专题4 空间平行垂直综合问题-2019年高考数学考点讲解与真题分析

专题4 空间平行垂直综合问题

一、考点简介

线面关系是立体几何中的一种重要关系，在高考中几乎每年都会考查，且常以多面体为背景。

1、高考始终把直线与平面平行（垂直）的性质与判定和平面与平面平行（垂直）的判定与性质作为考查的重点，常以棱柱、棱锥为背景设计命题。转化法是空间中垂直（平行）关系的重要数学方法，证明面面垂直（平行），则需要转化为线面垂直（平行）；而证明线面垂直（平行），则需要转化为线线垂直（平行）。通过这一转化能够给某些有关空间中垂直关系的问题巧妙地创造条件。近几年以探索性问题考查线面、面面关系是考查热点，如探索点的存在性、探索点的位置等是命题热点。

2、空间的角度与距离知识的考查形式既有选择题与填空题，有时又会出现解答题。特别是异面直线所成角，直线与平面所成的角，二面角以及两点间的距离，点到平面的距离等，都是命题的重要内容。高考中常把空间角与距离综合在一起，以解答题的形式考查，通常情况下，这类问题都可以用两种解法，即传统法与向量法，其中向量法更简单。

二、考点例析

1、点、线、面之间位置关系

例1、若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）

Ａ．若，则Ｂ．若，则

Ｃ．若，则Ｄ．若，则

解：两面平行，两面中的直线不一定都互相平行，因此A不对；两面垂直，一个面内的直线不一定垂直于另一个平面，因此B不对；在空间中垂直于同一直线的两直线，未必垂直，因此C不对；故选D.

点评：本题考查了考生对空间点、线、面的平行与垂直关系的空间想象能力及对其位置关系的理论推导，同时也考查了考生将几何语言、符号语言、图形语言进行转化与利用的能力，及灵活选择不同的信息条件进行解题的信息处理与分析能力。

例2、给出下列命题：（1）若平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么c至多与a、b中一条相交；（2）若直线a与b异面，直线b与c

异面，则直线a与c异面；（3）一定存在平面同时和异面直线a、b都平行，其中正确命题为（）

A、（1）

B、（2）

C、（3）

D、（4）

解：（1）错，c可与a、b中的两条相交；（2）错，因a、c可能相交也可能平行；（3）对，例如：过异面直线a、b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件，因此选C.

点评：此题考查了异面直线的性质，除以上的几个方面之外，还有以下结论：过两异面直线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行；过不在两异面直线上空间任一点与两异面直线都相交的直线有一条或不存在；两异面直线的公垂线有且只有一条等。

训练题1：α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是

A.α、β都平行于直线a、b

B.α内有三个不共线点到β的距离相等

C.a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β

D.a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β

2、线面平行与垂直

例3、在正四棱锥P－ABCD中，，M是BC的中点，G是三角形PAD 的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有_______条。

分析：可以通过研究直线PM与平面PAD的位置关系来研究直线PM与平面PAD内的直线的位置关系。

解：如图所示，若设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱为，由于，

所以，连结PG并延长与AD相交于N点，则，又MN＝AB＝a，所以，于是，又，所以

平面PAD，因此在平面PAD中经过G点的任意一条直线都于PM垂直，即在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有无数条。

点评：证明线面垂直，需先有线线垂直，在三角形中应用勾股定理的逆定理，可判断出两条直线垂直，即通过计算来证明垂直关系，这在高考题中也是常用的方法之一。根据线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线，所以在研究一条直线与某个平面内的直线的位置关系时，可以先研究直线与该平面的位置关系，如果能够推得直线与该平面垂直，那么它就垂直于该平面内的所有直线。

训练题2：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，PA ＝AB＝1，，点F是PB的中点，点E在边BC上移动。

（1）求三棱锥E－PAD的体积；

（2）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

（3）证明：无论点E在BC边的何处，都有

3、面面平行与垂直

例4、如图，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，

（1）求证：平面PAC平面PCD；

（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE//平面PAB？若存在，请确定E点的位置，若不存在，请说明理由。

解：设PA=1.

(1) 由题意PA=BC=1，AD=2AB=1，BC=AD 由易得CD=AC=由勾股定理逆定理得，又PA面ABCD CD面ABCD

面PAC，

又CD面PCD，面PAC 面PCD

(2)证明：作CF//AB交AD于F，作EF//AP交PD于E，连接CE

CF//AB EF//PA ，CF EF=F ，PA AB=A

平面EFC//平面PAB，又CE在平面EFC内，CE//平面PAB ，BC=AD ，AF=BC

F为AD的中点，E为PD中点

故棱PD上存在点E，且E为PD中点，使CE//面PAB

点评：要证明面面垂直先想到证明线线垂直，只要掌握这种转化思想证明空间几何中的垂直问题还是很容易的。

训练题3：.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱长为，E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF⊥平面AB1C.

4、空间角

例5、已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.

（1）确定D的位置，并证明你的结论；

（2）证明：平面AB1D⊥平面AA1D；