
R T +=∆=∆ 得 氢气的量4
22 6.01041.3()(2)(52)8.3150
Q mol i R T ν⨯⨯===+∆+⨯⨯
（2）氢气内能变化为
45
41.38.3150 4.2910()22
p i E R T J ν
∆=∆=⨯⨯⨯=⨯ （3）4
4
(6.0 4.29)10 1.7110()p p p W Q E J =-∆=-⨯=⨯
（4）44.2910()V P E E J ∆=∆=⨯
故氢气的体积保持不变而温度发生同样变化时，它吸收的热量为
444.29100 4.2910()V V V Q E W J =∆+=⨯+=⨯
6-25 使一定质量的理想气体的状态按图6-24中的曲线沿箭头所示的方向发生变化，图线的BC 段是以P 轴和V 轴为渐近线的双曲线。

（1）已知气体在状态A 时的温度A T ＝300K ，求气体在B ，C 和D 状态时的温度。

（2）从A 到D 气体所做的总功是多少？ 分析：（1）由于AB 、CD 为等压过程，由
T
V
=常数可求得B 、D 状态时的温度；BC 为等温过程，C B T T =。

（2）由热力学功2
1
V V W p d V
=
⎰
和理想气体状态方程p V R T ν=可求出各个过程所做的功，然后将各个过程所做功代数和相加就是从A 到D 气
体所做的总功。

解：（1）AB 为等压过程： 20
30060010
B B A
A V T T K V ==⨯=（）
BC 为等温过程：600,C B T T K ==（） CD 为等压过程：20
60030010
D D C C V T T K V ==⨯=（）
（2）2
1
V V W pdV =
⎰
2
3
()ln ()()ln
()402(2010)220ln 1(2040) 1.0110202.8110ABCD AB BC CD C
A B A B C D C B
C
A B A B B C D C B
W W W W V P V V RT P V V V V P V V P V P V V V J ν∴=++=-++-=-++-⎡⎤
=⨯-+⨯⨯+⨯-⨯⨯⎢⎥⎣⎦
=⨯（）
6-26 3 mol 氧气在压强为2atm 时体积为40L 。

先将它绝热压缩到一半体积，接着再令它等温膨胀到原体积。

(1) 求这—过程的最大压强和最高温度；
(2) 求这一过程中氧气吸收的热量、对外做的功以及内能的变化。

分析：（1）因为最大压强和最高温度出现在绝热过程的终态，由pV γ
=常量，得
max 2112(/)p p p V V γ==，
其中，摩尔热容比 1.4γ=；再由pV RT ν=得，22
max 2p V T T R
ν== （2）由于在绝热过程中，氧气吸收的热量为0，在等温过程中内能的增量为0，所以根据热力学第一定律Q E W =∆+得1
22
ln
T T V Q W RT V ν==，即这一过程中氧气吸收的热量
T Q Q =。

在这一过程中的总功为在绝热过程中所做的功1122
1
()1W p V p V γ=
--绝热与在等温过程中所做的功的代数和。

根据热力学第一定律就可求出这一过程中内能的增量。

解： （1） 1.4max 2112(/)2(40/20) 5.28p p p V V atm γ===⨯=（）
53
22max 2 5.28 1.01310201042938.31
p V T T K R ν-⨯⨯⨯⨯====⨯（）
（2）3
122400ln 38.31429ln 7.411020
V Q RT J V ν=+=⨯⨯⨯=⨯（）
111222
2
1
()ln 1V W pV p V RT V νγ=
-+-总
2140
(240 5.2820) 1.0131038.31429ln 1.4120
=
⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-
30.9310J =⨯（）
33
(7.410.93)10 6.4810E Q W J ∆=-=-⨯=⨯（）
6-27 如图6-25所示，一定量的理想气体经历ACB 过程时吸热200J ，则经历ACBDA 过程时吸热又为多少？
分析：由图中所知，A A B B P V P V = 即A 状态和B 状态的温度相同，由于理想气体内能变化只与温度变化有关，故ACB 过程中气体的内能变化为零，理想气体经历ACBDA 过程内能变化也为零。

根据热力学第一定律，理想气体经历ACBDA 过程吸收的热量就等于此过程气体所做的总功，而每一过程中气体所做的功用热力学功2
1
V V W pdV =
⎰
求出。

解：由图可知，0ACB E ∆= 根据Q E W =∆+得：
200()ACB ACB W Q J ==
在等容过程BD 中，0BD W = 在等压过程DA 中，
5
3
()4 1.010(14) 1.010
1200()DA A D W P V V J -=-=⨯⨯⨯-⨯⨯=-
所以 2000(1200)1000()ACBDA ACB BD DA W W W W J =++=++-=- 又因为气体经历ACBDA 过程，0ACBDA E ∆=
根据热力学第一定律得 1000()ACBDA ACBDA Q W J ==-
即气体经历ACBDA 过程时放热1000J 。

6-28 如图6—26为一循环过程的T —V 图线。

该循环的工质是
γ mo1的理想气体。

其,V m C 和γ均已知且为常量。

已知a 点的温
度为1T ，体积为1V ，b 点的体积为2V ，ca 为绝热过程。

求： (1) c 点的温度； (2) 循环的效率。

分析：（1）c a 为绝热过程，工质吸收的热量为零，由绝热过程方程1
V
T γ-=常量可求出c 点的温度。

（2）ab 是等温膨胀过程，工质吸热，其内能的增量为零，故Q W T T Q =吸＝，bc 为等容降温过程，工质放热Q V Q 放＝，由循环效率公式即可求出循环效率。

解：（1）c 点的温度为：1
1
112r r a c a c V V T T T V V --⎛⎫⎛⎫== ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
（2）ab 等温过程，工质吸热2
2
1
1
1
2
11
W ln
V V T V V RT V Q pdV dV vRT V
V ν====⎰
⎰
吸 bc 为等容过程，工质放热为：
1
1..1.112Q ()11r c V V m b c V m V m T V Q vC T T vC T vC T T V -⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
放＝
循环过程的效率
1
1
11.1122.22
11
1
11111ln ln r r V m V m
V V C T T V V Q C V V Q R RT V V νην--⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥
⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=--
=-放吸
6-29 有可能利用表层海水和深层海水的温差来制成热机。

已知热带水域表层水温约为25℃，300m 深处水温为5℃。

求这两个温度之间工作的卡诺热机的效率多大？
分析：由卡诺热机的循环效率公式求解。

2T 、1T 分别是低温和高温热源的热力学温度。

解：这两个温度之间工作的卡诺热机的效率：21278
11 6.7%298
T T η=-
=-= 6-30 1mol 氮气的循环过程如图6—27所示，ab 和cd 为绝热过程，bc 和da 为等体过程。

求：
（1）a ，b ，c ，d 各状态的温度。

（2）循环效率η。

分析：（1）a ，b ，c ，d 各状态的温度由图中给出的数据分别根据理想气体状态方程求出。

（2）由于ab 和cd 为绝热过程，吸收的热量为零，bc 为等容升温过程，氮
气吸热.()bc V m c b Q vC T T =-，da 为等容降温过程，氮气放热.()da V m d a Q vC T T =-，循环效率由1Q Q η=-
放
吸
求出， 解： (1)由理想理想气体状态方程pV RT γ=得PV
T R
γ=
a 状态温度532
1.00103
2.810
3.951018.31a a p V Ta K R γ-⨯⨯⨯===⨯⨯（）
b 状态的温度532
3.181016.410 6.281018.31b b b p V T K R γ-⨯⨯===⨯⨯（）
C 状态的温度53241016.4107.891018.31c c
c PV T K R γ-⨯⨯⨯===⨯⨯（）
d 状态的温度532
1.26103
2.810 4.971018.31
d d d P V T K R γ-⨯⨯⨯===⨯⨯（）
(2)在bc 过程中，氮气吸热5
()2
bc c b Q Q R T T γ==-吸， 在da 过程中，氮气放热5
Q ()2
da d c Q R T T ν
=-放＝， ∴循环效率5
()2115()2
d a c b R T T Q Q R T T γ
ηγ-=-
=--放
吸
2222
22
7.8910 4.9710 3.9510 6.28107.8910 6.2810c d a b c b T T T T T T -+-⨯-⨯+⨯-⨯==
-⨯-⨯ 0036.65=
6-31 如图6—28表示一氮气循环过程，求一次循环过程气体对外做的功和循环效率。

分析：此循环过程是正循环，完成一次循环过程气体对外所做的功为矩形abcd 的面积，也可用热力学功的公式2
1
V V W pdV =
⎰
求功。

循环效率由W
Q η=
吸
求出， 2312Q Q Q =+吸，其中，23.32()p m Q vC T T =-，
.()bc V m c b Q vC T T =-，111222333PV RT PV RT PV RT ννν===，，
解： 如图6—28所示，完成一次循环过程气体对外所做的功为矩形1234的面积： 即：35
(51)10(105)102000W J J -=-⨯⨯-⨯= 或：2341232414()()W W W p V V p V V =+=-+-
5353
1010(51)10510(15)10J --⎡⎤=⨯⨯-⨯+⨯-⨯⎣⎦
2000J =
循环过程中氮气吸收的热量为：
231232213322221175
R T T R T T 22
75
()()22Q Q Q p V p V p V p V ν
ν=+-+-吸＝（－）＋（－）＝
3322221175()()22
ab da
W W
Q Q p V p V p V pV η∴=
=
+-+-
5353533
2000
75(10105101010110)(1010110510110)22----=
⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯
200013.1%15250
== 6-32 图6—29所示为1mo 单原子理想气体经历的循环
过程，其中ab 为等温线，若1V ，2V 已知，求循环的效率。

分析：设ab 等温线的温度为T ，根据理想气体状态方程
pV RT ν=求出c 点的温度和b 点的压强，循环效率
W
Q η=
吸
，其中，W Wab Wbc =+，ab ca Q Q Q =+吸。

解： 设等温线ab 的温度为T ，b 点的压强和c 点的温度分
别为：
111222
,c b c p V RTV TV RT
p T V R RV V =
===
2
211
21
ln V V V V V RT
Wab pdv dV RT V V ===⎰⎰ 12122
()()b RT
Wbc p V V V V V =-=
-， 由于ab 是等温过程，ab Q Wab =，所以，ca Q Wab Q =+吸
12
33
()()22ca c V Q R T T R T T V =
-=- 22112
3ln
2V V V
Q RT RT V V -∴=+吸 2212
1212122212211212
ln
()ln 3()3ln ln 22V V V V RT RT V V V V V V W Wab Wbc
V V V V V V Q Q RT RT V V V V η-+-++∴====--++
吸吸
循循效率
6-33 一台冰箱工作时，其冷冻室中的温度为—10℃，室温为15℃。

若按理想卡诺致冷循环计算，则此致冷机每消耗3
10J 的功，可以从冷冻室中吸出多少热量？
分析：致冷机的致冷系数Q e W =
吸，卡诺致冷机的致冷系数2
12
T e T T =- 解： 根据题意得：
2
12
Q T W T T =
-吸 所以，可以从冷冻室中吸出的热量 34212W 10263
1.0510()288263
T Q J T T ⨯===⨯-⨯吸
6-34 一台家用冰箱，放在气温为300K 的房间内，做一盘—13℃的冰块需从冷冻室取走
52.0910J ⨯的热量。

设冰箱为理想卡诺致冷机。

（1）做一盘冰块所需要的功是多少？
（2）若此冰箱能以2
1
2.0910J s -⨯⋅的速率取出热量，求做一盘冰块需多少时间？此冰箱的电功率是多少瓦？
分析：致冷机的致冷系数Q e W =吸，卡诺致冷机的致冷系数2
12
T e T T =-，由电功率的定义就可求出冰箱的电功率。

解： （1）根据题意得：
2
12
W Q T T T =
-吸，做一盘冰块所需要的功是： 54122300(13273)
W 2.0910 3.2210()13273
T T Q J T ---+∴=
=⨯⨯=⨯-+吸 （2）若此冰箱能以2
2.0910/J S ⨯的速率取出热量，做冰块所用的时间：
53
2
2.091010()2.0910
t S ⨯==⨯ 此冰箱的电功率为：4
3W 3.221032.2()10
p W t ⨯=== 6-35 1mol 氧气(当成刚性分子理想气体)经历如图6—30所示的过程由a 经b 到c 。

求在此过程中气体对外做的功、吸的热以及墒变。

分析：由理想气体状态方程求出a 点和c 点的温度。

可根据p-V 图与V 轴所围成的面积来求功，
a b c →→氧气内能的变化由内能变化的公式求得，再由热力学第一定律求此过程所吸收的热量。

由墒变公式c
a
dQ
S T
∆=⎰
求过程的墒变。

解： 此过程中气体对外做功，由pV
pV RT T R
γγ==
得
∴氧气在a 点的温度a a
a p V T R
γ= 氧气在c 点的温度c c
c p V T R
γ=
如图6-30所示，此过程中氧气对外做的功：
11
()()()()22
abc a b b a b c c b W p p V V p p V V =
+-++- 5353311
(68)10110(84)10110 1.310()22
J --=⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=⨯ 由a b c →→氧气内能的变化为：
551()()222c c a a abc ac c a p V p V i R E R T R T T R R
γ
γγ∆=∆=⨯⨯-=⨯- 535335
(410310610110) 1.510()2
J --=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯ 3331.310 1.510 2.810()abc abc abc Q E W J ∴=∆+=⨯+⨯=⨯
此过程的墒变为：
,V m c c c a
a a C dT dW dE pdV S T T T
+∆===+⎰⎰⎰ l n l n l n l n 222c c c c c c c
a a a a
a a a
V T V p V R i dT i i
dV R R R R
R V T V T V p V =+=+=+⎰⎰ 51
5
3541038.31ln 8.31ln 23.5()126101
J K -⨯⨯=⨯+⨯⨯=⋅⨯⨯ 6-36 求在一 个大气压下30 g ，—40℃的冰变为100℃的蒸汽时的熵变。

已知冰的比热
111 2.1c J g K --=⋅⋅，水的比热 112 4.2c J g K --=⋅⋅，在1.013×510Pa 气压下冰的熔化热
1334J g λ-=⋅，水的汽化热12260L J g -=⋅。

分析：由dQ
S T ∆=
⎰分别求出40℃-的冰升温至0℃的冰的熵变、0℃冰等压等温熔
成0℃的水时的熵变、0℃的水等压升温至100℃水的熵变、100℃的水等压等温汽化为
100℃的水蒸气的熵变，然后把各个过程的熵变代数各加起来就是在一个大气压下30 g ，
—40℃的冰变为100℃的蒸汽时的熵变。

解： 12340273233,0273273K ,100273373T K T T K =-+==+==+=（）（）（）
40℃-的冰升温至0℃的冰的熵变为：
2
21
1
12
111
ln T T T T c mdT T dQ
S c m T T T ∆===⎰
⎰
0℃冰等压等温熔成0℃的水时的熵变为：
22222
Q dQ m
S T T T λ∆===
⎰
0℃的水等压升温至100℃水的熵变为：
3
32
2
3
2322
ln T T T T T c mdT dQ
S c m T T T ∆===⎰
⎰
100℃的水等压等温汽化为100℃的水蒸气时的熵变为：
44333
Q dQ Lm
S T T T ∆===
⎰
40℃-的冰变为100℃的水蒸气时的总熵变为：
321234121223
(ln ln )T T L S S S S S m c c T T T T λ
∆=∆+∆+∆+∆=+++ 1
273334
373
226030(2.
1l n 4.2l n
)268()
233273
273
373
J K -=⨯⨯++⨯+=⋅
6-37 你一天大约向周围环境散发6
810⨯J 热量，试估算你—天产生多少熵?忽略你进食时带进体内的熵，环境的温度按273K 计算。

分析：一天产生的熵即人和环境熵的增量之和。

解 ：设人体温度为136℃309T K ==，环境温度为2273T K =。

一天产生的熵为：
63
1121211810() 3.410309273
Q Q S S S J K T T ---∆=∆+∆=
+=⨯+=⨯⋅（）
6-38 一汽车匀速开行时，消耗在各种摩擦上的功率是20kW 。

求由于这个原因而产生熵的速率(J/（K.s ）)是多大？设气温为12℃。

分析：产生熵的速率为
S S Q t T
∆∆∆，而＝。

解： 产生熵的速率为：
3
201070(/)2851
S Q J K s t T t ∆⨯===⋅∆∆⨯ 6-39 云南鲁甸县大标水岩瀑布的落差为65m ，流量约为233
/m s 。

设气温为20℃，求此瀑布每秒钟产生多少熵？
分析：水落下后机械能转变为内能使水温从1(20273)293T K =+=（）升高到2T 。

由熵变公式2
1
T T dQ
S T
∆=
⎰
求出此瀑布每秒钟产生的熵。

解： 由题意得： 21()mgh cm T T =-，即 21gh
T T c
=+ 则
13
9.8650.152934.210gh T K c ⨯===⨯ 此问题中只有水发生熵变，1秒内水的熵变为：
2
21
1
21
11
/ln ln T T T T T T gh c dQ
cmdT S cm cm T T T T +∆====⎰
⎰ 111
l n (1)g h g h m g h
c m c m c T c T T =+≈⨯= 4
123109.865 5.010293
J K -⨯⨯⨯==⨯⋅（）。