12-2 裂变的发现,反应堆动力学,双群双区反应堆

22.54 中子与物质的相互作用及应用（2004年春季）第十二讲补充材料（2004年4月1日）裂变的发现，反应堆动力学，双群双区反应堆_______________________________________________________________________________参考文献：Emililo G. Segre, “The Discovery of Nuclear Fission”, Physics Today, July(1989), pp.38-43.J. R. Lamarsh, Introduction to Nuclear Reactor Theory(Addison-Wesley, Reading, 1966)以下内容是对4月1日课程的补充，当时在讨论了临界条件(见第12讲)之后，我们提到了其它3个题目：（1）简要回顾了1938年裂变的发现，具体叙述见Segre于1989年发表在Physics Today上的一篇文章；（2）缓发中子对临界反应堆时间特性的影响；（3）考虑具有反射体的双群反应堆的中子慢化和扩散问题。

当然对于每一个题目这里都无法详尽展开。

我们将进一步的阅读留给有兴趣的同学，这里只是抛砖引玉。

1.裂变的发现对于核工系的所有人而言，这也许是最重要的科学事件之一。

对于它的关注不仅是因为它对社会产生了巨大的政治和社会影响，而且也是一个有关科学发现和个人因素如何在人类发展中起作用的实例。

在J. Chadwick1932年发现中子之后不久（见作业1），一些顶级的核物理和化学实验室就开始使用中子轰击铀，希望合成超铀元素(原子序数Z为93或更高的核素)。

在1934到1938年间，Fermi在罗马，Curie和Joliot在巴黎，Hahn和Meitner，以及后来的Strassmann在柏林，都积极地报告了各自的结果，但都给出了错误的解释。

没人意识到轰击实际上导致了铀核的分裂。

突破来自O. Hahn和F. Strassmann于1938年12月22日发表于Naturwissenschaften 27,11 (1939)的文章。

他们谨慎地（因为他们认为自己是核化学家而非核物理学家）提出，之前所信在他们的实验中发现的元素，如镭，锕和钍，实际上是更轻的元素钡，镧，和铈。

在元素周期表中，后面的元素都要比前面的高一行。

因此，若非发生了裂变，铀与中子是无法生成钡的。

正是由于这项工作，Hahn得到了1944年的诺贝尔化学奖。

你也许会问，为何这项划时代的发现不被认为是物理学的成就？为何没有承认Strassmann的贡献？毕竟他是文章的合作者，也是这项科学贡献的发现者？为何无人承认Meitner？她是Hahn在1938年7月前的亲密合作伙伴，之后由于政治避难逃到瑞典——她是奥地利犹太人而希特勒在3月吞并了奥地利。

今天将论述和辩论这些问题及其相关问题。

这个发现马上引出了两个简单的问题——谁发生了裂变，235U还是238U？共有多少中子产生？我们都知道上面的答案对于核能利用和核武器都至关重要。

这一发现的军事价值是个历史问题；核战争的阴影一直笼罩全球。

在反映二战的精彩记录片中，我们推荐Richard Rhodes，Making of Atomic Bomb (1986)。

我们将引用Segre的一段话来结束这一简要的回忆（他因发现了反质子而获得1959年的诺贝尔物理学奖）——“裂变的发现具有一个不寻常的复杂的历史；人们犯了许多错误，但是自然也确实让这个问题很复杂。

人们不得不研究铀的放射性和它的两种长寿命同位素235U 和238U 。

正如人们所知的，重些的那个同位素，238U 在慢中子轰击时不发生裂变反应。

而轻的那个同位素，235U ，自然丰度为0.7％，能够发生慢中子裂变。

这是一种诡异的结构。

总之，对我而言，人会被自己的头脑蒙蔽，只看到他所想看的东西。

”2. 瞬时和延迟临界正如在第12章所讲述的，临界的概念是指在一个增殖系统中，例如反应堆，系统材料的组成（燃料含量，或燃料和慢化剂的比例，和决定反应率的各种截面)与系统几何结构和尺寸之间所形成的平衡。

通过对临界反应堆扩散方程的求解知道，这一平衡表现为材料曲率B m 和几何曲率B g 是相同的。

当这一条件得到满足时，没有源的稳态扩散方程就会有非无效解，这意味着它可以在没有外部源的情况下实现稳态通量，或者换句话说，第(n+1)代和第n 代的中子数之比为1。

另一种描述临界状态的方法是通过合适的动力学方程来得到通量的时间变化关系。

假设我们忽略空间和能量的影响而设想一个无限大的无外部源的反应堆。

那么随时间变化的通量可以描述为)()()(1t v dtt d v a f φφΣ−Σ= (12S-1) 其解为，]/)1exp[()0()(p t k t A −=∞φφ (12S-2)在(12S-2)中，我们定义了无限增殖系数a f v k ΣΣ=∞/，且瞬发中子的寿命为。

根据这个简单的结果，如果反应堆是超临界的，，通量将以指数速度增长，其周期为a p v Σ=/1A 1>∞k )1/(−=∞k T p A (12S-3)作一粗略的近似，如果取寿命为典型的10-4sec ，而p A )1(−∞k 为10-3，则T ～0.1sec 。

这意味着在1秒种的时间内，通量将会增长e 10～2.2×104倍。

这种变化率，如果是真的话，将没有任何实际办法可以控制——因为反应堆通常是通过插入和抽出控制棒进行控制的；构成控制棒的材料具有很高的中子吸收截面，比如金属镉。

既然反应堆并不是像我们刚才所说的这样，而是以安全的方式运行，那么这里的估计有什么错误吗？答案是我们忽略了缓发中子。

众所周知，裂变产生的中子并非都是瞬时发射的。

有一定比例β的裂变中子是缓发的——这些中子来自于裂变碎片的各种衰变，包括过程相对缓慢、弱相互作用的β衰变。

235U ，238U ，和239Pu 都有六组缓发中子，其半衰期从～0.2到～54秒(见Lamarsh p.102 的Table3-8)。

总的缓发中子比例分别为0.0064，0.0148，和0.002。

通过修改周期T 的估计值，我们可以把缓发中子也考虑进来，使用平均中子寿命，它将比A p明显地大。

同时，我们可以使用有效增殖系数k 代替无限增殖系数，以使对增殖效果的计算计算更为准确。

因此，反应堆随时间变化的方程为∞k )0()(]1)1[()(βφφβφ+−−=t k dtt d A (12S-4) 其中我们记中子的平均寿命为，A ∑=+−=61)1(i i i p ββA A A (12S-5)重要的是由于(12S-5)第二项中缓发中子的存在，中子的平均寿命成为0.1秒的量级。

中子寿命的改变使周期T 变为10-1/10-3～100秒。

这样反应堆的中子变为在100秒后增大e 倍——这样就可以通过移动控制棒对反应堆进行控制。

我们不难求解方程(12S-4)从而得到})/]1)1exp{[(1()1(1)0(}/]1)1exp{[()0()(A A t k kt k t −−−−−+−−=βββφβφφ (12S-6) 当1)1(<−k β时，指数部分将随时间衰减掉，其稳态为)0()1(1)(φββφk t −−→ (12S-7)因此，长时间后，通量相对于初始值的增加为ρβρβφφ−−→)1()0(/)(t (12S-8) 这里引入一个量称为反应度， ,1k k k k ∆=−≡ρ ρ−=11k (12S-9) 在反应堆动力学的术语中，由于增减燃料或插抽控制棒造成的增殖系数的改变都可以使用反应度ρ描述。

从(12S-8)可以看出，当反应度的值等于缓发中子份额时，其值会有一个阶跃。

当这种情况发生时，反应堆通常被称为“瞬时临界”，这意味着反应度已经足够大以至于系统不需要缓发中子就可以达到临界。

这就像我们前面所描述的那样：通量将以指数增长——产生爆炸。

3. 双群反射反应堆在初级的反应堆物理中，双群双区反应堆是一个经典的模型。

对于如何分析系统的临界，即使只是定性地理解也是很有意义的，因为这个深入认识的过程提供了许多实际计算（包括许多能组和多反应堆区域）的基础。

多反应堆区域虽然在细节上要更复杂一些，但是它们的物理基础是相同的。

我们来考虑一个由堆芯和反射体组成的反应堆中存在的快中子和热中子。

使用数字编号区分截面、通量等：1－堆芯中的快中子2－堆芯中的热中子3－反射体中的快中子4－反射体中的热中子并且写出稳态下的扩散方程0)(22111121=Σ+Σ−Σ−Σ−∇φφf f R a v v D0)(222211=Σ−∇+Σφφa R D(12S-10) 0)(33323=Σ−Σ−∇φR a D 0)(334424=Σ+Σ−∇φφR a D其中为“移出”截面，指的是一个中子从快中子转变为热中子。

你可以用很简单的表达式来估计它的值，但我们在这里不深入讨论，重点是讨论总体问题。

R Σ通过观察系统的4个方程(12S-10)知道，这个系统通过慢化、扩散和裂变而相互联系在一起。

堆芯内的快中子来自堆芯的热中子裂变，同时也通过堆芯的慢化和向反射层的泄漏而损失。

反射体中的快中子来自堆芯的泄漏并且通过慢化为热中子而损失。

堆芯的热中子由慢化产生，因泄漏到反射体而损失。

反射体中的热中子由慢化和泄漏产生。

得到这个模型之后，所面临的数学问题就是对这个耦合的二阶微分方程进行求解，同时在堆芯——反射层的交界面与反射层的外边界应用适当的边界条件。

虽然堆芯内的快中子和热中子通量并没有明显的对称性，但是1φ和2φ满足同一组方程。

但这并不意味着它们是相同的，因为它们具有不同的边界条件。

为了找出这个对称性，我们将(12S-10)写为更加紧凑的形式，2111122()αφαφ0∇+−=0)(2222121=−∇+φαφα(12S-11)0)(3332=−∇φα0)(3434442=+−∇φαφα其中111111/)(D v R a f Σ−Σ−Σ=α 2121/D R Σ=α1212/D v f Σ=α 2222/D a Σ=α33333/)(D R a Σ+Σ=α 4343/D R Σ=α (12S-12)034=α 4444/D a Σ=α注意到在(12S-11)中，1φ和2φ是明显相互耦合的，而它们与3φ和4φ的耦合只是通过交界面的边界条件进行的。

因此我们可以通过前两个方程来得到一个只包含1φ的方程和一个只包含2φ的方程。

结果是0))((121121112222=−+∇−∇φααφαα(12S-13)0))((221122222112=−−∇+∇φααφαα待解方程具有如下形式， 0))((2222=−∇+∇φνµ1,2φφφ=或 (12S-14221122αανµ−=−(12S-15)2112221122αααανµ+=下面我们考虑一个球形堆芯并且写出下述形式的通解())()(r CW r AZ r +=φ (12S-16)0)()(22=+∇r Z µ， r r r Z µsin 1~)( (12S-17) 0)()(22=−∇r W ν， r rr W νsin 1~)( (12S-18)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛)()()()(221121r W r Z C A C A r r φφ (12S-19) 注意到我们只保留了在系统任意位置都有限的解。