第四章 金属自由电子理论
金属自由电子理论
多尺度模拟与计算
总结词
多尺度模拟与计算是金属自由电子理论的另一个重要 发展方向，能够综合考虑不同尺度的物理效应和相互 作用。
详细描述
金属自由电子理论涉及多个尺度和多个物理效应的相 互作用，因此多尺度模拟与计算在该领域具有重要意 义。通过结合微观尺度和宏观尺度的方法，可以更全 面地理解金属材料的性质和行为，为实际应用提供更 准确的预测和指导。例如，在材料性能模拟、器件设 计和优化等方面，多尺度模拟与计算具有广泛的应用 前景。
应用领域
01
02
03
物理学
金属自由电子理论在物理 学领域中广泛应用于描述 金属的物理性质，如热导 率和电导率等。
材料科学
在材料科学领域，金属自 由电子理论用于研究和理 解金属材料的各种性质， 如合金的组成和性质等。
工程应用
金属自由电子理论在工程 应用中也有广泛的应用， 如电子器件的设计和制造 等。
波函数与电子云
01
波函数是描述电子在空间中分布的函数，它可以用来计算电子 在某一点出现的概率。
02
在金属中，由于存在大量的自由电子，每个电子的波函数都与
其他电子的波函数相互重叠，形成了所谓的“电子云”。
电子云描述了电子在金属中的概率分布，对于理解金属的性质
03
如导电、导热等具有重要意义。
04
金属自由电子理论的计 算方法
无序性
自由电子在金属中的运动是无序的，不受单个原子或 分子的限制。
能量多样性
自由电子具有不同的能量状态，取决于其运动速度和 方向。
自由电子的分布与运动
分布
在金属中，自由电子的分布遵循 费米分布函数，取决于温度和费
米能级。
运动
自由电子在金属晶格中以波矢k描 述的运动状态，可以通过薛定谔方 程描述。
第四章金属自由电子论
4.1 经典自由电子论（Drude-Lorentz) 4.2 量子自由电子论（Sommerfeld ） 4.3 金属的热容和顺磁磁化率 4.4 金属的电导率和热导率 4.5 金属的热电子发射和接触电势 4.6 金属的交流电导率和光学性质 4.7 Hall效应和磁致电阻
参考：阎守胜书 第一章 黄昆 书 6.1,6.2 p275 Kittel 8版第6章
Wiedemann-Franz 定律 ： LT
=
κ
σ
或：=L
= κ σT
π2
3
kB e
2
4. 载流子浓度与温度无关； 5. 在可见光谱区有几乎不变的强的光学吸收；反射率大或
说有金属光泽。 6. 有良好的延展性，可以进行轧制和锻压。
关于金属的理论必须以全面和谐的解释上述性质为准。
高纯Cu的热导率和电导 率的温度依赖性：
一.金属中自由电子的运动状态： Sommerfeld认为，电子气应该服从量子力学规律，在保留
独立电子近似和自由电子近似基础上应通过求解薛定愕方程给 出电子本征态和本征能量，从而来解释金属性质。
我们把自由电子气等效为在温度 T＝0K，V ＝L3 的立方体 内运动的 N个自由电子。独立电子近似使我们可以把 N个电子 问题转换为单电子问题处理。
速度为：
u=
1
u1
=
1 aτ
=
−1
el
E
22
2 mv
假定： v >> u1
所以：
j
= −neu
= ne2
l
E
2m v
σ = ne2 l
2mv
平均自由程 l 与温度无关，而公式中的热运动速度， v ∝ T
(完整版)第四章金属自由电子理论
第四章 金属自由电子理论1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。
根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。
2.金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？解：金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面都是球形。
费米能量与电子密度和温度有关。
3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。
4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。
驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。
5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。
6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。
试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。
解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：dEdkdk dZ dE dZ E ⋅==)(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为：dk Ldk dZ π=∆=k 2 …………………………（2） 又由于 mk E 222η=所以 mkdk dE 2η= …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：EmL E 22)(ηπρ= (4)（2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：11)(+=-TK E E B F eE f (5)于是，系统中的电子总数可表示为：⎰∞=)()(dE E E f N ρ (6)由于0=T K ，所以当0F E E >，有0)(=E f ，而当0F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可简化为：⎰=)(FE dE E N ρ＝⎰0022FE dE E m L ηπ＝240FmE L ηπ由此可得： 222208mL N E Fηπ= (7)（3）在0=T K 时，晶体电子的平均能量为： ⎰∞=0)()(1dEE E Ef N E ρ＝dE EmL E N FE 2210⎰⋅ηπ＝230)(232F E m N L ηπ＝022223124F E mL N =ηπ 7.限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量为)(2),(222y x y x k k mk k E +=η。
高二物理竞赛金属自由电子气模型PPT(课件)
2. 金属的直流电导
1) 电导率
欧姆定律（Ohm’s law）： VIR
欧姆定律更一般的形式（微分形式）：
JE
(1.2.1)
这是最早从实验上确定的，但是为什么会如此？
按照Drude模型分析：
假定t时刻电子的平均动量为p(t)，经过dt时间，电子没有受 到碰撞的几率为 1-dt/，那么这部分电子对平均动量的贡献 为
2) 传导电子密度 （电子密度）
传导电子密度 n：单位体积的传导电子数
原子数/mole: N0 = 6.022 ∙ 1023，Avogadro常数 mole数/cm3: ρm/A, 其中 m是金属的质量密度（g/cm3），A 是元素的原子量
nN 0Z A m6 .0
2 12 20 3Zm
A
（2）电子之间的碰撞是瞬时的，经过碰撞，电子速度的改 变也是突然的。
（3）电子在dt时间所受碰撞的几率正比于
dt/
§第1四章金属的通Drud常e模型被成为弛豫时间（Relaxation time），相应的近似被 金忽属略自 电由子电—成子—气离为模子型的弛相互豫作用时间近似（Relaxation time approximation）。
3）金属中电子的平均自由程
l = v0τ ; 而 mv02/2 =3kBT/2
在室温下，电子平均速度 v0 的典型值为107 cm/s，
则 l =1 nm Drude 模型是自洽的。
3. 金属热导率
当温度梯度存在时，在金属中就会有热流产生：
这个值要比理想气体的密度高上千倍
J T 金属具有良好的电导率、热导率等。
• 在于1897年发现电子3年之后，Drude根据气体运动论 电子热平衡的获得被假定通过一个简单的途径达到，即碰撞前后的速度没有关联（电子对自己的速度历史没有记忆）。
固体物理学：第4章 金属自由电子论
1、费米分布的性质
FFD
1
FFD
1 e / kT
1
1T 0 f FFD 1
f
FFD 0
εf ε
T 0 时所有粒子排满费米能级以下的能级，
费米能级以上能级全空。
UESTC
FFD
1
（2）T 0
f
1 FFD 2
1/2
随着温度升高，有部分粒子
获得能量从 f以下能态跃迁到 f
0
1 p 1
p 1 f
n1
2
kT
2n
1
1 22n1
2n
d 2n
d
2n f
p 1 f
2 2
6
4
4
9
UESTC
应用积分公式
E
3 5
NE
f
0
1
5
12
2
kT Ef0
2
电子平均能量
E
E N
3 5
EF 0
2
4
kT
kT EF 0
UESTC
4、费米面
k空间中，能量为EF，即半径为 KF
以上能态。但无论温度多高，
T=0 T >0
εf ε
在
能态被粒子占据的几率始终为 1
f
2
。
UESTC
2、电子能量
dE FFD g d
T = 0 电子总能量
EF0
1
5
E0
c
2 d
22 5 cEF0
0
UESTC
T ≠0
积分公式
E
0
e
1 EF / kT 1
c 1 / 2d
4金属自由电子论基础
第四章金属自由电子论材料科学与程学院材料科学与工程学院凌涛内容提纲内容提1.经典自由电子论2.量子自由电子论33.金属的比热4.功函数与接触电势差内容提纲内容提1.经典自由电子论2.量子自由电子论33.金属的比热4.功函数与接触电势差4.1经典自由电子论-特鲁德模型特鲁特(Drude)模型当金属原子凝聚在一起时，原子封闭壳层内的电子和原子核一起在金属中构成不可移动的离子实；原子封闭壳核起在金中构成移动的离实闭壳层外的电子会脱离原子而在金属中自由地运动。
这些电子构成自由电子气系统，可以用理想气体的运动学理论进行处理。
该模型有如下假设：(1)电子在没有发生碰撞时，电子与电子、电子与离子之()间的相互作用完全被忽略。
电子的能量只是动能。
4.1经典自由电子论-特鲁德模型(2)电子只与离子实发生弹性碰撞，电子与离子的碰撞过离实碰撞离碰撞程用平均自由时间τ和平均自由程l来描述。
τ表示一个电子与离子实相继作两次碰撞所间隔的平均时间；l是电子在平均两次相继碰撞之间的平均飞行距离。
(3)电子气是通过和离子实的碰撞达到热平衡的，碰撞前后电子速度毫无关联，运动方向是随机的，速度是和碰撞发生处的温度相适应的，其热平衡分布遵从波尔兹曼统计。
内容提纲1.经典自由电子论2.量子自由电子论33.金属的比热4.功函数与接触电势差4.2量子自由电子论索末菲模型金属中自由电子的运动应服从量子力学规律和相应的能量分布规律。
价电子在金属内恒定势场中彼此独立地自由运动，只是在金属表面处被势垒反射。
求解电地自由运动只是在金属表面处被势垒反射子运动的薛定谔方程，得到电子所允许的波函数和能量分布状态。
量分布状态4.2量子自由电子论-电子的波函数周期性边界条件：假设在三维空间有无限多个三维限度都是L 的势井相连接在各个势井的相应位置上电子波函数相等的势井相连接，在各个势井的相应位置上，电子波函数相等。
总的边界条件为：(0,,)(,,)0y z L y z ψψ=⎫⎪(,0,)(,,)(,,0)(,,)x z x L z x y x y L ψψψψ=⎬⎪=⎭空间电子态空间电子态：由波矢K 所代表的自由电子可能的空间运动状态。
第4章 金属自由电子论
Z
Ae
L
K为波矢，A由归一化条件决定。 3 1 2 A L V 决定这一状态的能量为：
L L
Y
X
2K 2 2 2 2 2 E kx k y kz 2m 2m
11
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
4.2 量子自由电子论
Z
由周期性边界条件：
L
(0, y, z ) ( L, y, z ) ( x, o, z ) ( x, L, z ) ( x, y , o ) ( x, y , L)
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
28
4.2 量子自由电子论
电子平均能量为:
K BT 3 0 2 E EF K BT 0 E 5 4 F
第一项为绝对零度时的电子平均能 量;第二项为热激发能.每个电子获 得的热能为KBT 。
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
2
2 (r ) [ E V (r )] (r ) 0 2m
《固体物理学》 微电子与固体电子学院 9
4.2 量子自由电子论
用近自由电子近似来处理金属电子，作为零级近似，可以
把金属看成是一个边长为L的立方体，根据金属自由电子理
论的基本观点。由于电子被限定在金属中，所以，可以认 为金属中的电子是在一个无限深方势井中运动,势能函数为：
29
4.2 量子自由电子论
4.2.4 费米面
k空间中，能量为EF ，即半径为
面，kF就是费米半径。 T = 0 时，费米面内，都被电子填满。面外为空态；T ＞ 0 时， 有部分电子从 EF内 kT范围激发到EF外 kT 范围内。
3/ 2
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第四章金属自由电子理论
dE
之间时，
k
空间中，在半径为
k
和
k
dk的两球
面之间所含的状态数为：
dZ '
4k 2dk k
Vc 8 3
4k 2dk
1 2
(
2m 2
)
3
2
E
1 2
dE
考虑自旋的二重简并dZ 2dZ '
(E)
所以： ( E )
Vc 2 2
(
2m
)
3
2
E
1 2
1
CE 2
其中
C
及其缺陷。
1)由Drude模型导出了欧姆定律，并得到电导的定量表达式，在 解释碱金属的导电性上取得了完全的成功
但是，按Drude模型，碱土金属（二价）的自由电子密度n为碱金属 （一价）的两倍，由式（1-6），电导率σ也应高一倍。但实际上， 碱土金属的导电性不及碱金属，说明Drede模型的局限性。
1
3 维德曼一夫兰兹定律 Wiedemann-Franz Law
k
0 F
3n 2
3
由电子动量
k
0 F
mvF0
得绝对零度时的费米速度矢为: vF0
k
0 F
m
与费米能量对应的热运动温度称为费米温度,记为
所以绝对零度时的费米温度为:
TF0
EF0 kB
TF
.有: kBTF0
EF0
例如铜:铜是面心立方晶体,晶格常数 a 3.611010 m .
每个铜原子电离时放出一个自由电子,所以铜的电子浓度为:
第四章 金属自由电子理论
1 E << EF 1 f (E) = E = EF 2 0 E >> EF
目录
绝对零度下
N = ∫ f (E)ρ(E)dE = ∫ ρ(E)dE = ∫
0 0
2 3
∞
0 EF
0 EF
0
3 2 0 2 CE dE = C(EF ) 3
1 2
3 N 23 ℏ2 3Nπ 2 ℏ2 2 2 3 E =( ) = (3nπ ) V = 2m c 2m 2C
∫
∂f (E) I( dE 先求积分I： 先求积分 ： EF ) = − g(E) ∂E 0
∫
= I0 g(EF ) + I1g′(EF ) + I2 g′′(EF ) +⋯
= g(EF ) +
π2
6
(kBT)2 g′′(EF )
∞ ∂f (E) ∂f (E) I0 = − dE =1 I1 = −∫ (E − EF )dE ∂E ∂E 0 0 E − EF 令 = η kBT 1 − eη 1 ∂f (E) 1 − e−η ∂f (E) = = 则 η 2= kBT (e +1 ) kBT ∂η ∂E kBT (1+ e−η )2
f (E) = e
1
E−EF kBT
——费米分布 费米分布
增加一个电在所需的自由能.它是温度和电子数的函数 增加一个电在所需的自由能 它是温度和电子数的函数. 它是温度和电子数的函数 系统中电子总数： 系统中电子总数： = N
费米能量或化学势，物理意义：体积不变时， EF 费米能量或化学势，物理意义：体积不变时，系统
(2π )3 8π 3 ∆k = ∆kx∆ky∆kz = = Lx Ly Lz Vc
固体物理习题4 ppt课件
的球壳内的状态数为 2V 4k 2dk ， 由此得到，费密球内
电子的总能量
E0
k kF
h2k 2 2m
2V
4k 2dk
式中 kF 是费密球半径。当V比较大时，波矢 k 在 k 空间的
分布非常密集，可以看作准连续，上式的求和可用积分代替，
于是
E0 2V
k12 m12
k22 m22
k32 m32
求能量E ~ E dE 之间的状态数。
解： 因为
E k
2 2
k12 m12
k
2 2
m22
k32 m32
能量为E的等能面的方程式可写为
k12
k
2 2
k32
1
2m1E 2m2 E 2m3 E
2
2
2
z
z
L
z
z
则从(3)(4)两式可得行波解
Ae i2 kx xky ykzz
波矢各分量分别为
kx
nx L
,ky
ny L
,kz
nz L
(7)
nx , n y , nz 取正负整数，电子的能量仍然表示为
E
h2k 2 2m
h2 2m
(k
2 x
k
2 y
(5)
(3).按照定义，电子的平均能量(T=0K)
1
E0 N
E
0 F
Ef
固体物理学 自由电子论
§1. 金属自由电子论的物理模型 1.Drude的金属自由电子论
Drude的经典理论将自由电子看 作是经典离子气体，服从波尔兹曼分 布(速度分布)，与中性稀薄气体一样 去处理，认为电子之间无相互作用， 同时也不考虑原子实势场的作用，这 样一个简单的物理模型处理金属的许 多动力学问题是很成功的。
f ( T )D( )d N
0
当T《 TF时:
u
F
[1
2
12
(
kBT
F
)2
]
0(kB
T
F
)4
与处理点阵振动的热能相仿，由
电子气的轨道密度D(ε)可求出电子气
的内能，轨道密度定义为：
在能量ε附近，单位能量间隔中
的轨道数定义为轨道密度度，在dε能
量间隔中的轨道数为D(ε)dε，色散
关系为：
2 k 2
k2
2 2m
(k2x
k
2 y
kz2 )
这就是色散关系，能量随波矢的变化是抛物
线函数。
对于一个三维晶体，需要的量子数为：
(1)波矢k（三个分量kx、ky、kz）
(2)自旋量子数
ms
1 2
给定了 k 就确定了能级，k 代表同能级上
自旋相反的一对电子轨道。
在波矢空间自由电子的等能面是一个球面
εk
2 2m
此时 k(r) eikr （省去了归一化常数）， 波矢 Kx.K y.KZ 取一系列分立值：
kx
2π L
nx
ky
2π L
ny
0. 1. 2......
kz
2π L
nz
将 (r) eikr ei(k xxk y yk zz) k 代回薛定锷方程可求出能级：
金属自由电子理论
金属自由电子理论Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】第四章金属自由电子理论1.金属自由电子论作了哪些假设得到了哪些结果解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。
根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。
2.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状费米能量与哪些因素有关解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。
费米能量与电子密度和温度有关。
3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。
4.驰豫时间的物理意义是什么它与哪些因素有关解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。
驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。
5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。
6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。
试求：（1）电子的状态密度；（2）电子的费米能级；（3）晶体电子的平均能量。
解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：dE dk dk dZ dE dZ E ⋅==)(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为：dk L dk dZ π=∆=k 2 (2)又由于 mk E 222 = 所以 mk dk dE 2 = (3)将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：Em LE 22)( πρ= …………………………（4） （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为： 11)(+=-T K E E B Fe E f (5)于是，系统中的电子总数可表示为：⎰∞=0)()(dE E E f N ρ (6)由于0=T K ，所以当0F E E >，有0)(=E f ，而当0F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可简化为：⎰=00)(FE dE E N ρ ＝⎰0022FE dE E m L π＝240F mE L π 由此可得： 222208mL N E Fπ= …………………………（7） （3）在0=T K 时，晶体电子的平均能量为： ⎰∞=00)()(1dE E E Ef N E ρ＝dE Em L E N FE 22100⎰⋅ π＝230)(232F E m N L π＝022223124F E mL N = π 7.限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量为)(2),(222y x y x k k mk k E += 。
高二物理竞赛第四章金属电子论课件
----电子的波函数(是电子位矢
r
的函数)
常用边界条件: 周期性边界条件
x, y, z x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L
k
(r
)
Ae ikr
E
2k 2 2m
2 2m
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
)
k
波矢，
2π k
为电子的德布罗意波长。
EF---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意 义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。 它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。
2. f (E) ~ (E EF) 图象
f
(E)
1 e( E EF ) kBT
1
a. kBT 0
b. kBT 1
c. kBT 2.5
f (E)
1
陡变
E EF E EF
0
E EF
1 E EF
f
(
E)
1 02
E EF E EF
1 E EF
f
(
E)
1 02
E EF E EF
随着T的增加，f(E)发生变化的能量范围变宽，但在任何情
况下，此能量范围约在EF附近kBT范围内。
3.费米面
E=EF的等能面称为费米面。
在绝对零度时，费米面以内 的状态都被电子占据，球外没有 电子。
T0时，费米球面的半径kF 比绝对零度时费米面半径小， 此时费米面以内能量离EF约kBT 范围的能级上的电子能被激发 到EF之上约kBT范围的能级。
费米能级
E
0 F
(a) T=0k
第四章材料的电学三2
势场并不是一个常数而是一个周期性势场。 严格说来，要了解晶体中的电子状态，必须 写出晶体中存在着相互作用的所有离子和电 子系统的薛定谔方程，并进行求解。这是一 个复杂的多体问题，无法严格求解。
采用近似方法
能带理论
能带论的三个基本近似
绝热近似
单电子近似
周期场近似
1、假设晶体中的原子实是固定不动的，按一定周
由地运动，电子之间没有相互作用。
电子运动服从量子力学原理 。
对于金属，电子浓度n 的典型值为1029/m3。 这个值要比理想气体的密度高上千倍。如 此高浓度的电子，仍然可以以自由粒子运 动的方式来描述，是量子力学出现后才得
到解释的。
金属的自由电子气模型
认为金属中电子共有化，好比理想气体，彼此 之间没什么相互作用，各自独立地在势能等于 平均势能的场中运动，因而不受外力作用，只 是到金属表面时才受到突然升高的势能的阻挡。 这种简化模型称为自由电子气模型
0 是由杂质或缺陷对电子的散射产生的，与温度无
(T ) 0 e (T )
(T ) 0 e (T )
关，称剩余电阻率。
银的电阻率对 温度的依赖关 系曲线
纯净的铜晶体，电导率在液氦温度(4K)下接近
室温下电导率的105倍；相应于这种状况，在4
K时，τ≈2×10-9 s。传导电子的平均自由程l定 义为：
晶体为什么有结合力？
为什么有导体、半导体与绝缘体的区别
固体能带理论是关于固体中电子运动的
一种量子力学理论。它预言固体中电子
能量会落在某些限定范围或“带”中，
因此关于这方面的理论称为能带理论。
能带理论是在量子自由电子论的基础上，考虑了 离子实所造成的周期性势场的存在，从而导出了
第四章 金属自由电子论
0 1 E E F f (E) 0 0 E E F
06_01_费密统计和电子热容量 —— 金属电子论
另一方面，T→0时，费米分布函数
1 E E F lim f ( E ) T 0 0 E EF
0
g( E ) lim
两等能面间的体积内允许的状态代表点数
06_01_费密统计和电子热容量 —— 金属电子论
自由电子能态密度
dZ g( E )dE dN g( k )4 k2 dk
2k 2 E (k ) , 2m 2mE 2 k 2 , m 2 1 dk 2 ( ) 2 dE 2mE
费米分布函数
f (E) e
1
E EF k BT
1
f (E ) 1 f (E ) 0
3) 在较低温度时，分布函数在 处发生很大变化
06_01_费密统计和电子热容量 —— 金属电子论
费米分布函数
f (E) e
1
E EF k BT
1
能量变化范围
f ( E E F ) 1 f (E E F ) 0
边界条件：周期性边界条件
( x, y , z L ) ( x, y , z ) ( x, y L, z ) ( x, y, z ) ( x L, y, z ) ( x, y, z )
06_01_费密统计和电子热容量 —— 金属电子论
薛定谔方程的解
1 ikr 1 i ( kx x k y y kz z ) k (r ) e e k (r ) 已归一化 V V
05 金属自由电子气体模型
ε mol
=
N
A
⎜⎛ ⎝
3 2
k
BT
⎞⎟ ⎠
=
3 RT 2
一价金属：CVe ,mol
=
∂ε mol ∂T
=
3R 2
高温时金属的总比热容：
CV
=
C Ph V ,mol
+ CVe ,mol
= 3R + 3 R ≈ 37.40J / mol ⋅ K 2
实际
Ce V，mol
小于经典值
量子：
CVe
~
T TF
常温下：电子的贡献比例很小
kx
=
2π L
nx
ky
=
2π L
ny
kz
=
2π L
nz
nx , ny , nz--一组整数
自由电子的能量是不连续的，相邻能级相距很近. 5 kv空间与态密度 (k-space) 电 的子 端的 点状 代态 表由 一波 个矢可确 能定 的。kv 在 值。kv空相间邻中 代， 表每 点一 在波 三矢 维坐kv
vy
=
−
eτ m
Ey
+
ωcτv x
ωc
=
eB m
--回旋频率
vz
=
−
eτ m
Ez
30
5
Jv = −nevv σ = ne2τ m
σ 0 E x = J x + ωcτJ y σ 0 E y = −ωcτJ x + J y
4.4 霍尔效应和磁阻
长方体样品, 沿x轴施加外电场Ex, 存在电流Jx, 在z轴 加磁场B后, 产生洛仑兹力在负y方向作用到电子上.
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第四章金属自由电子理论
1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？
解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。
根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。
2.金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？
解：金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面都是球形。
费米能量与电子密度和温度有关。
3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？
解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。
4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？
解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。
驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。
5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？
解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。
6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T
K 。
试求：
（1）电子的状态密度；
（2）电子的费米能级；
（3）晶体电子的平均能量。
解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为： dE
dk dk dZ dE dZ E ⋅==
)(ρ…………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为：
dk L dk dZ π=∆=k 2…………………………（2） 又由于m
k E 22
2 = 所以m
k dk dE 2 =…………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：
E
m L
E 22)( πρ=…………………………（4） （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：
11)(+=
-T K E E B F e
E f …………………………（5） 于是，系统中的电子总数可表示为：
⎰∞=0
)()(dE E E f N ρ (6)
由于0=T
K ，所以当0F
E E >，有0)(=E f ，而当0
F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可简化为： ＝⎰0022F
E dE E m L π＝240
F mE L π 由此可得：22
220
8mL N E F
π=…………………………（7） （3）在0=T
K 时，晶体电子的平均能量为： ⎰∞=0
0)()(1dE E E Ef N E ρ＝dE E m L E N F E 22100⎰⋅ π ＝230)(232F E m N L π＝022223124F E mL
N = π 7.限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量为
)(2),(222
y x y x k k m
k k E += 。
试求：
（1）能量E ～dE E +之间的状态数；
（2）此二维系统在绝对零度的费米能量；
（3）电子的平均能量。
解：（1）K 空间中，在半径为k 和k k d +的两圆面之间所含的状态数为
k k k k d L d L dZ πππ
2242
22==…………………………（1） 这也就是能量在E ～dE E +之间的状态数，由电子的能量表达式可得
dE m dE E m mE d 2222122
=⋅=k k ………………（2） 将（2）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，这样可得能量在E ～
dE E +之间的状态数为dE mL dE mL dZ 2
2
2222 ππ=⋅= （2）由（1）问可知，该系统的自由电子的状态密度为
在绝对零度下，由下式
由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为
（3）电子的平均能量为
8.金属锂是体心立方晶格，晶格常数为m a 1010
5.3-⨯=。
试计算绝对零度时电子气的费米能
量0F E （以eV 表示）
解：由题意可求得金属锂的电子浓度为 2831031066.4)
105.3(22⨯=⨯==-a n /m 3 故绝对零度时金属锂的电子气的费米能量为
191057.7-⨯=J 72.4=eV
9.在低温下金属钾的摩尔比热容的实验结果可写成
若1mol 的钾有23
106⨯=N 个电子，试求钾的费米温度F T 和德拜温度D Θ。
解：根据金属自由电子气模型，低温下金属的总比摩尔热容为： 上式中，02202F B E k N πγ=，3
04512D B k N b Θ=π，所以有： 故：
1932
2322332200
10708.21016.4)1038.1(14.31061008.22----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=B F
k N E πJ 又由0
0F F B E T k =得 42319
10962.11038.110708.2⨯=⨯⨯=--F
T K 而9.901057.251038.110614.31233
23234=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=Θ--D K 10.试比较1mol 金属钠在30K 和0.3K 时的德拜比热容，并与电子比热容比较。
已知钠的德拜温度150=ΘD K ，钠的费米能级23.30
=F E eV 。
解：在30K 时，1mol 金属钠的德拜比热容为 57.1=J/K
而其电子比热容为
0328.0=J/K
所以德拜比热容与电子比热容之比为
在0.3K 时1mol 金属钠的德拜比热容为
61057.1-⨯=J/K
而其电子比热容为
41028.3-⨯=J/K
所以德拜比热容与电子比热容之比为
11.有一钨丝，长0.05m ，横截面积的直径为1×10-4m 。
试求2000K 时钨丝的热电子发射电流。
已知钨的电子逸出功为4.5eV 。
解：由里查孙－杜师曼定律可知钨丝的热电子发射电流密度为
05.1420001075)20001038.1/(10
6.15.4242319=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯---e A/m 2
故热电子发射电流为 72
4
10103.1210114.305.14--⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯==jS I A 12.室温下利用光电效应已测得银及铯的光电效应阀值分别为4.8eV 和1.8eV 。
求：
（1）采用里查孙－杜师曼公式分别估算银及铯在室温下的热电子发射电流密度；
（2）若温度上升至800K 时，其热电子发射电流密度为多少？
（3）若把银与铯两种金属接触在一起，求出室温下它们的接触电势差。
解：（1）在室温下银的热电子发射电流密度为
711036.8-⨯=A/m 2
在室温下铯的热电子发射电流密度为
201047.5-⨯=A/m 2
（2）在800K 时银的热电子发射电流密度为
191072.4-⨯=A/m 2
在800K 时铯的热电子发射电流密度为
80.4=A/m 2
（3）若把银与铯两种金属接触在一起，它们的接触电势差为
3)(1=-=Cs Ag D W W e
V V 13.利用电子漂移速度v 的方程
证明在频率ω下的电导率为
])(11)[
0()(2ωτωτσωσ++=i 。
其中02/)0(m ne τσ=。
解：设电场为t i e ω-E =E 0，则有 或t i e m
e v dt dv ωτ-E -=+0
齐次方程0=+τ
v dt dv 的通解为 设非齐次方程的特解为t i Ae v ω-=，则有
从上式可求出特解的待定系数A 为
故非齐次方程的通解为
上式中的第一项随时间的增大迅速衰减，表示电子在电场作用下的驰豫过程，对电流没有贡献，对电流有贡献是第二项，如果在电场的作用下，单位体积内含有n 个电荷为e -的电子，则其电流密度E =-E =-=-)()
1()()(02ωσωττωωi e m ne v e n j t
i 故⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=-=22)(11)0()1(1)(ωτωτσωττωσi i m ne 其中m
ne τσ2)0(=。