高等数学(绪论)

10,
0x3
y 102.6(x3), 3x15
102.6(153)5.2(x15), x15
练习(作业)：
1．某工厂有电子产品1000只，每只定价为130 元，销售量在700以内时按原价出售，超过700 只时，超过部分打9折出售，试将销售总收益与 总销售量表示成函数关系。
2．正方形边长是３，若边长增加 Δx , 则面积增 加 Δy ，求 Δx 与Δy 的函数关系式及函数的定义 域和值域。
x=arctan y y=arctanx 反正切函数
定义域 （- π /2,π/2） 值域 （-∞, +∞）
求下列反三角函数值:
定义域 （-∞, +∞）
值域 （-π/2,π/2）
(1) arctan0 (2) arctan 1
(3) arctan(-1) (4) arctan 3 (5) arctan(- 3 )
牛 顿 (Isaac,Newton,1642— 1727), 英国物理学家、天文学家和 数学家
莱 布 尼 茨 （ Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646— 1716)德国数学家、物理学 家和哲学家
• 高等数学的核心内容是微积分，这是人类在科学中最 伟大的创造之一．
• 高等数学研究的主要对象是函数，函数描述了客观世 界中量与量之间的依赖关系．而高等数学研究的基本 方法则是极限方法，极限方法是利用有限描述无限、 由近似过渡到精确的一种工具和过程．
平方关系
（ 1 ） *si2 n x2six ncoxs 二倍角公式
（ 2 ） * c2 x o c 2 s x o s2 s x i n 2 c2 x o 1 1 s 2 s2 x i
反函数
一一对应
y=f (x) 原函数
x=f -1 (y)
y=f -1(x)
反函数
定义域 D
值域 M
定义域 M
(3) y 2sinx.
所 以 ,y 2 s i n x 解是 由 y 2 u , u = s i n x 复 合 而 成 的 练习.：P11，9～14
练习： 分解以下复合函数
（1） y sin2 x (2) yln(co2 xs) （3） y3 sinx2
3.初等函数:由基本初等函数经过有限 次四则运算或有限次复合所构成，并 可用一个解析式表示的函数称为初等 函数．
有界
（5） y ln x;
无界
（6） ytanx;
无界
§2. 初等函数
1. 基本初等函数;
（1）常值函数： yc（ c为常数）；
a （2）幂函数： y xa ( 为任意常数)
（3）指数函数：yax(a0,a1) （4）对数函数： yloaxg (a0,a1 ) （5）三角函数： y sx i,y n cx o ,y sta xn 等 （6）反三角函数： yarcxs,yi narcxc,yosarcx ta
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广州至长
(1)
求运价
y（元）
和里程
x
（公里）之间的函数关系；
沙为707 公里
(2) (2) 现有2万吨广式月饼，从广州运往长沙，问共需多少运 费？
(3) (费3)？现有2万广吨州广至式北月京饼为，2从30广8公州里运往北京，问共需多少运
解：（1）设货物质量为m(吨) ，则函数关系式为
0 .1 m , x 0x1000
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学习要求
1、不缺课、遵守纪律、认真听课！
2、认真、独立完成作业！ 3、了解数学软件（如Mathematica, Matlab，Lingo 等。
高等数学(绪论)
微积分学的建立
一、十七世纪急需解决的四类科学问题 二、牛顿和莱布尼茨对微积分学的贡献
• 首先我们将介绍函数、极限等基本概念以及它们的一 些性质．
推荐参考文献
• 《高等数学》陈庆华主编，高教出版社， 1999年6月第一版 ；
• 《高等数学实用教程》，谷志元主编，华 南理工大学出版社，2007年9月第一版；
§1 函数 1.1 函数的概念 1.2函数的特性 (1)函数的单调性; (2)函数的奇偶性;
例： 写出下列函数的复合过程 (1) ytan3 x;
解 令 u=tanx,则 yu3.
所 以 ,y t a n 3 x 是 由 y u 3 , u = t a n x 复 合 而 成 的 .
(2) yarcsin(ex);
解 令 u = ex,则 yarcsinu .
所 以 , y a r c s i n ( e x ) 是 由 y a r c s i n u , u = e x 复 合 而 成 的 .
（小结）本节主要内容:
一. 函数的概念及性质 二. 三角函数及反三角函数 三. 初等函数
1. 基本初等函数; 2. 复合函数；
3. 初等函数 四. 建立函数关系式
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一 .十七世纪急需解决的四类主要科学问题：
第一类是瞬时速度问题；第二类是求曲线的切线问题；
第三类是求最优值问题；第四类是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当 大的物体作用于另一物体上的引力。
二. 十七世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨分别独自研 究和完成了微积分的创立工作，其中牛顿着重于从 运动学来考虑，莱布尼茨侧重于从几何学来考虑。
2. 复合函数;
定义 3
设函数
y f(u)的定义域为
D
,
f
函数
u(x) 的值域为 M ，若 Df M 非空，则称
x y yf[(x)]为复合函数。 其中 为自变量，
为因变量， u称为中间变量。
例： 判断下列各组函数是否可以复合
（1）yu2，usinx； 解：可以复合，得 ysin2x，xR （ 2）y u，u1x2；解：可以复合，得 y 1x2，x[1， 1] （ 3）yarcus， iu n2x2；解：不可以复合。
y 0 .1 10 m 00 .1 0 0 .8 m (x10 ),0x 0 100
（2）m =2 ×104 (吨) ，x=707(公里)
f(7)0 0 .1 7 2 14 0 7 0 1 .4 7 1 16 4 ( 0 元 )
（3）m =2 ×104 (吨) ，x=2308(公里)
f( 2) 3 2 1 0 6 0 8 1 3 0 .0 0 2 8 1 8 4 0 4 .0 9 1 6 2 ( 元 0 )8
(3) arcsin(-1/2) (4) arcsin1
(5) arcsin(-1) (6) arcsin2
[2] 反余弦函数 (注) arccos(-x) =π - arccosx
y=cosx
x=arccos y
y=arccosx
余弦函数
反余弦函数
定义域 [0,π]
定义域 [-1, 1]
值域 [-1, 1]
例2 广州市现行出租车收费标准为： 乘车不超过3km，收费10元；超过3km而不超过 15km，
超过的里程每km加收2.6元；超过15km，超 过的里程每km加收5.2元。若小明打的士去火车站，行驶里 程为20km，问小明应付给司机多少钱？
y x 乘客乘车的费用 (元)与乘车里程 (km)
之间的数量关系为
提示
目前我们研究的函数,除分段函数外, 其余能用一个函数式表示的都是初等函数
§3. 建立函数关系式
建立函数关系式(数学模型)时，首先需明确 问题中的自变量与函数，然后根据题意建立等式
例1 铁路货运规定货物的吨公里运价为：在1000公里以内，
每吨公里为0.1元，超过1000公里时，超过部分每吨公里运
值域 D
由此可定义反三角函数
[1] 反正弦函数 （注）arcsin(-x) = - arcsinx
一一对应
y=sinx
x=arcsin y y=arcsinx
正弦函数
反正弦函数
定义域 [-π/2,π/2]
定义域 [-1, 1]
值域 [-1, 1]
值域 [-π/2,π/2]
求下列反三角函数值:
(1) arcsin0 (2) arcsin (1/2)
等
表1-1 基本初等函数的图形及其性质
要用到的三角函数公式
正割
余割
余切
倒
（1） secx 1 coxs
（2） cscx 1 sinx
（3）
coxt 1 tanx
数 关
（1） tanxsinx （2） coxtcoxs 商数关系
系
coxs
sinx
（ 1 ） si2n xco 2xs 1
（ 2 ） 1ta2x nse2x c （ 3 ） 1co 2xtcs2x c
f(x)在区间I上无界。
y
M
yM
• 在所讨论的区间上有界函数
的图像夹在平行于轴的两条直
线之间。
o
x
例如：由于 |sinx|≤1,
M
因此，函数 y=sinx 是有界函数。
y M
练习：判断下列函数是否有界
（1）y 3x5;
（2）y 1 x2;
无界
无界
（3）y有界3sin（2x3）;
（4） y cos3x;
，
(3)函数的周期性;
x自变量
y 因变量
D x
f
M y
f 对应法则 D 定义域
记为 y f(x)，xD
练习：P5，习作题
(4)函数的有界性（详细讲解）.
• (4) 函数的有界性
• 设函数在区间I上有定义，如果存在正常数M，使得对于区间I内
所有x，都有
f（x）M
• 则称函数f(x)在区间I上有界。 如果这样的M不存在, 则称函数
求下列反三角函数值:
值域 [0பைடு நூலகம் π]
(1) arccos0 (2) arccos (1/2)
(3) arccos(-1/2) (4) arccos1
(5) arccos(-1) (6) arccos2
[3] 反正切函数 （注）arctan(-x) = - arctanx
一一对应
y=tanx 正切函数