罗尔中值定理的证明及应用
罗尔中值定理构造函数
罗尔中值定理构造函数罗尔中值定理构造函数是一个非常重要的数学定理，它与微积分密切相关，可以用于解决许多实际问题。
下面就从定义、意义和构造函数等方面来探讨一下这一定理。
一、罗尔中值定理的定义罗尔中值定理是微积分中的一个定理。
它表述如下：如果函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，满足f'(c)=0。
其中，a,b,c是任意三个实数，a<b。
f'(c)表示f(x)在c点的导数。
二、罗尔中值定理的意义罗尔中值定理是微积分中的一个基本定理，它告诉我们，当一个函数在一个有限区间内满足一定的条件时，它在这个区间内会有一个点的导数为0。
这个点可以用来刻画函数在这个区间内的一些特性或性质。
比如说，如果函数的导数恒为正，则该函数在这个区间内是递增的；如果导数恒为负，则该函数在这个区间内是递减的；如果导数为0，则可以说明这个函数在这个点上取得了局部最值。
三、罗尔中值定理构造函数我们可以利用罗尔中值定理来构造一些函数，这些函数的一些特性或性质可以利用罗尔中值定理来证明。
例如，我们可以构造一个满足下列条件的函数：(1) 在区间[-1,1]上连续；(2) 在(-1,1)内可导；(3) 在端点处取值相等，即f(-1)=f(1)；(4) 在(-1,1)内的导数恒为正。
我们可以构造这样一个函数： f(x)=a(x+1)^2+b(x-1)^2。
其中a,b是待定系数。
我们可以先求出f(-1)和f(1)：f(-1)=a(0)^2+b(-2)^2=4b。
f(1)=a(2)^2+b(0)^2=4a。
根据条件(3)，我们可以得到4b=4a，即b=a。
因此，我们可以用f(x)=a(x+1)^2+a(x-1)^2来表示f(x)。
接下来，我们可以求出f(x)在(-1,1)内的导数：f'(x)=2a(x+1)+2a(x-1)=4ax由于a>0，因此f'(x)>0。
罗尔中值定理公式
罗尔中值定理公式摘要：1.罗尔中值定理的定义及意义2.罗尔中值定理的条件3.罗尔中值定理的应用实例4.罗尔中值定理的扩展与相关定理5.结论与总结正文：一、罗尔中值定理的定义及意义罗尔中值定理是微积分学中的一个重要定理，它揭示了函数在某一点处的导数与该点附近的其他点的函数值之间的关系。
该定理的表述为：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在区间端点处的函数值相等，即f(a) = f(b)，那么在开区间(a, b)内至少存在一点c，使得f"(c) = 0。
二、罗尔中值定理的条件1.函数在闭区间[a, b]上连续：这意味着函数在区间[a, b]上没有断点，即在区间内任意一点都可以取到函数值。
2.函数在开区间(a, b)上可导：这意味着函数在区间内任意一点的导数存在且可测。
3.端点处的函数值相等：即f(a) = f(b)，这是罗尔中值定理发生的必要条件。
三、罗尔中值定理的应用实例罗尔中值定理在实际应用中具有重要意义，如在证明一些不等式、求极限、研究函数的性质等方面都有广泛应用。
以下为一个实例：设函数f(x)在区间[0, 1]上连续，在开区间(0, 1)上可导，且f(0) = f(1)，求证：在(0, 1)内存在一点c，使得f"(c) = 0。
证明：由罗尔中值定理，可知在(0, 1)内存在一点c，使得f"(c) = 0。
四、罗尔中值定理的扩展与相关定理1.柯西中值定理：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且f(a) = f(b)，那么在开区间(a, b)内至少存在一点c，使得f"(c) = 0。
柯西中值定理是罗尔中值定理的推广。
2.拉格朗日中值定理：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a, b)内至少存在一点c，使得f"(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
中值定理与导数的应用
第三章 中值定理与导数的应用§3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0.罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf .例:设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(=f ，证明：在(0,1)内存在ξ，使得ξξξ)()(f f -='．【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析：()0)(0)()(0)()()()(='→='+→='+→-='x xf x f x x f f f f f ξξξξξξ【证明】令)()(x xf x G =，则)(x G 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且0)1(1G (1)0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()(ξξξξf f G '+='．即ξξξ)()(f f -='例：设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''=【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是找到()F x '的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F (a )=F (b )=0, 若能再找一点(,)c a b ∈，使得()0F c =，则在区间[,],[,]a c c b 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对()F x '用罗尔定理即可。
3.1.3罗尔中值定理 应用(2)
罗尔( Rolle )中值定理的应用1. 与零点定理结合解决方程根的唯一性;2. 用罗尔定理研究导函数的零点;3. 证明含一个中值的等式.3. 证明含一个中值的等式一般利用逆向思维, 考虑辅助函数法.解题方法:第一步：将要证明等式中的换作x,将其写成F (x)=0的形式，依据F (x)的特点选取辅助函数F(x)；第二步：验证F(x)在给定的区间上满足罗尔定理条件，由罗尔定理结论F ()=0得到欲证等式.ξξ'''第三章例5.设],,0[)(πC x f ∈且在),0(π内可导, 证明至少存在一点,),0(πξ∈使()()cot .f f ξξξ'=−分析:由结论可知, 只需证即[]0sin )(='=ξx x x f 由题设容易验证)(x F 在],0[π上满足罗尔定理条件，故在开区间证设()()sin ,=F x f x x 利用逆向思维找辅助函数3. 证明含一个中值的等式=()sin ()cos ''+使得F ()=0，ξξξξξf f (0,)内存在一点，πξ()()cot '=−即.ξξξf f例6.若)(x f 可导, 试证在其两个零点间一定有)()(x f x f '+的零点.分析：由题设有,,0)()(2121x x x f x f <==欲证:12(,),x x ∃∈ξ使0)()(='+ξξf f 只要证)()(='+ξξf f ξe ξe 亦即])([='=ξx xx f e 作辅助函数,)()(x f e x F x=容易验证)(x F 在],[21x x 上满足罗尔定理条件，所以命题成立.证利用逆向思维找辅助函数12(,),即x x ∃∈ξ()[()]0使得xx x F x e f x ==''==ξξ()()0,即'+=ξξf f ,,0)()(2121x x x f x f <==证：存在,)1,0(∈ξ使例7.设]1,0[可导，且,0)1(=f 在连续，)1,0()(x f 证：()()，nx x f x φ=,)1,0(∈ξ罗尔定理条件,因此至少存在显然)(x ϕ上满足=')(ξϕ即设辅助函数使得)()(1ξξξξf f n nn '+−0=利用逆向思维找辅助函数()()0.'+=ξξξn f f ()()0.n f f ξξξ'+=[0,1]在分析:由结论知, 只需证1()()0=成立，n nn f f ξξξξ−'+()0.即=nx x f x ξ='⎡⎤⎣⎦求证存在(1,2),∈ξ使例8.设[1,2]在连续，(1,2)在内可导，)(x f 证：(1,2),∈ξ因此至少存在即使得1(1),(2) 2.2且==f f 2(),令F()=f x x x在上满足罗尔定理条件,[1,2]容易验证)(x F 24()2()()0,-f f F ξξξξξξ''==2()2()0,-'=ξξξξf f 亦即2()().='ξξξf f 2()().='ξξξf f小结1.罗尔定理是用来解决方程根的唯一性的方法之一；2.罗尔定理常常被用来研究导函数的零点，注意这里导函数未必连续，这与连续函数零点定理是有区别的;3.罗尔定理是证明含一个中值的等式方法之一.用罗尔定理证明含一个中值的等式,关键是构造满足罗尔定理的辅助函数，常用的辅助函数有：()()()sin (),()(),(),()(),()(),nx g x n f x F x xf x F x x f x F x F x e f x F x e f x xn 这里为正整数，为实数.λλ=====。
罗尔中值定理例题
罗尔中值定理例题罗尔中值定理是微积分中的一个重要定理，它是微积分中的基本定理之一，也是求解微积分问题的基础。
本文将以罗尔中值定理的例题为基础，详细阐述罗尔中值定理的概念、定理及其应用。
一、罗尔中值定理的概念罗尔中值定理是微积分中的基本定理之一，它是指在某一区间内，如果一个函数在两个端点上取相同的值，那么这个函数在这个区间内必然存在一个点，使得这个点的导数等于零。
更具体地说，如果一个函数f(x)在区间[a,b]上满足以下两个条件：1. f(a) = f(b)2. f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
二、罗尔中值定理的定理罗尔中值定理的定理可以用如下的方式来表述：设函数f(x)在区间[a,b]上满足以下两个条件：1. f(a) = f(b)2. f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
三、罗尔中值定理的应用罗尔中值定理的应用非常广泛，它可以用来证明一些数学定理，也可以用来求解一些实际问题。
下面我们将介绍一些罗尔中值定理的应用。
1.证明定理罗尔中值定理可以用来证明一些数学定理，比如费马定理。
费马定理是指在一个函数的极值点处，该函数的导数等于零。
如果一个函数在某一个区间内没有极值点，那么就可以用罗尔中值定理来证明费马定理。
2.求解实际问题罗尔中值定理可以用来求解一些实际问题，比如汽车行驶中的速度问题。
假设一辆车在某一个路段上行驶，它的速度在两个端点上相同，那么就可以用罗尔中值定理来求解这个路段上的平均速度。
四、罗尔中值定理的例题下面我们将介绍一些罗尔中值定理的例题，以帮助读者更好地理解罗尔中值定理的概念和应用。
例题1：证明函数f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[-1,1]上至少有一个零点。
解法：首先，我们可以计算出f(-1) = -3和f(1) = -1，因此f(-1) = f(1)。
微分中值定理的证明以及应用
微分中值定理的证明以及应用1 微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的三个定理 ,它们分别是罗尔(R olle )中值定理 、拉格朗日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理 .具体内容如下 :1.1 罗尔中值定理[2]如果函数f 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续 ; (2)在开区间(,)a b 内可导 ;(3)在区间端点的函数值相等,即()f a f b （）=,那么在区间(,)a b 内至少有一点a b ξξ（<<）,使函数()y f x =在该点的导数等于零,即'()0f ξ=. 1.2 拉格朗日中值定理[2]如果函数f 满足： (1)在闭区间[,]a b 上连续;(2)在开区间,a b （）内可导.那么,在,a b （）内至少有一点a b ξξ（<<）,使等式()()()=f a f b f b aξ-'-成立.1.3 柯西中值定理[2]如果函数f 及g 满足: (1)在闭区间[,]a b 上都连续; (2)在开区间,a b （）内可导; (3)'()f x 和'()g x 不同时为零; (4)()()g a g b ≠则存在,a b ξ∈（）,使得 ()()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ'-='-2 三定理的证明2.1 罗尔中值定理的证明[2]根据条件在闭区间[,]a b 上连续和闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,若函数()f x 在闭区间上连续,则函数()f x 在闭区间[,]a b 上能取到最小值m 和最大值M ,即在闭区间[,]a b 上存在两点1x 和2x ,使12(),()f x m f x M==且对任意[,x a b ∈],有()m f x M ≤≤.下面分两种情况讨论:①如果m M =,则()f x 在[,]a b 上是常数,所以对(,)x a b ∀∈,有()=0f x '.即,a b （）内任意一点都可以作为c ,使()=0f c '. ②如果m M <,由条件()=()f a f b ,()f x 在[,]a b 上两个端点a 与b 的函数值()f a 与()f b ,不可能同时一个取最大值一个取最小值,即在开区间,a b （）内必定至少存在一点c ,函数()f x 在点c 取最大值或最小值,所以()f x 在点c必取局部极值,由费尔马定理,有'()=0f c .2.2 拉格朗日中值定理的证明[2]作辅助函数()()()()f b f a F x fx a b x f a a--=-（）-（-） 显然,()()(0)F a F b ==,且F 在[,]a b 满足罗尔定理的另两个条件.故存在,a b ξ∈（）,使 ()()''()f b f a F f b aξξ--（）=-=0移项即得()()'()=f b f a f b aξ--2.3 柯西中值定理的证明[2]作辅助函数()()()g()-g()()g(f b f a F x f x f a x a g b a --（）=-()-（））易见F 在[,]a b 上满足罗尔定理条件,故存在(,)a b ξ∈,使得()()''()g'()=0()g(f b f a F f g b a ξξξ--（）=-）因为g'()0ξ≠(否则由上式'()f ξ也为零）,所以把上式改写成()'()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ-='-证毕3 三定理的几何解释和关系3.1 几何解释[1]罗尔中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦(或x轴).拉格朗日中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦.柯西中值定理在曲线()()f xyxg x=⎧⎨=⎩(其中x为参数,a x b<<)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点((),()),((),())A f a g aB f b g b的弦.综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为:在区间[,]a b上连续且除端点外每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线,它们有个共同的特征()y f x=在曲线上至少存在一点,过该点的切线平行于曲线端点的连线.3.2 三定理之间的关系[3]从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系.利用推广和收缩的观点来看这三个定理.在拉格朗日中值定理中,如果()()f a f b=,则变成罗尔中值定理,在柯西中值定理中,如果()F x x=,则变成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.反之,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例.总的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系.从上面的讨论中可以总结得到,罗尔中值定理是这一块内容的基石,而拉格朗日中值定理则是这一块内容的核心,柯西中值定理则是这一块内容的推广应用.4 三定理的深层阐述4.1 罗尔中值定理4.1.1 罗尔中值定理结论[8](1) 符合罗尔中值定理条件的函数在开区间,a b （）内必存在最大值或最小值. (2) 在开区间,a b （）内使'()=0f x 的点不一定是极值点. 例如 函数3()(53)4xf x x =-在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理的三个条件, 由25'()3()4f x x x =- ,显然0x =,有'(0)=0f 成立,但0x =不是()f x 的极值点.如果加强条件, 可得如下定理:定理 1 若函数在闭区间,a b []上满足罗尔中值定理的三个条件,且在开区间,a b （）内只有唯一的一个点,使()=0f x '成立,则点x 必是()f x 的极值点.完全按照罗尔中值定理的证法,即可证得使()'=0f x 成立的唯一点x 就是()f x 在,a b （）内的最值点,当然是极值点. 4.1.2 逆命题不成立[3]罗尔中值定理的逆命题 设函数()y=f x 在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,若在点x 在,a b （）处,有()=0f x ',则存在,[,]p q a b ∈,使得()()=fp f q .例 函数3y x =,[,](0)x a a a ∈->,显然3y x =在,a a [-]上连续,在a a (-,)内可导,()=0f x ',但是不存在,[,]p q a a ∈- ,p q <,使得()()=f p f q .但如果加强条件,下述定理成立:定理2 设函数y ()f x =在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,且导函数()f x '是严格单调函数,则在点(,)x a b ∈处,有()=0f x '的充分必要条件是存在,[,]p q a b ∈,p q<,使得()()=f p f q .4.2 拉格朗日中值定理4.2.1 点x 不是任意的[7]拉格朗日中值定理结论中的点x 不是任意的. 请看下例:问题 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim ()x f x c →+∞=(c 为常数),则lim ()0x f x →+∞=这一命题正确吗?证明 设x 为任意正数,由题设知()f x 在闭区间[,2]x x 上连续,在开区间(,2)x x 内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点(,2)x x ξ∈,使得()(2)()=f x f x f xξ-',又因为li m ()x f x c →+∞=,故(2)()limx f x f x x→+∞-=.由于ξ夹在x与2x 之间,当x +→∞时,ξ也趋于+∞,于是lim '()lim '()0x x f x f ξ→+∞→+∞==.上述证明是错误的,原因在于ξ是随着x 的变化而变化,即()g x ξ=,但当+x →∞时,()g x 未必连续地趋于+∞,可能以某种跳跃方式趋于+∞,而这时就不能由()f ξ'趋于0推出lim ()0x f x →+∞=了.例如 函数()2s i n =x f x x满足l i m ()0x f x→+∞=,且2221'()2cos sin f x x xx=-在+∞（0，）内存在,但2221lim '()lim [2cos sin ]x x f x x x x→+∞→+∞=-并不存在,当然li m '()0x f x →+∞=不会成立.4.2.2 条件补充[5]定理 3 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim '()x f x →+∞存在,若lim '()x f x c→+∞=(c 为常数),则lim '()0x f x →+∞=.4.3 柯西中值定理柯西中值定理的弱逆定理[8]设()()f x g x ，在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,且'()'()f g ξξ严格单调,'()0g x ≠,则对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）, ,使得2121'()'()=[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ--成立.证明:对,a b ξ∀∈（）,作辅助函数 '()'()F x f x f g x ξξ（）=()-()g().显然,()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,并且由()()f x g x ，严格单调易知'()F x 也严格单调.由拉格朗日定理知,对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）,,使得 2121()()'()()F x F x F x x ξ-=-成立.而'()='()('()'())'()0F f f g g ξξξξξ-=所以有21()()0F x F x -=即2211['()('()'())'()]['()('()'())'()]0f x f g g x f x f g g x ξξξξ---=整理得2121'()'()[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ=--证毕.5 定理的应用三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性、求极限、证明等式不等式、求近似值等.以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用.5.1 罗尔中值定理的应用例1 设(1,2,3,,)i a R i n ∈= 且满足1200231n a a a a n ++++=+ ,证明：方程2012++++0n n a a x a a x x = 在（0,1）内至少有一个实根. 证明: 作辅助函数23+1120231n n a a a F x a x x x xn +++++ （）=则=0(0F （）,=(1)F 0,Fx （）在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,故满足罗尔中值定理条件,因此存在(0,1)ξ∈,使'()0F ξ=,又2012'()++++0nn F x a a x a x a x==由此即知原方程在(0,1)内有一个实根.例2 设函数()f x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且()()0f a f b ==.试证: 在[,]0a b a >（）内至少存在一点ξ,使得'()f f ξξ=（）. 证明：选取辅助函数()()x F x f x e -=,则F x （）在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,(a)()0F F b ==,由R olle 定理,至少存在一点,a b ξ∈（）,使'()'()e['()()]0F f f f f ξξξξξξξξ---=-=-=（）e e因 0e ξ-> 即'()()=0f f ξξ-或'()=()f f ξξ.例 3 设函数()f x 于有穷或无穷区间,a b （）中的任意一点有有限的导函数()f x ',且0lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=,证明:'()0f c =,其中c 为区间,a b （）中的某点.证明: 当,a b （）为有穷区间时,设()(,)(),f x x a b F x A x a b ∈⎧=⎨=⎩，当时，当与时，其中0lim ()lim ()x a x b A f x f x →+→-==.显然()F x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且有()()F a F b =,故由R o l l e 定理可知,在,a b （）内至少存在一点c ,使'()=0F c .而在,a b （）内,'()'()F x f x =,所以'()=0F c .下设,a b （）为无穷区间,若,a b =-∞=+∞,可设tan ()22x t t ππ=-<<,则对由函数()f x 与tan x t=组成的复合函数g()(tan )t f t =在有穷区间()22ππ-，内仿前讨论可知:至少存在一点0t (,)22ππ∈-,使20g '()'()sec 0t f c t =⋅=,其中t a n c t =,由于20s e c 0t ≠,故'()=0f c .若a 为有限数,b =+∞,则可取0m a x {,0}b a >,而令00()b a t x b t-=-.所以,对复合函数00()g()()b a t t f b t-=-在有穷区间0,a b （）上仿前讨论,可知存在00t ,a b ∈（）使000200()g '()'()=0)b b a t fc b t -=⋅-（,其中0000()b a t c b t -=-,显然a c <<+∞由于00200())b b a b t ->-（,故'()=0fc .对于a =-∞,b 为有限数的情形,可类似地进行讨论.5.2 拉格朗日中值定理的应用例 4 证明0x >时,ln(1)1x x x x<+<+证明： 设()ln(1)f x x =+ , 则()f x 在[0,]x 上满足Lagrange 中值定理1ln(1)ln(10)ln(1)'(),(0,)10x x f x x xξξξ+-++===∈+-又因为111x ξ<+<+所以1111+1xξ<<+所以1ln(1)11+x xx+<<即ln(1)1x x xx<+<+例 5 已知()()()11112na n n n n n n n =++++++ ,试求lim n x na →.解： 令()2f x x=,则对于函数()f x 在()(),1n n k n n k +++⎡⎤⎣⎦上满足L a g r a n g e定理可得： ()()()()21211n n k n n k n n k n n k ξ++-+=++-+ ,()()()(),1n n k n n k ξ∈+++所以()()111221n k n k nnn n k n n k +++<-<+++当0,1,,1k n =- 时,把得到的上述n 个不等式相加得：()()()()211111222121n n n n n n n n n n+++<-<+++++ ()()11221n n n n ++++-即112222n n a a n n<-<+-故11022212n a n ⎛⎫<--<- ⎪⎝⎭所以lim 222n n a →∞=-例 6 求0.97的近似值. 解： 0.97是()f x x=在0.97x =处的值, 令001,0.97x x x x ==+∆=,则0.03x ∆=-, 由Lagrange 中值定理,存在一点0.97,1ξ∈（）(1)(0.97)'()0.03f f f ξ-=可取1ξ≈近似计算,得110.971+)'(0.03)1(0.03)0.9852x x =≈⋅-=+-=（5.3 柯西中值定理的应用例 7 设0x >,对01α<<的情况,求证1xx ααα-≤-.证明：当1x =时结论显然成立,当1x≠时,取[],1x 或[]1,x ,在该区间设()f x xα=,()F x x α=由Canchy 定理得：()()()()()()11f x f f F x F F ξξ'-='- (),1x ξ∈或()1,x ξ∈ 即111x x ααααξξααα---==-当1x >时,(),1x ξ∈,11αξ->即11x x ααα->-又()10x x ααα-=-<故1x x ααα->-即11x αα-<-当1x >时,()1,x ξ∈,11αξ-<则()10x x ααα-=->故1x x ααα->-即11x αα-<-证毕例 8 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,a b ≤≤（0）,()()f a f b ≠ ,试证 ,a b ξη∃∈，（）,使得'()'()2a b f f ξηξ+= .证明： 在等式'()'()2a b f f ξηξ+=两边同乘b a -,则等价于22'()'()()2f f b a b a ηξξ-=-（）,要证明此题, 只需要证明上式即可.在[,]a b 上,取()()F x f x =,G x x （）=,当,a b ξ∈（）时,应用Cauchy 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ξξ-=-即()()'()1f b f a f b aξ-=-在[,]a b 上,再取()()F x f x =,2G x x （）= ,当,a b η∈（）时,应用C a u c h y 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ηη-=-即22()()'()2f b f a f b aηη-=-即22'()'()()()2f f b a b a ηξξ-=-即'()'()2a b f f ξηξ+=例 9 设函数f 在[,]0a b a >（）上连续,在(,)a b 上可导.试证:存在(,)a b ξ∈使得()()'()lnb f b f a f aξξ-=证明： 设()ln g x x =,显然它在[,]a b 上与()f x 一起满足柯西中值定理条件,所以存在,a b ξ∈（）,使得 ()()'()1ln ln f b f a f b aξξ-=-整理后即得()()'()lnb f b f a f aξξ-=6 定理的应用总结 6.1 三定理的应用关系一般来说, 能用R o l l e 定理证得的也可用Lagrange 定理或C a u c h y 定理证得,因此,在解题的过程中根据问题本身的特点能选取合适的中值定理,以取得事半功倍的效果.如上面例9 利用R olle 中值定理.令()[()()]ln ()(ln ln )F x f b f a x f x b a =---,则()()F a F b -,所以存在,a b ξ∈（）使得'()0F x =, 即()()'()lnf b f a b f aξξ--=整理后即得所欲证明.上面的这个例子还不难看出在利用R olle 中值定理和Cauchy 中值定理证明的同一个不等式中,用R olle 中值定理时辅助函数的构造显然需要更多的观察和技术.相比之下,用Cauchy 中值定理则要简单得多.6.2 定理的应用方法技巧从定理应用的例题中不难发现,微分中值定理大多都是通过构造辅助函数来完成证明的.有的可以从函数本身出发构造辅助函数,有的需要利用指数、对数、三角函数等初等函数来构造辅助函数,还有的要根据需要证明的目标出发适当构造辅助函数.可见,在微分中值定理的应用中,广泛地使用辅助函数是做证明题的关键,在学习时应该掌握一些常用的构造辅助函数方法.在做证明题时一般先从要证的结论出发,观察目标式的特征,分析目标式可能要用的辅助函数,然后对目标式作相应的变形,这是构造辅助函数的关键.有了辅助函数就可以直接对辅助函数应用微分中值定理得到结论.7 结束语本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习,和一些相关学科内容知识的学习,并结合一些相关的参考图书资料,以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容,其中还包括自己对这些内容的理解,还通过多方面的了解和研究,且在和老师及同学们的一起探讨下,了解到微分中值定理的内在联系,也对微分中值定理深层进行了探讨,还对微分中值定理的应用做了归纳总结.本课题主要是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个微分中值定理,感受到了定理来解决数学问题的方便快捷,学以致用得到充分体现.微分中值定理是微分学的基本定理,而且它是微分学的理论核心,有着广泛的应用.本课题主要是对微分中值定理证明等式不等式,方程根的存在性,求极限以及求近似值等的应用.应用微分中值定理证明命题的关键是构造辅助函数,构造满足某个微分中值定理的条件而得到要证明的结论.而构造辅助函数技巧性强,构造合适的辅助函数往往是困难的.因此,在构造辅助函数上本文没有深入系统论述,有待于研究.9 参考文献[1] 党艳霞. 浅谈微分中值定理及其应用[J]. 廊坊师范学院学报(自然科学版).2010,(1): 28-31.[2] 陈传璋. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社. 2007.[3] 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社. 1982.[4] 林源渠, 方企勤等. 数学分析习题集[M]. 北京：高等教育出版社. 1986.[5] 赵香兰. 巧用微分中值定理[J]. 大同职业技术学院学报. 2004,（2）：64-66.[6] 刘章辉. 微分中值定理及其应用[J]. 山西大同大学学报（自然科学版）.2007.23(2): 12-15.[7] 何志敏. 微分中值定理的普遍推广[J]. 零陵学院学报. 1985. (1): 11-13.[8] 李阳, 郝佳. 微分中值定理的延伸及应用[J]. 辽宁师专学报. 2011.(3): 13-18.。
罗尔中值定理与拉格朗日中值定理
罗尔中值定理与拉格朗日中值定理引言：在微积分中，有两个非常重要的定理——罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。
它们在分析函数的性质和证明一些数学问题中起着重要的作用。
在本文中，我们将详细介绍这两个定理的概念、条件和应用。
一、罗尔中值定理（Rolle's Theorem）：罗尔中值定理是微积分中的一条基本定理，它首次由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出。
该定理是一个关于导数连续函数的性质的陈述，下面是它的准确表述：定理：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。
如果f(a) = f(b)，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c) = 0。
简单来说，罗尔中值定理告诉我们，如果一个函数在闭区间的端点取得相同的函数值，并且在开区间内可导，那么在这个开区间内一定存在一个点，该点的导数为零。
举例：设函数f(x) = x^3 - x^2 - x + 1，该函数在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0, 1)内可导。
计算f(x)在开区间(0, 1)内的某个零点。
根据罗尔中值定理，我们可以先验证f(x)在闭区间[0, 1]上的连续性，然后计算f(a)和f(b)的值，如果相等，那么就可以利用该定理证明在开区间内存在某个点c，使得f'(c) = 0。
二、拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）：与罗尔中值定理类似，拉格朗日中值定理也是微积分中的重要定理，其命名来自于法国数学家约瑟夫·拉格朗日。
下面是拉格朗日中值定理的准确表述：定理：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。
那么在(a, b)内存在一个点c，使得f(b) - f(a) = f'(c) * (b - a)。
简单来说，拉格朗日中值定理告诉我们，如果一个函数在闭区间上连续且在开区间内可导，那么在该开区间内一定存在一个点，使得函数在两个端点间的变化率等于此点的导数。
罗尔Rolle中值定理
[ f ( x) sin x ] x 0 解题关键
证明至少存在一点 ( 0 ,
2
), 使
f ( ) cos 0.
容易验证: g( x ) 在 [ 0, ] 上满足罗尔定理条件. 2 由罗尔定理得: 至少存在一点 ( 0, ), 使得 2 g( ) 0
即
f ( ) cos 0.
证明: 设 g( x ) f ( x ) sin x
0
1
x
例2 f ( x ) x , x [1,1];
y
(1) f ( x ) C[1,1]; ( 2) f ( x ) D( 1,1); ( 3) f ( 1) f (1).
1
0
1 x
不存在 ( 1,1), 使 f ( ) 0.
例3 f ( x ) x , x [0,1];
罗尔（Rolle）中值定理
主讲：潘 洁
安徽理工大学
微分中值定理
罗尔中值定理
泰勒中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
问题的引出：
y
C
T 与x轴
这样的 可能有多个
a
1
2
b
x
一、罗尔(Rolle)中值定理
y
D
若函数 f ( x ) 满足：
(1) 在 [a , b] 上连续；
f ( x )在 [a , b] 上 连续， f ( x)在 [a, b] 上必有最大值 M 和最小值 m.
(1)若 M m.则 f ( x) M . 由此得 f ( x ) 0, x (a, b). (a, b),都有 f ( ) 0.
f (a ) f (b), (2)若 M m. 最值不可能同时在端点处取得. 不妨设 M f (a ),
罗尔中值定理
注1. 几何意义: 如图
若连续曲线y = f (x) y
除端点外处处有不垂直
M
于x轴的切线. 且两端点
A
的纵坐标相等. 则在曲
线上至少存在一点M. 在M点的切线平行于x
0 a x0
轴. 也就是平行于弦AB.
y = f (x) MB
从而
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f (x0 )
设f (x0)为f (x)在开区间(a, b)内的最大值, 即, x(a, b), 有 f (x) f (x0). 因x0(a, b), 故当|x|充分小时, 有x0+x (a, b),
) )
.
但1,
2不一定相同,
故
不能用这一方法.
要证
f (b) g (b)
f (a) g(a)
f ( g(
) )
,
只须证
f (
)
f (b) f (a) g(b) g(a)
g(
)
0
即
f
(
x
)
f (b) g (b)
f (a) g(a)
g(
x
)
0.
x
证:
记 ( x)
f
(x)
f (b) g(b)
即
f ( )
f
(b) b
f a
(a)
.
注1. 若f (a)= f (b),
则f ( )
f
(b) f (a) ba
微分中值定理的证明及其应1正文
微分燕美辰摘 要:对微分中值定理的概念和一些相关基础知识进行了归纳, 以及一些相关定理的证明,同时介绍了它们在数学领域的应用,并给出了一些典型例题．关键词:罗尔中值定理;拉格朗日中值定理;柯西中值定理;泰勒公式微分中值定理是微分学理论的重要组成部分,不仅在理论上有着重要意义,而且在应用中也起着特殊的作用,因此学习研究微分中值定理是非常重要的．1.罗尔中值定理的证明及其应用1.1罗尔中值定理的证明定理1.1.1 （罗尔中值定理） 若函数f 满足如下条件：()i f 在闭区间[],a b 上连续； ()ii f 在开区间(),a b 内可导； ()iii ()f a =()f b ,则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()f ξ'=0.几何意义：()1在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等则至少存在一条水平切线.()2若()f a =()f b =0，可导的函数f 的任意两根之间必定会有其导函数的根.下面我们来介绍罗尔定理的证明.定理1.1.2 （费马定理）设函数f 在点0x 点某邻域内有定义,且在点0x 可导，若点0x 为f 的极值点,则必有()0f x '=0.证 因为f 在[],a b 上连续,所以有最大值和最小值,分别用M 与m 表示,现分两种情况来讨论：()1若m M =,则f 在[],a b 上必为常数,从而结果显然成立.()2若m M <,则因()()f a f b =,使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(),a b 内某点ξ处取得,从而ξ是f 的极值点.由条件()ii ,f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0f ξ'=.1.2罗尔中值定理的应用微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，其中罗尔定理是基础中的基础.由于罗尔定理应用比较广泛,所以它在解题中也常用到.例1 设f 为R 上的可导函数,证明：若方程()0f x '=没有实根,则方程()0f x =至多只有一个实根.证 这可反证如下：倘若()0f x =有两个实根1x 和2x （设12x x <）,则函数f 在[]12,x x 上满足罗尔定理三个条件,从而存在()12,x x ξ∈,使()0f ξ'=，这与()0f x '≠的假设相矛盾,命题得证.2 拉格朗日中值定理的证明及其应用2.1 拉格朗日中值定理的证明定理2.1.1 （拉格朗日中值定理）若函数f 满足如下条件：()i f 在闭区间[],a b 上连续; ()ii f 在开区间(),a b 内可导,则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()f b f a f b aξ-'=-.几何意义：连续曲线()y f x =()a x b ≤≤,除端点之外处处有切线,则曲线上至少有一点的切线与连接两端点的弦相等.注1 拉格朗日中值定理还有其他几种表示形式()()()()f b f a f b a ξ'-=-，;a b ξ<<()()()()()()()(),01;,0 1.f b f a f a b a b a f a h f a f a h h θθθθ'-=+--<<'+-=+<<注2 下面我们来介绍拉格朗日中值的几个推论.推论 1 若函数f 在区间I 上可导,且()0,f x x I '≡∈,则f 为I 上的一个常量函数.推论 2 若函数f 和g 均在区间I 上可导,且()(),,f x g x x I ''≡∈则在区间I 上()f x 与()g x 只相差某一个常数,即()()f x g x c =+ (c 为某一个常数).推论3 （导数极限定理） 设函数f 在点0x 的某邻域()0U x 内连续,在()0U x内可导,且极限()0lim x x f x →'存在,则f 在点0x 可导,且()()00lim x x f x f x →''=.证明拉格朗日中值定理的方法多种多样,一般来说采用的是构造辅助函数法,除此之外还有利用弦倾角法，利用面积构造辅助函数法，利用区间套证明等等，在这里我们只详细介绍两种证明方法 方法一：证 设()()()()f b f a F x f x x b a-=-⋅- [],x a b ∈,由()f x 连续知()F x 在[],a b 上连续,由()f x 可导知()F x 在(),a b 内可导()()()()()()()()f b f a F a f a ab af b f a F b f b bb a-=---=--,经计算()()F a F b =,由罗尔中值定理,()(),0a b F ξξ'∃∈∍=,即()()()0f b f a f b aξ-'-=-.由此可知()()()f b f a f b aξ-'=-,结论成立.方法二：证 分别用左右等式证明等式成立.()1任取()0x U x +∈ ,()f x 在[]0,x x 上满足拉格朗日定理条件,则存在()0,x x ξ∈,使得()()()00f x f x f x x ξ-'=-.由于0x x ξ<<,因此当0x x +→时,随之有0x ξ+→,对等式两边取极限,便得()()()()00000lim lim 0x x x x f x f x f f x x x ξ++→→-''==+-.()2同理可得()()000f x f x -''=-.因为()0lim x x f x k →'=存在,所以()()0000f x f x k ''+=-=,从而()()00f x f x k +-''==,即()0f x k '=.2.2拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理在数学分析中应用非常广泛,如应用拉格朗日中值定理证明不等式,证明恒等式,利用拉格朗日中值定理求极限,描绘函数图象,解决最大小值等等,在此就不一一列举了.2.2.1应用拉格朗日中值定理证明不等式例1 ln ,b a b b ab a a --<<其中0a b <<. 证 ln ln ln b b a a =-,令()ln f x x =,则()1f x x'=,因为0a b <<,所以()f x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,故至少存在一点(),a b ξ∈,使得()()()ln ln f b f a b af b a b aξ--'==--,而()1f ξξ'=,于是1ln ln b ab aξ-=-,由0a b ξ<<<知111b aξ<<, 因而1ln ln 1b a b b a a-<<-, 故ln b a b b ab a a--<<. 2.2.2利用拉格朗日中值定理求极限例2 计算()()0tan 2tan 44limarctan 1arctan 12x x x x x ππ→⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--.解 由拉格朗日中值定理可知：21tan 2tan sec 344x x x ππξ⎛⎫⎛⎫+--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中1ξ介于4x π-与24x π+之间,且当0x →时,14πξ→.()()221arctan 1arctan 1231x x x ξ+--=⋅+,其中2ξ 介于()1x +与()12x -之间且当0x →时,21ξ→,所以，原式210223sec lim 4131x x x ξξ→⋅==⋅+.2.2.3利用拉格朗日中值定理证明恒等式例3 求证()f x 在区间I 上恒等于常数的充分必要条件是()0f x '≡ x I ∈. 证 必要性 常值函数的导数恒等于零结论成立.充分性 假设()0f x '≡ ()x I ∈,在区间I 中任取两点12,x x 根据拉格朗日中值定理,在12,x x 之间存在ξ,使得()()()120f x f x f ξ'-== 这说明()f x 在区间I 上恒等于常数.3 柯西中值定理的证明及其应用3.1 柯西中值定理的证明定理3.1.1 （柯西中值定理你）设函数f 和g 满足:()i 在[],a b 上连续； ()ii 在(),a b 内可导；()iii ()f x '和()g x '不同时为零； ()iv ()()g a g b ≠,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-.几何意义：连续曲线()y f x =()a x b ≤≤,除端点之外处处有切线,则曲线上至少有一点的切线与连接两端点的弦相等.利用罗尔定理来证明柯西中值定理的关键是构造辅助函数,下面我们就来介绍柯西中值定理的证明.证 作辅助函数()()()()()()()()()()f b f a F x f x f a g x g a g b g a -=----. 易见F 在[],a b 上满足罗尔定理条件,故存在(),a b ξ∈,使得()()()()()()()0f b f a F f g g b g a ξξξ-'''=-=-.故()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-, 所以,结论成立.3.2拉格朗日中值定理的应用柯西中值定理之所以重要, 是因为它在数学分析解题中有着广泛的应用, 下面就着重介绍柯西中值定理的应用, 以达到对其更深刻的认识和理解.3.2.1 求极限例1)lim 1n n→∞0x >.解 由柯西中值定理得,111,01n nξξξ-=>，即111ln ,n x nξ=有)11ln nnx ξ=,故)1lim1lim ln,nn nn xξ→∞→∞=因1,n=故)lim1lnnn x→∞=.3.2.2 证明不等式例2试证若()f x,()g x都是可微函数,且当x a≥时,()()f xg x'≤,则当x a≥时,()()()()f x f ag x g a-≤-.证令()()G x g x xε=+,则()()0G x g xε''=+>,而()()()()()()f b f a fG x G a Gξξ'-='-,a xξ<<,()()()()G x g x f x f xεε''''=+≥+>,故()()()1f b f a fG x G a Gξξ'-=<'-,有()()()()()()()f x f a G x G ag x g a x aε-<-=-+-,由于ε为任意小正数,令0ε→,有()()()()f x f ag x g a-≤-.注综上我们可以看出罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理三者关系非常密,罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊形式,当罗尔定理中()()f a f b≠时即为拉格朗日中值定理，反之在拉格朗日中值定理中，当()()f a f b=时即为罗尔中值定理，在大多数学分析和数学教材中，拉格朗日中值定理一般是采用构造辅助函数使之满足罗尔定理的方法来证明，柯西中值定理与前两个中值定理有着相类似的几何意义，而柯西中值定理较前两者更具有一般性，现在只需把函数f和g写作以x为参量的参量方程，即()()()f x xg x g x=⎧⎪⎨=⎪⎩，我们便可得到拉格朗日中值定理.4 泰勒公式的证明及其应用泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂的函数近似的表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具,而泰勒多项式则泰勒公式的基础.下面我们来介绍泰勒多项式.对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶导数，由这些导数构成一个n 次多项式()()()()()()()()()200000001!2!!nnn f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-+⋅⋅⋅+-，称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，()n T x 的各项系数()()()01,2,3!nf x k n k =⋅⋅⋅称为泰勒系数.4.1泰勒公式的证明定理4.1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()()0n n f x T x x x ο=+-，即()()()()()()()()()()()2000000002!!nn n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-+⋅⋅⋅+-+-注 )1上式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式.)2()()()n n R x f x T x =-称为泰勒公式余项，形如()()0nx x ο-的余项称为佩亚诺型余项.)3所以上式也称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式，记()()()()0nn f x T x x x ο=+-.定理4.1.2 泰勒公式在0x =时的特殊形式，()()()()()()()200002!!nnn f f f x f f x x x x n ο'''=+++⋅⋅⋅++.称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式.定理4.1.3 （泰勒定理）若函数f 在[],a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(),a b 内存在()1n +阶导数，则对任意给定的x ，[]0,x a b ∈，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()()()()()()()()()()()()()121000000002!!1!n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-+⋅⋅⋅+-+-+注 )1上式同样称为泰勒公式.)2它的余项为()()()()()()()()()11000,1!,01n n n n f R x f x T x x x n x x x ξξθθ++=-=-+=+-<<称为拉格朗日型余项. )3所以原式又称为带拉格朗日型余项的泰勒公式.定理4.1.4 当00x =时，得到泰勒公式()()()()()()()()()12100002!!1!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θ++'''=+++⋅⋅⋅+++ 01θ<<称为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.下面我们来介绍泰勒定理的证明 证 作辅助函数()()()()()()()()()()1,!n n n f t F t f x f t f t x t x t n G t x t +⎡⎤'=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=- 所以要证明的等式即为()()()()()1001!n f F x G x n ξ+=+或()()()()()1001!n F x f G x n ξ+=+.不妨设0x x <，则()F t 与()G t 在[]0,x x 上连续，在()0,x x 内可导，且()()()()()()()1!10n nnf t F t x t n G t n x t +'=--'=-+-≠,又因()()0F x G x ==，所以由柯西中值定理证得()()()()()()()()()()()10000,1!n F x F x F x F f G x G x G x G n ξξξ+'-==='-+其中()()0,,x x a b ξ∈⊂.4.2应用泰勒公式在高中数学中是一个十分重要的内容，在许多方面有着广泛的应用.下面给出在求极限方面的应用.4.2.1利用泰勒公式求极限对于函数多项式或有理项的极限问题的计算十分简单的，因此，对于一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理式的极限问题. 例1 求极限21lim log 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.解 由0=x 点泰勒公式得；222211111111log(1)22o o x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是，21lim log 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22111lim 22x x o x →∞⎡⎤⎛⎫=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 参考文献：[1] 华东师范大学数学系：数学分析(第三版)，高等教育出版社，2001版。
罗尔中值定理及其应用
罗尔中值定理及其应用
罗尔中值定理（Roll's Midpoint Theorem）是比较系统学中的重要定理，由西班牙医学家Mario Roll于1886年提出。
简单地说，它要求任何一个数的中间值，必定等于它的前一个数加后一个数的平均值。
罗尔中值定理的完整表述为：“任一分组中，中值（第(n+1)÷2项）的值等于前面的n/2项的总和减去后面的n/2项的总和，再除以n”。
根据此定理，如果有一组数，它们的和为6，其中有3个数，也就是最中间的数（第(n+1)÷2项）为2，则前面3/2项的总和=3，后面3/2项的总和=3，n=3，故中值为2。
罗尔中值定理也可用来求解一些复杂问题，例如求一组数的前n/2项和与后n/2项和差值的最大值，又或者求一组数的前n/2项和和后n/2项和的最小值。
罗尔中值定理的应用也十分广泛，可以用来解决多样化的数学问题，例如：
1、几何学中的直线的中值定理，将一条直线分割为两部分，每一部分上的点和点经过的路程长度是相等的。
2、图形学中的中值定理，即任意三角形的三边之中，中间长度最长，而两边之和最小。
3、概率论中的中值定理，即对于随机变量X，如果P(X<x) =
P(X>x)，则x为X的中位数。
4、贝叶斯定理中的中值定理，即贝叶斯定理的中值可以用于估计一个变量的期望值。
5、卡方检验中的中值定理，将实验结果与理论值进行比较，求出卡方检验显著性水平，从而得出实验结果与理论值的相似度。
拉格朗日中值定理证明及其应用
拉格朗日中值定理证明及其应用拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它揭示了函数在一段区间内的平均变化率与某一点的切线斜率之间的关系。
本文将介绍拉格朗日中值定理的证明及其应用。
拉格朗日中值定理又称为罗尔定理，它主要用于求函数在某一区间内的平均变化率。
设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，则在$a<b$的范围内，存在$a<\xi<b$，使得：$$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$假设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导。
定义函数$g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，则$g(x)$在区间$[a,b]$上满足$g(a)=f(a)$，$g(b)=f(b)$。
根据罗尔定理，存在$a<\xi<b$，使得$g'(\xi)=0$。
将$g(x)$展开并对$x$求导：将$\xi$代入即可得到拉格朗日中值定理：$$f'(\xi)=g'(\xi)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(b)-f(a )}{b-a}$$其中，$\xi$是拉格朗日中值点。
因此，只需确定函数在区间$[a,b]$中的一个拉格朗日中值点，就可以求出函数在该区间内的平均变化率。
例如，设函数$f(x)=\ln x$在区间$[1,2]$上连续，在$(1,2)$内可导，则在区间$[1,2]$上的平均变化率为：$$\frac{\ln2-\ln1}{2-1}=\ln2$$根据拉格朗日中值定理，存在$1<\xi<2$，使得$f'(\xi)=\ln\xi=\ln2$，则$\xi=2^{\frac{1}{2}}$。
因此，函数$f(x)=\ln x$在区间$[1,2]$上的平均变化率为$\ln2$，且存在$1<\xi<2$，使得$f'(\xi)=\ln2$。
中值定理的应用
5. 证明有关中值问题的结论：
题型一：证明存在 使 f ( ) 0或A(常数).
例1. 设f (x) 在[0,1]上可导，0 f (x) 1,且 f (x) 1,
(0 x 1),证明在(0,1)内必有唯一的 , 使 f ( ) .
[这里关键，需找a,b使f (a) f (b)( 0) ]
2. 使f ( ) 0 :
(1)对f (x)用费马定理或罗尔定理； (2)需找三个点a,b,c,使f (a) f (b) f (c),(a b c) 则1 (a,b)使f (1) 0; 2 (b, c)使f (2 ) 0;
f (x)g(x) f (x)g(x)
g 2 ( x)
x
0.
构造辅助函数 F(x) f (x) g(x)
(3) 要证 f () f ()g() 0.
即证 F(x) eg(x) [ f (x) f (x)g(x)] 0.
x
(3) g(a) g(b) 0. 由Rolle定理 (a, b), 使g( ) 0.
即 ek f ( ) ek kf ( ) 0
由于ek 0, f ( ) kf ( ) 0
即 f ( ) k. f ( )
总结：通过恒等变形
7). 有关中值问题的解题方法 利用逆向思维,设辅助函数. 一般解题方法: (1)证明含一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,
可用原函数法找辅助函数. (2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数,可考虑用柯
西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值,必须多次应用
中值定理的证明与应用
中值定理的证明与应用中值定理是微积分中的重要概念，它揭示了函数在某一区间内存在特殊点的性质。
本文将对中值定理进行详细的证明及其应用进行探讨。
一、中值定理的证明中值定理是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，它包含了三个不同的形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
下面将对这三个形式进行证明。
1. 拉格朗日中值定理的证明拉格朗日中值定理是中值定理中最基本的形式，它表述为：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
证明的思路如下：首先将函数f(x)进行泰勒展开，得到f(x) = f(a) +f'(c)(x - a)。
根据泰勒展开，我们可以看到在点c处，f(c)恰好等于f(a)加上一个与f'(c)成正比的量，而这个比例恰好等于(f(b) - f(a))/(b - a)。
因此，可以得出结论：在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) -f(a))/(b - a)。
这就完成了拉格朗日中值定理的证明。
2. 柯西中值定理的证明柯西中值定理是中值定理的一种推广形式，它表述为：若函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且g'(x)≠0，则在(a, b)内至少存在一点c，使得[f'(c)/g'(c)] = [f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)]。
证明的思路如下：首先定义一个函数h(x) = f(x) - [f(b) - f(a)]/[g(b) -g(a)] * g(x)，则h(a) = f(a)- (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a))*g(a) = 0，h(b) = f(b)- (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a))*g(b) = 0。
罗尔中值定理推论
罗尔中值定理及其推论：原理、应用与影响一、引言罗尔中值定理（Rolle's Theorem）是微积分学中的一个基本定理，它建立了函数在某区间上的导数与该函数在该区间端点取值之间的关系。
本文将对罗尔中值定理及其推论进行详细探讨，包括其定义、证明、应用以及对数学和科学领域的影响。
二、罗尔中值定理的定义与证明罗尔中值定理的内容为：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
证明：根据拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem），若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
由于f(a)=f(b)，因此(f(b)-f(a))/(b-a)=0，即f'(ξ)=0。
三、罗尔中值定理的推论及其证明1. 第一推论：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f'(x)在(a,b)内不变号（即恒为正或恒为负），则f(x)在[a,b]上至多只有一个零点。
证明：假设f(x)在[a,b]上有两个零点α和β（α<β）。
根据罗尔中值定理，存在ξ∈(α,β)，使得f'(ξ)=0。
然而，由于f'(x)在(α,β)内不变号，因此f'(ξ)≠0，与假设矛盾。
所以，f(x)在[a,b]上至多只有一个零点。
2. 第二推论：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f'(x)在(a,b)内有界，则f(x)在[a,b]上有界。
证明：由于f'(x)在(a,b)内有界，因此存在一个正数M，使得|f'(x)|≤M对任意x∈(a,b)成立。
对于任意两点x1和x2（x1<x2）在[a,b]上，根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(x1,x2)，使得f'(ξ)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)。
罗尔中值定理及其应用
罗尔中值定理及其应用
罗尔定理描述如下：
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
证明过程
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在ξ 处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：
f'(ξ)=0。
另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
几何意义
若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。
几种特殊情况。
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罗尔中值定理的证明及应用
Ｉ Ｉ ， － ． Ｊ ￣ Ｌ 体育学院 戴永杰
关键 词 ： 罗 尔 中值 定 理 证明 应用
邻域 Ｕ（ 粕） 内有定 义 ， 并且 在 处可 导 ，
若』 ４ ＝ ＋ｏ 。 （ 或 一ｏ ｏ ） ， 则（ 。 ， ６） 内任 取
／ ＿ （ 《 ） （ ∈ ） ｈ ’ （ ∈ ） Ｊ
ｎ ） ｇ （ ｎ ）ｈ （ “ ） ｝
用分析 的语言把这一几何现象描述 出来 ，
就 得 到 了下 面 的 罗 尔 （ Ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ） 定理．
＿ 厂 （ ） 存在 ． 故 由费 马定理 知 （ ） ＝ ０ ． 类似 可证 ｍ≠ ｎ ） 的情形． 罗尔定理成立 ．
＿ 厂 （ ｆ ） ＝ ０ ． 但是 Ｉ ， ’ （ ） ３ ＋１＞ ０ ， 矛盾 ． 于 是
方 程 － ＋ 一 １ ０在 区 间 （ ０ ， １） 内只 有 一 个
（ ∈［ ｎ ， ６ ］ ） 的 图形 ． 这是一 条连续 的 曲线 弧， 除端点外处处具有不垂直于 轴 的切
认 识 到 微分 中值 定 理 的普 遍性 ． 的基 础 ， 而 且 该 定 理 对 判 别 根 的 存 在 性 特
证 明 存在性 ： 令， １ ） ＝ 。 ＋ 一 １， 函数
＿ ， Ｉ ） 在 闭区间［ ０ ， １ ］ 上连续 ， 且 ０ ） —一 １ ＜
（ Ｏ ， １） ， 使
线， 即 ） 在（ ｒ ｚ ， 内处 处 可 导 ． 且 两 端 点
＝
此 时对 于任 意的 ∈［ 。 ， ６ ］ ， 必 有
）
实根 ．
Ｍ． 故对任意 的 ∈（ ｎ ， ６ ） ， 有， （ ） ＝０ ． 因
（ ２ ） Ｍ＞ ｍ．
２ ． 证 明 中值 公 式 ． 例 ３ 设厂 （ ） ， ｇ （ ） ， ｈ （ ） 在［ Ⅱ ， ６ ］ 上 连续 ， 在（ ｎ ， ｂ） 内可导 ， 试 证 存 在
ｎ ） ｇ （ ｎ ） ｈ （ ０ ）ｊ
此， （ ｎ ， ６ ） 内任一点 皆可作为我们找 的 ．
处 的纵坐 标相等， 即 ｎ ） ＿ 厂 （ ｂ） ． 可 以发现 在 曲线弧 曰的最高点或最低 点处 ， 曲线
都 有 水 平 的切 线 ．如 果 记 曲 线 弧 Ａ Ｂ 的最 高 点 Ｃ的 横 坐 标 为 ， 则， ． （ ） ＝ Ｏ ． 若 我 们
二、 罗 尔定 理 的应 用
１ ． 函数零（ 值） 点 问题 ．
一
微 分 中值 定 理 是 微 分 学 的 基 本 定 理 ，
如果对 任意 的 ∈Ｕ （ 粕） ， 有＿ 厂 （ ） ≤ 。 ） ，
分析 为 了利 用 函 数 值 的 大 小 关 系
点作 上面的推理保持 有效 ．
例 ２ 证 明 方 程 。 十 —ｌ ＝ ０在 区 间
在 数学 分 析 中 占有 重 要 地 位 ， 是研 究 函 数 贝 １ 厂 （ 。 ） ＝ ０ ．
明罗尔定理． 罗尔定理的证 明 由于 ） 存［ ｎ ， ６ ］ 上
连续。 所 以 ） 在［ ｎ ， ６ ］ 上 必 定 取 得 它 的 最 大 值 Ｍ 和 最 小 值 ｍ． 这样， 只 有 两 种 可 能 的 情形 ：
（ １ ） ＝ ｍ．
＿ ， （ ） ＝ ３ ｘ ＋ １
于是 ， 函数
］ ）
２ ） ＝ ０ ．
（ ｚ ） ， 使 得
） 在［ ， Ｘ ２ ］ 上 满 足 罗 尔
、
罗尔 中值 定 理 的 证 明
定理 的条件 ， 故 存 在
我们首先来观察一个 图形 ， 见图 １ ．
设 图 １中 曲线 弧 Ａ Ｂ是 函 数 ｙ ： 厂 Ｉ ）
罗 尔 中 值 定 理 是 其 他 微 分 中值 定 理 大值或最小值 ，则函数在 点 粕处 的导数 得 ） ＝ ０ ．
一
唯 一 性 ：假 设 函数 厂 （ ）在 开 区 间 （ ０ ， １） 内有两个 不 同的 实根 ， 设 为 ， 且 ＜ 物， ￣ ｌ Ｊ ｙ ｌ ） 在 闭 区 间 １ ， Ｘ ２ ］ 上连 续 ， 在开 区间 （ ， ） 内可 导 ， 且
（ 。 ，
因为 ， Ｉ ｏ ） ＿ ， １ ６ ） ， 所以 和 ｍ 中至 少
（ ｒ ｚ ， ６） 内 必 有 一 点 ， 使 得 ） ＝ ． 又 因 为 对 于 任 意 的 ［ ｎ ， ６ ］ ， 有ｆ （ ） ≤ 厂 （ ） ， 且
有一个不等于 （ ｎ ） ． 不妨设 刮 ｏ ） ， 则在 ６ ） ， 使得 ｂ ） ｇ （ ６ ） ｈ （ ｂ ） ｌ ＝ ０． （ ２ ）
费马定理 告诉我们 ，若 函数在 。 点 ０ ， ， Ｉ １） ＝１＞０ ． 由 闭区间上连续 函数 的零 可导 ，且函数在 ‰点处取得 了局 部的最 值 定 理 可 知 ， 至 少 存 在一 点
定为零 ， 即， ． （ ０ ） ；０ ． 由图 １知 ， 函数 ） 在 处 取 得 了局
在某个区间内的整体性质的有 力工具。 从
（ ０ ， １） 内只 有 一 个 实根 ．
费马定理开始 ，经历了从特殊 到一般 ， 从 得 出导数的结论 ， 显然应该考虑使用导数 直观 到抽象 ， 从强条件到弱条件的发展阶 的定义． 段． 人们 正是在 这一发 展的过 程 中 ， 逐 渐
别 有效．它是 由法国数学 家罗尔 （ Ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ， 到 ｌ ８ ４ ６年 经法 国的 另一位 数学 家 完善
成今天的形式． 以下 就 介绍 罗尔 中值 定 理 的 知识 ：
一
１ ６ ５ ２ ～ｌ ７ １ ９ ）在 ｌ ６ ９ １年 首 先 提 出 的 ， 直 部 的 最 大 值 ． 因此 ， 根 据 费 马定 理 不 难 证