高中文科数学一轮复习——函数专题
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第二章 函数
第一节 对函数的进一步认识
A 组
1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4
x
的定义域为________．
解析：⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2－3x ＋4≥0，
x ≠0，⇒x ∈[－4,0)∪(0,1]
答案：[－4,0)∪(0,1]
2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，
其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1
f (3)
)的值等于
________．
解析：由图象知f (3)＝1，f (1
f (3)
)＝f (1)＝2.答案：2
3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ，x ≤1，
－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________.
解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；
当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 32
4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满
足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．
解析：如图．答案：1
5．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.
解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3， 令x ＝－1得：－1＝b 3；
再令x ＝0与x ＝1得⎩
⎪⎨⎪⎧
－1＝1＋b 1＋b 2＋b 3
3＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，
解得b 1＝－1，b 2＝0. 答案：(－1,0，－1)
6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1＋1
x (x >1)，
x 2
＋1 (－1≤x ≤1)，
2x ＋3 (x <－1).
(1)求f (1－
1
2－1
)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝3
2
， 求a .
解：f (x )为分段函数，应分段求解．
(1)∵1－1
2－1
＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，
又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝3
2
.
(2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x
3x －1
；
若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤3
2
，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；
若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.
∴f (3x －1)＝⎩⎨⎧
3x 3x －1
(x >2
3)，
9x 2
－6x ＋2 (0≤x ≤23
)，6x ＋1 (x <0).
(3)∵f (a )＝3
2
，∴a >1或－1≤a ≤1.
当a >1时，有1＋1a ＝3
2
，∴a ＝2；
当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±2
2
.
∴a ＝2或±2
2
.
B 组 1．(2010年广东江门质检)函数y ＝1
3x －2＋lg(2x －1)的定义域是________．
解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >2
3}
2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，
2x －1，(x >2)，
则f (f (f (3
2
)＋5))＝_.
解析：∵－1≤32≤2，∴f (3
2
)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3，
∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：7 3．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．
解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)， 由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②
①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，
∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋1
3
lg(1－x )，(－1 答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋1 3 lg(1－x )，(－1 4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个． 解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数 5．设函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ 2 (x ＞0) x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为 f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个． 解析：由题意得