组合数学期末试卷及答案

四． （10 分）学校在某学期开设了 C1 ,C2 ,C3 ,C4 ,C5 五门不同的课程供五个不 同学院 S1 , S 2 , S3 , S 4 , S5 学生选修，由于条件限制，假设每门课只能为一个学院开 设且每个学院只能也必须选修一门课程，已知 S 2 学院的学生不可选修课程
C3 ,C4 ； S3 学院的学生不可选修课程 C2 ,C3 ,C4 ； S 4 学院的学生不可选修课程 C2 ,C3 。问这五个学院的学生可能的选课方案有多少种？
G ( x) (1 x x 2 x3 x 4 ) 2 (1 x x 2 x3 ) 2
出展开式中
x
7
前的系数等于 60，即为题目所求之解。
七． （10 分）有 n 个不同的整数，从中取出两组数来，要求第一组里的最小数大 于第二组里的最大数，问有多少种不同的方案？（要求结果只能用 n 及常数表示）
n

n 2 2 n 1 1
八． （10 分）某专业运动员在大赛前的 100 天集训中，每天要抽出 1 小时或 2 小 时进行技术理论学习。已知他在任意连续的 10 天内用于理论学习的时间不超过 16 小时。试证明至少存在 i 和 好进行了 39 小时的技术理论学习。
递推关系如下：
an=an-1+n a1=2
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r0 1, r1 7, r2 11, r3 3
则所求的排列方案数为：
n m 1 m 2 m

n
N 5! r1 5 1! r2 5 2! r3 5 3! 12
* n
= n1(A1n1+A0) = A1n2+A0n A1=1/2; A0=1/2 = 1/2(n +n)
*
代入得：A1n2+A0n – (A1 (n-1)2+A0 (n-1)) = n
* n
2
姓名：
(3) 列出非齐次递推关系的通解形式
an a an
n
= 1/2(n2+n) + B11n
(4) 根据初始条件确定待定系数 a1 = B1 = 1 an=1/2(n2+n) + 1 二． （10 分）证明任取 11 个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是 10 的
装 订 线 倍数。 证明：整数的个位只有 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，只有 10 种可能性，由 鸽巢原理可知， 11 个整数中至少有两个数的个位相同，它们相减就一定是 10 的 倍数。 三． （10 分）在平面上有一个正方形及 n 条直线，每条直线与正方形的两条边相

n m m m 2

n
m 2
m

n
n
n n 1 m 1 m
n


n m m m 1
n
n 2 n n 2 n 1 n
即该序列中的数介于 1~199 之间。 根据鸽巢原理，其中必有两项相等，但序列中前 100 项为单增，后 100 项也为 单增的。故存在 i 和 j ，设 j i ，使得：
n 种取法，将取出的 m 个数由大到小排 m 序 ， 设 为 a1 , a2 , , a m ， 再 将 其 分 为 两 组 ， a1 , , a k ， a k 1 , ,am k 1,2, ,m 1 ，则第一组中的最小数一定大于第二组中的
姓名：
线 十． （10 分）使用红、绿、蓝三种颜色对正四面体的四个面进行着色，试问有多 少种不同的着色方案？
学号：
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试 卷 存 档 说 明
一、出题 出题时请标明每题分数、总分、课程编号及课程名称。 二、试题印刷 1． 公共课：由研究生院负责。 2． 专业课：由开课院（系、部）教务办负责。 三、答题册 主考教师到本院（系、部）教务办领取标准统一答题册。 四、评卷要求 （一）试卷批阅原则 1．教师评卷时必须按标准（或参考）答案严格掌握评分标准，贯彻公正、准确的原则，并做 到宽严适度、始终如一。 2．应先组织试评，掌握尺度以后，再分题到人，两名以上（含两名）授课教师的课程应实行 集体阅卷评分制，集体流水作业，按题分工负责阅卷，阅卷人必须在试卷上签字负责。遇有疑难 问题，可由评卷小组集体讨论，然后定分。 3．考核成绩一般应符合正态分布规律，若优秀率偏高或不及格率偏高，任课教师应对此提交 报告作出说明和解释，要维护试卷卷面成绩的严肃性。 4． 评卷人员发现试题命题有误， 或答卷雷同等异常情况， 如果是专业课应及时报告学院 （系、 部）主管领导，如果是公共课要及时报研究生院。 5．在评卷过程中，各学院（系、部）应组织专人做好复查工作，确保评卷工作质量。对个别 试卷评阅的错漏现象，以及登分、记分错误，复查后需要更改的，应填写《成绩更正审批表》 ，由 评卷人、教研室主任、学院（系、部）主管领导联合签名，并说明理由，报研究生院批准方能更 正。 6．评卷人员要严守纪律，保守秘密，不得向外泄漏评卷情况。不得涂改考生答卷和成绩。 （二）试卷批阅规范 1．试卷评阅一律使用书写红色文字的钢笔或圆珠笔。 2．记分数字的书写要准确、清晰、工整，如有更改，应有更改人签字。记分使用阿拉伯数字 （如只记得分，不记扣除分；在得分前可不记“+” ）同一试卷册的记分方式必须始终一致。 3． 评卷要严格执行标准 （或参考） 答案和评分标准， 客观题的评阅， 每道错误小题必须用 “×” 标注；主观题的评阅需按评分点逐个评分，并标注在相应位置，然后得出每小题得分。 4．每大题要有一个总得分，标注在该大题的左上角位置，且须与试卷首页题号得分栏一致。 在题号得分栏需评阅人签字，在总分位置需核分人签字。一袋试卷的评阅人或核分人如是同一人， 可在每份试卷上签一个字即可，表明该教师对该试卷负责。 五、成绩报送 任课教师应尽快完成试卷批阅，并在考核结束后 7 日内（含节假日，对选课人数≥100 人的 课程可在考试结束后二周内）将成绩单送至教务办公室。 六、试卷存档 课程考试结束后，送交成绩时将试卷交本单位教务办存档。 七、本页仅限存档，印制试题时请勿印刷。
五． （10 分）由 9 种颜色珠子组成的长度为 n 的珠串中，要求其中的红色和蓝色 珠子出现的个数之和为偶数。求有多少种这样的珠串？ 解：有题可知，分为两种情况： （1）红色为偶数，且蓝色为偶数； （2）红色为奇数，且蓝色为奇数； G(x)=(1+x2/2!+x3/3!+..)2(1+x/1!+x2/2!+..)7 +(x+x3/3!+x5/5!+..)2(1+x/1!+x2/2!+..)7 最后答案： （9n+5n）/2 六． （10 分）求多重集 S={4a,4b,3c,3d} 的 7-组合的个数。 解:
步骤：
哈尔滨工程大学研究生试卷答案
（
课程编号：
(1) 求齐次递推关系的通解
2012 年 秋 季学期）
课程名称： 组合数学
an - an-1 =0 m-1=0 m=1（b=1 是 1 重特征根）
a a a
n
=B11n
063301
一． （10 分）证明组合等式
(2) 求非齐次递推关系的特解 an - an-1 =2n-2 且 1 是 1 重特征根
j j i ，使得该运动员在第 i 天到第 j 天之间刚
证明：设 d 1 , d 2 , , d 100 为第 1 天，第 2 天，… , 第 100 天用于学习的时间, 即
装
k , d k 1or 2
由题意可知：对于 k ， 1 k 91 ，有 d k d k 1 d k 9 16 令 S1 d 1 ， S 2 d 1 d 2 ， S100 d 1 d 2 d 100 分别表示截至第 1 天， …, 第 100 天该运动员共计用于技术理论学习的时间总和， 线 由题意可知： S1 S 2 S100 , 且 订
审批部门
审批意见
签字
ຫໍສະໝຸດ Baidu
日期
装
系（教研室）
订
院（系）主管领导
线
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解：这是一个求解带禁位的排列计数问题 。
学号：
交且每条直线与其他直线在正方形内均相交，若没有三条以上的直线交于一 点，求这些直线将正方形内部分成的区域的数目
== x
（
）+
（
） （ ）
= x (1 4 x 2 x 2 ) + x(1 3 x x 2 ) +
2 x 7 x 2 3x 3 +1 5 x 4 x 2 1 7 x 11x 2 3 x 3
解：从 n 个数中先任取 m 个数，则有 最大数。故题目所求为：
S j S i 39
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S j Si 39
即： d i 1 d i 2 d j 39 九． （10 分）求方程 的正整数解的个数。 解： 由题可知： （1） 绕如 v1v2 和 v3v4 中点的连线旋转 180 度，所得置换如下： P1=(v1)(v2)(v3)(v4), P2=(v1 v2)(v3 v4), P3=(v1 v3)(v2 v4), P4=(v2 v3)(v1 v4), （2） 绕每一个顶点的中心线旋转 120 度，240 度，所得置换如下： P5=(v1)(v2 v3 v4), P6=(v1)(v2 v4 v3), P7=(v2)(v1 v3 v4), P8=(v2)(v1 v4 v3), P9=(v3)(v1 v2 v4), P10=(v3)(v1 v4 v2), P11=(v4)(v1 v2 v3), P12=(v4)(v1 v3 v2), 装 由 Polya 定理可知： 不同方案数=（11*32+34）/12=15 订
S100 d 1 d 2 d 10 d 11 d 21 d 20 d 91 d 29 d 100
S100 16 10 160 S1 39, S 2 39, , S100 39 共计 200 项， S100 39 199 序列 S1 , S 2 , , S100 ，