数值计算方法第八章

第八章 最优化问题

最优化分支：线性规划，整数规划，几何规划，非线性规划，动态规划。又称规划论。

应用最优化方法解决问题时一般有以下几个特点： 1. 实用性强

2. 采用定量分析的科学手段

3. 计算量大，必须借助于计算机

4. 理论涉及面广

应用领域：工业，农业，交通运输，能源开发，经济计划，企业 管理，军事作战……。

§8.1 最优化问题实例

最优化问题：追求最优目标的数学问题。 经典最优化理论：

（1） 无约束极值问题：),,,(opt 21n x x x f

（),,,(min 21n x x x f 或),,,(max 21n x x x f ）

其中，),,,(21n x x x f 是定义在n 维空间上的可微函数。

解法（求极值点）：求驻点，即满足

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧='='='0

),,(0),,(0

),,(1

1121n x n x n x x x f x x f x x f n

并验证这些驻点是否极值点。

（2） 约束极值问题：),,,(opt 21n x x x f

s.t. )(,,2,1,0),,,(21n l l j x x x h n j <==

解法：采用Lagrange 乘子法，即将问题转化为求Lagrange 函数

)

,,(),,,(),,;,,,(11

21121n j j l

j n l n x x h x x x f x x x L λλλ∑=+=的无约束极值问题。

近代最优化理论的实例：

例1 (生产计划问题) 设某工厂有3种资源B 1，B 2，B 3，数量各为b 1，b 2，b 3，要生产10种产品A 1，…，A 10 。每生产一个单位的A j 需要消耗B i 的量为a ij ，根据合同规定，产品A j 的量不少于d j ，再设A j 的单价为c j 。问如何安排生产计划，才能既完成合同，又使总收入最多？（线性规划问题）

数学模型：设A j 的计划产量为 j x ，z 为总收入。 目标函数： max 10

1

j

j j x c z ∑==

约束条件： ⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≤∑=10

,,2,1,3

,2,1,10

1 j d x i b x a j j

j i j ij

线性规划问题通常采用单纯形法来求解。

例2 (工厂设址问题) 要在m 个不同地点计划修建m 个规模不完全相同的工厂，他们的生产能力分别是m a a a ,,21 （为简便起见，假设生产同一种产品），第i 个工厂的建设费用m i f i ,,2,1, =。又有n 个零售商店销售这种产品，对这种产品的需求量分别为

n b b b ,,21 ，从第i 个工厂运送一个单位产品到第j 个零售商店的运

费为c ij 。试决定应修建哪个工厂，使得既满足零售商店的需求，又使建设工厂和运输的总费用最小。（混合整数规划问题）

数学模型： 设第i 个工厂运往第j 个零售商店的产品数量为x ij

（i=1，…，m ；j=1，…，n ），且

m i i y i ,,1, ,0 ,1 =⎩⎨⎧=否则

个工厂

如果修建第

目标函数： min 11∑∑==⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=m

i n j ij ij i i x c y f z

约束条件：⎪⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≥=≤∑∑==n

j m i x m i y n

j b x m i y a x ij i m i j ij n

j i i ij ,,1;,,1 ,0,,1 ,1 0,,1 ,,,1 ,11 或

整数规划问题通常可用分枝定界法或割平面法来求解。

例 3 (投资计划问题) 假设某一个生产部门在一段时间内可用于投资的总金额为a 亿元，可供选择的项目总共有n 个，分别记为1，2，…n 。并且已知对第j 个项目的投资总数为j a 亿元，而收益额总数为j c 亿元。问如何使用资金a 亿元，才能使单位投资获得的收益最大。（非线性规划问题）

数学模型：设n j j x j ,,1 , ,0 ,1 =⎩⎨

⎧=否则

个项目投资

对第 目标函数：

max 1

1∑∑===

n

j j

j n

j j

j

x

a x

c z

约束条件： ⎪⎩⎪⎨⎧==≤∑=n j x a x a j

n

j j j ,,1 ,1 01

或

非线性规划问题的求解方法很多，是本课的重点。

动态规划是解决“多阶段决策过程”的最优化问题的一种方法，基于“Bellman 最优性原理”，例如：资源分配问题，生产与存储问题。

例 4 (多参数曲线拟合问题)已知热敏电阻R 依赖于温度T 的函数关系为

3

2

1x T x e

x R += （*）

其中，321,,x x x 是待定的参数，通过实验测得T 和R 的15组数据列表如下，如何确定参数321,,x x x ？

建立数学模型：测量点),(i i R T 与曲线)(T R 对应的点产生“偏差”，即

2

15

1

1][32

∑=+-=i x T x i i e

x R S

得如下无约束最优化问题：

2

15

1

1][)(min 32

∑=+-=i x T x i i e

x R x f

通常采用最小二乘法。

§8.2 最优化问题的数学模型

一、 最优化问题的数学模型

1. 定义1：设向量T

21T

21],,,[ ,],,,[m m b b b a a a ==βα. 若),,2,1( m i b a i i =≤，则记βα≤或αβ≥； 若),,2,1( m i b a i i =<，则记βα<或αβ>。

2．一般模型：

))(max )((min ),,,()(opt 21x f x f x x x f x f n 或 =， （1）

s.t. ⎩⎨⎧===≥)3( ,,1 ,0)()2(

,,1 ,0)(l j x h m i x S j

i

其中，T

21],,,[n

x x x x =；)( x f ，)(x S i ，)(x h j 是关于变量n x x x ,,,21 的实值连续函数，一般可假定它们具有二阶连续偏导数。

3．向量模型：