北师大八年级下三角形的证明练习题培优训练
2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升训练( 含答案)
2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升训练（ 含答案）一、单选题1．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，若△CDM 周长的最小值为8，则△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．16C ．24D ．32 2．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别为R 、S ，若AQ =PQ ，PR =PS ，则下列四个结论：①PA 平分∠BAC ；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△CSP ，其中结论正确的的序号为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 3．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=︒，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（ ）A ．()20182(3),0-⨯B ．()20180,2(3)-⨯B ．C ．()20192(3),0⨯D ．()20190,2(3)-⨯4．如图，直线l ：y =，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…按此作法继续下去，则点A 2015的坐标为( )A ．（0，42015）B ．（0，42014）C ．（0，32015）D ．（0，32014） 5．已知，如图，ABC ，点,P Q 分别是BAC ∠的角平分线AD ，边AB 上的两个动点，45C ︒∠=，6BC =，则PB PQ +的最小值是（ ）A ．3B ．23C ．4D ．32 6．如图，在Rt ABC ∆中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ︒∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当∆ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（ ）A ．5B ．8C ．254D ．2587．如图, 在△DAE 中, ∠DAE ＝40°, B 、C 两点在直线DE 上，且∠BAE ＝∠BEA ，∠CAD ＝∠CDA ，则∠BAC 的大小是（ ）A．100°B．90°C．80°D．120°8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2 B．2.5 C．3 D．49．如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC=60°，AB=10，CF=EF，则△ABC 的面积为（）A．203B．253C．303D．40310．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（5，0），有一动点P在直线AB上，△APO是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题11．已知：如图，∠ABC＝40°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝_____°．12．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是__________．（填写序号）13．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则22MN BM的值为______________．14．已知：四边形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠BAD =90°，三角形ABC 的面积为1，则线段AC 的长度是___________.15．在Rt △ABC 纸片中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P 是AB 边上一点，连接CP ．沿CP 把Rt △ABC 纸片裁开，要使△ACP 是等腰三角形，那么AP 的长度是________ 16．如图，△ABC 是等边三角形，点P 是AB 的中点，点M 在CB 的延长线上，点N 在AC 上，且满足∠MPN=120º．已知△ABC 的周长为12，设m=2AC-CM-CN ，若关于x 的方程53mx m x n -=-的解是正数，则n 的取值范围是__________17．已知在△ABC 中,两边AB 、AC 的中垂线，分别交BC 于E 、G ．若BC ＝12，EG ＝2，则△AEG 的周长是________．18．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．19．已知等边三角形ABC 的边长为6，有从点A 出发每秒1个单位且垂直于AC 的直线m 交三角形的边于P 和Q 两点且由A 向C 平移，点G 从点C 出发每秒4个单位沿C →B →P →Q →C 路线运动，如果直线m 和点G 同时出发，则点G 回到点C 的时间为_________．20．如图，过边长为1的等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连接PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为______.三、解答题21．如图，在已知ABC △中，AB AC =，点D 在BC 上，过D 点的直线分别交AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ，且BE CF =．求证：DE DF =．22．如图所示，点O 是线段AC 的中点，OB AC ⊥，9OA =.（1）如图1，若30ABO ∠=︒，求证ABC ∆是等边三角形；（2）如图1，在（1）的条件下，若点D 在射线AC 上，点D 在点C 右侧，且BDQ ∆是等边三角形，QC 的延长线交直线OB 于点P ，求PC 的长度；（3）如图2，在（1）的条件下，若点M 在线段BC 上，OMN ∆是等边三角形，且点M 沿着线段BC 从点B 运动到点C ，点N 随之运动，求点N 的运动路径的长度. 23．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).24．已知：点A 在射线CE 上，C D ∠=∠．（1）如图1，若//,AC BD 求证：//AD BC ．（2）如图2，若,BD BC BD ⊥与CE 交于点,G 请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D 作//DF BC 交射线CE 于点,F 当8,DFE DAE ∠=∠BAC BAD ∠=∠时，直接写出BAD ∠的度数为25．如图，ABC ∆中，90,5,4ACB AB BC ︒∠===，若点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A C B A －－－运动（回到点A 停止运动），设运动时间为t 秒． （1）当点P 在BC 上时，且满足PA PB =时，求出此时t 的值；（2）当点P 在AB 上时，求出t 为何值时，ACP ∆为以AC 为腰的等腰三角形．26．如图1，在平面直角坐标系中，已知A （a ，b ），且a 、b 满足22+1b a a =-+-， （1）求A 点的坐标及线段OA 的长度； （2）点P 为x 轴正半轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，求P 点的坐标；（3）如图2，若B （1，0），C （0，－3），试确定∠ACO+∠BCO 的值是否发生变化，若不变，求其值；若变化，请求出变化范围.27．如图，∠AOB=115°，∠EOF =155°，OA 平分∠EOC ，OB 平分∠DOF ，（1）求∠AOE+∠FOB 度数；（2）求∠COD 度数。
三角形的证明2020-2021年八年级数学下学期培优巩固提升卷(北师大版)(原卷版)
2021八年级数学下册同步课堂培优--三角形的基础证明【能力知识点】1 等腰三角形(1)等腰三角形的有关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
(2)等腰三角形的性质等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。
（简写成“等边对等角”）等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
（三线合一）(3)等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（简写成“等角对等边”）等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形2 等边三角形(1)等边三角形的有关概念在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。
(2)等边三角形的性质60。
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于②等边三角形三边都相等.③还满足等腰三角形的所有性质(3)等边三角形的判定等边三角形的判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形；等边三角形的判定2：三边都相等的三角形是等边三角形60的等腰三角形是等边三角形；等边三角形的判定3：有一个角是(4)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
3 等腰直角三角形(1)在等腰三角形中，还有一种特殊的等腰三角形————等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它的两直角边相等直角边与斜边的夹角是锐角45度，(2)斜边上中线，角平分线，垂线三线合一(3)三边的比值为1：1:24.直角三角形直角三角形的性质与判定：(1)直角三角形两锐角互余；(2)有一个角等于 90°的三角形是直角三角形；(3)含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么30°角所对的直角边等于斜边的一半(4)勾股定理①勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2②勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足若c2=a2+b2，那么这个三角形是直角三角形。
北师大八年级下三角形的证明练习题培优训练
北师大八年级下三角形的证明练习题培优训练Revised by Chen Zhen in 2021第一章 培优训练1．在△ABC 中，∠BAC=130°，若PM 、QN 分别垂直平分AB 和AC ，那么∠PAQ= 度． 2．在等腰三角形ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 是BC 上一点，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE+DF= ．3．如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A 与B 重合，∠B=30°，AC=3，则折痕DE 等于 ．4．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DE 于F ，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠E=105° ∠DAC=10°则∠DFB= ．(3题图)(4题图) 5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度 6、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根。
7．两个三角形如果具有下列条件：①三边对应相等；②两边和其中一边上的中线对应相等；③两边和第三边上的高对应相等；④三个角对应相等；⑤两边和一个角对应相等；其中一定全等的有( )个A ．2B ．3C ．4D ．5 (1题图) (2题图)(5题图)E D(B)B C A8．在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，M是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，∠CMD=35°，则∠MAB 是多少度”大家经过了一翻热烈的讨论交流之后，小雨第一个得出了正确结论，你知道他说的是( )A ．20°B ．35°C ．55°D ．70°9．从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为( )A．23 B ．32 C ．2 D ．22 10．如图，在等边三角形ABC 的三边上有三点D 、E 、F ，且△DEF 也是等边三角形，其中BD=3，CF=1，则△ABC 的高等于( )A ．3B ． 23C ．10D ．411．在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝21（AB ＋AD ），求∠ABC ＋∠ADC 的度数． （11题图） 12. 如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o ，（1）在图1中，AC 与BD 相等吗请说明理由（4分）（2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC 与BD 还相等吗为什么（8分）13.在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF A B CE DA B C DE FA BCD M (10题图)求证：①G 是CE 的中点．②∠B=2∠BCE ．（15题图）16.如图，美伊战争中，特种兵在C 处发现E ，F 处各有一股伊军，电传A ，B 两处的美军，此时，△ABC 为等边三角形，F ，E 点恰好在BA ，BC 的延长线上，由于伊军分布情况，A 股美军抵F 后分化一部分向CE 中点D 行军，经测量，AF=BE,试判断FD 能为F 到CE 的最近距离吗并说明理由。
2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章：三角形的证明 培优达标卷
2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章三角形的证明培优达标卷一、单选题1．下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．4，6，8B ．3，4，5C ．5，12，14D ．23，22，252．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．63．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，20cm BC =，则AM 的长度为（ ）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm4．如图，△ABC 的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（ ）A ．1:1:1B ．1:2:3C ．2:3:4D ．3:4:55．在等边三角形ABC 中，D E ，分别是BC AC ，的中点，点P 是线段AD 上的一个动点， 当PC PE +的长最小时，P 点的位置在（ ）A ．A 点处B ．AD 的中点处C ．ABC ∆的重心处D ．D 点处6．如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB,若BE=2，则AE 的长为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．27．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM+CN=7，则MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．已知三条不同的射线OA 、OB 、OC 有下列条件：①∠AOC=∠BOC ②∠AOB=2∠AOC ③∠AOC+∠COB=∠AOB ④∠BOC=12∠AOB ，其中能确定OC 平分∠AOB 的有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个 9．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④αCE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠的度数为（ ）A ．α3B ．α2C ．α302︒-D ．45α︒-11．如图，在△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点F ，CD ⊥BD ，垂足为D ，交BA 的延长线于点E ，AH ⊥BC 交BD 于点M ，交BC 于点H ，下列选项不正确的是（ ）A ．∠E ＝67.5°B ．∠AMF ＝∠AFMC ．BF ＝2CD D ．BD ＝AB +AF12．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（ ）A ．6B ．152C ．32D ．72964二、填空题 13．一个等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则它的周长为______cm ．14．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____15．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 是BC 上一点，且∠BAP ＝90°，CP ＝4cm ．则BP 的长＝________．17．如图，射线OC 是AOB ∠的平分线，Р是射线C 上一点，PD OA ⊥于点,6D DP =，若E 是射线OB 上一点，4,OE =则OPE 的面积是_______________________．18．如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =6，AD 平分∠BAC ，CD =2，DE ⊥AB 于E ，则ABD S 等于_____________．19．如图，在ABC ∆中，BD 、BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H ，下列结论：①∠DBE=∠F ；②2∠BEF=∠BAF+∠C ；③()12F BAC B ∠=∠-∠；④∠BGH=∠ABE+∠C ．其中正确的是_________ ．20．如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第4个三角形中以A 4为顶点的底角度数是_____．第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是_____．三、解答题21．已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且18a =，32b =，50c =．（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如果一个正方形的面积与ABC 的面积相等时，求这个正方形的边长．22．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC =，13AB =，点D 是Rt ABC ∆外一点，连接DC ，DB ，且4CD =，3BD =．（1）求证：90D ∠=︒（2）求：四边形ABDC 的面积．23．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=． 24．已知：如图，在ABC 中，AB AC >，45B ∠=，点D 是BC 边上一点，且AD AC =，过点C 作CF AD ⊥于点E ，与AB 交于点F（1） 若CAD α∠=，求：①BAC ∠的大小；②BCF ∠的大小；（用含α的式子表示）（2）求证：AC FC =25．如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，且,//,AD AB AE BC BAD CAE =∠=∠，连接,DE 交AC 于点F ．（1）若65B ∠=︒，求C ∠的度数．（2）若AE AC =，则AD 平分BDE ∠是否成立？判断并说明理由．26．如图，AE 、BD 是ABM 的高，AE ，BD 交于点C ，且AE BE =．（1）求证；AME BCE ≌△△；（2）当BD 平分ABM ∠时，求证：2BC AD =；（3）求MDE ∠的度数．27．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________．28．（1）如图①，D 是等边ABC 的边AB 上一动点（点D 与点B 不重合），连接CD ，以CD 为边，在BC 上方作等边DCE ，连接AE ，你能发现AE 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AE 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）如图③，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边DCE 和等边DCE '，连接AE ，BE '，探究AE ，BE '与AB 有何数量关系？并证明你的探究的结论．参考答案1．DA. 4，6，8，468<<，∴2224+6=16+36=5264=8<，∴A 选项不能够作为直角三角形的三边长； B. 3，4，5，345<<，∴2223+4=3+4=75=5>，∴B 选项不能够作为直角三角形的三边长；C. 5，12，14， 51214<<，∴2225+12=25+144=169196=14<，∴C 选项不能够作为直角三角形的三边长；D. 23，22，25，222325<<，∴()()()22222+23=8+12=20=25， ∴D 选项不能够作为直角三角形的三边长，2．C连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=，在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥， ∴12CF BF BC ==， 在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒，∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=， ∴8BE BC CE =-=；3．A解：作MN ⊥AD 于N ，如图，∵∠B ＝∠C ＝90°，∠ADC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥CD ，MN ⊥AD ，∴MC ＝MN ，∵M 点为BC 的中点，∴MC ＝MB=12BC=12×20=10cm ， ∴MN ＝MB ，∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝12∠DAB＝12×60°＝30°，∴AM=2MB=20cm，4．C过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=6，BC=9，AC=12，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4，故选C.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．5．C解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，当PC PE的长最小时，即PB+PE最小则此时点B、P、E在同一直线上时，又∵BE为中线，∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的重心，6．B∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，∴∠B＝∠ECD，BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝90o,又∵∠B=30°，BE=2,∴∠ECD=30°,CE=2,DE=12BE=1,又∵CE平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵在△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°，∴AE＝12CE＝1；7．B【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN，∵BM+CN=7，∴MN=7，8．D【解析】如图，根据角平分线的意义，可由∠AOC=∠BOC，知OC是∠AOB的平分线；如图，此时，∠AOB=2∠BOC ，∠BOC=12∠AOB ，但OC 不是∠AOB 的平分线； 由于∠AOC+∠COB=∠AOB ，但是∠AOC 与∠COB 不一定相等，所以OC 不一定是∠AOB 的平分线. 所以只有①能说明OC 是∠AOB 的角平分线.9．C选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴= 10．B解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图， DAC α∠=，αDAB 902∠=︒-，αEAM 902∠∴=︒-， AE ∴平分MAD ∠，EM EN ∴=，CE 平分ACB ∠，EM EH ∴=，EN EH ∴=，DE ∴平分ADB ∠，11ADB 2∠∠∴=， 由三角形外角可得：1DEC 2∠∠∠=+，12ACB 2∠∠=，11DEC ACB 2∠∠∠∴=+， 而ADB DAC ACB ∠∠∠=+， 11DEC DAC α22∠∠∴==， 故选：B ．11．D【详解】解：∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF ＝22.5°，∵BD ⊥CD ，∴∠E ＝67.5°，故选项A 正确，∵AH ⊥BC ，∴∠AHB ＝∠BAC ＝90°，∴∠ABF+∠AFB ＝90°，∠CBF+∠BMH ＝90°，∴∠AFB ＝∠BMH ，∴∠AFM ＝∠BMH ＝∠AMF ，故选项B 正确，∵CD ⊥BD ，∴∠BDE ＝∠BAC ＝90°，∴∠E+∠EBD ＝90°，∠E+∠ACE ＝90°，∴∠EBD ＝∠ACE ，在△ABF 和△ACE 中，BAC CAE AB ACABF ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABF ≌△ACE （ASA ），∴AE ＝AF ，BF ＝CE ，∴AB+AF ＝AB+AE ＝BE ，∵Rt △BED 中，BE ＞BD ，∴AB+AF ＞BD ，故选项D 错误，在△EBD 和△CBD 中，EBD CBD BD BDBDC BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EBD ≌△CBD （ASA ），∴BF ＝CE ＝2CD ，故选项C 正确，12．C【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥∴1=30∠︒，∴===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∴111A B =，∴21121A B A A ==，∴22OA =，∵222OA A B =，∴22122A B B A =∵23B A OM ⊥，∴122334////B A B A B A∴1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8∴3323324A B B A OA ===，∴331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ．13．17【详解】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17cm ；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm ．故答案为：17．解：连接DA、EA，如图，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．15．32解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴3∠ABP+24°+60°＝180°，解得：∠ABP＝32°，16．8cm解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴∠PAC=30°，∴∠C=∠PAC，∴PA=PC=4cm，∵∠BAP=90°，∠B=30°，∴BP=2AP=8cm．故答案为：8cm17．12【详解】解：作PH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，∴PH=DP=6，∴△OPE的面积=12×OE×PH=12×4×6=12，故答案为：12．18．6解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=2，∴CD=DE=2，∵AB=6，∴16262ABDS=⨯⨯=．故答案为：6．19．①②③④①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C ，∴2∠BEF=∠BAF+∠C ，故②正确；③∠ABD=90°-∠BAC ，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC ， ∵∠CBD=90°-∠C ，∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE ，由①得，∠DBE=∠F ，∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE ，∴∠F=12（∠BAC ﹣∠C ），故③正确； ④∵∠AEB=∠EBC+∠C ，∵∠ABE=∠CBE ，∴∠AEB=∠ABE+∠C ，∵BD ⊥FC ，FH ⊥BE ，∴∠FGD=∠FEB ，∴∠BGH=∠ABE+∠C ，故④正确．20．758 11()752n -⨯︒ 【详解】在1CBA 中，30B ∠=︒，1A B CB =， ∴1118030752BAC BCA ︒-︒∠=∠==︒， 又∵121A A A D =,1BA C ∠是12A A D 的外角． ∴21211117522DA A A DA BAC ∠=∠=∠=⨯︒． 同理可得：2323221111175()752222EA A A EA DA A ∠=∠=∠=⨯⨯︒=⨯︒， 34343321175()75228FA A A FA EA A ︒∠=∠=∠=⨯︒=， 综上可知规律：第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是11()752n -⨯︒ 故答案为758，11()752n -⨯︒． 21．解：（1）在ABC <<222250a b +=+=，2250c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴是直角三角形；（2）设这个正方形的边长为x ，∵一个正方形的面积与ABC 的面积相等，∴212x =，解得：x =±0x ，x ∴=答：这个正方形的边长为x =22．解：（1）在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13， ∴BC 2=AB 2-AC 2=132-122=25，∴BC=5，∵CD=4，BD=3，∴CD 2+BD 2=42+32=25，∵BC=5，即BC 2=25，∴CD 2+BD 2=BC 2，∴△DBC 是直角三角形，∴∠D=90°．（2）∵△DBC 是直角三角形，且∠D=90°， ∴1134622S ∆=⨯=⨯⨯=DBC BD DC ， ∵在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5， ∴115123022S ∆=⨯=⨯⨯=ABC BC AC ， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △DBC =30+6=36．23．．证明（1）如图：∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠B=∠C ，BD=CD ，在△BDE 与△CDF 中，BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF ；（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，∴∠AGH=60°，∵AB=AC ，AD 是中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD=30°∠AHG=90°，∴GH=12AG ， ∵AG=12AB ， ∴GH=14AB ． 24．（1）解：①AD AC =，CAD α∠=， 11(180)9022BCA ，②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图所示：90DAG ADG ∴∠+∠=︒，1122CAG DAG CAD ，CF AD ⊥于点E ，90DCE ADG ， 1122DCE DAG CAD ，即12BCF ； （2）证明：45B ∠=︒，AG BC ⊥，45BAG =∴∠︒，45BAC CAG ，45AFC DCE ，DCE DAG ，CAG DAG ∠=∠，BAC AFC ，AC FC ．25．解：（1）∵∠B=65°，AB=AD ，∴∠ADB=∠B=65°，∵∠B+∠BAD+∠BAD=180°，∴∠BAD=50°，∵∠CAE=∠BAD ，∴∠CAE=50°，∵AE ∥BC ，∴∠C=∠CAE=50°；（2）AD 平分∠BDE ，理由是：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，即∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，ABADBAC DAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）∴∠B=∠ADE ，∵∠B=∠ADB ，∴∠ADE=∠ADB ，即AD 平分∠BDE ．26．（1）证明：∵AE 、BD 是ABM 的高，∴90ADB AEB AEM ∠=∠=∠=︒，∵ACD ECB ∠=∠，180MAE ADC ACD ∠+∠+∠=︒，180CBE ECB CEB ∠+∠+∠=︒，∴MAE CBE ∠=∠，在AME △和BCE 中，MAE CBE AE BE AEM BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AME B ASA CE ≌．（2）∵BD 平分ABM ∠，BD 是高，∴ABD MBD ∠=∠，90ADB MDB ∠=∠=︒，∵在ABD △和MBD 中，ADB MDB BD BD ABD MBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD MBD ASA ≌△△， ∴12AD DM AM ==， ∵AME BCE ≌△△，∴AM BC =，∴2BC AD =．（3）∵45MDE ∠=︒，过点E 作EF ED ⊥交BC 于点F ，∵DEF AEB ∠=∠，∴DEA BEF ∠=∠；∵MAE CBE ∠=∠，且AE BE =，∴AED BEF △≌△；∴ED EF =，∴45EDF EFD ∠=∠=︒；∵90BDM ∠=︒，∴45MDE ∠=︒．27．证明：（1）AD BC ⊥，AO BO ⊥，90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．又AEO BED ∠=∠，OAE OBC ∴∠=∠．(5,0)A -，(0,5)B ，5OA OB ∴==．在AOE △和BOC 中OAE OBC OA OBAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)AOE BOC ∴≌，OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，3OE OC ∴==，(0,3)E ∴．（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，AE BC =，1122AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，OM AD ⊥，ON BC ⊥，DO ∴平分ADC ∠．（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∵OAP OBC ∠=∠∴∠OBC=∠PAO =30°．28．（1）AE=BD ．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴ BC=AC ，∠BCA=60︒，DC=CE ，∠DCE=60︒，∴ ∠BCA −∠DCA=∠DCE −∠DCA ，即 ∠BCD=∠ACE ， 在△BCD 和△ACE 中，BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △BCD ≌△ACE ，∴ AE=BD ；（2）AE=BD 仍然成立．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴CB=CA ，CD=CE ，∠BCA=∠DCE=60︒， ∴ ∠BCA+∠DCA=∠DCE+∠DCA ， ∴∠BCD=∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴ AE=BD ；（3） AE+BE ′=AB ．证明：由（1）知：△BCD ≌△ACE ， 则 BD=AE ，在△BCE ′和△ACD 中，BC AC BCE ACD E C DC =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BCE ′≌△ACD （SAS ），则 BE ′=AD ，又∵BD=AE ，∴ AE+BE ′=BD+AD=AB ，即 AE+BE ′＝AB ．。
北师大版2019八年级数学下册第一章三角形的证明培优训练题一(含答案)
北师大版2019八年级数学下册第一章三角形的证明培优训练题一（含答案）1．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，D 为BC 的中点，EF =3，BC =8，则△DEF 的周长是 （ ）A ．7B ．10C ．11D ．142．如下图，已知△ABC （AB<BC ），用尺规在BC 上确定一点P ，使PA+PB=BC 。
则下面四种不同方法作图中准确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知OC 平分∠AOB,CD//OB，若OD=3 cm ，则CD 等于：（ ）A ．1.5cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．已知,A,B,C ABC a ∠∠∠中的三边、b 、c 是三角形的三边长，由下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是（ ）A ．ABC ∠+∠=∠ B ．A B C ∠∠∠：： 1:2:3= C ．222a c b =-D ．a : b : c =4:5:65．一个等腰三角形的一个内角为500，那么这个等腰三角形的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A ．250 B ．400 C ．250 或400 D ．无法确定6．如图，∠POQ=30°，点A 在OP 边上，且OA=6，试在OQ 边上确定一点B ，使得△AOB 是等腰三角形，则满足条件的点B 个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，那么作法的合理顺序是（ ）①作射线OC ； ②在射线OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD =OE ；③分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径在∠AOB 内作弧，两弧交于点C ．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③①②8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是（ ）A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个9．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 ．10．一个角的余角是30º，则这个角的大小是______.11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A的度数是_____________．12．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________。
北师大版2019八年级数学下册第一章三角形的证明培优训练题二(含答案)
3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论错误的是（ ）
A．BD=ADB．BD=CDC．∠B=∠CD．∠BAD=∠CAD
4．如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（ ）
11．到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个角为90°的平行四边形为矩形
解:由作法得EF垂直平分AC，则OA=OC，
而OD=OB，
所以四边形ABCD为平行四边形，
而∠ABC=90°，
所以四边形ABCD为矩形．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若∠F=30°，DE=1，试求EF的长．
20．尺规作图：如图，在△ABC中，AB=AC，试作出下列图形：（不写作法，保留作图痕迹）
（1）△ABC的角平分线AD；
（2）AC边的中点E．
21．为了应对人口老龄化问题，国家大力发展养老事业．某养老机构定制轮椅供行动不便的老人使用．图①是一种型号的手动轮椅实物图，图②为其侧面示意图，该轮椅前后长度为120cm，后轮半径为24cm，CB=CD=24cm，踏板CB与CD垂直，横档AD、踏板CB与地面所成的角分别为15°、30°．求：
14．如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是∠CAB的平分线,CM=1.5cm,若AB=6cm,则S△AMB=________cm2.
15．如图，等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=6，则EP+CP的最小值为_____．
16．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=50°，则∠BOD的度数是__________．
北师大八下数学三角形证明大题培优一
BD AFE GC1．如图，在等腰Rt △ABC 与等腰Rt △DBE 中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE 在AB 边上,取AE 的中点F,CD 的中点G,连结GF.（1）FG 与DC的位置关系是 ,FG 与DC 的数量关系是 ；（2）若将△BDE 绕B 点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.2.把两个含有45°角的直角三角板如图l 放置，E 、C 、A 三点在一条直线上，AC=10，EC=8，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．(12分) (1)观察图1，AF 和BE 有什么样的位置关系?试证明。
(2)观察图2，先将△DEC 绕着点C 顺时针旋转45°，记为△D’E’C’，再沿着CA 边向右平移。
设平移的距离为x ，求在整个平移过程中△D’E’C’与△ABC 重叠部分的面积S 与平移的距离x 之间的关系式，并直接写出x 的取值范围。
(3)观察图3，若△D’E’C’平移到CA 边上某一点处停止平移，然后将△D’E’C’绕着点C’顺时针旋转，设旋转角为a (0°≤a <180°)。
在旋转过程中，C’D’所在的直线与BA 所在的直线相交于点P ，当a 为多少度时，△PC'A 为等腰三角形?直接写出a 的度数。
BACGFED CBH E3.已知正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，BA 在y 轴上，点B 与原点O 重合，点D 在第一象限．△ABE 是等边三角形，点E 在第二象限．M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点．（Ⅰ）如图①，若BC ，当AM CM +的值最小时，求点M 的坐标； （Ⅱ）如图②，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ，AM ，CM ． ①求证△AMB ≌△ENB ；②当AM BM CM ++的最小值为13+时，直接写出此时点E 的坐标．4.问题发现：如图1，在△ABC 中，∠C =90°，分别以AC ，BC 为边向外侧作正方形ACDE 和正方形BCFG ．（1）△ABC 和△DCF 面积的关系是______________；（请在横线上填写“相等”或“不等”）（2）拓展探究：若∠C ≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC 与BD 为10，分别以四边形ABCD 的四条边为边向外侧作正方形ABFE 正方形BCHG 、正方形CDJI ，正方形DALK ，运用（2）的图① 图②ABCD EFG结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．图1图2图35.已知，在矩形ABCD 中，连接对角线AC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到△EFG ，并将它沿直线AB 向左平移，直线EG 与BC 交于点H ，连接AH ，CG ．（1）如图①，当AB=BC ，点F 平移到线段BA 上时，线段AH ，CG 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想；（2）如图②，当AB=BC ，点F 平移到线段BA 的延长线上时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；6.如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AEￌBD，垂足是E，点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF。
北师大版八年级数学下册《第1章 三角形的证明》单元培优测试卷【附答案】
北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元培优测试卷一、选择题1．下列命题中，是假命题的是（ ）A．等腰三角形三个内角的和等于180°B．等腰三角形两边的平方和等于第三边的平方C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，53．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°4．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α5．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（ ）A．B．2C．D．36．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB+BD＝BC，则∠BAC的度数为（ ）A．74°B．69°C．65°D．60°7．下列命题正确的是（ ）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等8．等腰三角形一边的长为4cm，周长是18cm，则底边的长是（ ）A．4cm B．10cm C．7或10cm D．4或10cm二、填空题9．如图，BD、CE是等边三角形ABC的中线，则∠EFD＝．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝°．11．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是．12．如果等腰三角形的一个内角是80°，那么它的顶角的度数是°．13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．14．如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若∠C＝80°，∠CBD＝40°，则∠A的度数为°．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是．16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC 于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是．17．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝度．18．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是．三、解答题19．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数；（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．（1）求证：CF＝EF；（2）求∠EFB的度数．21．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD，BC＝6，（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP 交于点H，求证：BQ⊥CP．23．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．25．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE 的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．26．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．（1）试说明∠ABC＝2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．参考答案1．解：A、等腰三角形三个内角的和等于180°，正确，是真命题，不符合题意；B、直角三角形两边的平方和等于第三边的平方，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意，故选：B．2．解：A、22+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；C、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；D、42+52≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；故选：B．3．解：当50°为底角时，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；当50°为顶角时，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．4．解：连接CO并延长至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故选：B．5．解：延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，∵DE∥AC，∠C＝90°，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴EG⊥BC，∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°，∴四边形DGCH为矩形，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DF＝DM，DG＝DF，∴DH＝DG，∴四边形DGCH为正方形，在Rt△BDG和Rt△BDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），∴BF＝BG，同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2＝100，∴AB＝10，设CH＝CG＝x，则AH＝6﹣x，BG＝8﹣x，∴AF＝6﹣x，BF＝8﹣x，∴AB＝10＝AF+BF＝6﹣x+8﹣x＝14﹣2x，即14﹣2x＝10，解得：x＝2，∴CH＝CG＝2，BG＝6，∵DE∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴，即，∴EG＝4.5，∴DE＝EG﹣DG＝4.5﹣2＝2.5，故选：A．6．解：如图，连接AD，∵边AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故选：B．7．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．8．解：分情况考虑：①当4cm是腰时，则底边长是18﹣8＝10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；②当4cm是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7（cm），4，7，7能够组成三角形．此时底边的长是4cm．故选：A．9．解：∵BD、CE是等边三角形ABC的中线，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∴∠AEF＝∠ADF＝90°，∵∠EFD＝360°﹣90°﹣90°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°．故答案为120°．10．解：∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ADB，∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，∴∠3＝∠2＝22.5°．故答案为：22.5°．11．解：∵A（8，0），∴OA＝8，设△AOP的边OA上的高是h，则×8×h＝16，解得：h＝4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，4+4+1+1＝10．故答案为：10．12．解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．故答案为：80°或20．13．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案为：4．14．解：∵∠C＝80°，∠CBD＝40°，∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°，∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA＝∠CDB＝30°，故答案为：30．15．解：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD＝20°，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝80°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．故答案为：10°．16．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵DE是边AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△BEC的周长＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，故答案为：16．17．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝30°，故答案为：30．18．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，∴CA＝CB，DA＝DB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．19．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．20．证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，又∵CE⊥AB，∴CF＝EF；（2）∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠EAC＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∵EF＝CF＝BF，∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，∴∠EFB＝45°．21．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如图，过D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．22．证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BQ⊥CP．23．解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠C，∴∠APB＝60°，∴∠BAP＝90°，∴△APB是直角三角形；（2）当AQ＝QP时，∴∠QAP＝∠APQ＝30°，∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，∴∠BQP＝105°，当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，∵P不与B、C重合，∴不存在，综上所述：∠BQP＝105°或60°．24．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．25．解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°26．证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ABC＝2∠C；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AE＝AB．。
八年级数学下册《三角形的证明》练习题与答案(北师大版)
八年级数学下册《三角形的证明》练习题与答案(北师大版)一、选择题1.点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是( )A.PQ＞5B.PQ≥5C.PQ＜5D.PQ≤52.如图，已知在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为( )A.31cmB.41cmC.51cmD.61cm3.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝( )A.10°B.15°C.20°D.25°4.若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为( )A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )A.20°B.35°C.40°D.70°6.等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于( )A.腰上的高B.腰上的中线C.底角的平分线D.顶角的平分线7.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC＝6cm，则PD的长可以是( )A.3cmB.4cmC.5cmD.7 cm8.如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ，若点P 的坐标为(6a ，2b －1)，则a 和b 的数量关系为( )A.6a －2b ＝1B.6a ＋2b ＝1C.6a －b ＝1D.6a ＋b ＝19.如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，适当长度(大于BC 长的一半)为半径作圆弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD.若AB ＝9，AC ＝4，则△ACD 的周长是( )A.12B.13C.17D.1810.如图，已知在直角坐标系中，点A 在y 轴上，BC ⊥x 轴于点C ，点A 关于直线OB 的对称点D 恰好在BC 上，点E 与点O 关于直线BC 对称，∠OBC ＝35°，则∠OED 的度数为( )A.10°B.20°C.30°D.35°11.如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP.下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个12.如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝( )A. 6B. 3C. 2D. 1.5二、填空题13.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是.14.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE周长为14，BC＝6，则AB长为 .15.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．16.△ABC中其周长为7，AB＝3，当BC＝时，△ABC为等腰三角形.17.如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF过点D且EF∥BC，则△AEF 的周长是 cm.18.如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1.按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝.三、作图题19.如图：求作一点P，使PM＝PN，并且使点P到∠AOB的两边的距离相等.四、解答题20.如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.21.如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，求∠B的度数.22.如图，在Rt△ABC的场地上，∠B＝90°，AB＝BC，∠CAB的平分线AE交BC于点E.甲、乙两人同时从A 处出发，以相同的速度分别沿AC和A→B→E线路前进，甲的目的地为C，乙的目的地为E.请你判断一下，甲、乙两人谁先到达各自的目的地？并说明理由.23.如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.求证：∠B＝∠CAF.24.已知射线AP是△ABC的外角平分线，连结PB、PC.(1)如图1，若BP平分∠ABC，且∠ACB＝30°，直接写出∠APB＝ .(2)如图1，若P与A不重合，求证：AB＋AC＜PB＋PC.25.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E.(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变(填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数.若不可以，请说明理由.参考答案1.B2.C.3.C.4.A.5.B.6.A7.D.8.B9.B.10.B.11.D.12.D.13.答案为：4.14.答案为：8.15.答案为：100°.16.答案为：1或2.17.答案为：10.18.答案为：9.19.解：如图，点P即为所求.(1)作∠AOB 的平分线OC；(2)连结MN，并作MN 的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，则P点即为所求.20.证明：∵AB＝AC＝AD∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD∴∠ABC＝∠CBD+∠D∵AD∥BC∴∠CBD＝∠D∴∠ABC＝∠D+∠D＝2∠D又∵∠C＝∠ABC∴∠C＝2∠D.21.解：∵AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°∴∠CAD＝(180°﹣100°)÷2＝40°∵∠CDB是△ACD的外角∴∠CDB＝∠A＋∠ACD＝100°＝40°＋100°＝140°∵DC＝DB∴∠B＝(180°﹣140°)÷2＝20°.22.解：同时到达.理由如下：过点E作EF⊥AC于点F.∵AB ＝BC ，∠B ＝90°∴∠C ＝180°－∠B 2＝45°. ∵EF ⊥AC∴∠EFC ＝90°∴∠CEF ＝90°－∠C ＝45°＝∠C∴EF ＝CF.又∵AE 平分∠CAB∴EF ＝EB.易证得△AEF ≌△AEB得AF ＝AB可知AB ＋BE ＝AF ＋CF ＝AC故同时到达.23.证明：∵EF 垂直平分AD∴AF ＝DF ，∠ADF ＝∠DAF∵∠ADF ＝∠B ＋∠BAD ，∠DAF ＝∠CAF ＋∠CAD又∵AD 平分∠BAC∴∠BAD ＝∠CAD∴∠B ＝∠CAF.24.解：(1)∵∠DAC ＝∠ABC ＋∠ACB ，∠1＝∠2＋∠APB∵AE 平分∠DAC ，PB 平分∠ABC∴∠1＝12∠DAC ，∠2＝12∠ABC∴∠APB ＝∠1﹣∠2＝12∠DAC ﹣12ABC ＝12∠ACB ＝15°(2)在射线AD 上取一点H ，是的AH ＝AC ，连接PH.则△APH ≌△APC∴PC ＝PD在△BPH 中，PB ＋PH ＞BH∴PB ＋PC ＞AB ＋AC.25.解：(1)∠EDC ＝180°﹣∠ADB ﹣∠ADE ＝180°﹣115°﹣40°＝25°∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°，115°，小；(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE理由：∵∠C＝40°∴∠DEC＋∠EDC＝140°又∵∠ADE＝40°∴∠ADB＋∠EDC＝140°∴∠ADB＝∠DEC又∵AB＝DC＝2∴△ABD≌△DCE(AAS)(3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形理由：∵∠BDA＝110°时∴∠ADC＝70°∵∠C＝40°∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C＋∠EDC＝30°＋40°＝70°∴∠DAC＝∠AED∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时∴∠ADC＝100°∵∠C＝40°∴∠DAC＝40°∴∠DAC＝∠ADE∴△ADE的形状是等腰三角形.。
八年级数学下册《三角形的证明》练习题及答案(北师大版)
八年级数学下册《三角形的证明》练习题及答案(北师大版)班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )A.55°，55°B.70°，40°或70°，55°C.70°，40°D.55°，55°或70°，40°2.到三角形三边的距离相等的点是( )A.三角形三条高的交点B.三角形三条中线的交点C.三角形三条角平分线的交点D.不存在这个点3.下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误．．的是( )A.①B.②C.③D.④4.如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )A.100°B.80°C.60°D.40°5.在△ABC中,∠A=90°,∠B=2∠C,则∠C的度数为 ( )A.30°B.45°C.60°D.30°或60°6.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°7.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )A.3.5B.4.2C.5.8D.78.以下叙述中不正确的是( )A.等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B.有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C.等腰三角形一定是锐角三角形D.在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等9.如图，已知△ABC，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，连接AO并延长交BC于D，OH⊥BC 于H，若∠BAC＝60°，OH＝3cm，OA长为( )cm.A.6B.5C.4D.310.如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C＝AB＋BC；△BCD④△ADM≌△BCD.正确的有( )A.①②B.①③C.②③D.③④二、填空题11.如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．12.如图，已知∠C=∠D=90°，请你添加一个适当的条件：____________，使得△ACB≌△BDA.＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长13.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC是 .14.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为.15.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABD的周长为13，△ABC的周长为19，则AE＝____________16.将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN分别交AB、AC于点E、F.则下列四个结论：①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；③BE＋CF＝EF；④BC2＝4S.四边形AEDF其中正确结论是(填序号).三、作图题17.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等.四、解答题18.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=∠BCD,判断△ACD的形状,并说明理由.19.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F.求证：△ABE≌△ADF.20.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF(1)求证：AD平分∠BAC；(2)已知AC＝20， BE＝4，求AB的长.21.如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.求证：∠B＝∠CAF.22.如图，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC＝∠DAC，CE∥AB. 求证：△CDE是等边三角形.23.已知，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.(1)如图1，求证：CD⊥AB；(2)将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．①如图2，若∠B＝34°，求∠A′CB的度数；②若∠B＝n°，请直接写出∠A′CB的度数(用含n的代数式表示)．24.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E.(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA 逐渐变(填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数.若不可以，请说明理由.参考答案1.D2.C.3.C．4.A5.A6.B.7.D8.C.9.A.10.B11.答案为：25.12.答案为：AD=CD；(答案不唯一).13.答案为：3.14.答案为：40°15.答案为：316.答案为：①②④.17.解：∵点P到∠ABC两边的距离相等∴点P在∠ABC的平分线上；∵线段BD为等腰△PBD的底边∴PB＝PD∴点P在线段BD的垂直平分线上∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图所示：18.解:△ACD 是直角三角形.理由:∵∠ACB=90°∴∠ACD+∠BCD=90°.又∵∠A=∠BCD∴∠ACD+∠A=90°∴△ACD 是直角三角形.19.证明：∵CA 平分∠BCD ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD∴AE=AF.在Rt △ABE 和Rt △ADF 中∵⎩⎨⎧AB ＝AD ，AE ＝AF ，∴△ABE ≌△ADF(HL).20.证明：(1)∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC∴∠E ＝∠DFC ＝90°∴在Rt △BED 和Rt △CFD 中BD ＝CD ，BE ＝CF.∴Rt △BED ≌Rt △CFD(HL)∴DE ＝DF∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC∴AD 平分∠BAC ；(2)解：∵Rt △BED ≌Rt △CFD∴AE ＝AF ，CF ＝BE ＝4∵AC ＝20∴AE＝AF＝20﹣4＝16∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12.21.证明：∵EF垂直平分AD∴AF＝DF，∠ADF＝∠DAF∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠DAF＝∠CAF＋∠CAD又∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∴∠B＝∠CAF.22.证明：∵∠ABE＋∠CBE＝60°，∠CAD＋∠ADC＝60°，∠EBC＝∠DAC ∴∠ABE＝∠ADC.又CE∥AB∴∠BEC＝∠ABE.∴∠BEC＝∠ADC.又BC＝AC，∠EBC＝∠DAC∴△BCE≌△ACD.∴CE＝CD，∠BCE＝∠ACD，即∠ECD＝∠ACB＝60°.∴△CDE是等边三角形.23.(1)证明：∵∠ACB＝90°∴∠ACD＋∠BCD＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠B＋∠BCD＝90°∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB.(2)解：①当∠B＝34°时，∵∠ACD＝∠B∴∠ACD＝34°.由(1)知，∠BCD＋∠B＝90°∴∠BCD＝56°.由折叠知∠A′CD＝∠ACD＝34°∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝56°－34°＝22°.②当∠B＝n°时，同①的方法得∠A′CD＝n°∠BCD＝90°－n°∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝90°－n°－n°＝90°－2n°.24.解：(1)∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°，115°，小；(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE理由：∵∠C＝40°∴∠DEC＋∠EDC＝140°又∵∠ADE＝40°∴∠ADB＋∠EDC＝140°∴∠ADB＝∠DEC又∵AB＝DC＝2∴△ABD≌△DCE(AAS)(3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形理由：∵∠BDA＝110°时∴∠ADC＝70°∵∠C＝40°∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C＋∠EDC＝30°＋40°＝70°∴∠DAC＝∠AED∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时∴∠ADC＝100°∵∠C＝40°∴∠DAC＝40°∴∠DAC＝∠ADE∴△ADE的形状是等腰三角形.。
最新北师大版初中数学分层提优训练八年级下第1章《三角形的证明》A卷(含详细答案及解析)
最新北师大版初中数学分层提优训练八年级下第1章《三角形的证明》A卷（含详细答案及解析）一、选择题1. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的交点．A. 三个内角平分线B. 三边垂直平分线C. 三条中线D. 三条高2. 已知：在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设A. B. C. D.3. 下列命题中正确的是A. 有两条边相等的两个等腰三角形全等B. 两腰对应相等的两个等腰三角形全等C. 两角对应相等的两个等腰三角形全等D. 一边对应相等的两个等边三角形全等4. 如图，在中，，平分，于，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的是A. 个B. 个C. 个D. 个5. 如图，在中，，，是的角平分线．若在边上截取，连接，则图中等腰三角形共有A. 个B. 个C. 个D. 个6. 下列命题中，逆命题是假命题的是A. 如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等B. 如果，那么C. 对顶角相等D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等7. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为A. B. C. D.8. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是A. B. C. D.9. 如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是，则的度数是A. B. C. D.10. 如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是A. B.C. D.二、填空题11. ．在中，，，则．12. 直角三角形的判定（1）有一个角是的三角形是直角三角形．（2）有两个角的三角形是直角三角形．（3）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于，那么这个三角形是直角三角形．（4）如果三角形一边上的等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．13. 角平分线（1）性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离．（2）判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离的点在这个角的平分线上．14. 等边三角形判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角等于的是等边三角形．（4）有两个角等于的三角形是等边三角形．15. 线段的垂直平分线（1）线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线．（2）性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离．（2）判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．16. 等腰三角形的判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形．（2）有两个相等的三角形是等腰三角形，简称等角对等边．17. 如图，四边形中，，，，则的度数为．18. 如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则．19. 如图，中，垂直平分交于点，，，则度．20. 如图，在中，，，在上取一点，延长到，使得；在上取一点，延长到，使得；，按此做法进行下去，的度数为．三、解答题21. 求证：在同一个三角形中，若两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等．22. 尺规作图：画出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）．23. 写出下列命题的逆命题，并判断其真假．（1）等边三角形有一个角等于．（2）等腰三角形两腰上的高线长相等．24. 在中，平分交于点，，交于点，交的延长线于点，求证：为等腰三角形．25. 已知：在中，，，试判断的形状，并说明理由．26. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，与直线交于点．（1）点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是；（2）将沿轴折叠后，点的对应点为，试判断点是否在直线上，并说明理由；（3）求的面积．27. 如图，在中，．（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作的平分线，交斜边于点；②过点作的垂线，垂足为点．（2）在（）作出的图形中，若，，则的面积为．28. 已知：点到的两边，所在直线的距离相等，且．（1）如图1，若点在边上，求证：；（2）如图2，若点在的内部，求证：；（3）若点在的外部，成立吗?请画出图表示．29. 如图，已知在中，是的中点，于点于点，且．求证：平分．30. 如图，于点，于点，与相交于点．（1）求证；（2）连接，，试判断直线，的关系并说明理由．答案第一部分1. B 【解析】到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．2. C3. D 【解析】A、假如这两边是两腰，则不能推出第三个条件相等，如图，，，，但两三角形不全等，故本选项错误．B、如上图，两腰，但两三角形不全等，故本选项错误．C、由三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，但是根据不能推出两三角形全等，故本选项错误．D、和中，，，，，，根据可以推出，故本选项正确．4. D5. D6. C7. D 【解析】，，在中，，，，，，8. B9. B10. D【解析】因为，而，所以，所以点在的垂直平分线上，即点为的垂直平分线与的交点．第二部分11.12. （1），（2）互余，（3）第三边的平方，（4）中线13. （1）相等，（2）相等14. （3）等腰三角形，（4）15. （2）相等，（3）垂直平分线16. 角17.18.19.【解析】在中，，，.，是的外角，.同理可得，，，第个三角形的以为顶点的内角的度数．第三部分21. 假设这两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．这与已知“两条边不相等”相矛盾，所以假设不成立．22. 如图所示：即为所求．23. （1）逆命题是：有一个角等于的三角形是等边三角形．它是假命题．（2）逆命题是：有两条边上的高线相等的三角形是等腰三角形．它是真命题．24. 平分，．，，．．．为等腰三角形．25. 是直角三角形，理由如下：，，．是直角三角形．26. （1）；（2）点在直线上，理由如下：因为，且将沿轴折叠后，点与点关于轴对称，所以，当时，代入得，所以点在直线上．（3）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，由得所以，由得所以，对于，令得，所以，所以，，所以27. （1）如图所示：（2）【解析】是的平分线，，，，，，，，．28. （1）过点分别作于，于．在和中．．．（2）过点分别作于，于．由题意知，，，在和中，．．，．．．（3）不一定成立，当的平分线所在直线与边的垂直平分线重合时，否则．（如示例图）29.，又于平分．30. （1）因为于点，于点，所以．在和中，所以．所以．（2）直线垂直平分．理由：因为，所以．因为，，所以，所以．在和中，所以．所以，所以点在的垂直平分线上，因为，所以点在的垂直平分线上，所以直线垂直平分．。
2020-2021学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合培优提升训练
2021年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合培优提升训练（附答案）1．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°2．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（）A．三角形的高线B．边的中垂线C．三角形的中线D．三角形的角平分线3．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD＝∠B B．CH＝CE＝EF C．AC＝AF D．CH＝HD4．如图，在△ABC中，E为边AC的中点，CD⊥AB于点D，AB＝2，BC＝1，DE＝，则∠CDE+∠BCD＝（）A．60°B．75°C．90°D．105°5．若一条长为31cm的细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（）A．7cm B．9cm C．7cm或12cm D．12cm6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC＝（）A．αB．αC．αD．α7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，则下列结论不正确的是（）A．∠CAD＝∠BAD B．BD＝CD C．AE＝ED D．DE＝DB8．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）A．B．C．D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为．10．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E 从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动秒时，△DEB与△BCA全等．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．（1）求证：△BDF是等边三角形；（2）若移动点D使EF∥AB时，求AD的长．12．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．求证：BC＝BE．13．如图，△ABC中AB＝AC，BD和CD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠ECA，BD 交AC于F，连接AD．（1）求证：AD平分∠GAC；（2）求证：AD∥BC．14．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．15．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．16．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC＝∠B．17．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE 交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．18．如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若BC＝10，DE＝6，求△MDE的面积．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．21．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．参考答案1．解：如图1，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAC＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAC＝∠ABE＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝65°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝15°如图2，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAE＝∠EBA＝50°，∴∠BAC＝130°∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝25°∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝75°故选：C．2．解：三角形的中线平分三角形的面积，故选：C．3．解：A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD＝∠B，故正确；B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD∴∠AEF＝∠CHE，∴∠CEH＝∠CHE∴CH＝CE＝EF，故正确；C、∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE＝∠BAE，又∵∠ACB＝∠AFE＝90°，AE＝AE，∴△ACE≌△AEF，∴CE＝EF，∠CEA＝∠AEF，AC＝AF，故正确；D、点H不是CD的中点，故错误．故选：D．4．解：∵CD⊥AB，E为AC边的中点，∴AC＝2DE＝，∵AB＝2，AC＝1，∴BC2+AC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∴∠BCD＝∠A＝30°，∴∠DCE＝60°，∵DE＝CE，∴∠CDE＝60°，∴∠CDE+∠BCD＝90°，故选：C．5．解：若腰长为7cm，设底边长为xcm，则7+7+x＝31，解得x＝17，此时三边长7cm、7cm、17cm，∵7+7＜17∴此三角形不成立；若底边长为7cm，设腰长为xcm，由题意得7+x+x＝31，解得x＝12，此时三边长7cm、12cm、12cm．答：该等腰三角形的腰长为12cm．故选：D．6．解：根据题意：在△ABC中，AB＝AC∴∠B＝∠C∵AE＝AD∴∠ADE＝∠AED，即∠B+∠α﹣∠EDC＝∠C+∠EDC化简可得：∠α＝2∠EDC∴∠EDC＝α．故选：A．7．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD，A正确，不符合题意；BD＝CD，B正确，不符合题意；∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠BAD，∵∠EAD＝∠BAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝ED，C正确，不符合题意；DE与DB的关系不确定，D错误，符合题意；故选：D．8．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°．故选：C．9．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DH，同理可得DF＝DH，∴DE＝DF，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四边形BEDF为正方形，∴BE＝BF＝DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADH中，∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴AE＝AH，同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），∴CF＝CH，设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，∵AH+CH＝AC，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，即BE＝2，在FC上截取FP＝EM，如图，∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，∴△DEM≌△DFP（SAS），∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，∴∠MDP＝∠EDF＝90°，∵∠MDN＝45°，∴∠PDN＝45°，在△DMN和△DPN中，，∴△DMN≌△DPN（SAS），∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．故答案为4．10．解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8﹣4＝4，∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8+4＝12，∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，AE＝8+8＝16，点E的运动时间为16÷2＝8（秒），故答案为：0，2，6，8．11．（1）证明：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵DE⊥AB，∴∠EDB＝90°，∵∠EDF＝30°，∴∠FDB＝60°＝∠B，∴DF＝BF，∴△BDF是等边三角形；（2）解：∵EF∥AB，DE⊥AB，∴EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∵∠EDF＝30°，∴DF＝2EF，DE＝EF，设EF＝x，则DE＝x，DF＝2x，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵△BDF是等边三角形，∴DF＝BF＝BD＝2x，∴AD＝AB﹣BD＝2﹣2x，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，∴AD＝DE，即2﹣2x＝•x，解得：x＝，∴AD＝2﹣2×＝．12．证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD＝EF．∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD＝BF．∴BD﹣CD＝BF﹣EF．即BC＝BE．13．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，∴DM＝DN＝DK，∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠GAD＝∠DAC，∴AD平分∠GAC．（2）证明：∵∠GAC＝∠ABC+∠ACB，∠GAD＝∠DAC，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠GAD＝∠ABC，∴AD∥BC．14．证明：如图，连接BE、DE，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝DE＝AC，∵F是BD的中点，∴EF⊥BD．15．解：（1）成立．理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝CE；（2）成立．理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF．∴△ABF为等腰直角三角形∴AF＝BF，由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（ASA），∴AE＝BC，∵BD＝BC，∴BD＝AE．16．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠F AD＝∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠F AD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠CAD，∴DF∥AC（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD ＝∠EDA，∴∠EAC＝∠B．17．证明：（1）∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．（2）∵F是AC的中点，∴AF＝CF．∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE．由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．在△AFE和△CFG中，∴△AFE≌△CFG．∴AE＝GC＝8．∵GC＝2BG，∴BG＝4．∴BC＝12．∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．18．（1）证明：连接ME、MD，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵M是BC的中点，∴DM＝BC，同理可得EM＝BC，∴DM＝EM，∵N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）解：∵BC＝10，ED＝6，∴DM＝BC＝5，DN＝DE＝3，由（1）可知∠MND＝90°，∴MN＝＝＝4，∴S△MDE＝DE•MN＝×6×4＝12．19．解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝P A，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．20．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．21．解：（1）如图（1），∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如图（2），∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°．。
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第一章 培优训练
1．在△ABC 中，∠BAC=130°，若PM 、QN 分别垂直平分AB 和AC ，那么∠PAQ= 度． 2．在等腰三角形ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 是BC 上一点，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则
DE+DF= ．
3．如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A 与B 重合，∠B=30°，AC=3，则折痕DE 等于 ．
4．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DE 于F ，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠E=105°
∠DAC=10°则∠DFB= ． (3题图)
(4题图) 5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，
DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度 6、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、
GH ……
添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根。
7．两个三角形如果具有下列条件：
①三边对应相等；②两边和其中一边上的中线对应相等；③两边和第三边上的高对应相等；④三个角对应相等；⑤两边和一个角对应相等；其中一定全等的有( )个
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，∠CMD=35°，则∠MAB 是多少度？”大家经过了一翻热烈的讨论交流之后，小雨第一
个得出了正确结论，你知道他说的是( )
A ．20°
B ．35°
C ．55°
D ．70° 9．从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为( )
A ．23
B ．32
C ．2
D ．22 10．如图，在等边三角形ABC 的三边上有三点D 、
E 、
F ，且△DEF 也是等边三角形，其中BD=3，CF=1，则△ABC 的高等于( )
(1题图) (2题图)
A B C D
E
F
A B C D M
(5题图) E D
(B) B
C A
A ．3
B ． 23
C ．10
D ．4
11．在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝
21（AB ＋AD ），求∠ABC ＋∠ADC 的度数． （11题图）
12. 如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o ，
（1）在图1中，AC 与BD
相等吗？请说明理由（4分）
（2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC 与BD 还相等吗？为什么？（8分） 13.在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与
∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF
（15分）
F
A
B C D E
图16
17.在∆ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，
交BC 的延长线于点M ，若0
40A ∠=.
（1）求NMB ∠的度数；
（2）如果将（1）中A ∠的度数改为070，其余条件不变，再求 NMB ∠的度数；
（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的A ∠改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？
18、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE=∠CDE ．
求证：AB=CD
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法提示，请任意选择其中一种，对原题进行证明．
A B
C E D
(10题图)
19、如图，已知：等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，则△ABC高为h。
（1）若点P在一边BC上如图（1），请问h1、h2、h3、h之间有何关系？
（2）若点P在△ABC内如图（2），上述结论是否还成立？若成立，请给予证明，若不成立，h1、h2、h3与h之间又有怎样的关系？
20、已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，
求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．。