分段函数f(x)在分段点处的导数的求法浅探

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事实上 ! " # $ % 0" # ) % $ 6 ; ?$ 03 &: &G 不存在 2 ; < $ =0) $ 错因就是题设不满足 " 在$ # % &)处连续这一条 2 $ ) % &: ; < " 0#
/ $ =0)
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$ =0)
H 第二种情形
若 I# 在$ 如何求形如 % $ ) 处无定义 ! -I# $ % ! $ C$ ) # % &, " $ ! $ &$ .E ) 的分段函数在分段点 $ 对此做如下分析 2 ) 处的导数 ! 利用导函数无可去间断点的性质 ! 可得如下命题 2 命题 7 若函数 " 在点 $ # % $ ) 的某一邻域内连续 ! / 在$ 且: 则 % &J 存 在! ; <" # $ ) 的 该 去 心 邻 域 内 可 导!
第2 (卷 第 5期
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7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
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- @$ 17 ! $ A03 讨 论 例7 设" 在 # % &, ! # % $ " $ .7 1$ ! $ B03 &03处的连续性及可导性 2 $ 解9 因" # 03 0) % & : 7 1$ % &3 ! ; < #
$ =03 0)
在$ 而 # 3 %若 I# % $ ) 的某个去心邻域内可导 ! -I# $ % ! $ C$ ) / 且: 在 % &, ! % &J 存 在 ! # % "# $ ; <I # $ " $ $ =$ ) ! $ &$ .E ) / / 则 可 以 用 命 题 7求 " 即 " # % ! # % & $ $ $ ) 处 连 续! ) )
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7 ) ) 3年 O月
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% & ’ ( ) c *& +, c ) % ). & * / , 0 1 2) 1’ ) 3 0 ( 4 , /
分段函数 ! 在分段点处的导数的求法浅探 % " $ #
李孟芹
天津工业大学 理学院 & 天津 ’ " ( ( ) * ( $ 摘 要+ 就分段函数 , 讨论了何时不必用导数定义来讨论其在分段点处的可导性 & 何时又必须用导数的定义 . " $ 关键词 + 高等数学 / 导数 / 分段函数 / 分段点 中图分类号 + 1 2 . ) 0) 文献标识码 + 3 文章编号 + ) * 1 ) 4 ( 2 5 " 2 ( ( ) $ ( 5 4 ( ( 7 8 4 ( ’ 6
另 外& 若q 在包含 " $ y" & (的某一左邻域" ( 内 可 导 在 包 含 的 某 一 右 邻 域 # & " $ $ & { $ r" ( ( ( (
李孟芹 " 女& 河北省内丘县人 & 讲师 . % 收稿日期 + 2 ( ( ) 4 ( ’ 4 2 ( 作者简介 + ) 8 * 5 y$ &
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# 03 1) % & : " ; <
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@$ 17 &3 ! # 03 % &3 ! "
故: 所以 " 在$ # % &" # 03 % &3 ! # % &03处 ; <" $ $ 连续! 又因 @$ 和7 它们在 $ 17 1$都 是 初 等 函 数 ! & / / 所以 " 03 % &# 7 1$ % 0 3的某个邻域 内显然可 导 ! 0# 3 3 从而 / > &3 ! 03 % & & ! 0 > "# " $ &03 $ &03 0# 7 7 @$ 17 / 因此 ! 在$ 3 % C" 03 % ! # % &03处不可导 2 " $ 1#
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r " $ yq " $ ( y( r " $ yr " $ ( & y( q " $ & }( 的 情 形& 同理可得 r " $ & !(
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o o o 从而同理可以推导 , $ sr " $ z sr " $ {" ( s( (
对于形 如 , " $ s 类似的结果 .
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$ =) 7 又因 4 处 处 可 导! 所 续! 5 6$和 $ 1 3都 是 初 等 函 数 ! / 7 / 以由 命 题 3 知! ) % &# %> > ! " $1 3 $ 0# $ & )& 7 $ & )& )
) % &4 > &06 > &) ! 所以 " ) % & " 5 6$ ; ?$ 1# $ &) $ &) 0# / / 即 ) % ! "# ) % &) 2 " 1#
在m 高等数学n 课 程 中& 函数 , 在一点 " $ (处的 o 导数 , 是 一个很重 要的 概念 & 是 教 学中 的 一 个 重 " $ ( 要内容& 同时 & 它也 是 学 生 较 难 接 受 的 一 个 知 识 点 . 因 此& 有必要再对它做进一步的探讨 . 若函数 , 在由可导与连续的关 " $ ( 处 不 连 续& 系 可知& 在点 因 此下 面 重 点探 讨 " $ , ( 处必不 可导 . 在如何 求分 段 函 数 , 在 " $ " $ , ( 处 连续的前 提下 & 分段点 ( 处的导数 .
/ 1 7 -$ ! $ ($ ) 例 D 设 " 试确定 E # % &, ! ! $ F的 $ 1F ! $ +$ .E ) 值! 使" 在$ # % $ ) 处连续且可导 2 7 7 解9 因" # 0) % & : ! $ ; < $&$ ) ) $ =$ 0) )
% &: % &J2 : ; <"# $ ; <I # $
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3 D -$ 6 ; ? ! $ C) / $ 例K 设" 求" # % &, ! # ) % 2 $ .) ! $ &) 3 D 解9 因: 所以 # % &: &" # ) % ! ; <" $ ; <$ 6 ; ? &) $ =$ $ =) $ ) 在$ # % &)处连续 2 " $ 3 3 且 / 7 又因为 $ C )时 ! % &D "# $ $6 ; ? 0$ 4 5 6 ! $ $ 3 3 / 7 / 所以 " % &: D &) ! # ) % & : ; <"# $ ; <# $6 ; ? 0$ 4 5 6 % $ =) $ =) $ $ / % &) 2 : ; <"# $
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故: 所以 " 在$ # % &" # ) % &3 ! # % & )处 连 ; <" $ $
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q " $ yq " $ ( y(
p 第一种情形
若q 在如何求 " $ & " $ r ( 的某一邻域内有定义 & wq " $ & t( 形如 , 的分段函数在分段点的导 " $ sv " $ & uxr ( 对此做如下分析 . 数& 命题 ) 设 q 在点 " $ & " $ r (的某一邻域内可 wq " $ & t( 导& 而, 且, 在则 " $ sv & " $ ( 处连续 & r " $ & ux ( o o o $ sq " $ z sq " $ , y" ( s( ( $ sr" $ z z sr" $ , {" ( s( ( 证明 + 由导数的定义 & $ s T , Q j y" (
q " $ yq " $ ( sT Q jy( |y( ( 又因为 q 在所以 q 在" $ " $ ( 的某一邻域内可导 & ( o 点 的 邻 域 内 存 在 导 函 数 q" 且 由 导 函 数 与 函 数 在 $ & 一点处的导数之间的关系 & 有+
o o o " $ sq " $ z sq " $ q ( s( (
" $> 9 : ; < = ; ; : > ?> ?@ A BC B D : E F @ : E B> G H : B < B I : ; BG = ? < @ : > ?! # ?@ A BH : B < B I : ; BH > : ? @
4 J K LM N O P Q N
" & & ( ( ) * ( & $ R S T T M O MS U V W Q M N W M X Q Y N Z Q N[ S T \ ] M W ^ N Q W_N Q ‘ M a b Q ] \ X Q Y N Z Q N’ R ^ Q N Y + " $S (S c d ; @ D F < @ X ^ Q be Y e M af Q b W g b b M b] ^ Mf M a Q ‘ Y ] Q ‘ MS U e Q M W M hQ b MU g N W ] Q S N, N] ^ Me Q M W M hQ b Me S Q N ] N] ^ MW S N f Q ] Q S N & ] ^ Y ] ] ^ Mf M U Q N Q ] Q S NS U f M a Q ‘ Y ] Q ‘ MQ bN S ] N M W M b b Y a \] Si Mg b M f Y bhM T T Y bS N] ^ MW S N f Q ] Q S N] ^ Y ] ] ^ Mf M U Q N Q ] Q S N . S U f M a Q ‘ Y ] Q ‘ Mjg b ] i Mg b M f + / / / kB l I > D C ; Y f ‘ Y N W M fjY ] ^ M jM ] Q W b f M a Q ‘ Y ] Q ‘ M e Q M W M hQ b MU g N W ] Q S N e Q M W M hQ b Me S Q N ]
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o o o 从而有 , $ sq " $ z sq " $ ( s( y" ( 又因为 , 在因而显然有 + " $ ( 处连续 &
" $ sq " $ sr " $ & , ( ( ( , " $ y, " $ ( o 由, $ s T Q j {" ( |{ ( y( ( s T Q j s T Q j
7 从而 F &0$ &7 ! 2 $ ) ) 注意 9 若题设不满足命题 3中的条件 ! 则不能用此
6 ; ?$ ! $ B) 虽然有 ! $ 13 ! $ A) / / 但等式 " ! 13处 处 可 导 ! ) % &# % > &3 6 ; ? $ $ 6 ; ? $ 0# $ &) 却不成立 2 结 论2 例 如 对 于 函 数 "# % & $