全国中等职业技术学校通用教材_数学(上)-4

例题解析
如图所示，在平行四边形ABCD中，找出与向 例r1 uuur uuu AD 量 AB 、 相等的向量。 解
uuu uuur r AB = DC uuur uuu r AD = BC
例 uuur 2 AD 的负向量。 uuu uuu uuu r r r 解 − AB = BA = CD
uuu r 如图所示，在平行四边形ABCD中，找出向量 AB 、
用向量的坐标进行向量的运算 在平面直角坐标系中，已知 a＝（x1、y1）、b＝（x2、y2） 则 a＋b＝（x1i＋y1j）＋（x2i＋y2j） ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j ＝（x1＋x2，y1＋y2） x x y y 类似可得 a－b＝（x1－x2，y1－y2） － λa＝（λx1，λy1） 由此，我们得到： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐 标的和与差。实数λ与向量a的积λa的坐标等于λ乘以向量 a的相应坐标。
uuur
uuur uuu r
uuur
uuu r
uuur
uuu uuur r
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1．计算下列各式： （1）2(－a－2b)＋(5a＋2b) （2）3(2a＋b－2c)－5(a＋2b＋c)
uuur 2．D、E是三角形ABC中AB、AC边的中点，用向量 AB 、 AC uuur 表示向量 AD 。
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1．写出下列向量的坐标表示 a＝－i＋2j b＝2i－4j
c＝3j
2．已知a＝(－2，3)，b＝(3，4)，求： a＋b a－b 2a＋3b 4a－5b
uuu r 3．已知A(3，－4)、B(－2，3)，求 AB 、BA 的坐标。
4．已知点B(3，－2)，AB＝(－2，4)，求点A的坐标。
向量也可以用字母a、b、c等表示。 向量的大小也称为向量的模，向量 AB 、a、a 的模依 模 次记作| AB |、| a |、| a |。 模为零的向量称为零向量 零向量，记作0。零向量的方向是 零向量 任意的。长度为1个单位的向量叫做单位向量 单位向量，常用i、j、 单位向量 、、 k等表示。
我们把方向相同或相反的非 零向量叫做平行向量 平行向量。例如图中 平行向量 向量a、b、c是一组平行的向量， 记作a∥b∥c。 我们规定：零向量与任何一 个向量平行。 在平行向量中，大小相等、方向相同的向量叫做相 相 等向量。向量a与b相等记作a =b。 等向量 与非零向量a大小相等且方向相反的向量叫做a的负 负 向量。向量b是a的负向量记作b＝－a。 向量 平行向量都可以被移到同一条直线上。所以，我们 也将平行向量称为共线向量 共线向量。 共线向量
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uuu uuur r AC 例2 D是三角形ABC中BC边上的中点，用向量 AB 、 uuur 表示向量 AD。
解 AD = AC + CD = AC + 1 CB = AC + 1 ( AB − AC )
2 2 uuur 1 uuu 1 uuur 1 uuu 1 uuur r r = AC + AB − AC = AB + AC 2 2 2 2
第4章 解析几何（一）
4.1 平面向量
4.2 直线与方程
4.3 圆的方程
4.1
平面向量
飞机的位移
正步走
平面向量的概念
数学上将类似位移、速度等既有大小又有方向的量 称为向量 向量；将类似长度、质量等只有大小没有方向的量 向量 称为数量。 通常用带箭头的线段来表示 向量，箭头的指向就是向量的方 向，线段的长度表示向量的大小。
、
uuu r 、CD ； uuu r 、CB 。
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D、E、F分别是△ABC中的边AB、AC、BC的中点，找 出与向量 BF相等、相反、共线的非零向量。
平面向量的加减运算
我们把位移 AC 叫做位移 AB 与 BC 的和， 记作
uuu uuu uuur r r AB + BC = AC
通常，已知向量a、b，在平面内 任取一点A，作 AB＝a，BC＝b，则向 量AC 叫做a与b的和向量 和向量，记作a＋b， 和向量 uuu uuu uuur r r 即 a + b = AB + BC = AC 这种规定向量加法的法则叫做三 三 角形法则。 角形法则 向量加法的规律： 当被加向量与加向量首尾相接时，它们的和等于被 加向量的起点到加向量的终点形成的向量，即
数乘向量
车受到的拉力是F＋F＋F＋F 作出
F F F
uuu uuu uuu uuu r r r r OA = AB = BC = CD = F
F
uuur uuu uuu uuu uuu r r r r 则 OD = OA + AB + BC + CD = F + F + F + F
我们把F＋F＋F＋F记作4 F。 可以看出，向量4 F的方向与F的方向相同，向量4 F 的长度是F的长度的4倍，即 |4 F |＝4| F | ＝
uuu uuu uuur r r AB + BC = AC
例题解析
例 解
uuu uuur r ABCD是平行四边形，求作 AB + AD 。
uuur uuu r 因为 AD = BC
， 所以
uuu uuur uuu uuu uuur r r r AB + AD = AB + BC = AC
uuur uuur 本例中的 AB、AD 的和正好是以向量 AB 、AD 为邻边
uuu uuu uuu r r r uuu uuur r CA = BA − BC = − AB − AD uuu uuu r r uuu r CD = BA = − AB
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1．不画图，写出下列向量的和向量：
MN + NL
PM + MQ
AO + OB
AC + CB
2．如图所示，由给定的向量a、b，分别用三角形 法则和平行四边形法则求作a＋b。 3．不画图，写出下列向量的差向量： uuu uuuu r r uuu uuur r uuu uuu r r OP − OM AB − AC EF − FD uuur uuu uuu r r AC 4．在三角形ABC中，用向量AB 、 表示向量BC、CB 。
例题解析
例1 设a＝(1，2)，b＝(－5，3)，求a＋b，a－b，3a－ 2b的坐标。 解 a＋b＝(1，2)＋(－5，3)＝(－4，5) a－b＝(1，2)－(－5，3)＝(6，－1) 3a－2b＝3(1，2)－2(－5，3) ＝(3，6)－(－10，6)＝(13，0)
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例2 解 AB 的坐标是 (－3，4)－(2，－5)＝(－3－2，4－(－5)) ＝(－5，9) uuu r uuu r BA 因为 BA = − AB ，所以， 的坐标是(5，－9)。 例3 解
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在平面直角坐标系中，设非零向量a为(x1，y1)，b 为(x2，y2)，在x轴上的单位向量为i，在y轴上的单位向 量为j，则有 |i|＝1，|j|＝1，i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0，j·i＝0， a＝(x1，y1)＝x1i＋y1j，b＝(x2，y2)＝x2i＋y2j， 所以 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i·i＋x1y2i·j＋y1x2j·i＋y1y2j·j ＝x1x2|i|2＋y1y2|j|2 ＝x1x2＋y1y2 即 a·b＝x1x2＋y1y2 （1） 式（1）叫做平面向量的数量积公式 平面向量的数量积公式。 平面向量的数量积公式 推论： 设a＝(x，y)，则a2＝a·a = xx＋yy=x2+y2，所以 | a |= a ⋅ a = x 2 + y 2 （2）
例 已知|a|＝5，|b|＝6，a与b的夹角为60°，求： a·b （a－2b）·（a＋3b） 解 a·b＝|a||b| cos 60°＝5×6×0.5＝15 （a－2b）·（a＋3b） ＝a·a＋a·3b－2b·a－2b·3b ＝a·a＋a·b－6b·b ＝|a|2＋a·b－6|b|2 ＝52＋15－6×62 ＝－176
uuu uuu uuu r r r OA − OB = BA
uuu uuur r AD 例r 已知平行四边形ABCD，用向量 AB 、 表 r uuu uuu uuu r 示 BD、 CA、CD 。
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例题解析
解
uuu uuur uuu r r uuu uuur r BD = AD − AB = − AB + AD
平面向量的直角坐标及运算
用坐标表示起点为原点的平面向量 有一向量，起点O在坐标系的原点，终点A的坐标是 （4，3）。i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量。则 OM ＝4i， ON ＝3j 由向量加法的平行四边形法则可知 uuu uuuu uuur r r
OA = OM + ON = 4i + 3 j
我们把有序数对（4，3）叫做向量的直角坐标，记 uuu r 作 OA = (4， 。 3)
一般地，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴 方向相同的两个单位向量i、j，则对平面内任一向量a， 都有唯一一对实数x、y，使得 a＝xi＋yj 我们把有序数对（x，y）叫做向量a的直角坐标， 记作 a＝（x，y）
向量的数量积
由物理学知识可知，推车做的功Ｗ等于 力F在小推车位移方向上的分量|F| cos30° 与小推车移动的距离｜s｜的乘积 Ｗ＝|F|cos30°|s|＝|F||s| cos30° 我们把|F||s| cos30°叫做向量F和s的数量积。
对任意非零向量 a、b，它们的夹角为θ（θ∈[0， π]），我们把|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积 数量积（或内 数量积 内 积），记作a·b，即 a·b＝|a||b|cosθ
例题解析
例1 计算下列各式： （1）4(a＋b)－2(a－b)－2a （2）2(a＋2b＋c)－(3a＋2b－c) 解（1）4(a＋b)－2(a－b)－2a ＝4a＋4b－2a＋2b－2a＝6b （2）2(a＋2b＋c)－(3a＋2b－c) 2 2(a 2b c) (3a 2b c) ＝2a＋4b＋2c－3a－2b＋c ＝－a＋2b＋3c
uuu r 由向量减法的定义，起点相同的两个向量 OA 和 OB
的差向量应为 uuu r
uuu uuu r r uuu r uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r OA − OB = OA + (−OB) = OA + BO = BO + OA = BA
上述推导表明： 起点相同的两个向量的差等于减向量的终点到被减 向量的终点形成的向量，即
任意向量的坐标表示 设任意向量 AB 的起点A的坐标为（x1，y1），终 点B坐标为（x2，y2），则 uuu r OA＝ uuu OB uuu uuu （x1，y1），r ＝（x2，y2） r r uuu r 由于 AB = OB − OA ，所以 AB 的坐标为 （x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1） 由此，我们得到： 任意向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐 标。
重要性质： 1． a·a＝|a||a| cos 0°＝|a|2，即有
| a |= a ⋅ a
2． 对于非零向量a、b，当a⊥b时，有a·b＝0；反 之，当a·b＝0时，则有a⊥b。 3．对任意向量a、b、c和实数m，有 a·b＝b·a （ma）·b＝m（a·b） （a＋c）·b＝a·b＋c·b
例题解析
的平行四边形的对角线AC表示的向量。这种求作不共线 的两个向量和的方法叫做平行四边形法则 平行四边形法则。 平行四边形法则
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向量加法满足下列运算律： 1． a＋b＝b＋a ＝ 2． a＋0＝0＋a＝a 3． (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
向量的减法运算 一般地，我们规定： a－b＝a＋(－b) 即，向量a减b规定为向量a加上b的负向量。
uuur uuu uuu r r − AD = DA = CB
如图所示，在平行四边形ABCD中，找出与向量 例r3 uuur uuu 共线的非零向量。 AB AD 解
uuu uuur r DC 与向量 AB 共线的向量有 BA 、 r uuur uuu uuu r 与向量 AD共线的向量有 DA 、BC
uuu uuu r r 设点A(2，－5)，点B(－3，4)，求 AB 、 的坐标。 BA
uuu r 已知点A(2，3)，AB＝(－1，5)，求点B的坐标 。
设点B的坐标为(xB，yB) 。 因为(xB，yB)－(2，3)＝(－1，5)，所以点B的坐标为 (xB，yB)＝(－1，5)＋(2，3)＝(1，8)
一般地，任意实数λ与向量a的乘积λa是一个向量， 它的模 |λa| 等于 |λ||a|。当λ＞0时，它的方向与a的方向相 同；当λ＜0时，它的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0。 例如，向量－4a的长度是4|a|，方向与向量a相反。 由此可知，λa与a是共线向量。 对任意向量a、b，设λ、µ为实数，则有 1．λ(µa)＝（λµ）a 2．(λ＋µ)a＝λa＋µa 3．λ(a＋b)＝λa＋λb