罗尔中值定理的证明及应用

（ 。 ，
因为 ， Ｉ ｏ ） ＿ ， １ ６ ） ， 所以 和 ｍ 中至 少
（ ｒ ｚ ， ６） 内 必 有 一 点 ， 使 得 ） ＝ ． 又 因 为 对 于 任 意 的 ［ ｎ ， ６ ］ ， 有ｆ （ ） ≤ 厂 （ ） ， 且
有一个不等于 （ ｎ ） ． 不妨设 刮 ｏ ） ， 则在 ６ ） ， 使得 ｂ ） ｇ （ ６ ） ｈ （ ｂ ） ｌ ＝ ０． （ ２ ）
费马定理 告诉我们 ，若 函数在 。 点 ０ ， ， Ｉ １） ＝１＞０ ． 由 闭区间上连续 函数 的零 可导 ，且函数在 ‰点处取得 了局 部的最 值 定 理 可 知 ， 至 少 存 在一 点
定为零 ， 即， ． （ ０ ） ；０ ． 由图 １知 ， 函数 ） 在 处 取 得 了局
罗 尔 中 值 定 理 是 其 他 微 分 中值 定 理 大值或最小值 ，则函数在 点 粕处 的导数 得 ） ＝ ０ ．
一
唯 一 性 ：假 设 函数 厂 （ ）在 开 区 间 （ ０ ， １） 内有两个 不 同的 实根 ， 设 为 ， 且 ＜ 物， ￣ ｌ Ｊ ｙ ｌ ） 在 闭 区 间 １ ， Ｘ ２ ］ 上连 续 ， 在开 区间 （ ， ） 内可 导 ， 且
二、 罗 尔定 理 的应 用
１ ． 函数零（ 值） 点 问题 ．
别 有效．它是 由法国数学 家罗尔 （ Ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ， 到 ｌ ８ ４ ６年 经法 国的 另一位 数学 家 完善
成今天的形式． 以下 就 介绍 罗尔 中值 定 理 的 知识 ：
一
１ ６ ５ ２ ～ｌ ７ １ ９ ）在 ｌ ６ ９ １年 首 先 提 出 的 ， 直 部 的 最 大 值 ． 因此 ， 根 据 费 马定 理 不 难 证
ｎ ） ｇ （ ｎ ） ｈ （ ０ ）ｊ
此， （ ｎ ， ６ ） 内任一点 皆可作为我们找 的 ．
处 的纵坐 标相等， 即 ｎ ） ＿ 厂 （ ｂ） ． 可 以发现 在 曲线弧 曰的最高点或最低 点处 ， 曲线
都 有 水 平 的切 线 ．如 果 记 曲 线 弧 Ａ Ｂ 的最 高 点 Ｃ的 横 坐 标 为 ， 则， ． （ ） ＝ Ｏ ． 若 我 们
明罗尔定理． 罗尔定理的证 明 由于 ） 存［ ｎ ， ６ ］ 上
连续。 所 以 ） 在［ ｎ ， ６ ］ 上 必 定 取 得 它 的 最 大 值 Ｍ 和 最 小 值 ｍ． 这样， 只 有 两 种 可 能 的 情形 ：
（ １ ） ＝ ｍ．
＿ ， （ ） ＝ ３ ｘ ＋ １
于是 ， 函数
］ ）
２ ） ＝ ０ ．
（ ｚ ） ， 使 得
） 在［ ， Ｘ ２ ］ 上 满 足 罗 尔
、
罗尔 中值 定 理 的 证 明
定理 的条件 ， 故 存 在
我们首先来观察一个 图形 ， 见图 １ ．
设 图 １中 曲线 弧 Ａ Ｂ是 函 数 ｙ ： 厂 Ｉ ）
＿ 厂 （ ｆ ） ＝ ０ ． 但是 Ｉ ， ’ （ ） ３ ＋１＞ ０ ， 矛盾 ． 于 是
方 程 － ＋ 一 １ ０在 区 间 （ ０ ， １） 内只 有 一 个
（ ∈［ ｎ ， ６ ］ ） 的 图形 ． 这是一 条连续 的 曲线 弧， 除端点外处处具有不垂直于 轴 的切
／ ＿ （ 《 ） （ ∈ ） ｈ ’ （ ∈ ） Ｊ
ｎ ） ｇ （ ｎ ）ｈ （ “ ） ｝
用分析 的语言把这一几何现象描述 出来 ，
就 得 到 了下 面 的 罗 尔 （ Ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ） 定理．
＿ 厂 （ ） 存在 ． 故 由费 马定理 知 （ ） ＝ ０ ． 类似 可证 ｍ≠ ｎ ） 的情形． 罗尔定理成立 ．
认 识 到 微分 中值 定 理 的普 遍性 ． 的基 础 ， 而 且 该 定 理 对 判 别 根 的 存 在 性 特
证 明 存在性 ： 令， １ ） ＝ 。 ＋ 一 １， 函数
＿ ， Ｉ ） 在 闭区间［ ０ ， １ ］ 上连续 ， 且 ０ ） —一 １ ＜
（ Ｏ ， １） ， 使
一
微 分 中值 定 理 是 微 分 学 的 基 本 定 理 ，
百度文库
如果对 任意 的 ∈Ｕ （ 粕） ， 有＿ 厂 （ ） ≤ 。 ） ，
分析 为 了利 用 函 数 值 的 大 小 关 系
点作 上面的推理保持 有效 ．
例 ２ 证 明 方 程 。 十 —ｌ ＝ ０在 区 间
在 数学 分 析 中 占有 重 要 地 位 ， 是研 究 函 数 贝 １ 厂 （ 。 ） ＝ ０ ．
在某个区间内的整体性质的有 力工具。 从
（ ０ ， １） 内只 有 一 个 实根 ．
费马定理开始 ，经历了从特殊 到一般 ， 从 得 出导数的结论 ， 显然应该考虑使用导数 直观 到抽象 ， 从强条件到弱条件的发展阶 的定义． 段． 人们 正是在 这一发 展的过 程 中 ， 逐 渐
线， 即 ） 在（ ｒ ｚ ， 内处 处 可 导 ． 且 两 端 点
＝
此 时对 于任 意的 ∈［ 。 ， ６ ］ ， 必 有
）
实根 ．
Ｍ． 故对任意 的 ∈（ ｎ ， ６ ） ， 有， （ ） ＝０ ． 因
（ ２ ） Ｍ＞ ｍ．
２ ． 证 明 中值 公 式 ． 例 ３ 设厂 （ ） ， ｇ （ ） ， ｈ （ ） 在［ Ⅱ ， ６ ］ 上 连续 ， 在（ ｎ ， ｂ） 内可导 ， 试 证 存 在
２ ８蘸 秀 掌 Ｉ Ｉ Ａ ｏ ｓ Ｈ Ｉ Ｉ Ｉ Ａ ｏ Ｙ ｕ
罗尔中值定理的证明及应用
Ｉ Ｉ ， － ． Ｊ ￣ Ｌ 体育学院 戴永杰
关键 词 ： 罗 尔 中值 定 理 证明 应用
邻域 Ｕ（ 粕） 内有定 义 ， 并且 在 处可 导 ，
若』 ４ ＝ ＋ｏ 。 （ 或 一ｏ ｏ ） ， 则（ 。 ， ６） 内任 取