《自动控制原理》第四章习题答案

第四章习题及答案

4-1 系统的开环传递函数为

)

4)(2)(1()()(*

+++=s s s K s H s G

试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*

K 和开环增益K 。

解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。

对于1s = -1+j 3，由相角条件

=∠)()(11s H s G

=++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j j

ππ

π

π

-=-

-

-

6

3

2

满足相角条件，因此1s = -1+j 3在根轨迹上。将1s 代入幅值条件：

14

31231131)(*

11=++-⋅++-⋅++-=

j j j K s H s G ）（

解出 ： *

K =12 ，K=2

3

8*=K 4-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。

（ａ） （ｂ） （ｃ） （ｄ）

解 根轨如图解4-2所示：

4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ )

15.0)(12.0()(++=

s s s K

s G

⑵ )

3)(2()

5()(*+++=s s s s K s G

⑶ )

12()

1()(++=

s s s K s G

（ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ） 题4-2图 开环零、极点分布图

图解4-2 根轨迹图

解 ⑴ )15.0)(12.0()(++=

s s s K

s G =

)

2)(5(10++s s s K

系统有三个开环极点：01=p ,2p = -2,3p = -5 ① 实轴上的根轨迹： (]5,-∞-,

[]0,2-

② 渐近线： ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧±=+=-=--=πππϕσ,33)12(3

73520k a a

③ 分离点：

02

1511=++++d d d 解之得：88.01-=d ，7863.32-d (舍去)。

④ 与虚轴的交点：特征方程为 D(s)=0101072

3

=+++K s s s

令 ⎩⎨⎧=+-==+-=0

10)](Im[0

107)](Re[3

2ωωωωωj D K j D 解得⎩⎨⎧==7

10

K ω

与虚轴的交点（0，j 10±）。 根轨迹如图解4-3(a)所示。

⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：

[]3,5--, []0,2-

② 渐近线： ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

±=+==----=22)12(02

)5(320ππϕσk a a

③ 分离点： 5

131211+=++++d d d d 用试探法可得

886.0-=d 。根轨迹如图解4-3(b)所示。

⑶ )

12()1()(++=

s s s K s G =)

2

1(2)

1(++s s s K

根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点：

1

1

5.011+=

++d d d 解之得：d= -0.293,d= -1.707。根轨迹如图解4-3(c)所示。 4-4单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。

⑴ )21)(21()

2()(*j s j s s K s G -++++=

⑵ )

1010)(1010()

20()(*j s j s s s K s G -++++=

解 ⑴ )

21)(21()

2()(*j s j s s K s G -++++=

根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： (]2,-∞-

② 分离点：21211211+=

-++++d j d j d

解之得：23.4-=d

③ 起始角：

43.15390435.631801

=-+=p θ

由对称性得另一起始角为 –

43.153。 根轨迹如图解4-4(a)所示。

⑵ )

1010)(1010()

20()(*j s j s s s K s G -++++=

系统有三个开环极点和一个开环零点。 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： []0,20-

② 起始角： =θ

︒=--+01359045180

根轨迹如图解4-4(b)所示。

4-５ 系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。

⑴ )

208()()(2

++=*

s s s K s H s G ⑵ )

5)(2)(1()()(+++=*

s s s s K s H s G

⑶ )22)(3()

2()()(2

++++=*s s s s s K s H s G ⑷ )164)(1()

1()()(2

++-+=*s s s s s K s H s G 解 ⑴ )208()()(2

++=*

s s s K s H s G ① 实轴上的根轨迹： (]0,∞-

② 渐近线：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧±=+=-=--++-+=πππϕσ,33)12(3

83)24()24(0k j j a a ③分离点：

02

41

2411=-+++++j d j d d 解之得：d= -2, d= -3.33。

④与虚轴交点：D(s)=s 3+8s 2+20s+*K

把s=j ω代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：

⎩⎨⎧=-==-=*0

20))(Im(0

8))(Re(3

2ωωωωωj D K j D