《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)

第六节
第三章
函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
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一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
1)
y
(
x
2 1)3
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6）绘图
x (,1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无 定 义
0
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O1 2 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
x0
1 1
e e
x2 x2
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2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
,
凸区间是
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2ex2 (1 2 x2 )
y
1
(
1
,1
e
1 2
)
2
O
(
1
1
,1 e 2 )
2
x
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则弧长微分公式为 ds x2 y 2 d t
y
x 表示对参 数 t 的导数
几何意义: ds MT
dx cos ; dy sin
ds
ds
T
M dy
dx
O x x dx x
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二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线
转角为 , 定义
2) 求关键点. 原方程两边对 x 求导得
2(x 3) 4 y 4y 4xy 0 ①
y x 3 2y 2(x 1)
①两边对 x 求导得 2 4y 8y 4xy 0 y 1 4 y 2(x 1) 令 y 0得 x 1, 3 ;
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3) 判别曲线形态
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令 f (t) 0, 得 t 0, π , π , 3 π , 2 π 22
计算驻点处的函数值:
t
π
02
π 3π 2π
2
f (t) b2 a2 b2 a2 设0 b a , 则t 0 , π , 2π时
b2 y
b
f (t) 取最小值 , 从而 K 取最大值 .
x (,1) 1 (1,1)
y
0
y
y
2
1 (1,3) 3
无 0
定
义
0
(3, )
(极大)
(极小)
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
y (x 3)2 , 4(x 1)
y
(
x 4(
3)( x
x 1)2
1)
,
y
(
x
2 1)3
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又因
lim y 1 , 即 k 1
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
求此缓和曲线在其两个端点
处的曲率.
点击图片任意处播放\暂停
说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 .
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例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 1 x3 作缓和曲线, 6Rl
B
A M y
x
Oa
x
x
xb
x
M M 1 (y)2
MM
x
s(x) lim s 1 ( y)2 x0 x
lim M M 1 x0 M M
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ds 1 ( y)2 dx 或 ds (dx)2 (dy)2
若曲线由参数方程表示:
x x(t) y y(t)
例3. 求椭圆
在何处曲率最大?
解: x asin t ; y bcost ;
x acost y bsin t
故曲率为
K
xy xy ( x2 y 2 )32
(a2
ab
sin
2பைடு நூலகம்
t
b2
cos
2
t
)
3 2
K 最大
f (t) a2 sin2 t b2 cos2 t 最小
求驻点:
f (t) 2a2 sin t cost 2b2 cost sin t (a2 b2)sin 2t
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说明:
(1)
若曲线由参数方程
x y
x(t) y(t)
给出, 则
xy xy
K
(
x 2
y
2
)
3 2
(2) 若曲线方程为 x ( y),则
x K (1 x2 )32
y K (1 y2 )32
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例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 1 x3 作缓和曲线, 6Rl
(极大)
(拐点)
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x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y 0
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1 2π
A
y0 O
y
1
x2
e2
2π
B
1
x
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内容小结
1. 曲线渐近线的求法
弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R K lim 1
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
CR
T
M (x, y)
DM R 1
O
x
K
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
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设曲线方程为 曲率半径及曲率中心
x y(1 y2 )
y
y 1 y2
y
y
D(, )
CR
T
M (x, y)
O
x
(注意 y 与 y异号 )
当点 M (x , y) 沿曲线
移动时, 相应的曲率中心
的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,
曲线 ,C 称满为足曲方线程G组的渐伸线 .
曲率中心(x公式)可2 看( y成渐 )2 R2 屈线的参数 方y 程(参yx 数为x).
(M (x, y)在曲率圆上 )
(DM MT )
点击图中任意点动画开始或暂停
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例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
求此缓和曲线在其两个端点
处的曲率.
解: 当 x [0,l ]时,
y 1 x2 l 0 2 Rl 2 R
y 1 x
Rl
K y 1 x
显然
Rl
K x0 0;
K
xl
1 R
y
R
B
Ol
x
y 1 x3 6Rl
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这说明椭圆在点( a, 0) 处曲率 a O
ax
最大.
b
K 最大
f (t) a2 sin2 t b2 cos2 t 最小
f (t) (a2 b2)sin 2t
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三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
D(, )
M 处作曲线的切线和法线, 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式
三、 曲率圆与曲率半径
M M M
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一、 弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s(x)
s M M M M x M M x
M M (x)2 (y)2
MM
x
y
y
f (x) M
水平渐近线 ; 垂直渐近线;
斜渐近线
2. 函数图形的描绘
按作图步骤进行
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思考与练习
1.
曲线
y
1 1
ex2 ex2
(A) 没有渐近线；
(D)
(B) 仅有水平渐近线；
(C) 仅有铅直渐近线；
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
提示:
lim
x
1 1
e e
x x
2 2
1;
lim
x
x
x
k lim f (x) x x
(或x )
lim [ f (x) k b ] 0
x x
x
b lim [ f (x) kx]
x (或x )
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例2. 求曲线
的渐近线.
y
解: y
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或x 1)
3 O1 x
且
求曲线上点M 处的
的坐标公式 .
设点M 处的曲率圆方程为 y
D(, )
故曲率半径公式为
R
1
(1
y2
)
3 2
K
y
, 满足方程组
(x )2 ( y )2 R2
y
x y
CR
T
M (x, y)
O
x
(M (x, y)在曲率圆上 ) (DM MT )
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由此可得曲率中心公式
2. 求
并求出 及
为 0 和不存在
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
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例3. 描绘
的图形.
解: 1) 定义域为
无对称性及周期性.
2) y x2 2x, y 2x 2,
y
令 y 0,
lim y
x
(x)
lim 3a t 2
t 1 1 t 3
3at 1 t3
lim
t 1
3 at(1t) (1t)(1t t
2
)
a
所以笛卡儿叶形线有斜渐近线
y x a
笛卡儿 叶形线
叶形线 目录 上页 下页 返回 结束
第七节
第三章
平面曲线的曲率
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关
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例5. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1 2π
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2 2
(1
x2
)
2π
令 y 0得 x 0; 令 y 0得x 1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
x x 4
4
b lim ( y 1 x) lim [(x 3)2 1 x]
x 4 x 4(x 1) 4
lim 5x 9 5 x 4(x 1) 4
y 1 x 5 为斜渐近线 44
5) 求特殊点 x 0 2 y 9 1 44
y (x 3)2 4(x 1)
y
(x 4(
3)(x x 1)2
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
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曲率K 的计算公式
设曲线弧 y f (x) 二阶可导, 则由
tan y (设 π π)
2
2
得 arctan y
d (arctan y)dx
K d
ds
又 故曲率计算公式为
y
K
(1
y
2
)
3 2
当 y 1时, 有曲率近似计算公式 K y
令 y 0,
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y 0
0
y
y
0
2
4 3
2 3
x 1 3 (极大)
4)
y2
3
2
(拐点)
(极小)
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例4. 描绘方程
的图形.
解: 1) y (x 3)2 , 定义域为 4(x 1)
例如, 双曲线
L PN
有渐近线
x y0 ab
Oy
x
但抛物线
无渐近线 .
Ox
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1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有铅直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
例1. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2 x x 1
y
2 x
O1
y 2 为水平渐近线;
lim( 1 2) , x 1为铅直渐近线. x1 x 1
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2. 斜渐近线 ( P76 题14)
若
(kx b)
(或x )
(kx b)
斜渐近线 y kx b. k lim [ f (x) b ]
x x x
lim x [ f (x) k b ] 0
y x2
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
又因
k
lim
x
f
(x) x
lim
x
x2
x2 2x
3
b
lim [
x
f
(
x)
x]
lim
x
2x2 x2 2x
3x 3
y x 2为曲线的斜渐近线 .
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二、函数图形的描绘