大学物理-刚体运动学

1 12
得： I1 x d m x 2
2 l 2
2
m
l
d x
ml 2
(2) 转轴过顶端,与棒垂直
0
x
dx
x
2 l
m 2 1 2 取dx： 得：I 2 x d m x d x ml 3 0 l
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平行轴定理：
l 2
I I c md 2
质心 C
r
πR
R 0
2
2
I0 r d m r
2
πR
2
m， R
mR 2
2
17
1
例：如图所示,滑轮质量m,半径R ( I 1 mR2 ). (注意:在中学里 2 一般滑轮质量略去不计）求：物体的加速度和绳的张力。
T1 T1
源自文库T1

T2 T2
(m2 )： m2 g T2 m2a (1) (m1 )： T1 m1g m1a ( 2)
M
0

r
p

F

p 力F的作用点。 M r F
方向 ，大小M rF sin
如果：方向 ,

M , (同向)加速转动。 M , (反向）减速 —阻力矩。
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(2) 外力不在垂直于转轴的平面内
P63 结论：z轴转动平面内的分量 的运算就是对z轴的力矩。
合外力矩M
合内力矩=0
I－转动惯量
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Fi ri sini fi ri sinθi Δmi ri
2
Fi ri sini fi ri sinθi (Δ mi ri )
2 i i i
合外力矩M
合内力矩=0
I－转动惯量
M=I —转动定理
d ω d2 θ 2 dt dt
m
d
2
m
I A md 2 md 2 2md 2
叠加原理
I 0
d 3a m， (a ). 3
与转轴的位置有关。
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例：细棒质量m,均匀分布,长l
0
x
dx
质量连续分布：
I r2 d m
x
(1) 转轴过中心,与棒垂直.
m 取dx： d m d x l l

转动惯量与转轴 的位置有关
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2.2 转动定理
fi
O

Fi
i P( mi )
i
取质点P( mi ) 受外力Fi、 内力fi， 并设Fi、 fi 都在转动平面内。
现对P质点mi写出法、切向 运动方程（按牛顿定律 ）：
ri
Fi cosi fi cos θi Δmi ain Δmi riω2
质量是平动中惯性大小的量度。
转动惯量是转动中惯性大小的量度。
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注意：转动惯量与质量有关，与运动速度无关。 质量一定时,与质量的分布有关，并且与转轴的位置有关。 转动惯量计算： 2 I Δ mi ri , i m 例： 三个质点m组成一个正三角形 d d 刚体结构。求IA、I0 。
0 A
ˆ ˆM ˆ M r F M xi j M k y z
Lz ：质点对z轴的角动量
讨论
ˆ) ( F i ˆ ˆ yˆ ˆ ˆ M r F ( xi j zk x Fy j Fz k )
Mz ：质点对z 轴的力矩
ˆ ˆ ( zF xF ) ˆ ( yFz zFy )i x z j ( xFy yFx )k
定轴转动定理（律）在转动问题中的地位 相当于平动时的牛顿第二定律
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例:几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上， 讨论 如果这几个力的矢量和为零，则此刚体 (A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变． (C) 转速必然改变． (D) 转速可能不变，也可能改变． 答案：( D ) 参考解答：在应用转动定律M=I 时应注意M是合外力矩，是外力 力矩之和，而不是合外力的力矩。几个力的矢量和为零，有合外力 矩也为零或不为零的两种情况，所以定轴转动的刚体其转速可能不 变，也可能改变。
M z ( xFy yFx )
7
求力对z 轴的力矩Mz的(教材)简化步骤：
M z ( xFy yFx )
第1步，通过质点画z轴转动平面（过质点垂直转轴的平面，即 过质点的xy平面） 第2步，认定位矢和力在转动平面内的分量,
第3步，算出力对z轴的力矩.
ˆ M z k r F
ˆ yˆ ˆF ˆ r F ( xi j) ( Fxi y j) ˆ ( xFy yFx )k
转轴
z
r轴
F
F轴
转动平面
o
o
r
结论：z轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩
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2 转动定理 转动惯量（刚体动力学）
2.1力对转轴的力矩. (1)外力在垂直于转轴的平面内。
解： 2k 单位： (rad s1 ), v r 2πk (3i 4 j 5k ) 8πi 6πj
还可解行列式
i j k 0 0 2π 3 4 5
质元
d S r d r d
dV d Se r d r d e
阻力矩向下，与0方向相反！
如图，把圆盘分成许多如图的 质元 ， 每个质元的质量为dm， dm= dV= rddre，(e是盘的厚度) 所受到的阻力矩dM=rdmg。
圆盘所受阻力矩
M dM
M r d mg g rre d d r 2 2 R 2 ge0 d 0 r d r geR3 3
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2.3 转动惯量的计算 按转动惯量的定义有 I ri2 mi 刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成 积分形式 dm—质元的质量 平动：一维直线运动 类比： 转动：定轴转动
I r 2dm
r —质元到转轴的距离
dv d2 x F ma m m 2 dt dt
d d2 M I I I dt d t2
6j 8i
5
刚体运动学综合例题: 一飞轮转速n =1500r/min，受到制动后均匀 地减速，经t =50 s后静止。 (1)求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N； 0 (2)求制动开始后t =25s 时飞轮的角速度 ； 解(1)初角速度为0 =21500/60=50 rad/s，方向如图
d 两平行轴之间的距离。
I1 1 2 1 ml 、I 2 ml 2 12 3
2
2
1
1 I 2 I1 m l 2
取半径为r，宽为dr的圆环
例：均匀薄圆盘，转轴过中心与盘面垂直，求I0 。
dm σ d s m 2πr d r
m 2πr d r
0
r
dr
1
(3)刚体的转动
刚体中各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动. 转轴固定不动,称为定轴转动.
(4)转动运动学的物理量 转动平面：任取一垂直于转轴的平面 P为刚体上一质点，在转动平面 内绕0点作圆周运动。
转轴
具有角位移 d ,角速度 ,角加速度 .
再任取一点K，在同一个dt内， 也转过同样的d角。
3
1.2 角速度矢量
转轴


v

P
0
r
的方向由右手螺旋定则 确定。 v与之间的矢量关系：


v r
（圆周运动 ：v r）
4
例：一刚体以每分钟60转绕z轴做匀速运动, ( 沿z轴正方向)，
设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为：r 3i 4 j 5k （单位为“10-2m”），若以“10-2ms-1”为单位，则该时刻P点 的速度为：
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也可以把圆盘分成许多圆环形质元， 每个质元的质量dm= dV= 2rdre， 所受到的阻力矩是rdmg 。
M r d mg g r 2r d re 2 R 2ge 0 r 2 d r geR 3 3
dr
r
质元
e
d s 2r d r
1. 刚体运动学
1.1 刚体的平动和转动 (1) 刚体、刚体的平动 刚体：无论在多大的外力作用下，总是保持其形状、大小 不变，理想化的模型。 (2) 刚体的平动 刚体内任何一条给定的直线,在运 动中始终保持它的方向不变。 各质点具有相同的速度和 加速度，所以刚体平动时任何 一点的运动都可代表整个刚体 的运动。 刚体的平动时可看成质点。
0
dt
d
P
参考方向
K
d
d d 因为： ， 。 dt dt
所以：刚体中任何其它质点都具有相同的，，
2
即(，， )三量具有普遍性。知一点 的(，， )，可知整个刚体的运动。 故用(,,）描写刚体的转动。
所以：定轴转动刚体中任何其它质点 都具有相同的，，
例:一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时， 它们对轴的合力矩也一定为零吗？举例说明之。 答: 并不是一定为零。 如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。当驾驶员用 两手操纵方向盘时，就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个 力。对转盘而言，合外力为零，但这两个力的力矩大小相等，方向一致， 故合力矩不为零。
因m=eR2，代入得 M
2 d V 2r d re mgR 3 根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度.
M I

2 1 mgR mR 2 3 2 4 g 3 R
1 ( I mR2 ) 2
对于匀变速转动，应用以角量表示的运动方程， 在t=50s 时刻 =0，代入方程 =0+ t 得 0 50 rad s2 3.14 rad s2 t 50 (2)t=25s 时飞轮的角速度为 从开始制动到静止，飞轮的角位移 0 t 50 25 及转数N分别为 1 1 2 25 78 . 5 (rad s ) t t
a R （ 4 ）
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例 : 一半径为 R，质量为 m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌 面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停 止转动？ 0 解：由于摩擦力不是集中作用于 某一点，而是分布在整个圆盘与 桌子的接触面上，其力矩的计算 e d 要用积分法。 dr
Fi sini fi sinθi Δmi ai Δmi ri
将第 2式两边乘以 ri
Fi ri sini fi ri sinθi Δmi ri
2
对刚体中所有 质点求和：
Fi ri sini fi ri sinθi (Δmi ri )
2 i i i
O
r
1 2 50 50 50 1250 rad 2 1250 N ＝ 625转 2 2
0
0
的方向与0相同；
6
对轴的角动量和对轴的力矩, 矢量代数的一般处理方式：在具体的坐标系中，角动量（或 力矩）在各坐标轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。 ˆ ˆL ˆ L r P Lxi j L k P63 y z
T1 T2 ?
a
m1
m1g
T2
m2
对滑轮：取 方向为正方向 , 由 M Iβ 1 T2 R T1R mR 2 （ 3 ） 2
0, T1 T2 ,
a
m2 g
(a,T 3个方程。 1,T 2 , ) 共4个未知数，
（ m2 m1 ）
又，绳与轮间无滑动，滑轮边缘的切向 加速度R,和物体的加速度相等.
转轴

F1
0

F
F2
z
r轴
F
F轴
r
P
转动平面
o
o
r
ˆ M z k r F
将F分解成 F1和F2。 F1与转轴平行， F2在转动平面内。 F1对转动无贡献，仅考虑 F2， M r F2 （有效力矩）。 F1 M 、 , 对转动无贡献。