人教版九年级上册数学 第二十一章 21.2.3 因式分解法 课件
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
初中数学教学课件：21.2.3 因式分解法(人教版九年级上)
2.解下列方程: （1）（x+2)(x-4)=0 【解析】(1) (2)4x(2x+1)-3(2x+1)=0
x 2 0或x 4 0
x1 2，x 2 4.
24x2x 1 32x 1 0，
2x 14x - 3 0,
2x 1 0或4x 3 0.
即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0 【解析】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0或x-5=0
∴x1= -5,x2=5.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例 题
【例1】用分解因式法解方程:
(1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2). 【解析】
解 : 1 5x 2 4x 0,
x5x 4 0.
2 x 2 x x 2 0, x 21 x 0.
1.x1 5; x2 2.
x 2 (5 2 ) x 5 2 0
2. x 2 ( 3 5 ) x 15 0 2.x1 5; x2 3.
3. x 2 (3 2)x 18 0
4. (4 x 2) x(2 x 1)
2
3.x1 3; x2
b b 2 4ac (a 0, b 2 4ac 0) 公式法 x 2a
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
人教版九年级数学上册因式分解法课件(1)
活动
什么时候可以用因式分解法？
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘 积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二 次方程的方法称为分解因式法.
使用因式分解法的条件
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论仍旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于
零.”
分解因式法解一元二次方程的步骤
1. 化方程为一般情势; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
例题
解方程： 1. x2－3x＋2＝0.
2. x2－5x－6＝0.
3. x2－10x＋9＝0.
练习
解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为两个一元一次方程，请 写出其中一个一元一次方程
选择合适的方法解一元二次方程
1. 配方法解一元二次方程要先配方，再降次； 2. 通过配方法可以推导求根公式，直接利用求根公式可以求出一
元二次方程的两根； 3. 用因式分解法要先使方程一边化为两个一次因式相乘的情势，
21.2.3因式分解法
复习
1. 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
2. 什么叫因式分解? 若ab＝0，则a＝0或b＝0；若(x－a)(x－b)＝0，则方程的根为x1＝a， x2＝b
用因式分解法解形如x2＋bx＝0的一元二次方程
形如x2＋bx＝0的方程，可以用提取公因式法将方程的左边分解成 x(x＋b)的情势，从而将原方程转化为x(x＋b)＝0，这样可得原方程 的解为x1＝0，x2＝－b.
另一边为0，再分别使每个一次因式等于0. 4. 配方法、公式法适用于解所有有实数根的一元二次方程；因式
人教版九年级上册数学《解一元二次方程》说课教学复习课件(因式分解法)
)2.
2
。
课堂测试
2.下列配方有错误的是（
）
A.x 4 x 1 0化为 x 2 5
2
2
课件
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课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
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手抄报：课件/shouchaobao/
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课件 课件
课件 课件
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B.x 2 6 x 8 0化为 x 3 1
(3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程无实数根.
课堂测试
1.在下列等式内填上适当的数,使等式成立
2
（1）x 2 12 x 62 x+6 ；（2）x 2 4 x 22 x-2
课件
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个人简历：课件/jianli/
）
D．直接开平方法
【详解】
∵方程中有公因式（x-1），故可采用因式分解法求解，
故选C.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适
的方法.
课堂测试
x 2 7 x 10 0
6．若等腰三角形的底和腰是方程
根，则这个三角形的周长为（
A．9
B．12
）
C．9或12
D．不能确定
2
2
7 97
C.2 x 7 x 6 0化为 x
4 16
2
D.3x 2 4 x 2 0化为 3 x 2 2
最新人教版初中数学九年级上册《21.2.3 因式分解法》精品教学课件
x1=x2=1.
巩固练习
（5） 3x 2x 1 4x 2 （ 6 ） x 42 5 2x2
解：将方程化为
解：将方程化为
6x2 － x －2 = 0.
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
因式分解，得
因式分解，得
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
A．x＝4 C．x＝2
B．x＝3 D．x＝0
课堂检测
能力提升题
我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开 平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下 一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方 法解这个方程．
①x2－3x＋1＝0； ②(x－1)2＝3；
③x2－3x＝0；
④x2－2x＝4.
我选择______________________
1.理解一元二次方程因式分解法的概念.
探究新知
知识点 因式分解法的概念
根据物理学规律，如果把一个物体从地面 10 m/s 的速 度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度（单位：m） 为 10x 4.9x2.
【思考】根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精 确到 0.01 s） 提示：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度
探究新知
方法点拨
一.因式分解法简记歌诀：
右化零
左分解
两因式
各求解
二.选择解一元二次方程的技巧：
1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的 方程. 2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的 形式的方程. 3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.
人教版数学九年级上册第二十一章《21.2.3因式分解法》课件(共21张PPT)
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
合作探究
观察方程 10x－4.9x2＝0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的
方法吗？ 10x - 4.9x 2 = 0 x(10 - 4.9x) = 0
两个因式的积等于零
6.由多项式乘法：(x + a)(x + b)=x2+(a + b)x + ab，将该式从右到左使用，即可 得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2+(a + b) x+ ab = (x + a) (x + b). 示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3). (1)尝试： 分解因式：x2+6x+8=(x+ 2 )(x+ 4 )； (2)应用：请用上述方法解方程：x2-3x-4=0.
4.知道因分解式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的 简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。
导入新知
同学们，这个阶段我们一直都 在学习研究如何解一元二次方程， 那至此已经学过几种解一元二次 方程的解法了？
因式分解的方法：
提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式 提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解 因式的方法叫做提公因式法.
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.”
（2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程.
人教版数学九年级上册第21章解一元二次方程21.2.3因式分解法教学设计课件
21.2.3因式分解法1.认识因式分解法的观点.2.会用因式分解法解一元二次方程.3.能依据一元二次方程的特色,选择合适的解一元二次方程的方法.1.经历研究用因式分解法解一元二次方程的过程,发展合情推理的能力,领会“降次”化归的思想方法.2.经过灵巧选择解方程的方法,领会解决问题的灵巧性和多样性.1.经过研究因式分解法解一元二次方程,学会与别人合作,能与别人沟通思想的过程和结果的能力.2.经历研究知识的形成过程,培育学生主动研究的精神与踊跃参加的意识.【要点】用因式分解法解一元二次方程.【难点】依据一元二次方程的特色,选择合适的解一元二次方程的方法.【教师准备】预料学生解一元二次方程中选择灵巧方法的困难.多媒体课件1和课件2.【学生准备】复习总结学过的解一元二次方程的方法.导入一:复习发问:1.因式分解的方法有几种?【师生活动】教师发问,学生回答,教师评论.2.将以下各式分解因式.(1)5x2-4x;2-4x+4;(2)x(3)4x(x-1)-2+2x;(4)x2-4;2-x2.(5)(2x-1)【师生活动】学生独立达成,小组内沟通答案,对出现的错误组长帮忙解决,老师评论易错点.导入二:(教材问题2)依据物理学规律,假如把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s离地2面的高度(单位:m)为10x-4.9x,依据上述规律,物体经过多少秒落回地面(结果保存小数点后两位)?学生口答所列方程为10x-4.9x2=0,思虑怎样解这个方程.(配方法、公式法)[设计企图]经过复习有关知识,有益于学生娴熟正确地将多项式进行因式分解,进而降低本节课的难度,为学习新知识打下基础;以与物理学有关的实质问题导入新课,让学生领会各学科知识之间的联系,感觉数学与生活之间的联系,激发学生学习的兴趣.[过渡语]除配方法和公式法之外,可否找到更简单的方法解这个方程?一、共同研究2=0?思虑:还有什么方法解问题中的一元二次方程10x-4.9x思路一教师指引学生思虑回答以下问题.(1)上边方程中有没有常数项?(2)等式左侧的各项有没有同样因式?能不可以分解因式?(3)假如AB=0,那么;假如(x+1)(x-1)=0,那么x+1=0或,即x=-1或. (4)试试将方程左侧分解因式,看能不可以达到降次的目的.【师生活动】学生在教师的指引下逐个思虑回答以下问题,教师实时增补,而后让学生勇敢试试解方程,对出现的问题教师有针对性地解决.思路二复习发问:假如AB=0,那么.方程能不可以化成这类形式?小组合作沟通,勇敢试试,教师对解决问题有困难的学生实时赐予帮助,并将小组沟通结果展现,对学生展示结果教师提出怀疑,并指引学生解决.解:将方程左侧分解因式,得x(10-4.9x)=0,∴x=0或10-4.9x=0,∴x1=0,x2=≈2.04.∴物体经过2.04秒落回地面.[设计企图]经过小组议论或教师指引,察看方程的特色,而后找到解决的门路,让学生亲身经历知识的形成过程,培育学生察看问题、剖析问题的能力和研究精神.二、思虑(1)上述解方程的方法第一步是怎样变形的?(2)上述解法是怎样达到降次的目的的?(3)什么样的方程适适用这类方法求解?【师生活动】小组议论沟通,教师实时指引,师生共同得出结论.第1页我们能够发现,上述方程的解法不是用开平方降次,而是先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,进而实现降次,这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法.[过渡语]依据方才解方程的思路和因式分解法解方程的观点,你能不可以总结因式分解法解方程的步骤是什么?【师生活动】学生思虑回答,教师增补,归纳后以课件展现.【课件1】因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将方程的右侧化为0;(2)将方程的左侧进行因式分解;(3)令每一个因式为0,转变为两个一元一次方程;(4)解一元一次方程,得原方程的解.[设计企图]以问题的形式指引学生思虑,降低了新知识的难度,小组的议论沟通,让学生体验知识的形成过程,在讲堂上发挥主体作用,体验成功的快乐,使本节课要点进一步获取加强,同时研究过程培育了学生疏析问题的能力和归纳总结的能力.三、例题解说【课件2】(教材例3)解以下方程.(1)x(x-2)+x-2=0;2-2x-=x2-2x+.(2)5x【师生活动】学生独立达成后小组沟通答案,教师课件展现,规范做题格式.解:(1)因式分解,得(x-2)(x+1)=0,即x-2=0或x+1=0,∴x1=2,x2=-1.2-1=0,(2)移项、归并同类项,得4x因式分解,得(2x+1)(2x-1)=0,即2x+1=0或2x-1=0,∴x1=-,x2=.[知识拓展]1.当方程的左侧能分解因式,方程的右侧为0时,经常用因式分解法解一元二次方程,因式分解法是解一元二次方程的一种简易方法,要会灵巧运用.2.解一元二次方程时,四种解法的使用次序是:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,一般先考2=b(b≥0),用直接开平方法,最一般方法是公式法,配方法在题目没有特虑用因式分解法,假如是特别形式(x+a)殊要求时一般不用.因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将方程的右侧化为0;(2)将方程的左侧进行因式分解;(3)令每一个因式为0,转变为两个一元一次方程;(4)解一元一次方程,得原方程的解.1.方程x(x+2)=0的根是()A.x=2B.x=0C.x1=0,x2=-2D.x1=0,x2=2分析:由题意可得x=0或x+2=0,解得x1=0,x2=-2.应选C.2.方程(x-5)(x-6)=(x-5)的解是()A.x=5B.x=5或x=6C.x=7D.x=5或x=71=5,x2=7.分析:移项,得(x-5)(x-6)-(x-5)=0,方程左侧提公因式得(x-5)(x-6-1)=0,即x-5=0或x-7=0,解得x 应选D.3.用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0,可把其化为两个一元一次方程,求解.分析:方程左侧提公因式得(x+3)(5-2x)=0,因此x+3=0或5-2x=0.答案:x+3=05-2x=02-16=0的解是.4.方程x分析:方程左侧用平方差公式分解因式得(x+4)(x-4)=0,因此x+4=0或x-4=0,解得x1=4,x2=-4.故填x1=4,x2=-4.5.用因式分解法解以下方程.2+x=0;(1)x2-2x=0;(2)x2-6x=-3;(3)3x(4)4x2-121=0;(5)3x(2x+1)=4x+2;第2页2=(5-2x)2.(6)(x+4)解:(1)将方程左侧分解因式,得x(x+1)=0,∴x=0或x+1=0.∴x1=0,x2=-1.(2)将方程左侧分解因式,得x(x-2)=0,∴x=0或x-2=0.∴x1=0,x2=2. 2-6x+3=0,将方程左侧分解因式,得3(x-1)2=0∴x(3)移项,得3x1=x2=1.(4)将方程左侧分解因式,得(2x+11)(2x-11)=0,∴2x+11=0或2x-11=0.∴x1=-,x2=.(5)移项,得3x(2x+1)-(4x+2)=0,将方程左侧分解因式,得(2x+1)(3x-2)=0,∴2x+1=0或3x-2=0.∴x1=-,x2=.2-(5-2x)2=0,(6)移项,得(x+4)将方程左侧分解因式,得(x+4+5-2x)(x+4-5+2x)=0,∴-x+9=0或3x-1=0.∴x1=9,x2=.21.2.3因式分解法一、共同研究二、思虑因式分解法解一元二次方程的步骤三、例题解说一、教材作业【必做题】教材第14页练习的1题.【选做题】教材第14页练习的2题.二、课后作业【基础稳固】2-2x=0的解是()1.一元二次方程5xA.x1=0,x2=B.x1=0,x2=-C.x1=0,x2=D.x1=0,x2=-2.方程3x(x+1)=3x+3的解为()A.x=1B.x=-1C.x1=0,x2=-1D.x1=1,x2=-13.若对于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程能够为()A.(x+5)(x-7)=0B.(x-5)(x+7)=0C.(x+5)(x+7)=0D.(x-5)(x-7)=04.方程(x+4)(x-5)=1的根为()A.x=-4B.x=5C.x1=-4,x2=5D.以上结论都不对5.方程x(x-1)=x的解是.6.将二次三项式x2+20x-96分解因式的结果为;假如令x2+20x-96=0,那么它的两个根是. 7.方程(x-1)(x+2)=2(x+2)的根是.第3页8.若(m+n)(m+n+5)=0,则m+n=. 9.若(2x+3y)2+4(2x+3y)+4=0,则2x+3y的值为. 10.用因式分解法解以下方程.(1)(x-1)(x-2)=0;2-3x=0;(2)x2-4x+4=0;(3)x2-5x+4=0.(4)x【能力提高】的长方形养鸡场. 为了节俭资料 ,养鸡场的一边靠着原有的一面墙 ,墙211. 某养鸡专业户建一个面积为 150 m长a m,另三边用篱笆笆围成,假如篱笆的长为35 m,那么养鸡场的长与宽各为多少?(此中a≥20)2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x2-(a+b)x+ab=0便可转变为(x-a)(x-b)=0,请你用上边的方法解下12.我们知道x列方程.(1)x2-3x-4=0;2-7x+6=0;(2)x2+4x-5=0.(3)x【拓展研究】2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们能够将x2-1视为一个整体,而后设x2-1=y,则y2=(x2-1)213.为解方程(x,原方程化为22222y-5y+4=0,解此方程,得y1=1,y2=4.当y=1时,x-1=1,x=2,∴x=±.当y=4时,x-1=4,x=5,∴x=±.∴原方程的解为x1=-,x2=,x3=-,x4=.以上方法就叫换元法,达到了降次的目的,表现了转变的思想.4-3x2-4=0;(1)运用上述方法解方程x2-1看作一个整体,你能直接运用因式分解法解(1)中的方程吗?(2)既然能够将x【答案与分析】1.A(分析:将方程左侧分解因式,得x(5x-2)=0,∴方程的解为x1=0,x2=.应选A.)2.D(分析:由已知得3x(x+1)-3(x+1)=0,∴3(x+1)(x-1)=0,∴x+1=0或x-1=0,∴x1=1,x2=-1.应选D.)3.A(分析:∵(x+5)(x-7)=0,∴x+5=0或x-7=0,∴x1=-5,x2=7.应选A.)2-x=21,∴=,∴x=.应选D.)4.D(分析:∵(x+4)(x-5)=1,∴x5.x1=0,x2=2(分析:∵x(x-1)=x,∴x(x-1)-x=0,∴x(x-1-1)=0,即x=0或x-2=0,∴x1=0,x2=2.)6.(x+24)(x-4)-24,4(分析:x2+20x-96=(x+24)(x-4).∵x2+20x-96=0,∴(x+24)·(x-4)=0,∴x+24=0或x-4=0,∴x1=-24,x2=4.)7.x1=3,x2=-2(分析:移项,得(x-1)(x+2)-2(x+2)=0,∴(x+2)(x-1-2)=0,∴x1=3,x2=-2.故填x1=3,x2=-2.)8.0或-5(分析:由题意得m+n=0或m+n+5=0,∴m+n=0或m+n=-5.故填0或-5.)2=0,因此2x+3y+2=0,即2x+3y=-2.故填-2.)9.-2(分析:把2x+3y当作一个整体,有(2x+3y+2)2=0,∴x10.解:(1)x-1=0或x-2=0,∴x1=1,x2=2.(2)x(x-3)=0,∴x=0或x-3=0.∴x1=0,x2=3.(3)(x-2)1=x2=2.(4)(x-1)(x-4)=0,∴x-1=0或x-4=0.∴x1=1,x2=4.11.解:设养鸡场垂直于墙的一边长为x m,则与墙相对的边的长为(35-2x)m,依题意,得x(35-2x)=150,即2-35x+150=0,因此(2x-15)·(x-10)=0,因此x=7.5或x=10,当x=7.5时,35-2x=20,当x=10时,35-2x=15,由于a≥ 2x20,因此两根都知足条件.答:养鸡场的长与宽分别为20 m,7.5 m或15 m,10 m.212.解:(1)∵x-3x-4=(x-4)(x+1),∴(x-4)·(x+1)=0,∴x-4=0或x+1=0,∴x1=4,x2=-1.2-7x+6=(x-6)(x-1),∴(x-6)(x-1)=0,∴x-6=0或x-1=0,∴x(2)∵x1=6,x2=1.2+4x-5=(x+5)(x-1),∴(x+5)(x-1)=0,∴x+5=0或x-1=0,∴x(3)∵x1=-5,x2=1.4-3x2-4=0.设x2=y,则y2=x42-3y-4=0,解此方程,得y2=4,∴x=±2.13.解:(1)x,原方程化为y1=-1,y2=4.当y=4时,x2=-1,无实数解.∴原方程的解为x2+1)(x2-4)=0,∴x2+1=0或当y=-1时,x1=-2,x2=2.(2)因式分解,得(xx1=2,x2=-2.2-4=0,x2+1=0无解,∴原方程的解为x在本节课的教课过程中,先对因式分解进行复习,而后由实质问题引出新方程,解决这个实质问题需要学习新知识,激发了学生的学习动机,而新知识与旧知识一元一次方程有内在联系,指引学生用比较、归纳的方法获取新知识.整节课都是以问题形式层层深入,在老师的指引下,学生自主研究结论,因此学生在讲堂上发挥了主体作用,老师在讲堂上不过指挥家、引领者的身份,这样有益于培育学生剖析问题、解决问题的能力和创新精神.后边的例题稳固提高了本节课的要点,例题的解决不是老师解说达成的,而是学生在独立思虑的基础上由小组合作、共同沟通达成,提高了学生解决问题的灵巧性,建立了学习的信心.在讲堂中有时办理问题过于焦躁,过分关注学生的学习结果,而忽视了过程,办理有些知识点时,给学生留有思虑的时间太少,造成练习解方程时,部分学生出现计算错误许多.并且对于学生出现的问题不过实时的加以加强,没有再出近似的问题让学生解决,不可以更有效地表现讲堂教课的实效性.不可以关注到每一位学生,在讲堂上比较活跃的仍是部分学生,应当让人人学到有价值的数学.第4页数学教课的真理是数学思想过程的教课,因此教课方案要着重培育学生正确运用所学新知识来剖析问题、解决问题,用新方法解方程时,给学生足够思虑时间,同时重视指引学生思虑怎样对所学新知识加以复习、稳固,进一步认识这部分知识在解决问题时所起的作用.教课自己就是一个动向生成的过程,在解题过程中, 尽量让有典型问题的学生进行展现,这样正好是教师的第一手资料,以使教课更能有效进行.练习(教材第14页)1.解:(1)x1=0,x2=-1.2+x=0,x(x+1)=0,∴x2- 2 x=0,x(x- 2 )=0,∴x 2- 6x=-3,x2- 2x+1=0,(x- 1) (2)x 1=0,x2=2 . (3)3x 2=0,∴x1=x2=1.1=x2=1.2-121=0,(2x-11)·(2x+11)=0,∴x(4)4x1=,x2=-.(5)3x·(2x+1)=4x+2,3x(2x+1)-2(2x+1)=0,(2x+1)(3x-2)=0,∴x1=-,x2=.2=(5- 2x)2 (6)(x- 4) ,(x- 4) 2- (5- 2x)2=0,(x- 4+5- 2x)·(x- 4- 5+2x)=0,(1-x )( 3x- 9)=0,∴x 1=1,x2 =3.1=1,x2=3.2.解:设小圆形场所的半径为R m,则大圆形场所的半径为(R+5)m,依题意得2=π(R+5)2 2=(R+5)2 2πR ,2R ,( R) 2- (R+5)2 =0,( R+R+5)( R-R-5)=0,∴R 1=5- 5 (舍),R2=5+5 . 答:小圆形场所的1=5- 5 (舍),R2=5+5 . 答:小圆形场所的半径为(5+5)m.1.本节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程,解法的基本思路是将一元二次方程转变为一元一次方程,而达到这一目的,我们主要利用了因式分解“降次”,经过本节课的学习,要指引学生逐渐深入、领悟、掌握“转变”这一数学思想方法.2.在教课过程中,对配方法和公式法进行复习,再由实质问题引入新方程,要解决这个实质问题需要学习新知识,激发了学生的学习动机,把本节课的要点内容设计成问题串的形式,指引学生自主研究、合作沟通,自然地掌握了本节课的要点,同时培育了学生剖析问题、解决问题的能力及合作和研究精神.3.因式分解法对解某些一元二次方程是最简单的方法,在解一元二次方程时,应依据方程的构造特色,选择合适的方法去解,这是本节课的难点,并且直接开平方法与因式分解法中都包含着由二次方程向一次方程转变的思想方法.一般状况下,独自使用这类方法,学生运用的比较娴熟,但假如综合在一同,学生运用的就不太娴熟,因此在练习中,给学生足够的时间沟通,共同研究方程知足什么特色能够用什么方法,达到顺利打破难点的目的.用因式分解法解方程x(x-1)=2.有学生给出以下解法:∵x(x-1)=2=1×2=(-1)×(-2),∴或或或解上边第一、四个方程组,无解;解第二、三个方程组,得x=2或x=-1.∴x=2或x=-1.请问:这个解法对吗?试说明你的原因.假如你感觉这个解法不对,请你求出方程的解.解:解法不对.原因:用因式分解法解一元二次方程,方程左侧一定为两个一次因式的乘积,而方程右侧一定为0,明显这位同学的做法不切合这样的要求,故解法错误.正确解法以下:2-x-2=0,原方程可化为x即(x-2)(x+1)=0,则x-2=0或x+1=0,1=2,x2=-1.解得x第5页。
人教版九年级数学上册《因式分解法》课件
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛， 那么物体经过x秒离地面的高度（单位：米）为
10x-4.9x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过x秒落回地面，这时它离地面的高度为____米，则
10x-4.9x2＝0
10x-4.9x2＝0
x(10-4.9x)=0
用因式分解法解下列方程：
（１）x(x-2)+x-2＝0 25x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
有公因式 解：
吗？
x 2x 1 0
解：整理得
把方程整理成一般形式
x 2 0 或 x 1 0
x1 2，x2 1
4x2 1 0
2x 12x 1 0
2x 1 0 或 2 x 1 0
x=0 或 x+2＝0
2、方程 x2=4x 的根是__x_1___0__, _x_2____4__
x2-4x＝0 x（x-4）＝0 x＝0 或 x-4＝0
3、解方程：
（1） 3x2-6x＝-3
解： 3x2-6x+3=0 3(x2-2x+1)=0 ∴3(x-1)2=0
x-1=0 x1 x2 1
（2）（x+3)(x-3)=1
人教版 九年级上册第二十一章《一元二次方程》
21.2.3 解一元二次方程 -----因式分解法
1、能用因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2、通过因式分解解法对一元二次方程进行求解， 体会降次的思想；
3、体验问题解决方法的多样性，灵活选择最为简 便的解决方法。
回顾旧知
1、什么叫做因式分解？
把一个多项式写成几个因式的乘积的形式叫做因式分解。
人教版九年级上册数学 第二十一章 21.2.3 因式分解法 课件
分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关 键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因 式的积等于零,那么至少有一个因式等于零。”
因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式；
(2)将方程左边因式分解；
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程。
(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根。
的方法是如何使二次方程降为一次的？
x(10 - 4.9x ) = 0 ①
x = 0 或 10 - 4.9x = 0, ② 可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不 是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两 个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一 次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫 做因式分解法。
实际问题
根据物理学规律，如果把一 个物体从地面 10 m/s 的速度
竖直上抛，那么经过 x s 物体
离地面的高度（单位：m）为
10x-4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时 它离地面的高度为 0 ，即
10x-4.9x2=0
例1. 解下列方程： （1）x(x - 2)+ x - 2 = 0
(2)5x2 - 2x - 1 = x2 - 2x + 3
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 。
解：（1）因式分解，得 (x－2)(x＋1)=0.
于是得
(2)移项、合并同类项，得
4x2 - 1 = 0
因式分解，得 (2x＋1）(2x－1)=0.
直接开平方法 x2=a (a≥0)
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2.3 因式分解法(共17张PPT)
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。23:20:2723:20:2723:208/10/2021 11:20:27 PM
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11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21.8.1023:20:2723:20Aug-2110- Aug-21
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12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。23:20:2723:20:2723:20Tues day, August 10, 2021
小结
❖ 1、除了前面学过的配方法和公式法外还可以 通过什么方法达到降幂的解方程目的？
❖ 2、因式分解法解方程时右边等于什么的前提 下才进行因式分解？
❖ 3、分解成左边是两个因式的乘积，右边是零 的形式后怎么办？
作业
学习是件很愉快的事
作业：解下列方程
1.4x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 2 2x;
❖
我思 我进步
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法:
am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2. （3）十字相乘法:
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
以上解方程 10x 4.9x2 0 的过程中，
x＝
.
解： x2＋6x＋5＝x－1
x2＋5x＋6＝0
(x＋2)(x＋3)＝0
解方程：x2 3x,你认为哪种方法正确？
❖ 一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这 个数.
解：设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x.
人教版数学九年级上册第二十一章《21.2.3 因式分解法》课件
解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方 法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整 式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
1.填空 ① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ⑥ ；
适合运用因式分解法 ② ③ ⑤ ⑨ ； 适合运用公式法 ① ⑦ ⑧ ；
适合运用配方法
④
.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆 形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r，
根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
因式分解，得
答：小圆形场地的半径是
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（x－1）=0时，可转化 为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3）（x－5）=0的解吗？
因式分解法解一元二次方程
问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那 么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体 经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?
2 解一元二次方程 因式分解法PPT课件(人教版)
15．先阅读下列材料，然后解决后面的问题： 材料：因为二次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以方程 x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x ＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b. 问题： (1)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数， 则k的值可以为_____－__1_5_，__－__6_，__0_，__6_，__1_5____； (2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1 的值为__7__．
解：x1＝3＋ 5，x2＝3－ 5
(3)x2－4＝3x－6； 解：x1＝1，x2＝2
(4)(x＋5)2＋x2＝25. 解：x1＝－5，x2＝0
13．一跳水运动员从10 m高台上跳下，他离水面的高度h(单位： m)与所用时间t(单位：s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从 起跳到入水所用的时间是多少？
九年级上册人教版数学
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因一边可以分解成两个一次因式 的乘积时，通常将一元二次方程化为__两__个__一__次__因__式____的乘积等于0 的情势，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法 叫做____因__式__分__解_____法．
体，设x＋1＝y，则原方程可化为y2－5y＋6＝0，解得y1＝2，y2＝3. 当y＝2时，即x＋1＝2，解得x＝1；当y＝3时，即x＋1＝3，解得x＝
2，所以原方程的解为x1＝1，x2＝2.利用这种方法求方程(2x－1)2－ 4(2x－1)＋3＝0的解为( C )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－1，x2＝－3 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－1
数学人教版九年级上册同步教学课件：21.2.3 因式分解法
3．若(x－2)2＋6(x－2)＋9＝0，则x的值为( B ) A．0 B．－1 C．1 D．－2
4．(2016· 安顺模拟)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为( B ) A．14 B．12 C．12或14 D ．以上都不对
5．小华在解一元二次方程x2－ 2x＝0时，
(2)2x2－9x＋8＝0；
9＋ 17 9－ 17 解：公式法，x1＝ 4 ，x2＝ 4
(3)(2015· 兰州)x2－1＝2(x＋1)．
解：因式分解法，x1＝－1，x2＝3
15．如图，某农科站有一块长方形试验田，面积为1200 m2.现要
将其分为A，B，C，D四个区，其中A区是正方形，C区长为30 m， 宽为20 m，那么A区的面积是多少平方米？
解：设A区正方形的边长为x m，则x2＋20x＋30x＋30×20＝1200
，即x2＋50x－600＝0，解得x1＝10，x2＝－60(不合题意，舍去)，
∴A区的边长为10 m，其面积为100 m2
16．阅读下列材料，并解答问题： 因为(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，所以x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)； 因为(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，所以x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋ a)(x＋b)． (1)请用上面的分析思路和方法，用因式分解法解下列方程： ①x2－3x－4＝0； ②x2－7x＋10＝0. (2)推广：已知实数x满足(x2－2x)2－4(x2－2x)－12＝0，则代数式 x2－2x＋1＝____ 7 ． 解：(1)①x1＝4，x2＝－1 ②x1＝2，x2＝5
8．解方程(x＋2)2＝3(2＋x)，最适当的解法是( D) A．直接开平方法
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x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1.
2x＋1=0或2x－1=0,
于是得
x1
=
-
1 2
,x
2
=
1 2
练习
例2.解下列方程：
（1）x2 + x = 0; (2) x2 - 2 3x = 0; (3) 3x2 - 6x = -3; (4) 4x2 - 121 = 0; (5) 3x(2x + 1) = 4x + 2; (6) (x - 4)2 =(5 - 2x)2.
配方法
公式法
10x - 4.9x2 = 0
解：x2 - 100 x = 0 49
x2 - 100 x +(- 50 )2 = 0 +(- 50 )2
49
49
49
(x - 50 )2 =(- 50 )2
49
49
x - 50 = ±50 49 49
x = ±50 + 50 49 49
x1Байду номын сангаас
=
100 49
例1. 解下列方程： （1）x(x - 2)+ x - 2 = 0
(2)5x2 - 2x - 1 = x2 - 2x + 3
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 。
解：（1）因式分解，得 (x－2)(x＋1)=0.
于是得
(2)移项、合并同类项，得
4x2 - 1 = 0
因式分解，得 (2x＋1）(2x－1)=0.
（1）提取公因式法: x4-46x2+25
am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
（7）待定系数法 2x2+xy-6y2-x+17y-12
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
(8)求根法
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
（1） x2+x=0
（2）x 2 - 2 3x = 0
解： 因式分解，得： 解：分解因式，得：
x(x+1)=0.
得 x=0 或 x+1 =0， x(x - 2 3)= 0
x1=0 , x2=－1。 得 x = 0 或 x - 2 3 =
∴ x1 = 0,x2 = 2 3
（3）3x 2 - 6x = -3; 解：化为一般式为： x2 - 2x + 1 = 0 因式分解，得：
以上解方程①的方法是如何使二次方程降为一次的?
可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是
用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一
次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等
于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.
提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边 等于零； 2.关键是熟练掌握因式分解的知识； 3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”。
直接开平方法 x2=a (a≥0)
配方法 (x+m)2=n (n≥0)
公式法
( ) x = - b±
b2 - 4ac 2a
b2 - 4ac ≥ 0 .
2.什么叫分解因式？
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
回顾与复习 2
（4）分组分解法
分解因式的方法有哪些（? （6）5）添配拆方项法法
解：化为一般式为
6x2 - x - 2 = 0
因式分解，得：
（3x - 2）(2x + 1)= 0
有3x - 2 = 0 或 2x + 1 = 0
x1
=
2 3
,x2
=
-
1 2
解：变形，有 (x - 4)2 -(5 - 2x)2 = 0 因式分解，得：
（x - 4 - 5 + 2x）(x - 4 + 5 - 2x) = 0 (3x - 9)(1 - x)= 0
（x - 1）（x - 1）= 0
∴x-1= 0 或 x-1= 0 ∴x1 = x2 = 1
(4)4x 2 - 121 = 0
解：因式分解，得：
（2x + 11）(2x - 11) = 0
有2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0
∴ x1
=
11 -2
,
x2
=
11 2
（5）3x(2x + 1) = 4x + 2 ；（6）（x - 4）2 =(5 - 2x)2
4.因式分解法
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零；
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零。
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
一移-----方程的右边=0；
二分-----方程的左边因式分解；
三化-----方程化为两个一元一次方程；
四解-----写出方程两个解；
,x2
=
0
10x - 4.9x2 = 0
解：4.9x 2- 10x = 0 ∵ a = 4.9,b = -10,c = 0
b2 - 4ac =(- 10)2 - 4×4.9×0 = 100
x = - b± b2 - 4ac = 2a
x1
=
100 49
,x2
=
0
-( - 10)±10 2×4.9
探究
有3x - 9 = 0 或 1 - x = 0
的方法是如何使二次方程降为一次的？
x(10 - 4.9x ) = 0 ①
x = 0 或 10 - 4.9x = 0, ② 可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不 是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两 个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一 次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫 做因式分解法。
10x - 4.9x2 = 0
如果a·b=0， 那么a=0或b=0。
因式分解
x(10 - 4.9x) = 0
两个因式乘积为 0，说明什么 降次，化为两个一次方程
x=0 或
10 - 4.9x = 0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1 = 0,
x2
=
100 49
这种解法是不是 很简单？
以上解方程 x(10 - 4.9x ) = 0
21.2.3 因式分解法
教学目标：
1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某 些简单的数字系数的一元二次方程．
2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选 择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．
重点：用因式分解法解一元二次方程． 难点：理解因式分解法解一元二次方程的
基本思想．
复习与回顾1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法？
实际问题
根据物理学规律，如果把一 个物体从地面 10 m/s 的速度
竖直上抛，那么经过 x s 物体
离地面的高度（单位：m）为
10x-4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时 它离地面的高度为 0 ，即
10x-4.9x2=0