幂级数展开的多种方法

幂级数展开的多种方法
摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结
关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开
在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理：
定理 1（泰勒定理）设()z f 在区域D 内解析，D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ，则()z f 在K 内能展成幂级数()()∑∞
=-=
n n
n
a z c z f ，其中系数
()
()
()
()
!
21
1n a f
d a f i c n n n =
-=
⎰Γ+ζζζ
π.（ρ=-Γa z : R <<ρ0 n=0,1,2 )且展式唯
一.
定理2（洛朗定理）在圆环R a z r H <-<: （0≥r +∞≤R ）内解析的函数
()z f 必可展成双边幂级数()()
∑
∞
-∞
=-=
n n
n a z c z f ，其中系数()
()
ζζζ
πd a f i c n n ⎰Γ+-=
121
( 2,1,0±±=n ρ=-Γa z : R r <<ρ) 且展式唯一.
这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展开的方法来更好的研究解析函数的性质.而这两个定理，也是我们后面研究幂级数展开的基础和前提.
接下来，我们将着重开始讨论幂级数展开问题的多种解法： 1、直接法.
即按照泰勒定理和洛朗定理中所给的幂级数展开的公式，直接将函数展开. 例1 求()z z f tan =在4
0π
=z 点处的泰勒展开式.
解：用公式 ()
()
!
0n z f
c n n =
求n c ：;14tan
0==π
c
()2
,24
sec
|
tan 12
4
==='=
c z z π
π
；
();2!
24,44
tan
4
sec
2|
tan 22
4
==
=="=
c z z π
π
π
();3
8
!316,164sec
4
tan
4
sec
22|
'''tan 34
2
4
==
=⎪⎭⎫
⎝
⎛
+==
c z z ππ
π
π
得
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=3
2
43842421tan πππz z z z .
例2 将()z z f sin =按z-1的幂展开. 解：由题意可解得()
()⎪⎭⎫
⎝⎛+=12sin
1πk f
n ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=∴12sin !1πk n c n ()n
n z n k z 1!
12sin sin 0
-⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
∴∑
∞
=π.
2、间接法.
即利用已知公式，通过各种运算、变换来简化求导的方法.下面给出一些主要函数的泰勒展开式： （1）
∑∞
==
+++++=-02
111n n
n
z z z z z
()1<z
.
（2）
()n
n
z
z z z
11112
-+++-=+ =()∑∞
=-01n n n
z ()1<z .
（3）∑
∞
==
++
++
+=0
2
!
!
!
21n n
n
z
n z
n z
z
z e ()+∞<z .
（4）()()∑
∞
=-=0
2!21cos n n
n n z z
()+∞<z .
（5）()()∑
∞
=++-=0
1
2!121sin n n n n z z
()+∞<z .
（6）()()
+-+-+
-
+=+-n
z
z
z
z i k z n
n k 1
3
2
13
2
21ln π （1<z ；
2,1,0±±=k ；k=0时为主值支）.
（7）()()
()()
++--+
+-+
+=+n
z n n z z z !
11!
21112
ααααααα
()1<z .
2.1利用已知的展式. 例3 求⎪⎭
⎫
⎝⎛
+=
+21i i i z 的展开式. 解：因为i z +以i -和∞为支点，故其指定分支在1<z 内单值解析.
i z +=
21
1⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+i z i
=
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⋅+ 2!2121212211i z z i
=
⎪⎭
⎫
⎝⎛++-+ 2812121z z i i ()1<z . 例4 求()z e z f z cos =在z=0点处的泰勒展式. 解：因为z e z cos =()(
)()[]z
i z
i iz iz z e
e e e e -+-+=
+112
12
1
()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+
+=∴∑
∑∞
=∞=00!
1!
121cos n n
n
n n
n
z
z n i z n i z e
=
()()[]n
n
n
n
n z
i z i n --+∑∞
=11!1
2
1
()+∞<z
由于i +1=i
e 42π
i
e i 4
21π
-
=-代入上式有
()n i n i
n n n
z
z e e n z e ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
-∞
=∑
440
!22
1cos ππ
=()
n n n
z n n ∑
∞
=0
!
4cos 2π
()+∞<z .
2.2逐项求导、逐项求积法.
例5 用逐项求导法求函数
()
3
11
z -在1<z 内的泰勒展式.
解：因为
()
3
11
z -=
()[]"--1
12
1z ()1<z 所以用逐项求导法算得
()
3
11
z -=()2
012
121-∞
=∞=∑∑-="
⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n n z
n n z
=()()n
n z n n 122
1
++∑∞
= ()1<z .
例6 求()1
1ln +-=z z z f 在z=0点的泰勒展开式，其中()z f 是含条件()i f π=0的
那个单值解析分支.
解：
()1111111111ln ++-=
'⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+='⎪⎭
⎫
⎝⎛+-='z z z z z z z z z f =()()
[]
n
n n n
n n
n n
z
z z ∑∑∑∞
=+∞
=∞
=--=
---0
1
111
上式两端在1<z 内沿0到z 积分，得： ()
[]
n
n n z
z
dz z z i z z ∑⎰
∞
=+--=
'⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=
-+-0
1
1111ln 1
1ln
π
()
[]
n
n n z
n i z z 111
1
1ln
1
--+
=+-∴+∞
=∑π ()1<z .
2.3利用级数的乘除运算.
例7 写出()z e z +1ln 的幂级数展式至含5z 项为止，其中()z +1ln 在0=z 点处的值为0.
解：由题设条件可知 ()z +1ln 是主值支. 又由
++
++
+=!
!212
n z
z
z e n
z
()+∞<z
()()
+-+-+
-
=+n
z
z
z
z z n
n
13
2
1ln 3
2
()1<z
在公共收敛区域1<z 内作柯西乘积，得 ()z e z
+1ln =
++
+
+
5
3
2
40
33
2
z z
z
z ()1<z .
例8 求z tan 在点0=z 的泰勒展式.
分析：函数z tan 的奇点为z cos 的零点π⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+
=21k z k （ 2,1,0±±=k ）
而距原点最近的奇点为2
0π
=z 2
1π
-
=-z .故函数z tan 在2
π
<z 内解析，且能展
为z 的幂级数. 解：
+-
+
-
=7
5
3
!
71
!
51!31sin z z z z z
+-+-=642!
61
!41
!21
1cos z z z z
可以像多项式按幂级数排列用直式做除法那样分离常数.将分子、分母的幂级数做直式相除，缺项用0 代替，得到
++
+
==
5
3
15
23
cos sin tan z z
z z
z z （2
π
<
z ）.
2.4待定系数法.
例9 设
∑∞
==
--0
2
11n n
n
z
c
z
z
()1证明：()221≥+=--n c c c n n n .
()2求出展式的前5项. ()1 证明：利用待定系数法，有
()() +++++--=n n z c z c z c c z z 2210211
=()()() +--++--+-+--n n n n z c c c z c c c z c c c 212012010 比较两端同次幂的系数得
0;;0;0;121012010=--=--=-=--n n n c c c c c c c c c
21012010,,2,1,1--+==+====∴n n n c c c c c c c c c ()2≥n .
()2解：1|11
020=--==z z z c ()
1121|110
22021=--+='
⎪⎭⎫
⎝⎛--===z z z
z z z z c
从而由()1依次得 211012=+=+=c c c ， 312213=+=+=c c c ，
523234=+=+=c c c ， 即
+++++=--4
322
532111z z z z z
z .
当然，对于幂级数的展开还有其它多种方法，在这里就不一一赘述了. 最后值得一提的是用间接法解题时应注意的问题.我们通常是用已知函数的泰勒展式进行代入简化，这时应注意这些展式成立的范围与题目条件是否相吻合；其次，也应注意是在题目要求的点进行展开，展开的点的不同，最后的结果也会不同.
参考文献：
[1]钟玉泉.《复变函数论》.北京：高等教育出版社，2004.1. [2]钟玉泉.《复变函数学习指导书》.北京：高等教育出版社，2005.
[3]李建林.《复变函数 积分变换 导教 导学 导考》.西安：西北工业大学出版社，2001.9.。