不定积分概念
不定积分的通俗理解
不定积分的通俗理解不定积分是高等数学中的一个重要概念，它在微积分学中有着广泛的应用。
不定积分的概念很容易理解，但是对于初学者来说，如何正确地理解和应用它却是一项挑战。
在这篇文章中，我们将讨论如何用通俗易懂的语言来理解不定积分的概念。
不定积分是什么？在微积分中，不定积分是指求某个函数的原函数。
我们可以把原函数看作是一种反导数的过程，即通过求导数的逆运算来得到原函数。
如果一个函数f(x)的导数是F(x)，那么F(x)就是f(x)的原函数。
不定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
不定积分的结果通常用一个带有常数项的函数表示。
例如，如果f(x)=2x，那么∫f(x)dx=x+C，其中C是任意常数。
如何求不定积分？要求一个函数的原函数，我们可以通过积分的方法来实现。
具体来说，我们需要找到一个函数F(x)，使得它的导数恰好等于被积函数f(x)。
例如，如果f(x)=2x，那么我们可以令F(x)=x，求导得到F'(x)=2x，恰好等于f(x)。
因此，我们可以得到不定积分∫f(x)dx=x+C，其中C 是任意常数。
需要注意的是，有些函数没有原函数。
例如，f(x)=1/x就不是一个可积的函数，因为它的积分结果在x=0处是无限大的。
此外，对于某些复杂的函数，求得它的原函数可能是非常困难的，甚至无法用初等函数表示。
如何应用不定积分？不定积分在微积分中应用广泛，可以用来解决各种实际问题。
例如，我们可以通过不定积分来计算曲线下面积、求出物体的体积、计算弧长等。
此外，不定积分还可以用于求解微分方程。
微分方程是描述自然现象和物理过程的数学模型，通过求解微分方程的解，我们可以得到这些现象和过程的数学描述。
不定积分在这一过程中扮演着重要的角色，因为我们需要通过不定积分来求解微分方程的通解。
结语不定积分是微积分学中的重要概念，它可以用于解决各种实际问题，也是求解微分方程的关键工具之一。
理解不定积分的概念并正确应用它，对于学习微积分和应用数学都是非常重要的。
不定积分的概念与性质ppt课件
例4 求 tan2 xdx
例6 求
1 sin2 x cos2 x dx
22
小结
一、不定积分的概念
（原函数、不定积分的定义及几何意义）
二、不定积分的性质
（互逆性质、线性性质）
三、直接积分法
可导函数F(x),使对任一 x I 都有F ( x) f ( x)
➢唯一性
(F(x)) f (x) (F(x) C) f (x)
若函数f(x)在区间I上存在原函数，则原函数不唯一
➢结构
F(x)的一个原函数
{f (x)的原函数} {F(x)+C} 设( x)是f (x)的另一个原函数任,则意常数( x) F( x) C
三、直接积分法举例
(8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan x C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot x C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arc cot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arc cos x C
(6) cos xdx sin x C (7) sin xdx cos x C
ln a
不定积分的概念和计算方法
不定积分的概念和计算方法不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
在这篇文章中，我们将讨论不定积分的定义、性质以及常见的计算方法。
一、不定积分的定义不定积分是求解函数的原函数的过程。
设函数f(x)在区间[a, b]上可积，F(x)是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。
则称函数F(x)在[a, b]上的不定积分为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数，称为积分常数。
不定积分的定义告诉我们，不定积分的结果是一个函数，它是原函数F(x)和一个常数C的和。
这个常数C的取值是不确定的，因此称之为积分常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，k为常数，则有∫[kf(x) + g(x)]dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
这个性质说明不定积分具有线性运算的特点。
2. 反向性质：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + C也是f(x)的原函数，其中C为常数。
这个性质告诉我们，不定积分具有反向运算的特点。
3. 初等函数性质：初等函数的导函数可以通过不定积分求得。
例如，导函数为常数函数的函数，在不定积分中可以得到一个线性函数。
三、不定积分的计算方法计算不定积分的方法有很多种，下面介绍一些常见的方法：1. 基本积分法：根据导函数与原函数的关系，可以求出一些基本函数的不定积分。
例如，∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n为非负整数。
2. 分部积分法：对于乘积函数的不定积分，可以通过分部积分法进行求解。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)为可导函数。
3. 代换法：对于一些复杂的函数，可以通过代换法进行不定积分的计算。
代换法的基本思想是用一个变量替换原函数中的某一部分，使得原函数的形式变得简单，然后再进行不定积分的计算。
不定积分概念及公式
不定积分概念及公式5．1不定积分的概念⼀．原函数的概念定义1：设)(x f 是定义在区间上的已知函数，若存在⼀个函数)(x F 对于该区间上的每⼀点都有：)()(x f x F ='或dx x f x dF )() (=。
则：)(x F 为)(x f 的⼀个原函数。
例：,3)(23x x ='则：3x 是23x 的⼀个原函数，另外由于 2323233)3(,3)1(,3)1(x x x x x x ='+='-='+，。
即：,3,1,1333+-+x x x 。
等等也都是23x 的原函数。
即：C x +3（C 常数）全为23x 的原函数。
所以，有下⾯定理。
定理：⼀个函数)(x f ，若有⼀个原函数)(x F ，则必有⽆穷多个。
⽽这写原函数只相差⼀个常数。
C x F +)(是)(x f 的全体原函数。
例：设x e x cos -是)(x f 的原函数，求：)(x f '。
解：由原函数概念可知，若x e x cos -是)(x f 的原函数则有 )(sin )cos (x f x e x e x x =+='-，所以 =')(x f )sin ('+x e x =x e x cos +⼆．不定积分的定义定义2。
设函数)(x F 为函数)(x f 的⼀个原函数，则)(x f 的全部原函数C x F +)(（C 为任意常数）称为函数)(x f 的不定积分。
记作：?dx x f )(。
即：?dx x f )(C x F +=)(。
)(x f ：被积函数，dx x f )(：被积表达式，x ：积分变量，?：积分号，C ：积分常数。
存在原函数的函数为：可积函数。
求已知函数的不定积分，只要求出它的⼀个原函数，再加⼀个C （任意常数）。
例：求积分dx x ?23解：233)(x x ='∴dx x ?23C x +=3例：求积分?xdx cos解： x x cos )(sin ='∴ ?dx cos C x +=sin例：求积分dx e x ?解： x x e e =')(∴ dx e x ?C e x +=例：求积分dx x1 解： (xx 1)ln ='，)0(>x )0(,1)1(1])[ln(<=-?-='-x xx x dx x1C x +=ln 不定积分?（互逆）求导数。
微积分中的不定积分
微积分中的不定积分微积分是数学中非常基础而重要的学科，它研究的是变量的变化，包括极限、微分、积分等。
其中不定积分是微积分中的重要概念之一。
一、不定积分是什么？不定积分是指求导的反运算，也就是对函数进行积分。
对于函数f(x)，其不定积分可以用∫f(x)dx表示。
其含义为求解f(x)的一个原函数。
通俗来说，原函数指的是导数为f(x)的函数。
二、不定积分的基本公式不定积分包括基本不定积分和常用不定积分两类。
基本不定积分是指简单的函数积分，常用不定积分是指需用到一些公式的函数积分。
下面来介绍一下基本不定积分和常用不定积分。
1. 基本不定积分(1) ∫kdx=kx+C其中，k为常数，C为任意常数。
(2) ∫xndx=1/(n+1) x(n+1) +C例子：∫x^2dx=x^3/3+C(3) ∫e^xdx=e^x+C例子：∫e^xdx=e^x+C(4) ∫sinxdx=-cosx+C例子：∫sinxdx=-cosx+C(5) ∫cosxdx=sinx+C例子：∫cosxdx=sinx+C(6) ∫1/x dx=ln|x|+C，(x ≠ 0)例子：∫1/x dx=ln|x|+C(7) ∫sec^2xdx=tanx+C例子：∫sec^2xdx=tanx+C2. 常用不定积分(1) ∫sinhx dx=coshx+C(2) ∫coshx dx=sinhx+C(3) ∫secxdx=ln |secx+tanx|+C(4) ∫cscxdx=-ln|cscx+cotx|+C(5) ∫sec^3xdx=1/2·secx·tanx+1/2·ln|secx+tanx|+C(6) ∫csc^3xdx=-1/2·cscx·cotx-1/2·ln |cscx+cotx|+C三、不定积分的计算计算不定积分需要根据不定积分的基本公式和常用不定积分的公式进行运算。
运算时需要注意的一些事项如下：1. 常数项的处理：不定积分中的常数项可以被省略，即∫f(x)dx 和∫f(x)dx+C的计算结果是一样的。
5.1不定积分的概念
d [ f ( x )dx ] f ( x )dx ,
F ( x )dx F ( x ) C ,
dF ( x ) F ( x ) C .
结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
思考 1、 （1）求 （2）求 （3）求
若f ( x)的一个原函数为sin x
f ( x)dx
基 (1) 本 ( 2) 积 分 ( 3) 表
x x dx 1 C ( 1);
C kdx kx 1
( k是常数);
dx x ln | x | C ;
（sin x） cos x
/
（cos x） sin x
/
1 2 （tan x） sec x 2 cos x 1 / (cot x) 2 csc 2 x sin x
W W W B W B Cv y ( ln ), 2 g C C W B
令 v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒),算出
y= 238.4 (英尺)＜300(英尺)
问题的实际解答： 美国原子能委员会处理放射性废物的做 法是极其危险的，必须改变.
数学是有用的
应用2
洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体。 当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。
解：
Q i (t ) lim Q / (t ) t 0 t
Q / (t ) i (t ), 且Q(t ) t 0 0
Q(t ) － 时域的电容电路
+
（ 3
）
2
16
（
） 16 4
27
（
开方.
） log 3 27 3
不定积分的基本概念与性质
不定积分的基本概念与性质不定积分是微积分中的重要概念之一，它具有广泛的应用领域。
本文将介绍不定积分的基本概念与性质，帮助读者更好地理解和应用不定积分。
一、不定积分的基本概念不定积分，也称为算术积分，是微积分的基本概念之一。
它是函数求导的逆运算。
给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx。
二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)的不定积分都存在，那么它们的线性组合af(x) + bg(x)的不定积分也存在，并且是af(x)和bg(x)的不定积分的线性组合。
2. 积分的换元法：不定积分具有换元法。
即通过变量代换，将一个复杂的函数替换为另一个变量，使得不定积分的求解变得简单。
3. 积分的分部积分法：不定积分具有分部积分法。
通过对积分式中的一部分进行求导，另一部分进行不定积分，从而将一个复杂的积分式转化为一个简单的积分式。
4. 基本积分公式：不定积分的基本公式是通过观察求导与不定积分的关系得到的。
常见的基本不定积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。
5. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是不定积分与定积分之间的重要联系。
根据该公式，若F(x)是f(x)的一个不定积分，那么定积分∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
三、不定积分的应用不定积分在多个学科领域有广泛的应用，以下介绍其中的几个方面。
1. 几何应用：不定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积以及曲线的质心等。
2. 物理应用：不定积分可用于物理学中的速度、加速度以及质量等的求解。
例如，通过计算速度函数的不定积分即可求得位移函数。
3. 统计学应用：不定积分可用于统计学中概率密度函数的求解，从而计算随机变量落在某个区间内的概率。
4. 经济学应用：不定积分在经济学中有着广泛的应用，特别是在计算边际效用、生产函数以及准线性需求曲线等方面。
不定积分的概念与基本性质
不定积分的概念与基本性质在微积分中，积分是一个重要的概念和工具。
它可以看作是微分的逆运算，用于求解函数的原函数。
在不定积分中，我们将讨论不定积分的概念以及其一些基本性质。
一、不定积分的概念不定积分，又称为反导数，表示对一个函数进行积分得到的结果。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的不定积分可以表示为∫f(x)dx。
二、基本性质1. 线性性质：对于任意常数C，以及可积函数f(x)和g(x)，有以下公式：（1）∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx（2）∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx这意味着我们可以将一个复杂的函数拆分成多个简单函数的和或差的形式进行积分计算。
2. 保号性质：若在[a,b]上，有f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。
这个性质告诉我们，如果函数在某个区间上始终保持非负，则其在该区间上的积分也将非负。
3. 常数项性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx=F(x)+C。
这个性质表明，不定积分的结果存在无穷多个，只相差一个常数项。
4. 换元法则：设函数f(u)在区间[a,b]上可积，且u=g(x)是可导函数，且导函数g'(x)连续，则有以下公式：∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F(u)是f(u)的一个原函数。
换元法则为我们提供了一种通过变量代换简化计算的方法。
5. 分部积分：若函数u(x)和v(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则有以下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这个公式将一个积分变为了另一个积分和一个乘积的形式，通常用于解决无法直接积分的情况。
三、结论通过本文的论述，我们了解了不定积分的概念和基本性质。
不定积分是对函数进行积分的逆运算，可以求解函数的原函数。
第3-1不定积分的概念和性质
(8)
(9)
tan x C sec x d x
2 csc x d x cot x C
(10) (11)
(12)
(13)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C dx 1 x arctan x C 或 arc cot x C
其中
— 积分号;
— 积分变量; C —积分常数
— 被积函数; — 被积表达式.
例如,
2 x dx x C cos xdx sin x C
2
例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解: 设此曲线方程为y f ( x ),
2
2
6. 求不定积分 解：
(e 2 x e x 1)
7. 已知 求A,B.
x
2
1 x2
dx A x 1 x B
2
dx 1 x2
解: 等式两边对 x 求导, 得
x
2
1 x2
A 1 x
2
Ax
2
2
1 x2
B 1 x2
( A B ) 2 Ax
2
dx 1 x2
arcsin x C 或 arc cos x C
例2. 求 解: 原式 = 3 2 dx 4
x
1 1 x2
dx 5 csc 2 xdx
3 x 2 4arcsin x 5cot x C ln 2
3 ( x 1 ) 例3. 求 x 2 dx . 3 2 x 3 x 3 x 1 解: 原式 = dx 2 x 3 1 ( x 3 2 )dx x x
不定积分概念
不定积分概念一、不定积分概念不定积分（indefinite integral）是指求某个函数的积分，而不是某个特定值。
对于定积分（definite integral）来说，求积分时已经明确求积分的范围，而不定积分时，积分范围是不确定的，只有拉格朗日积分常数可以确定函数的值。
它可以表示为：∫f(x)dx=F(x)+C其中，C 为拉格朗日积分常数，F(x) 为原函数的积分。
二、不定积分的应用不定积分在微积分中有重要的作用，主要用来表示某物的变化率。
例如：求物体的加速度时，可以使用不定积分来计算。
速度是物体的位移量在单位时间的变化率，因此加速度可以通过不定积分来计算，可以表示为：a=∫∫v(t)dt其中，t 为时间，v(t)为速度，a 为加速度。
不定积分在运筹学中也有重要作用，用来表示最优解中的某个函数值的变化率。
例如在著名的求任务资源最大利用率的问题中，可以用不定积分来表示任务资源的利用率：∫∫R(t)dt其中，t 为时间，R(t) 为任务资源的利用率。
同样，不定积分还可以应用在经济学中用来表示物价的变化率： P=∫∫p(t)dt其中，t 为时间，p(t) 为物价，P 为物价变化率。
三、不定积分的计算方法不定积分的计算主要是根据特定函数的积分公式来求解的，例如：∫x^2dx=1/3x^3+C。
但是，有时候也会用到“积分变换法”来计算不定积分。
具体的做法是，首先根据函数的形式进行积分变换，然后再根据积分变换的结果来计算不定积分。
举例来说，求解∫xdx，可以采用如下变换：x=u+1dx=du则：∫xdx=∫(u+1)du=1/2u^2+u+C再将u 替换为 x 的值，即∫xdx=1/2x^2+x+C。
四、不定积分的特殊情况1、当函数为可积函数时，不定积分可以简化为定积分，即：∫f(x)dx=F(x2)-F(x1)其中，x1,x2 为积分的下、上限，F(x) 为原函数的积分。
2、当函数在某一区间内有多个极值点时，可以将函数分段：∫f(x)dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx+....+∫fn(x)dx其中，f1(x),f2(x),...fn(x) 为函数分段的函数。
不定积分的定义和计算方法
不定积分的定义和计算方法不定积分，也称为原函数或者积分函数，是微积分中的重要概念之一。
它与定积分相对应，是求解函数的面积或者曲线长度的逆运算。
本文将介绍不定积分的定义和计算方法，帮助读者更好地理解和掌握该概念。
一、不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。
给定函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则称F(x)是函数f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx =F(x) + C，其中C为任意常数。
不定积分的定义说明了不定积分与原函数之间的关系。
通过求某个函数的不定积分，我们能够得到该函数的原函数。
需要注意的是，不定积分有无穷多个解，因为对于一个函数而言，其原函数可以加上任意常数C而不改变。
二、常见的计算方法在求解不定积分时，我们需要掌握一些常见的计算方法。
下面将介绍一些常见的计算方法及其示例。
1. 基本积分法则基本积分法则是利用基本函数的导数公式反推不定积分。
以下是一些常见的基本积分法则及其示例：（1）常数函数积分：∫kdx = kx + C，其中k为常数。
（2）幂函数积分：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n不等于-1。
（3）指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C。
（4）三角函数积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C。
2. 分部积分法分部积分法是求解某些复杂函数不定积分的方法，它基于乘积公式（即(uv)' = u'v + uv'）。
以下是分部积分法的公式及其示例：∫u dv = uv - ∫v du示例：∫x*sin(x) dx = -x*cos(x) + ∫cos(x) dx = -x*cos(x) + sin(x) + C3. 代换法代换法，也称为换元积分法，是通过引入一个新的变量，将原函数转化为更容易求解的形式。
以下是代换法的公式及其示例：∫f(g(x)) * g'(x) dx = ∫f(u) du示例：∫x*sin(x^2) dx，令u = x^2，那么du = 2x dx，原积分变为∫sin(u) (1/2)du = (-1/2)cos(u) + C = (-1/2)cos(x^2) + C除了基本积分法则、分部积分法和代换法，还有一些特殊的计算方法，如三角函数公式、倒数公式、欧拉公式等。
不定积分的定义
不定积分的定义不定积分是微积分中重要的概念之一，可以用来求出函数的原函数。
这篇文章旨在介绍不定积分的定义，以及如何求解不定积分。
不定积分定义不定积分的定义是：设f(x)是定义在区间I上的一个函数，如果存在一个函数F(x)，使得对于区间内任意一点x∈I，都有F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)在区间I上的一个原函数，记作：∫ f(x) dx = F(x) + C其中C是任意常数，称为“积分常数”。
不定积分的求解方法在求解不定积分时，我们需要先找到f(x)的原函数F(x)，然后将F(x)加上一个任意常数C，即可得到函数的不定积分。
但是，F(x)的求解并不总是容易的，有时需要使用一些技巧和公式。
下面介绍一些常用的求解不定积分的方法：1. 直接求导数对于一些常见的函数，我们可以根据其求导数的知识来求解其不定积分。
例如，我们知道sin(x)的导数是cos(x)，那么sin(x)的不定积分就是-cos(x) + C。
2. 代换法有时候，我们可以通过代换来简化不定积分的求解。
例如，当需要求解∫2x(1+x^2)dx时，我们可以将1+x^2看做一个整体，令u = 1+x^2，那么dx = du/2x，将其代入原式中得到：∫2x(1+x^2)dx = ∫u du = (u^2/2) + C = (1+x^2)^2/2 + C3. 分部积分法对于一些积分形式为乘积形式的函数，我们可以使用分部积分法来求解其不定积分。
例如，需要求解∫x^2sin(x)dx时，我们可以将其分解为x^2的导数和sin(x)的原函数相乘，即：∫x^2sin(x)dx = -x^2cos(x) + 2∫xcos(x)dx对于∫xcos(x)dx，我们仍然可以使用分部积分法，将x看做一个整体，cos(x)的原函数为sin(x)，以此类推。
最终得到：∫x^2sin(x)dx = -x^2cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x) + C4. 三角换元法三角换元法是一种常用的代换方法，在需要求解一些三角函数的不定积分时特别有用。
高等数学(第三版)课件：不定积分的概念与性质
ln 3
3x 2cos x C.
ln 3
例8 求 x (x1)2dx.
解
x
(x1)2
5
x2
(
x
1)
2dx
(
x
5 2
2
x
3 2
x
1 2
)dx
5
3
1
x 2dx 2 x 2dx x 2dx
1 x 2dx arctan x C.
例3
求
1dx. x
解 当x 0时，有(ln x)' 1 . x
1dx x
ln
x
C
(x 0)
当x 0时，有ln(x)' 1 (x)' 1 (1) 1 ,
x
x
x
又
1dx x
ln(
x)
C.
ln x 当x 0,
ln x ln( x)
当x 0,
[f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
性质2可以推广到有限多个函数的情形，即
[
f
(x)
1
f
(x)
2
f (x)]dx n
f
(x)dx
1
f
(x)dx
2
f
(x)dx
n
例6 求 (2x3 5 x2 4x 3)dx. 解 (2x3 5 x2 4x 3)dx
2 x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
不定积分的概念和性质
医用高等数学
三、基本积分表
1 x x 实例 C ( 1). x x d x 1 1
1
启示
能否根据求导公式得出积分公式？ 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可 以根据求导公式得出积分公式.
3
医用高等数学
解
( x 1) x 3x 3x 1 dx 2 x2 d x x 3 1 ( x 3 2 )d x x x 1 1 x d x 3 1 d x 3 d x 2 d x x x 2 x 1 3 x 3ln | x | C． 2 x
1 d x 2 x C． x
医用高等数学
1 解 x 0时，(ln x ) ； x 1 1 x 0时， [ln( x )] ( x ) ； x x 1 即 (ln | x |) x 1 故 x d x ln | x | C ．
1 例 2 求 d x． x
医用高等数学
例3
设曲线过点(1, 2) ，且其上任一点的斜率为该点
横坐标的两倍，求曲线的方程．
dy 2 x， 解 设曲线方程为 y f ( x ), 根据题意知： dx 2 f ( x) 2 x d x x C ． 则
而曲线过点(1, 2) 可知 C 1，
因此所求曲线方程为
分，记作 f ( x )d x ，即
x F ( x) C f ( x )d被
积 被 分 积 号 函 数 积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
医用高等数学
由定义2，我们有
x x dx 3 C
不定积分的概念与基本公式教案
不定积分的概念与基本公式教案引言：不定积分是微积分的重要概念之一，是对函数求导运算的逆运算。
本教案将介绍不定积分的概念、性质以及基本公式，并提供一些练习题来帮助学生巩固所学知识。
一、不定积分的概念不定积分是对函数进行求导运算的逆运算，也可以理解为找到一个函数，使得它的导数等于给定的函数。
记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)为不定积分的结果，C为常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：∫[a*f(x) + b*g(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a和b为常数。
2.可积性：如果函数f(x)在区间[a,b]上有不定积分，则在该区间上f(x)一定可积。
3. 反常积分：如果函数f(x)在其中一点x=c处不连续，其中c为[a,b]上的端点，则∫f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。
三、基本不定积分公式1.幂函数的不定积分：(1) ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1(2) ∫1/x dx = ln，x， + C。
(3) ∫e^x dx = e^x + C。
(4) ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠12.三角函数的不定积分：(1) ∫sinx dx = -cosx + C。
(2) ∫cosx dx = sinx + C。
(3) ∫sec^2x dx = tanx + C。
(4) ∫csc^2x dx = -cotx + C。
3.指数函数与三角函数的不定积分：(1) ∫e^ax*sinbx dx = (e^ax)*(asinbx/b - bcosbx/b^2) + C。
(2) ∫e^ax*cosbx dx = (e^ax)*(acosbx/b + bsinbx/b^2) + C。
四、练习题1.求函数y=3x^2的不定积分。
2. 求不定积分∫(4x^3 + 2x - 5)dx。
3-1不定积分的概念
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
dBiblioteka dxf ( x)dx
f
( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
三、小结
原函数的概念：
F( x) f ( x)
（2）若F ( x) 和 G( x) 都是 f ( x) 的原函数， 则 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
x5,
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x),
简言之：连续函数一定有原函数.
不定积分知识点总结
不定积分知识点总结不定积分是高等数学中的重要内容，是定积分的逆运算，也称为反导数。
它在微积分中有着广泛的应用。
下面是不定积分的知识点总结。
一、不定积分的定义和性质：1. 不定积分的定义：设函数F(x)在区间[a,b]上有原函数f(x)，如果F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记为F(x)=∫f(x)dx。
其中F(x)是不定积分号∫的上界，f(x)是被积函数，dx是自变量。
2.基本性质：（1）线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
其中a、b为常数。
（2）和差性质：∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
（3）分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx。
将f'(x)视为u'(x)，g(x)视为v(x)。
3.不定积分的四则运算：（1）常数定积分：∫kdx = kx + C。
其中，k是常数，C是任意常数。
（2）幂函数的不定积分：∫x^kdx = 1/(k+1) * x^(k+1) + C。
其中，k≠-1（3）指数函数的不定积分：∫e^xdx = e^x + C。
（4）对数函数的不定积分：∫1/xdx = ln，x， + C。
（5）三角函数的不定积分：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C。
（6）反三角函数的不定积分：∫1/√(1-x^2)dx = arcsinx + C，∫1/√(1+x^2)dx = arcsinhx + C。
其中，-1≤x≤14. 不定积分的换元法：设F(x)是f(x)的一个原函数，g(x)是可导函数，则∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C。
其中，F(g(x))是∫f(g(x))dx 的原函数。
二、基本初等函数的不定积分：1. e^x函数的不定积分：∫e^xdx = e^x + C。
高数大一知识点不定积分
高数大一知识点不定积分高数大一知识点：不定积分不定积分是高等数学中的一个重要概念，也是微积分学的基础知识之一。
它是对函数进行求积的过程，与导数的概念相对应。
在大一的高等数学课程中，学生通常会接触到不定积分的概念和基本的求积方法。
本文将介绍不定积分的定义、性质以及常见的求积方法。
一、不定积分的定义不定积分，也称为原函数，是函数的一个重要性质。
如果函数F(x)在区间[a, b]上具有导数f(x)，那么在该区间上的任意一点x，F(x)都是f(x)的一个不定积分。
不定积分用符号∫f(x)dx表示，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量。
不定积分的结果可以表示为F(x) + C，其中C为常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：对于任意常数a、b，以及可积函数f(x)和g(x)，有∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
2. 基本积分表：大部分常见的函数的不定积分都有对应的基本积分表。
例如，∫xdx = 1/2x^2 + C，∫s in(x)dx = -cos(x) + C，∫e^xdx = e^x + C等。
3. 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)是函数f(x)在[a, b]区间上的一个原函数，那么∫f(x)dx在区间[a, b]上的积分为F(b) - F(a)。
三、常见的求积方法1. 代入法：通过选择适当的变量代换，将被积函数转化为求解简单的不定积分。
例如，∫2x(1 + x^2)^3dx，可以通过代入u = 1 + x^2，将原积分转化为∫2(u)^3du，然后再进行求积。
2. 分部积分法：通过对乘积的导数进行积分，可以将被积函数转化为求解简单的不定积分。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
例如，∫x*sin(x)dx，可以选择u = x，dv = sin(x)dx，然后再根据公式进行计算。
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则cos x就 sin x的 个 函 . 是 一 原 数
问题: 问题 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 定理 存在原函数 .
(下章证明 下章证明) 下章证明
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
1) 即 又知
∴ [Φ(x) − F(x)]′=Φ′(x) − F′(x) = f (x) − f (x) = 0
n
则
∫ f (x)dx = ∑ki ∫ fi (x)dx i=1
例5. 求 解: 原式 = ∫[(2e) −5⋅ 2 ]dx
x x
(2e)x 2x = +C −5 ln(2e) ln2
ex 5 x =2 − +C ln 2 +1 ln2
例6. 求 解: 原式 =
∫(sec x −1)dx = ∫sec2xdx − ∫ dx
( C 为任意常数 ) 例如,
ex + C ∫e dx =
x
x2dx = 1 x3 + C ∫ 3
C 称为积分常数 积分常数, 积分常数 不可丢 !
∫sin xdx = −cos x+ C
从不定积分定义可知: d [ ∫ f (x)d x ] = f (x) 或 d[ (1) dx
∫ f (x)dx ] = f (x)dx
2
= tan x − x ห้องสมุดไป่ตู้ C
例7. 求
x + (1+ x2 ) dx 解: 原式 = ∫ 2 x(1+ x ) 1 1 =∫ dx + ∫ dx x 1+ x2 = arctan x +ln x + C
x4 dx . 例8. 求 ∫ 2 1+ x (x4 −1) +1 解: 原式 = ∫ dx 2 1+ x (x2 −1)(x2 +1) +1 =∫ dx 1+ 1+ x2 dx 2 = ∫ (x −1) dx + ∫ 2 1+ x
= −3x + C
例4. 求 解: 原式=
−1 3
∫
1 sin xdx 2
= − 1 cos x+ C 2
三、不定积分的性质
1. ∫ k f (x) dx = k∫ f (x)dx (k≠ 0) 2. ∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x) d x
推论: 若 推论
思考与练习
1. 若 是( B ). 的导函数为 则 的一个原函数
(A) 1+ sin x;
(C) 1+ cos x;
提示: 提示 已知 求 即
(B) 1−sin x;
(D) 1− cos x .
f ′(x) = sin x ( ? )′ = f (x) ( ? )′′ = sin x
或由题意 f (x) = −cos x + C , 其原函数为 1
第四章 不定积分
微分法: F′(x) = ( ? ) 积分法: ( ? )′ = f (x) 互逆运算
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章 四
一、 原函数与不定积分的概念
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的一个原函数 . 例如: (sinx)′ = cos x
= sec x + csc x
2 2
∫ f (x)d x = −sin x +C1x +C2
2. 求下列积分:
提示: 提示
1 1 (1 + x2 ) − x2 1 = 2− (1) 2 = 2 2 2 2 x 1+ x x (1+ x ) x (1+ x )
2 2 1 sin x + cos x (2) = 2 2 sin xcos x sin2 xcos2 x
1 3 = x − x + arctan x + C 3
内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P188) 2. 直接积分法: 利用恒等变形 积分性质 及 基本积分公式 恒等变形, 基本积分公式进行积分 . 恒等变形 分项积分 常用恒等变形方法 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , L
(10) (11)
∫sec x tan xdx = sec x+ C ∫csc xcot xdx = −csc x+ C
exdx = ex + C ∫
x
(12)
a +C (13) ∫ a dx = lna
x
例3. 求
x 3 解: 原式 = ∫ x dx = 4 +C − 3 +1
−4 3
−4+1
故
Φ(x) = F(x) + C0 (C0 为 个 数) 某 常
它属于函数族 F(x) + C . 定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 .
定义 2.
在区间 I 上的原函数全体称为 其中 — 被积函数 被积函数; — 被积表达式 被积表达式.
(P185)
上的不定积分, 记作 — 积分号 积分号; — 积分变量 积分变量; 若 则
利用逆向思维
(2)
∫F′(x) dx =F(x) +C
或 ∫ d F(x)= F(x)+ C
二、 基本积分表 (P188)
(1) (2)
∫ kdx = kx +C ∫ x dx =
µ
( k 为常数)
1 xµ+1 + C µ+1
(µ ≠ −1)
dx (3) ∫ = ln x + C x
x < 0时 1 ( ln x )′ = [ ln(−x) ]′ = x
dx (4) ∫ = arctan x+ C 或 − arccot x+ C 2 1+ x dx (5) ∫ = arcsin x+ C 或 − arccos x+ C 1− x2
(6) (7)
∫cos xdx = sin x+C ∫sin xdx = −cos x+ C
dx (8) ∫ 2 = ∫sec2 xdx = tan x+ C cos x dx (9) ∫ 2 = ∫ csc2 xdx = −cot x+ C sin x