幂级数展开的多种方法
初等函数的幂级数展开
f (x) 3!a3 n (n 1)(n 2)an (x x0 )n3 ，
lim
n
Rn
(
x)
0
，其中
Rn
(
x)
为拉格朗日余项，即
Rn (x) f (x) [a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2
an (x
x0 )n ]
f n1( ) (x
(n 1)!
x0 )n1
．
1.2 函数展开成幂级数的方法
1．直接展开法
利用泰勒或麦克劳林展开式把初等函数展开成幂级数的方法称为直接展开法．用直接展 开法将函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤如下．
x)
1 2(3
x)
1
4 1
பைடு நூலகம்
x 1 2
1
81
x
1 4
，
1
(1)n xn 1 x x2 x3
(1)n xn
(1 x 1) ，
1 x n0
1
1 x
1
(1)n
n0
(x 1)n 2n
1
x
2
1
1
，
2
1
1 x
1
(1)n
n0
(x 1)n 4n
1
x
4
1
1
，
4
1.2 函数展开成幂级数的方法
解 f (x) 的各阶导数为
f (x) m(1 x)m1 ， f (x) m(m 1)(1 x)m2 ，
高数：函数的幂级数展开
解: f x ln1 x ln 2 ln 1
3 2
x
2 x3x2 1 x23x
ln
1 x
x x2 x3
2
3
(1)n xn1
n1 n1
xn n
1 x 1
ln 1
3 2
x
n 1
1n1
n
3 2
x
n
1
3 2
x
1
2 3
x
2 3
因此
f
(x)
ln 2
n
n
定理 (函数的幂级数展开定理)
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域U(x0)内具有各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的
泰勒公式中的余项满足:
lim
n
Rn
(x)
0。
9.4.5 常用初等函数的幂级数展开式
直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式的函数展开 1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数f (x) 展成 x 的幂级数的步骤如下:
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim Rn (x) 是否为0。
n
例1. 将函数 f(x)=ex 展开成 x 的幂级数
泰勒公式中的余项满足:
lim
n
Rn
(x)
0。
证明:
f
(x)
令
f (n
n0
Sn1
) x0
n!
x
x
n
初等函数的幂级数展开式
将函数ln(1+x)展开成 x的幂级数 的幂级数. 展开成 的幂级数 例1* 将函数 1 , 解 因为 [ln(1 + x )]′ = 1+ x 又
1 =1−x + x2 −x3+···+(−1)nxn +··· − − 1+ x
对上式逐项积分 对上式逐项积分 ∞ x dt x − ln(1+x) = ∫ = ∑ ∫ (−1)nt ndt 0 1+ t 0 n= 0 1 2 1 3 1 n+1 n = x − x + x − L+ (−1) x +L n+1 2 3 ∞ xn = ∑ ( − 1) n−1 n n=1
n n n−1
(1+x)n=1+nx+
n( n − 1) 2 n( n − 1)L ( n − k + 1) k x x +L+ 2! n! n! − +⋅⋅⋅ +nxn−1+x n ⋅⋅⋅
? (1+x)α =
α (α − 1 ) 2 α (α − 1 ) L (α − n + 1 ) n 1+αx+ x +L x +L+ 2! n!
(0) n f ′′ ( 0 ) 2 f (n) (0) n ∑0 n ! x = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + 2! x + L + n ! x + L n= 称为函数 f (x)的麦克劳林级数 的麦克劳林级数. f
(n) ∞
定理2 泰勒级数在 内收敛于f 定理 f(x)在x0点的泰勒级数在UR (x0)内收敛于 (x) 在 点的泰勒级数 内收敛于 ⇔ 在UR (x0) 内, Rn(x)→0. →
初等函数的幂级数展开
(1)n xn
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 区间为
2!
称为二项展开式 .
m(m 1)(m n 1) xn n!
说明：
(1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 .
(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.
第8页/共17页
对应
m
1 2
,
1 2
,1
的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
骤如下 :
①求函数及其各阶导数在 x0 = 0 处的值 ;
②写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
③判别在收敛区间(－R,
R)
内 lim
n
Rn
(
x)
是否为
0.
4
第5页/共17页
例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) (x) ex , f (n) (0) 1 (n 0,1,), 故得级数
12
第13页/共17页
内容小结
1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 .
13
第14页/共17页
2. 常用函数的幂级数展开式
第四节函数的幂级数展开简
1.求出f (x)的各阶导数 f (x), f (x),, f (n) (x),,
2.计算 f (x0), f (x0), f (x0),, f (n) (x0),,
3.写出 f (x)在x0 处的泰勒级数
1
n0n!
f
(n)
( x0
)( x
x0
)n
4.求出上述泰勒级数的收敛区间(－R, R)，
解 由 ex 1 x 1 x2 1 xn , x (,)
2!
n!
将x 换成 x2 可得函数的幂级数展开式.
ex2 1 x2 1 x4 (1)n x2n , x (,)
2!
n!
例 求 f (x) ln x 在 x0 3 处的展开式.
泰勒级数展开的唯一性 设f (x)在 x0的某对称区间 (R x0, R x0)内可以 展开成 (x x0)的幂级数 f (x) a0 a1(x x0) a2(x x0)2 an(x x0)n ， 将上式逐阶求导，有
f (x) a1 2a2(x x0) 3a3(x x0)2 nan(x x0)n1 ， f (x) 2!a2 3 2a3(x x0) n(n 1)an(x x0)n2 ， f (x) 3!a3 n(n 1)(n 2)an (x x0)n3 ，
lim
n
Sn
(
x)
f (x)
的充分必要条件是
lim
n
rn
(
x)
0
也即当
lim
n
rn
(
x)
0
时,有
幂级数函数的幂级数展开法
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
§6.3 幂级数
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数发散.
§6.3 幂级数
因此级数的收敛半径 R 1 .
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛
区间为
§6.3 幂级数
(k 0, 1, 2, )
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
幂级数展开式常用公式 csdn
幂级数展开式常用公式一、概述幂级数展开是微积分中非常重要的一个概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，往往需要根据实际情况来拟定幂级数展开式，以便进行进一步的分析和计算。
本文将介绍一些幂级数展开式的常用公式，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
二、常见的幂级数展开式1. $e^x$的幂级数展开式可以利用泰勒公式得到$e^x$的幂级数展开式：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$这个幂级数在实际计算中有着广泛的应用，特别是在微积分和概率论中。
2. $\sin x$的幂级数展开式$\sin x$函数的幂级数展开式为：$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$3. $\cos x$的幂级数展开式$\cos x$函数的幂级数展开式为：$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$4. $\ln(1 + x)$的幂级数展开式$\ln(1 + x)$函数的幂级数展开式为：$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$5. $(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式当$\alpha$为实数时，$(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式为：$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots$$这个幂级数展开式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
第四节 函数展开成幂级数
201第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数前面讨论了这样一个问题，对于给定的幂级数，求出其收敛域并确定其和函数的性质，并在可能时求出和函数的表达式。
这节我们讨论该问题的反问题：给定函数()x f ，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，即是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()x f 。
（如果能够找到这样的幂级数，就说()x f 在该区间内可展开成幂级数。
）解决这个问题有很重要的应用价值，因为它给出了函数()x f 的一种新的表达方式，并使我们可以用简单函数——多项式来逼近一般函数()x f 。
在第三章中我们已经学过泰勒公式：若函数()x f 在点0x 的某一邻域内具有直到()1+n 阶的导数，则在该邻域内()x f 的n 阶泰勒公式：()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f()()()()x R x x n x f n n n +-+00!(1)成立，其中()x R n 为拉格朗日型余项。
()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ（之间与在x x 0ξ）如果令00=x ，就得到马克劳林公式：()()()()()()()x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+=!0!20002（2）202此时，()()()()11!1+++=n n n x n x f x R θ（10<<θ）公式说明，任一函数只要有直到()1+n 阶的导数，就可等于某个n 次多项式与一个余项的和。
下列幂级数()()()()() +++''+'+nn x n f x f x f f !0!20002（3）我们称为马克劳林级数。
那么它是否以函数()x f 为和函数呢？ 若令马克劳林级数（3）的前1+n 项和为()x s n 1+，即()()()()()()nn n x n f x f x f f x s !0!200021++''+'+=+那么，级数（3）收敛于函数()x f 的条件为()()x f x s n n =+∞→1lim由马克劳林公式与马克劳林级数的关系，可知()()()x R x s x f n n +=+1于是，当()0lim =∞→x R n n 时，有()()x f x s n n =+∞→1lim 。
求幂级数展开式的方法
求幂级数展开式的方法第一：直接法
.
用泰勒级数公式直接求
.
第一步，运用常用的麦克劳林级数展开式
.
.
.
2
.
第二：间接法
.
如：变量代换，四则运算，恒等变形，逐项求导，逐项积分等方法
.
下面主要为大家讲解以下变量代换和恒等变形以下面图上的题为例
.
.
.
.
.
3
.
第三：等量代换
.
在常用的麦克劳林公式中找到形式相同的公式，并进行变换，如下图的例子，我们只是吧“x”转换成了“x/3”的形式，类似于公比函数。
.
.
.
4
.
四：按照麦克劳林展开公式
.
进行相同变换，并按照泰勒级数的定义进行相关计算，就是把公式中的“x"全部替换为"x/3",然后按照公式所示那样计算即可。
.
.
.
5
.
五：恒等变换
.
首先对照公式转换为相同形式并进行变换，如下图所示，不过与上面不同的是这时的"x-1"相当于上题的"x”，其余基本一样
.
.
.
6
.
六：计算方法和第四步方法一致，最后得到如下图所示的结果，不过我们最后要把“1/4”和“-1”提出来，使括号里只剩“x-1”，下图仅显示了步骤，最后答案请自己写出来
.
.。
展开成幂级数的方法
展开成幂级数的方法
展开成幂级数的方法有多种，以下是其中两种常见的方法：
1. 泰勒级数展开：该方法适用于将一个函数展开为无穷级数的形式。
泰勒级数的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的导数，以此类推。
使用泰勒级数展开的前提是函数在展开点附近是可导的。
2. 幂级数展开：对于某些特定函数，可以直接将其展开成幂级数的形式。
一些常见的例子包括指数函数、三角函数和对数函数。
例如，e^x的幂级数展开形式为：
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
sin(x) 的幂级数展开形式为：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
ln(1+x) 的幂级数展开形式为：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
根据具体的函数形式，选择合适的幂级数展开方程可以更快
地得到展开结果。
请注意，展开成幂级数的方法不一定对于所有函数都适用，有些函数可能没有幂级数展开形式，或者幂级数展开的收敛区间有限。
因此，在实际应用中，需要对函数的性质和展开方法进行合理的选择。
十个常用的幂级数展开公式
十个常用的幂级数展开公式幂级数展开是一种将一个函数表达为无穷级数之和的方法。
在数学和物理学中，幂级数展开是非常重要的工具，可以用来解决许多问题。
下面是十个常用的幂级数展开公式：1.自然对数函数的幂级数展开：ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...2.指数函数的幂级数展开：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...3.正弦函数的幂级数展开：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...4.余弦函数的幂级数展开：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...5.正切函数的幂级数展开：tan(x) = x + x^3/3 + 2x^5/15 + 17x^7/315 + ...6.双曲正弦函数的幂级数展开：sinh(x) = x + x^3/3! + x^5/5! + x^7/7! + ...7.双曲余弦函数的幂级数展开：cosh(x) = 1 + x^2/2! + x^4/4! + x^6/6! + ...8.自然对数函数的反函数的幂级数展开：e^x-1=x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...9.平方根函数的幂级数展开：sqrt(1 + x) = 1 + x/2 - x^2/8 + x^3/16 - ...10. 三角函数的复合幂级数展开（例如sin(2x)）：sin(mx) = mx - (mx)^3/3! + (mx)^5/5! - (mx)^7/7! + ...这些幂级数展开公式是数学和物理学等学科中常用的工具，可以用于近似计算、解析表达式等方面。
通过将函数用幂级数展开，我们可以将复杂的函数转化为无穷级数的形式，从而方便进行计算和分析。
函数展开成幂级数
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步 求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步 求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,
第三步 写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成
x
π 4
的幂级数.
解
sin x
sin
π 4
x
π 4
sin
π 4
cos
x
π 4
1 2(1
x)
1 2(3
x)
1
1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2
1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例 把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解
f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n
(1)n1 xn
七个常用幂级数展开式
七个常用幂级数展开式1 示例：二项式定理二项式定理是一阶微分方程处理问题的重要工具，它将幂级数表达式简化为一个函数。
二项式定理为$(a + b)^n =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$，即一个多项式$x^n$可以通过 $x^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ 来表达。
2 欧拉公式欧拉公式是一个著名的数学公式，它可以用幂级数表示，即$e^x= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$。
这里x是任意实数，n是一个正整数，$n!$是n的阶乘。
3 泰勒三阶展开式泰勒三阶展开式它可以用幂级数表达，即$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$。
其中f(x)是给定的函数，$f'(x)$是f的导函数，$f''(x)$是f的二阶导函数;而$a$是函数f的一个自变量。
4 高斯展开式高斯展开式也叫渐近级数，它可以用幂级数表示，即$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$，其中a_n是正常序数$n=0,1,2,\cdots,$的一组常数，而$x_0$是 f的某一点。
5 拉格朗日幂级数拉格朗日幂级数是由法国数学家拉格朗日提出的，它可以用幂级数表示，即$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，其中a_n是正常序数$n=0,1,2,\cdots,$的一组常数，而x 是一个可以取任意值的自变量。
6 波动现象展开式波动现象展开式可以用幂级数表示，即$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$，其中c_n是正常序数$n=0,1,2,\cdots,$的一组常数，而x 是一个可以取任意值的自变量。
七个常用幂级数展开式
七个常用幂级数展开式幂级数是数学中重要的一种概念，它给出的式子可以应用于多种情况，广泛地应用到数学中。
当在解决特定问题时，一般都可以把问题表达为一个函数，设f（x）为一个函数，它在区间[a,infty)上是绝对收敛的，且有可展开形式，则称这样的函数f（x）为幂级数函数。
关于幂级数，有许多常用的展开式，七个常用的幂级数展开式如下：1.指数函数展开式：指数函数展开式可以表示为：f（x）=∑_(k=0)^n〖a_kx^k 〗，其中a_k是定值，x_k为x的次方数，k=0,1,2,...,n。
2.指数函数的减号展开式：指数函数的减号展开式可以表示为：f（x）=∑_(k=0)^n〖(-1)^ka_kx^k 〗，其中a_k是定值，x_k 为x的次方数，k=0,1,2,...,n。
3.余弦函数展开式：余弦函数展开式可以表示为：f（x）=∑_(k=0)^n〖b_kcos(kx) 〗，其中b_k是定值，cos(kx)表示余弦函数，k=0,1,2,...,n。
4.正弦函数展开式：正弦函数展开式可以表示为：f（x）=∑_(k=0)^n〖c_ksin(kx) 〗，其中c_k是定值，sin(kx)表示正弦函数，k=0,1,2,...,n。
5.双曲函数展开式：双曲函数展开式可以表示为：f（x）=∑_(k=0)^n〖d_kcosh(kx) 〗，其中d_k是定值，cosh(kx)表示双曲函数，k=0,1,2,...,n。
6.双曲函数的减号展开式：双曲函数的减号展开式可以表示为：f（x）=∑_(k=0)^n〖(-1)^kd_kcosh(kx) 〗，其中d_k是定值，cosh(kx)表示双曲函数，k=0,1,2,...,n。
7.指数函数的双括号展开式：指数函数的双括号展开式可以表示为：f（x）=∑_(k=0)^n〖e_k(2x)^k 〗，其中e_k是定值，(2x)^k为x的次方数，k=0,1,2,...,n。
这其中比较重要的展开式就是前三个，指数函数展开式、指数函数的减号展开式、余弦函数展开式。
常见函数的幂级数展开
常见函数的幂级数展开1. 指数函数 (Exponential Function)定义指数函数是指以常数e为底数的幂函数，通常表示为e^x。
其中e是一个常数，约等于2.71828。
用途指数函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用。
它的幂级数展开形式可以用于近似计算指数函数的值，特别是当指数函数无法直接计算时。
工作方式指数函数的幂级数展开中，每一项的系数都是x的幂次与常数e的幂次之比。
通过将幂级数的前n项相加，可以近似计算指数函数的值。
指数函数的幂级数展开如下所示：e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + … + x^n/n! + …其中n!表示n的阶乘（n的所有正整数乘积），定义为n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的结果。
然而，幂级数展开通常在x的绝对值较小的范围内有效，当x的绝对值较大时，需要使用其他方法来计算指数函数的值。
指数函数的幂级数展开可以通过计算机程序来实现，例如使用Python编写以下代码：import mathdef exponential_series(x, n):result = 0for i in range(n):result += x**i / math.factorial(i)return resultx = 2.0n = 10print(exponential_series(x, n))上述代码计算了指数函数e^2的近似值，使用了前10项的幂级数展开。
2. 正弦函数 (Sine Function)定义正弦函数是一个周期函数，常用于描述周期性的波动现象。
它的幂级数展开可以用于近似计算正弦函数的值。
用途正弦函数在物理、工程等领域中广泛应用，例如描述振动、波动、电磁波等现象。
通过正弦函数的幂级数展开，可以计算正弦函数在给定角度处的近似值。
工作方式正弦函数的幂级数展开中，每一项的系数都与角度的幂次相关。
幂级数的展开
x
(n + 1)!
x
e
x
由比值判别法知：级数∑
n =0
x
n +1
(n + 1)!
e 收敛，故其一般项趋于0，
即 lim
x
n +1
n →∞
(n + 1)!
e ＝0，x ∈ (-∞,+∞) 从而有 lim Rn ( x) = 0
x n →∞
16
间接法
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量代换 四则运 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式 求展开式. 算, 恒等变形 逐项求导 逐项积分等方法 求展开式
定理中的公式称为函数f(x)按(x − a)的幂级数展开到n阶的泰勒公式 或f(x)在x = a处的n阶泰勒公式，简称为n阶泰勒公式。
f(x)的泰勒公式表明，函数f(x)的值可近似地表示为 1 1 (n) 2 f(x) ≈ f(a) + f' (a)(x - a) + ' ' f (a )( x − a ) + L + f (a )( x − a ) n 2! n! 而近似误差可由Rn ( x)来估计。
§7.6函数的幂级数展开 7.6函数的幂级数展开
一、泰勒级数 二、泰勒公式 三、函数的泰勒级数展开
1
问题 n ∞ n −1 x ∑ (−1) n = ln(1 + x )
n =1
( −1 < x ≤ 1)
f ( x) = ∑an ( x − x0 )n
n=0
∞Leabharlann 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 域内以 为和函数
常见的幂级数展开
常见的幂级数展开常见的幂级数展开是数学分析中常用的一种展开方法，它可以将一个函数表示为幂级数的形式。
在本文中，我们将介绍几个常见的幂级数展开，包括泰勒展开、麦克劳林展开以及常见函数的幂级数展开。
一、泰勒展开泰勒展开是最常见的幂级数展开方法之一，它可以将一个函数在某个点附近展开成幂级数。
泰勒展开的公式如下：\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots\]其中，\(f(x)\)是要展开的函数，\(a\)是展开点，\(f'(a)\)、\(f''(a)\)等分别表示函数在\(a\)点的一阶、二阶导数。
二、麦克劳林展开麦克劳林展开是泰勒展开的一种特殊情况，它将一个函数在原点附近展开成幂级数。
麦克劳林展开的公式如下：\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x ^3+\cdots\]麦克劳林展开将函数展开成了以\(x\)为自变量的幂级数，适用于一些特殊的函数展开。
三、常见函数的幂级数展开1. 指数函数的幂级数展开：指数函数的幂级数展开如下：\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\]这是一个非常常见的幂级数展开，它可以用来计算指数函数的近似值。
2. 正弦函数的幂级数展开：正弦函数的幂级数展开如下：\[\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\]这个展开式是非常有用的，可以用来计算正弦函数的近似值。
3. 余弦函数的幂级数展开：余弦函数的幂级数展开如下：\[\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\]这个展开式也是非常有用的，可以用来计算余弦函数的近似值。
七个常用幂级数展开式
七个常用幂级数展开式幂级数展开式是由无限正整数幂按从小到大序列构成的无限级数，用符号表示为：若给定一个函数 f(x)，它含有一个数 x，那么在任意给定的点x=a我们可以用无穷个幂级数展开式来表示它，具体形式为：f(x) = a + a(x - a) + a(x - a) + a(x - a) + a(x - a) +…其中a、a、a、a、a等分别是f(x)的系数，而a可以为任意数。
在数学中，有七个常用的幂级数展开式。
下面简单介绍一下每个幂级数展开式的基本特征。
（1）指数级数展开式：指数级数展开式是指一个函数f(x)可以用指数形式表示，其数学表达式如下：f(x) = a + ae^x + ae^(2x) + ae^(3x) + ae^(4x) +…指数级数展开式的拟合能力非常强，尤其是在x非常小的情况下。
（2）线性级数展开式：线性级数展开式也叫多项式函数，其数学表达式如下：f(x) = a + ax + ax + ax + ax +…线性级数展开式是一种最简单的幂级数展开式，其展开形式与指数级数展开式不同，它只含有一个变量，且系数仅有一个未知常数。
（3）正弦级数展开式：正弦级数展开式是根据正弦函数（sin x）的拓展而得到的级数，其数学表达式如下：f(x) = a + asin x + asin(2x) + asin(3x) + asin(4x) + ...正弦级数展开式的非常强的拟合能力可以用来分析并解释许多实际的数据，例如地理数据、医疗数据、经济数据等。
（4）余弦级数展开式：余弦级数展开式也叫余弦函数，它是根据余弦函数（cos x）来拓展的，其数学表达式如下：f(x) = a + acos x + acos(2x) + acos(3x) + acos(4x) +…余弦级数展开式跟正弦级数展开式类似，但它可以表示一些平稳变化的趋势和抖动性变化的趋势。
（5）正切级数展开式：正切级数展开式是根据正切函数（tan x）的拓展而得到的，其数学表达式如下：f(x) = a + atan x + atan(2x) + atan(3x) + atan(4x) +…正切级数展开式可以用来分析类似单项式函数的复杂函数，并可拟合有数据背景的正弦函数和余弦函数。
函数展开成幂级数的·方法
在(1,1)内, 若
(1 x ) s( x )
2 ( 1 ) ( 1)( n 1) n1 2 2 x x x 2! n! s( x )
s( x ) 令 ( x ) , (1 x )
(0) s(0) 1,
(1 x ) s( x ) (1 x ) 1 s( x ) 且 ( x ) (1 x )2 (1 x ) 1[(1 x ) s( x ) s( x )] 0. 2 (1 x )
1 2 n n 2n ( 2) ( x ) ( 1 ) x 2 1 x n 0 n 0
( 1 x 1)
2n
( 3) cos x (sin x ) [ ( 1) n
( x )
n 0
x n x ] ( 1) ( 2n 1)! n 0 ( 2n)!
xn 1 2 1 n ( 3)1 x x x e x 2! n! n 0 n! an1 n! lim lim 0, R . ( x ) n an n ( n 1)!
e x x n 1 (4) Rn ( x ) x e ( n 1)! ( n 1)!
若 lim Rn ( x ) 0, 则( 3)中的幂级数为 f ( x )的展开式.
n
f
( n)
Example 1. 将f ( x ) e x 展开成x的幂级数. Solution. (1) f ( n) ( x ) e x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
幂级数展开的多种方法摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理：定理 1（泰勒定理）设()z f 在区域D 内解析，D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ，则()z f 在K 内能展成幂级数()()∑∞=-=n nna z c z f ，其中系数()()()()!211n a fd a f i c n n n =-=⎰Γ+ζζζπ.（ρ=-Γa z : R <<ρ0 n=0,1,2 )且展式唯一.定理2（洛朗定理）在圆环R a z r H <-<: （0≥r +∞≤R ）内解析的函数()z f 必可展成双边幂级数()()∑∞-∞=-=n nn a z c z f ，其中系数()()ζζζπd a f i c n n ⎰Γ+-=121( 2,1,0±±=n ρ=-Γa z : R r <<ρ) 且展式唯一.这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展开的方法来更好的研究解析函数的性质.而这两个定理，也是我们后面研究幂级数展开的基础和前提.接下来，我们将着重开始讨论幂级数展开问题的多种解法： 1、直接法.即按照泰勒定理和洛朗定理中所给的幂级数展开的公式，直接将函数展开. 例1 求()z z f tan =在40π=z 点处的泰勒展开式.解：用公式 ()()!0n z fc n n =求n c ：;14tan0==πc()2,24sec|tan 124==='=c z z ππ；();2!24,44tan4sec2|tan 224===="=c z z πππ();38!316,164sec4tan4sec22|'''tan 3424===⎪⎭⎫⎝⎛+==c z z ππππ得+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=3243842421tan πππz z z z .例2 将()z z f sin =按z-1的幂展开. 解：由题意可解得()()⎪⎭⎫⎝⎛+=12sin1πk fn ⎪⎭⎫⎝⎛+=∴12sin !1πk n c n ()nn z n k z 1!12sin sin 0-⎪⎭⎫⎝⎛+=∴∑∞=π.2、间接法.即利用已知公式，通过各种运算、变换来简化求导的方法.下面给出一些主要函数的泰勒展开式： （1）∑∞==+++++=-02111n nnz z z z z()1<z.（2）()nnzz z z11112-+++-=+ =()∑∞=-01n n nz ()1<z .（3）∑∞==+++++=02!!!21n nnzn zn zzz e ()+∞<z .（4）()()∑∞=-=02!21cos n nn n z z()+∞<z .（5）()()∑∞=++-=012!121sin n n n n z z()+∞<z .（6）()()+-+-+-+=+-nzzzz i k z nn k 13213221ln π （1<z ；2,1,0±±=k ；k=0时为主值支）.（7）()()()()++--++-++=+nz n n z z z !11!21112ααααααα()1<z .2.1利用已知的展式. 例3 求⎪⎭⎫⎝⎛+=+21i i i z 的展开式. 解：因为i z +以i -和∞为支点，故其指定分支在1<z 内单值解析.i z +=211⎪⎭⎫ ⎝⎛+i z i=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+ 2!2121212211i z z i=⎪⎭⎫⎝⎛++-+ 2812121z z i i ()1<z . 例4 求()z e z f z cos =在z=0点处的泰勒展式. 解：因为z e z cos =()()()[]zi zi iz iz z ee e e e -+-+=+112121()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=∴∑∑∞=∞=00!1!121cos n nnn nnzz n i z n i z e=()()[]nnnnn zi z i n --+∑∞=11!121()+∞<z由于i +1=ie 42πie i 421π-=-代入上式有()n i n in n nzz e e n z e ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-∞=∑440!221cos ππ=()n n nz n n ∑∞=0!4cos 2π()+∞<z .2.2逐项求导、逐项求积法.例5 用逐项求导法求函数()311z -在1<z 内的泰勒展式.解：因为()311z -=()[]"--1121z ()1<z 所以用逐项求导法算得()311z -=()2012121-∞=∞=∑∑-="⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n n zn n z=()()nn z n n 1221++∑∞= ()1<z .例6 求()11ln +-=z z z f 在z=0点的泰勒展开式，其中()z f 是含条件()i f π=0的那个单值解析分支.解：()1111111111ln ++-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+='⎪⎭⎫⎝⎛+-='z z z z z z z z z f =()()[]nn n nn nn nzz z ∑∑∑∞=+∞=∞=--=---01111上式两端在1<z 内沿0到z 积分，得： ()[]nn n zzdz z z i z z ∑⎰∞=+--='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-011111ln 11lnπ()[]nn n zn i z z 11111ln1--+=+-∴+∞=∑π ()1<z .2.3利用级数的乘除运算.例7 写出()z e z +1ln 的幂级数展式至含5z 项为止，其中()z +1ln 在0=z 点处的值为0.解：由题设条件可知 ()z +1ln 是主值支. 又由+++++=!!212n zzz e nz()+∞<z()()+-+-+-=+nzzzz z nn1321ln 32()1<z在公共收敛区域1<z 内作柯西乘积，得 ()z e z+1ln =++++53240332z zzz ()1<z .例8 求z tan 在点0=z 的泰勒展式.分析：函数z tan 的奇点为z cos 的零点π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z k （ 2,1,0±±=k ）而距原点最近的奇点为20π=z 21π-=-z .故函数z tan 在2π<z 内解析，且能展为z 的幂级数. 解：+-+-=753!71!51!31sin z z z z z+-+-=642!61!41!211cos z z z z可以像多项式按幂级数排列用直式做除法那样分离常数.将分子、分母的幂级数做直式相除，缺项用0 代替，得到+++==531523cos sin tan z zz zz z （2π<z ）.2.4待定系数法.例9 设∑∞==--0211n nnzczz()1证明：()221≥+=--n c c c n n n .()2求出展式的前5项. ()1 证明：利用待定系数法，有()() +++++--=n n z c z c z c c z z 2210211=()()() +--++--+-+--n n n n z c c c z c c c z c c c 212012010 比较两端同次幂的系数得0;;0;0;121012010=--=--=-=--n n n c c c c c c c c c21012010,,2,1,1--+==+====∴n n n c c c c c c c c c ()2≥n .()2解：1|11020=--==z z z c ()1121|11022021=--+='⎪⎭⎫⎝⎛--===z z zz z z z c从而由()1依次得 211012=+=+=c c c ， 312213=+=+=c c c ，523234=+=+=c c c ， 即+++++=--4322532111z z z z zz .当然，对于幂级数的展开还有其它多种方法，在这里就不一一赘述了. 最后值得一提的是用间接法解题时应注意的问题.我们通常是用已知函数的泰勒展式进行代入简化，这时应注意这些展式成立的范围与题目条件是否相吻合；其次，也应注意是在题目要求的点进行展开，展开的点的不同，最后的结果也会不同.参考文献：[1]钟玉泉.《复变函数论》.北京：高等教育出版社，2004.1. [2]钟玉泉.《复变函数学习指导书》.北京：高等教育出版社，2005.[3]李建林.《复变函数 积分变换 导教 导学 导考》.西安：西北工业大学出版社，2001.9.。