《七桥问题与一笔画》

教学过程

导入】

[ 引入] 我想大家对“签名”这个词一定都不陌生，拿起笔，刷刷几下，一个突显个性的签名就产生了。现在请大家看这样一个图形, 据说

穆罕默德他不识字，于是就以这个图形作为他的签名。现在

请你拿

出笔试试看，你会模仿他的签名吗（巡视一圈，请两位同学上黑

板

模仿）模仿得像不像呢我想穆罕默德看到了一定能辨出真假，因为他这

个签名是一笔画成的，你用几笔画成，连接处可能会有空隙，

而且这个感觉根一笔画出来的肯定是不一样。

穆罕默德应该是伊斯兰教的，跟中国的回族有

点联系，所以看了这个进口的问题之后，使我很自然地联想到我

们国产的一个游戏，请大家看这个图形，有点像“回”字，你能不能从某一点出发，不重复地一笔把它画出来这就是中国民间古老的一笔画游戏，而这个图形实际上也是来源于生活。大家知不知道古代量米用的“斗”上下都是四方的，底小口大，从上往下看就是这样的图形。我记得我小学时候就玩过这个游戏，但是试了很久也没有成功，大家动笔试试看。好像有点难度吧。

这类“一笔画”问题中最著名的当属“哥尼斯堡七桥问题”了

[ 七桥问题]

故事发生在十八世纪的东普鲁士，哥尼斯堡是一座风景秀丽的城市，普莱格尔河从这里流过，它有两条支流，一条称新河，另一条叫旧河，两河在城中心汇合成一条主流，叫做大河。汇合处有两座小岛，河上有7 座桥，岛上有古老的哥尼

欧拉想到，小岛无非是桥梁的连接地点，

两岸陆地也是如此，那么可以把这四处地点用

A,B,C,D 四个点来表示，同时将七座桥表示成

连结其中两点的七条线，就得到这样一张

图．于是，欧拉建立了一个数学模型，一个人

不重复地走遍所有的七座桥，就相当于从图中某一点出发，不重复地一笔画出图来．这样，“七桥问题”就转化为“一笔画”问题

欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个

起点开始画，也有一个终点。图上其它的点是“过路点”—

—画的时候要经过它。

这些点有什么特征呢我们先来看看“过路

点”，它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一

条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点。因此，在“过路点” 进出的边总数应该是偶数。

如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出” 的点，因此必须连着偶数条边，这样图上所有点都连偶数条边。

如果起点和终点不是同一点，那么这两点连有奇数条边，这也是图中仅有的连着奇数条边的点。

现在对照七桥问题的图，A点连有3条边，B点连有5 条边，C点D 点各连3 条边，所以欧拉得出的结论是这个图肯定不能一笔画成，也就是说要想不重复的走遍这七座桥是不可能的。

公元1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文，论文的开头是这样写的：“讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热心地研究着，但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分支；莱布尼兹最先提起过它，称之‘位置的几何学'。这个几何学分支讨论只与位置有关的关系，研究位置的性质，它不去考虑长短大小，也不牵涉到量的计算，但是至今未有过令人满意的定义，来刻划这门位置几何学的课题和方法，⋯⋯”欧拉用了最简单的图形——点和线，巧妙地彻底解决了“七桥问题”．虽然，中国民间很早就流传着这种一笔画的游戏，但是很可惜，古时候没有人对它引起足够的重视，也没有数学家对它进行经验总结，以及加以研究。

[ 拓展]

我们今天学习欧拉的成果不应是单纯把它作为数学游戏，重要的是应该知道他怎样把一个实际问题抽象成数学问题。研究数学问题不应该为“抽象而抽象” ，抽象的目的是为了更好的、更有效的解决实际产生的问题，欧拉对“七桥问题”的研究就是值得我们学习的一个样板。

欧拉对哥尼斯堡七桥问题的解决远远超出了它的娱乐价值，由此提出的新思想开辟了数学的一个新的领域——图论，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。此后许多著名的数学游戏成为图论和拓扑学发展的催化剂和导引，如哈密尔顿问题（绕行世界问题）、四色猜想等。直到20 世纪中期，这两门学科才逐步完善并迅速发展。

可

看作

这样

一个

图形来处理

2、甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度走遍所有的街道，

甲从A点出发，乙从B点出发，最

后都回到邮局（C 点）。如果要选择

最短的线路，谁先回到邮局

图中A，C 为奇点，其余都是偶点。甲从A 点出发，可以不重复到达

重复的路，所以甲先回到邮局。

3、下图是一个公园的平面图，能不

能使游人走遍每一条路不重复入口