圆形磁场中的运动

答案：
B
3．如右图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电
粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不 考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到 一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场 区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是
mv 0 (其中 B0 ，A、C、D选项中曲线均为半径是L的1/4 qL
A．带电粒子在磁场中飞行的时间不可能相同 B．从M点射入的带电粒子可能先飞出磁场 C．从N点射入的带电粒子可能先飞出磁场 D．从N点射入的带电粒子可能比M点射入的 带电粒子先飞出磁场
解析： 画轨迹草图如右图所示，容易得出 粒子在圆形磁场中的轨迹长度(或轨迹对应的 圆心角)不会大于在正方形磁场中的，故B正 确．
【答案】（1）；方向垂直于纸面向外（2）见解析 （3）与x同相交的区域范围是x>0. y
y
【解析】 略 【关键】 图示
v A
P v
R R Q
θ O/ O
R
C
O/ O 图 (a)
x 图 (b)
x y
装带 置点 微 粒 发 射
P
v R
C
r
O/
Q
O 图 (c)
x
例3 可控热核聚变反应堆产生能的方式和 太阳类似，因此，它被俗称为“人造太阳”． 热核反应的发生，需要几千万度以上的高温， 然而反应中的大量带电粒子没有通常意义上 的容器可装．人类正在积极探索各种约束装置， 磁约束托卡马克装置就是其中一种．如图15所示为该装置的简化模 型．有一个圆环形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，已知 其截面内半径为R1＝1.0 m，磁感应强度为B＝1.0 T，被约束粒子的 比荷为q/m＝4.0×107 C/kg ，该带电粒子从中空区域与磁场交界面 的P点以速度v0＝4.0×107 m/s沿环的半径方向射入磁场(不计带电 粒子在运动过程中的相互作用，不计带电粒子的重力)． (1)为约束该粒子不穿越磁场外边界，求磁场区域的最小外半径R2 (2)若改变该粒子的入射速度v，使v＝ 3 v0，求该粒子从P点进入磁 3 场开始到第一次回到P点所需要的时间t.
解析：
带电粒子进入磁场中做圆周运动，圆周
mv 0 运动的半径 R＝ ， A、 B、 C 对应的半径 R＝L， Bq L D 图对应的半径为 .粒子的初速度都相同，相当 2 于以初速度的方向为切线，以粒子进入磁场的点 为切点来画半径已知的圆，圆弧和磁场边界的交 点为出射点，由数学知识可以证明 A 图的粒子的 出射点恒为两个圆弧右下方的交点， 故 A 正确． B、 C、 D 对应的粒子的出射点都不相同． 答案： A
答案：
B
五、正方形磁场
1. 如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂 直纸面向里。一个氢核从ad边的中点m沿着既垂直于ad边 又垂直于磁场的方向，以一定速度射入磁场，正好从ab边 中点n射出磁场。现将磁场的磁感应强度变为原来的2倍， 其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是 A在b、n之间某点 n B.在n、a之间某点 a b C在a点 B v m D.在a、m之间某点
y
v0 O
O1 O2 O3 O5 O4
x
解2: 磁场上边界如图线1所示。 设P(x，y)为磁场下边界上的一 点，经过该点的电子初速度与x轴 夹角为 ，则由图可知： x = rsin， y = r－rcos ， 得: x2 + (y－r)2 = r2。
y 1
P (x,y)
v0
O
θ r
r
x
O
所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的 圆弧应是磁场区域的下边界。 两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面 积，即为磁场区域面积：
结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆 心角都越小，运动时间越短。
例3 在真空中，半径r＝3×10－2 m的圆形区域内 有匀强磁场，方向如图2所示，磁感应强度B＝0.2 T， 一个带正电的粒子以初速度v0＝1×106 m/s从磁场 边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷 q/m ＝1×108 C/kg，不计粒子重力． (1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； (2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射 时v0与ab的夹角θ及粒子的最大偏转角．
2 m2v0 1 2 r2 S 2( r ) ( 1) 2 2 4 2 2 eB
带电粒子在圆形磁场中运动的四个结论 结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出 结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆 心角都越小，运动时间越短。 结论3：运动半径相同(v相同)时，弧长越长对 应时间越长。 结论4：磁场圆的半径与轨迹圆的半径相同时,
3
甲
如图乙所示， 由几何关系得 θ＝arctan
＝30° ， ∠POP′
＝60° 故带电粒子进入磁场绕圆心 O′转过 360° －(180° －60° )＝240° 又回到中空部分，粒子的运动轨迹如图所示， 故粒子从 P 点进入磁场到第一次回到 P 点时， 粒子在磁场 2T 2πm 中运动时间为 t1＝3× ＝2T T＝ Bq 3 6R1 粒子在中空部分运动时间为 t2＝ v ， 粒子运动的总时间为 4πm 6R1 t＝t1＋t2＝ ＋ ＝5.74×10－7 s
c
d
c
2.如右图所示，在半径为 R 的圆形区域内有匀强磁 场． 在边长为 2R 的正方形区 域里也有匀强磁场， 两个磁场的磁感应强度大小相 同．两个相同的带电粒子以相同的速率分别从 M、 N 两点射入匀强磁场．在 M 点射入的带电粒子， 其速度方向指向圆心；在 N 点射入的带电粒子， 速度方向与边界垂直，且 N 点为正方形边长的中 点，则下列说法正确的是( )
(1)R＝5×10－2 m. (2)37o 74o
结论3：运动速度v相同,方向不同，弧长越长 对应时间越长。(直径对应的弧最长)
例4、在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐
标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如 图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀 强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且 沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为 多大？（不考虑电子间的相互作用）
圆弧，B选项中曲线为半径是L/2的圆)( A )
五、正方形磁场
1. 如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂 直纸面向里。一个氢核从ad边的中点m沿着既垂直于ad边 又垂直于磁场的方向，以一定速度射入磁场，正好从ab边 中点n射出磁场。现将磁场的磁感应强度变为原来的2倍， 其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是 A在b、n之间某点 n B.在n、a之间某点 a b C在a点 B v m D.在a、m之间某点
乙
2.如右图所示，在半径为 R 的圆形区域内有匀强磁 场． 在边长为 2R 的正方形区 域里也有匀强磁场， 两个磁场的磁感应强度大小相 同．两个相同的带电粒子以相同的速率分别从 M、 N 两点射入匀强磁场．在 M 点射入的带电粒子， 其速度方向指向圆心；在 N 点射入的带电粒子， 速度方向与边界垂直，且 N 点为正方形边长的中 点，则下列说法正确的是( )
c
d
c
2.如右图所示，在半径为 R 的圆形区域内有匀强磁 场． 在边长为 2R 的正方形区 域里也有匀强磁场， 两个磁场的磁感应强度大小相 同．两个相同的带电粒子以相同的速率分别从 M、 N 两点射入匀强磁场．在 M 点射入的带电粒子， 其速度方向指向圆心；在 N 点射入的带电粒子， 速度方向与边界垂直，且 N 点为正方形边长的中 点，则下列说法正确的是( )
A．带电粒子在磁场中飞行的时间不可能相同 B．从M点射入的带电粒子可能先飞出磁场 C．从N点射入的带电粒子可能先飞出磁场 D．从N点射入的带电粒子可能比M点射入的 带电粒子先飞出磁场
解析： 画轨迹草图如右图所示，容易得出 粒子在圆形磁场中的轨迹长度(或轨迹对应的 圆心角)不会大于在正方形磁场中的，故B正 确．
（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的 区域，并说明理由。 （3）若这束带电微粒初速度变为2v， 那么它们与x轴相交的区域又在哪里？ 并说明理由。
当速度变为2V的带电粒子，不具备“磁会聚” 的条件，因此不会都通过O点。但此题可采用极端分 析法，带电微粒在磁场中经过一段半径为r’=2R的圆弧 运动后，将在y轴的右方(x>0)的区域离开磁场并做匀 速直线运动，如图7所示。靠近M点发射出来的带电微 粒在突出磁场后会射向x同正方向的无穷远处；靠近N 点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场。 所以，这束带电微粒与x同相交的区域范围是x>0. M
答案 (1)2.41 m (2)5.74×10－7 s
解析
(1)设粒子在磁场中做圆周运动的最大半径为 R. mv 0 2 则 qv0B＝mv0 /R R＝ Bq ＝1.0 m 如图甲所示，由几何关系得 R1 2＋R2＝R2－R R2＝(1＋ 2) m＝2.41 m (2)设粒子此时在磁场中做圆周运动的半径为 r. mv 3mv0 3 则 r＝ Bq ＝ ＝ m 3Bq 3 3
“磁会聚”与“磁扩散”
磁聚焦概括：
迁移与逆向、对称的物理思想！
一点发散成平行
R
平行会聚于一点
r
R r
区域半径 R 与运动半径 r 相等
例、（2009年浙江卷）如图，在xOy平面内与y轴平行的匀强
电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。 在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发 射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带 电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。 已知重力加速度大小为g。 （1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区 域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感 应强度的大小与方向。 y （2）请指出这束带电微粒与x轴相 带 点 微 交的区域，并说明理由。 粒 R 发 v O/ （3）在这束带电磁微粒初速度变为 射 C 装 2v，那么它们与x轴相交的区域又在 置 O 哪里？并说明理由。 x