不定积分概念
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故
Φ(x) = F(x) + C0 (C0 为 个 数) 某 常
它属于函数族 F(x) + C . 定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 .
定义 2.
在区间 I 上的原函数全体称为 其中 — 被积函数 被积函数; — 被积表达式 被积表达式.
(P185)
上的不定积分, 记作 — 积分号 积分号; — 积分变量 积分变量; 若 则
= −3x + C
例4. 求 解: 原式=
−1 3
∫
1 sin xdx 2
= − 1 cos x+ C 2
三、不定积分的性质
1. ∫ k f (x) dx = k∫ f (x)dx (k≠ 0) 2. ∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x) d x
推论: 若 推论
则cos x就 sin x的 个 函 . 是 一 原 数
问题: 问题 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 定理 存在原函数 .
(下章证明 下章证明) 下章证明
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
1) 即 又知
∴ [Φ(x) − F(x)]′=Φ′(x) − F′(x) = f (x) − f (x) = 0
dx (4) ∫ = arctan x+ C 或 − arccot x+ C 2 1+ x dx (5) ∫ = arcsin x+ C 或 − arccos x+ C 1− x2
(6) (7)
∫cos xdx = sin x+C ∫sin xdx = −cos x+ C
dx (8) ∫ 2 = ∫sec2 xdx = tan x+ C cos x dx (9) ∫ 2 = ∫ csc2 xdx = −cot x+ C sin x
1 3 = x − x + arctan x + C 3
内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P188) 2. 直接积分法: 利用恒等变形 积分性质 及 基本积分公式 恒等变形, 基本积分公式进行积分 . 恒等变形 分项积分 常用恒等变形方法 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , L
第四章 不定积分
微分法: F′(x) = ( ? ) 积分法: ( ? )′ = f (x) 互逆运算
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章 四
一、 原函数与不定积分的概念
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的一个原函数 . 例如: (sinx)′ = cos x
思考与练习
1. 若 是( B ). 的导函数为 则 的一个原函数
(A) 1+ sin x;
(C) 1+ cos x;
提示: 提示 已知 求 即
(B) 1−sin x;
(D) 1− cos x .
f ′(x) = sin x ( ? )′ = f (x) ( ? )′′ = sin x
或由题意 f (x) = −cos x + C , 其原函数为 1
利用逆向思维
(2)
∫F′(x) dx =F(x) +C
或 ∫ d F(x)= F(x)+ C
二、 基本积分表 (P188)
(1) (2)
∫ kdx = kx +C ∫ x dx =
µ
( k 为常数)
1 xµ+1 + C µ+1
(µ ≠ −1)
dx (3) ∫ = ln x + C x
x < 0时 1 ( ln x )′ = [ ln(−x) ]′ = x
( C 为任意常数 ) 例如,
ex + C ∫e dx =
x
x2dx = 1 x3 + C ∫ 3
C 称为积分常数 积分常数, 积分常数 不可丢 !
∫sin xdx = −cos x+ C
从不定积分定义可知: d [ ∫ f (x)d x ] = f (x) 或 d[ (1) dx
∫ f (x)dx ] = f (x)dx
2
= tan x − x + C
例7. 求
x + (1+ x2 ) dx 解: 原式 = ∫ 2 x(1+ x ) 1 1 =∫ dx + ∫ dx x 1+ x2 = arctan x +ln x + C
x4 dx . 例8. 求 ∫ 2 1+ x (x4 −1) +1 解: 原式 = ∫ dx 2 1+ x (x2 −1)(x2 +1) +1 =∫ dx 1+ 1+ x2 dx 2 = ∫ (x −1) dx + ∫ 2 1+ x
= sec x + csc x
2 2
∫ f (x)d x = −sin x +C1x +C2
2. 求下列积分:
提示: 提示
1 1 (1 + x2 ) − x2 1 = 2− (1) 2 = 2 2 2 2 x 1+ x x (1+ x ) x (1+ x )
2 2 1 sin x + cos x (2) = 2 2 sin xcos x sin2 xcos2 x
n
则
∫ f (x)dx = ∑ki ∫ fi (x)dx i=1
例5. 求 解: 原式 = ∫[(2e) −5⋅ 2 ]dx
x x
(2e)x 2x = +C −5 ln(2e) ln2
ex 5 x =2 − +C ln 2 +1 ln2
例6. 求 解: 原式 =
∫(sec x −1)dx = ∫sec2xdx − ∫ dx
(10) (11)
∫sec x tan xdx = sec x+ C ∫csc xcot xdx = −csc x+ C
exdx = ex + C ∫
x
(12)
a +C (13) ∫ a dx = lna
x
例3. 求
x 3 解: 原式 = ∫ x dx = 4 +C − 3 +1
−4 3
−ห้องสมุดไป่ตู้+1
Φ(x) = F(x) + C0 (C0 为 个 数) 某 常
它属于函数族 F(x) + C . 定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 .
定义 2.
在区间 I 上的原函数全体称为 其中 — 被积函数 被积函数; — 被积表达式 被积表达式.
(P185)
上的不定积分, 记作 — 积分号 积分号; — 积分变量 积分变量; 若 则
= −3x + C
例4. 求 解: 原式=
−1 3
∫
1 sin xdx 2
= − 1 cos x+ C 2
三、不定积分的性质
1. ∫ k f (x) dx = k∫ f (x)dx (k≠ 0) 2. ∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x) d x
推论: 若 推论
则cos x就 sin x的 个 函 . 是 一 原 数
问题: 问题 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 定理 存在原函数 .
(下章证明 下章证明) 下章证明
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
1) 即 又知
∴ [Φ(x) − F(x)]′=Φ′(x) − F′(x) = f (x) − f (x) = 0
dx (4) ∫ = arctan x+ C 或 − arccot x+ C 2 1+ x dx (5) ∫ = arcsin x+ C 或 − arccos x+ C 1− x2
(6) (7)
∫cos xdx = sin x+C ∫sin xdx = −cos x+ C
dx (8) ∫ 2 = ∫sec2 xdx = tan x+ C cos x dx (9) ∫ 2 = ∫ csc2 xdx = −cot x+ C sin x
1 3 = x − x + arctan x + C 3
内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P188) 2. 直接积分法: 利用恒等变形 积分性质 及 基本积分公式 恒等变形, 基本积分公式进行积分 . 恒等变形 分项积分 常用恒等变形方法 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , L
第四章 不定积分
微分法: F′(x) = ( ? ) 积分法: ( ? )′ = f (x) 互逆运算
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章 四
一、 原函数与不定积分的概念
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的一个原函数 . 例如: (sinx)′ = cos x
思考与练习
1. 若 是( B ). 的导函数为 则 的一个原函数
(A) 1+ sin x;
(C) 1+ cos x;
提示: 提示 已知 求 即
(B) 1−sin x;
(D) 1− cos x .
f ′(x) = sin x ( ? )′ = f (x) ( ? )′′ = sin x
或由题意 f (x) = −cos x + C , 其原函数为 1
利用逆向思维
(2)
∫F′(x) dx =F(x) +C
或 ∫ d F(x)= F(x)+ C
二、 基本积分表 (P188)
(1) (2)
∫ kdx = kx +C ∫ x dx =
µ
( k 为常数)
1 xµ+1 + C µ+1
(µ ≠ −1)
dx (3) ∫ = ln x + C x
x < 0时 1 ( ln x )′ = [ ln(−x) ]′ = x
( C 为任意常数 ) 例如,
ex + C ∫e dx =
x
x2dx = 1 x3 + C ∫ 3
C 称为积分常数 积分常数, 积分常数 不可丢 !
∫sin xdx = −cos x+ C
从不定积分定义可知: d [ ∫ f (x)d x ] = f (x) 或 d[ (1) dx
∫ f (x)dx ] = f (x)dx
2
= tan x − x + C
例7. 求
x + (1+ x2 ) dx 解: 原式 = ∫ 2 x(1+ x ) 1 1 =∫ dx + ∫ dx x 1+ x2 = arctan x +ln x + C
x4 dx . 例8. 求 ∫ 2 1+ x (x4 −1) +1 解: 原式 = ∫ dx 2 1+ x (x2 −1)(x2 +1) +1 =∫ dx 1+ 1+ x2 dx 2 = ∫ (x −1) dx + ∫ 2 1+ x
= sec x + csc x
2 2
∫ f (x)d x = −sin x +C1x +C2
2. 求下列积分:
提示: 提示
1 1 (1 + x2 ) − x2 1 = 2− (1) 2 = 2 2 2 2 x 1+ x x (1+ x ) x (1+ x )
2 2 1 sin x + cos x (2) = 2 2 sin xcos x sin2 xcos2 x
n
则
∫ f (x)dx = ∑ki ∫ fi (x)dx i=1
例5. 求 解: 原式 = ∫[(2e) −5⋅ 2 ]dx
x x
(2e)x 2x = +C −5 ln(2e) ln2
ex 5 x =2 − +C ln 2 +1 ln2
例6. 求 解: 原式 =
∫(sec x −1)dx = ∫sec2xdx − ∫ dx
(10) (11)
∫sec x tan xdx = sec x+ C ∫csc xcot xdx = −csc x+ C
exdx = ex + C ∫
x
(12)
a +C (13) ∫ a dx = lna
x
例3. 求
x 3 解: 原式 = ∫ x dx = 4 +C − 3 +1
−4 3
−ห้องสมุดไป่ตู้+1