作业题解运动学
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解：由图知，在ΔOBC 中，有关系 r sin (h r cos) tan
摇杆的转动方程为
arctan
h
r sin r cos
将 0t 代入，得
arctan
r sin 0t h r cos0t
2
7-5 杆 OA 长 l ，由推杆推动而在图面内绕点 O 转动，如 图所示。假定推杆的速度为 v ，其弯头高为 a 。求杆端 A 的 速度的大小（表示为 x 的函数）。
va
ve cos 30o
a1 cos 30o
2
va O2 A
cos 30o
a1 2a cos 30o
2 3
1
2
rad/s
7-9 如图a 所示，摇杆机构的滑杆AB 以等速v 向上运动，初瞬时摇杆OC 水平。摇杆长
OC a ，距离OD =
l。求
4
时点 C 的速度的大小。
解：套筒 A 为动点，动系固结于杆OC；A 的绝对运动为上
(m/s)
8-6 四连杆机构中，连杆AB 上固结一块三角板ABD，如图a 所示。机构由曲柄O1A带动。已 知：曲柄的角速度 ωO1A =2 rad/s；曲柄 O1A =0.1 m ，水平距离 O1O2 =0.05 m，AD = 0.05 m；
当 O1A 铅直 O1O2 时，AB 平行于 O1O2，且 AD 与 AO1 在同一直线上；角 = 30°。求三角
vC⊥DC ， vB⊥DB ，杆 BC 的速度瞬心在点D，故
vC
DC DB
vB
vE
DE
vC DC
DE DB
vB
0.4m/s （方向沿杆
EF
如图b）
由速度投影定理，得
vF cos vE
由几何关系知，在 △DEF 中，
cos
3 2
，
sin
1 2
vF
vE cos
0.462m/s （↑）
杆 EF 的速度瞬心在点 P ：
而
arn
vr2 R
4v02 3R
根据 aa ae ar ，得
aa ar arn art
从加速度分析中得
ar
aa
arn cos
83 9
v02 R
6
8-5 如图a 所示，在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄杆机构所带动。已知曲柄 OA 的转速
n OA = 40 r /min，OA = 0.3 m。当筛子 BC 运动到与点 O 在同一水平线上时，∠BAO = 90°。
解： （1）以 A 为基点，分析杆 AB 上点 B 的速度和加速度，如图b、图c 所示。 由于
因此，当 0o 时， vDE 4.00 m/s （↑）
同理，当 180o 时， vDE 4.00 m/s （↓）
9
8-12 图示小型精压机的传动机构，OA =O1B = r =0.1 m ，EB = BD = AD = l = 0.4 m。 在图示瞬时，OA⊥AD，O1B⊥ED ，O1D 在水平位置，OD 和 EF 在铅直位置。已知曲柄 OA 的转速 n = 120 r/min，求此时压头 F 的速度。
v
sin OB
因
sin
a OB
a
，代入上式，得
a2 x2
av a2 x2
因 vA OA l （见图c），故
lav a2 x2
7-7 在图a 和b 所示的两种机构中，已知O1O2 = a = 200 mm，ω1=3 rad/s。求图示位置时杆
O2A 的角速度。
解：
（a）套筒 A 为动点，动系固结于杆 O2A ；绝对运 动为绕 O1的圆周运动，相对运动为沿 O2A 的直线运动，
得
a1 2a2
3
2
1 2
1.5
rad/s
（b）套筒 A 为动点，动系固结于杆 O1A；绝对运动为 A 绕 O2 圆周运动，相对运动为 A
沿杆的直线运动，牵连运动为 O1A 绕 O1 定轴转动。速度分析如图b1 所示。
由图b1： 得
va O2 A2 ， ve O1A 1 a1 ， O2 A 2a cos 30o
l
代入上二式得
v 2l
v2 2l 2
另解：几何关系
tan
vt l
两边对t 求导，可得
sec2
v l
即
v l
cos2
；再求导，得
2v l
cos
sin
，将
4
时，vt
l
代入上二式得
v 2l
v2 2l 2
6-5 如图所示，曲柄 CB 以等角速度 0 绕轴 C 转动，其转动方程为 0t 。滑块 B 带动 摇杆 OA 绕轴 O 转动。设 OC =h，CB = r。求摇杆的转动方程。
解：杆 CD 上点 C 为动点，动系固结于杆 AB；牵连运动为 曲线平移，相对运动沿BA直线，绝对运动为上下直线。速度与加速 度分析分别如图b、图c 所示，图中
vA vB ve ， vCD va ， aA aB ae ， aCD aa
于是得
vCD va ve cos O1A cos 0.1m/s aCD aa ae sin O1A2 sin 0.346m/s2
板 ABD 的角速度和点 D 的速度。 解：三角板 ABD 作平面运动，在图示位置的速度瞬心在点P，设
三角板角速度为 ωAB ，由题意得 vA O1A O1A PA AB
由几何关系
PA O1A PO1 O1A O1O2 cot 30o 0.10 0.05 3 (m)
把PA值代入上式，得
vDE 0
（2）当 = 0°、180°时，杆 AB 的速度瞬心在点 B，即 vB = 0 。而 vA，v C 均沿铅垂方
向，杆 CD 上 vC，vDE 均沿铅垂方向，杆 CD 此时作瞬时平移，vDE = vC。图c表示 = 0°的情
形。因 故
vC
1 2
vA
=4.00
m/s
vDE 4.00 m/s
OA2 AD2 r2 l 2
r2 l2
根据速度投影定理得
vA vD cos
由于
vA
OA
2 n 60
0.4
m/s
vD
vA cos
vA
r2 l2 l
0.4
0.12 0.42 0.4
1.295 (m/s)
故得
vF vE vD 1.295 m/s （↓）
10
8-19 在图示机构中，曲柄 OA 长为 r ，绕轴 O 以等角速度 ωO 转动，AB = 6r， BC 3 3r 。求图示位置时，滑块 C 的速度和加速度。
当
4
时，得
v 2l
此时，C点的速度
vc
OC
av 2l
4
7-17 图a 所示铰接四边形机构中，O1A= O2B =100mm ，又 O1O2 =AB，杆 O1A 以等 角速度 ω=2rad/s 绕 O1轴转动。杆 AB 上有一套筒 C，此筒与杆CD相铰接。机构的各部件都 在同一铅直面内。求当 60o 时，杆CD的速度和加速度。
方向如图
7-19 如图a 所示，曲柄 OA 长 0.4 m，以等角速度 ω = 0.5 rad/s 绕 O 轴逆时针转向转 动。由于曲柄的 A 端推动水平板 B ，而使滑杆 C 沿铅直方向上升。求当曲柄与水平线间的夹 角 θ = 30°时，滑杆 C 的速度和加速度。
解：曲柄 OA 端点 A 为动点，动系固结于滑杆 BC；牵连运动
yD OAsin t 2AC sin t
代入已知数据，得到点 D 的运动方程为
xD
200
cos
5
t
yD
200 sin
5
t
2 50 sin
5
t
100
sin
5
t
把以上两式消去 t 得点 D 轨迹方程
x2 2002
y2 1002
1
即，D 点轨迹为中心在（0, 0），长半轴为0.2 m，短半轴为0.1 m 的椭圆。
5-1 图示曲线规尺的各杆， 长为OA =AB =200 mm，CD = DE = AC = AE = 50mm。如
杆
OA 以等角速度
5
பைடு நூலகம்
rad/s
绕 O 轴转动，并且当运动开始时，杆 OA 水平向右，求尺上
点 D 的运动方程和轨迹。
解：如图所示 ∠AOB =ωt ，则点 D 坐标为
xD OA cost
牵连运动为绕 O2 定轴转动。速度分析如图a1 所示,由速
度合成定理
va ve vr
因为ΔO1O2A 为等腰三角形，故 O1O2 O1A a ， O2 A 2a cos 30o ， va a1 ，
ve O2 A 2 2a2 cos 30o
由图a1
va
ve cos 30o
2a2
解：图a所示杆AB，CD 作平面运动。
（1）当 = 90°、270°时，曲柄 OA 处于铅垂位置，图b 表示 = 90°时， vA、vB 均沿水平 方向，则杆 AB 作瞬时平移，vA = vB，vC 也沿水平方向，而杆 CD 上的点 D 速度（即推杆DE 的 平移速度）vDE 应沿铅垂方向，故杆 CD 的速度瞬心在点 D。可见此时，
解：EF 作铅垂方向平移，点 B 绕 O1 作圆周运动，速度分析如图b 所示，作vE，vB的速度
垂线，其交点即为杆 ED 的速度瞬心P，由几何关系知： （1）EP=PD，所以点 D 速度的大小与点E 速度大小相等，即
vE vD （2）∠ADO =∠BDO =PED =∠PDE =φ
sin
OA
r ， cos l
EF
vF PF
EF
vF / sin
vF
sin EF
0.133
rad/s （顺）
8
8-9 图a所示配汽机构中，曲柄 OA 的角速度 ω = 20 rad/s，为常量。已知 OA=0.4m， AC BC 0.2 37 m。求当曲柄 OA 在两铅直线位置和两水平位置时，配汽机构中气阀推杆
DE 的速度。
AB
O1 A PA
O1 A
0.10 2 0.10 0.05
1.07 rad/s 3
于是有
vD PD AB ( AD PA)AB (0.05 0.10 0.05 3) 1.07 0.253 (m/s)
7
8-8 图a 所示机构中，已知：OA = BD = DE = 0.1 m， EP 0.1 3 m；曲柄 OA 的角速 度 ω= 4 rad/s 。在图示位置时，曲柄 OA 与水平线 OB 垂直；且 B，D 和 F 在同一铅直线上，
为上下直线平移，相对运动为水平直线，绝对运动为绕 O 圆周运动。
点 A 的牵连速度与牵连加速度即为杆 BC 的速度与加速度。速度、加
速度分析如图b 所示，得
vC ve OA cos 0.173m/s aC ae OA2 cos 0.05m/s2
方向如图。
5
7-21 半径为 R 的半圆形凸轮 D 以等速 v0 沿水平线向右运动，带动从动杆 AB 沿铅直方 向上升，如图a所示。求 30o 时，杆AB相对于凸轮的速度和加速度。
又 DE 垂直于EF。求杆 EF 的角速度和点 F 的速度。
解：机构中，杆 AB，BC 和 EF 作平面运动，曲柄 OA 和三角块 CDE 作定轴转动，而滑
块 B，F 作平移。在图示位置，杆 AB 作瞬时平移，其上的 vA，v B 方向如图b（水平向左）。 vB vA OA OA 0.4m/s
下直线，相对运动为 A 沿 OC 的直线运动，牵连运动为 OC 绕
O 定轴转动。速度分析如图b所示，设杆 OC 角速度为ω，其转
向逆时针。由题意及几何关系可得
va v ， ve OA 由关系 va ve vr
有
va cos ve
得
ve OA
va cos l / cos
va
cos2 l
解：杆 AB 的顶点 A 为动点，动系固结于凸轮。绝对运动为上
下直线，相对运动为沿凸轮圆弧曲线，牵连运动为水平直线平移。杆
AB 的运动与点 A 运动相同,速度、加速度分析如图b 所示。
1、 速度
因 ve v0 ，从速度分析中得
vr
ve cos
1.155v0
2、 加速度
因 v0 常量。故
ae 0
解：取直角推杆上与杆 OA 接触点 B 为动点；动系固结于 OA；牵连运动为 OA 绕 O 点的定轴转动，绝对运动为 B 点的 水平直线运动，相对运动为 B 点沿杆 OA 直线运动。点 B 的速
度分析如图b,设 OA 角速度为 ω，,则
va v ， ve va sin OB ， OB v sin 即
求此瞬时筛子BC 的速度。
解：筛子 BC 作平移，如图b 所示的位置，vB 与 CBO 夹角为30°，
与 AB 夹角为 60°。且
vA
OA
0.3
40 30
0.4
(m/s)
由速度投影定理 (vA )AB (vB )AB ，得
vA vB cos 60o
vBC
vB
vA cos 60o
0.8
2.51
6-4
机构如图所示，假定杆AB
以匀速 v
运动，开始时
0
。求当
4
时，摇杆OC的角
速度和角加速度。
解：依题意，在 0 时，A 在D处。由几何关系得
杆OC的运动方程为 角速度 角加速度
tan
vt l
arctan
vt l
l2
vl v2t2
(l 2
2v3lt v2t2 )2
1
当
4
时， vt
l
。将 vt
摇杆的转动方程为
arctan
h
r sin r cos
将 0t 代入，得
arctan
r sin 0t h r cos0t
2
7-5 杆 OA 长 l ，由推杆推动而在图面内绕点 O 转动，如 图所示。假定推杆的速度为 v ，其弯头高为 a 。求杆端 A 的 速度的大小（表示为 x 的函数）。
va
ve cos 30o
a1 cos 30o
2
va O2 A
cos 30o
a1 2a cos 30o
2 3
1
2
rad/s
7-9 如图a 所示，摇杆机构的滑杆AB 以等速v 向上运动，初瞬时摇杆OC 水平。摇杆长
OC a ，距离OD =
l。求
4
时点 C 的速度的大小。
解：套筒 A 为动点，动系固结于杆OC；A 的绝对运动为上
(m/s)
8-6 四连杆机构中，连杆AB 上固结一块三角板ABD，如图a 所示。机构由曲柄O1A带动。已 知：曲柄的角速度 ωO1A =2 rad/s；曲柄 O1A =0.1 m ，水平距离 O1O2 =0.05 m，AD = 0.05 m；
当 O1A 铅直 O1O2 时，AB 平行于 O1O2，且 AD 与 AO1 在同一直线上；角 = 30°。求三角
vC⊥DC ， vB⊥DB ，杆 BC 的速度瞬心在点D，故
vC
DC DB
vB
vE
DE
vC DC
DE DB
vB
0.4m/s （方向沿杆
EF
如图b）
由速度投影定理，得
vF cos vE
由几何关系知，在 △DEF 中，
cos
3 2
，
sin
1 2
vF
vE cos
0.462m/s （↑）
杆 EF 的速度瞬心在点 P ：
而
arn
vr2 R
4v02 3R
根据 aa ae ar ，得
aa ar arn art
从加速度分析中得
ar
aa
arn cos
83 9
v02 R
6
8-5 如图a 所示，在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄杆机构所带动。已知曲柄 OA 的转速
n OA = 40 r /min，OA = 0.3 m。当筛子 BC 运动到与点 O 在同一水平线上时，∠BAO = 90°。
解： （1）以 A 为基点，分析杆 AB 上点 B 的速度和加速度，如图b、图c 所示。 由于
因此，当 0o 时， vDE 4.00 m/s （↑）
同理，当 180o 时， vDE 4.00 m/s （↓）
9
8-12 图示小型精压机的传动机构，OA =O1B = r =0.1 m ，EB = BD = AD = l = 0.4 m。 在图示瞬时，OA⊥AD，O1B⊥ED ，O1D 在水平位置，OD 和 EF 在铅直位置。已知曲柄 OA 的转速 n = 120 r/min，求此时压头 F 的速度。
v
sin OB
因
sin
a OB
a
，代入上式，得
a2 x2
av a2 x2
因 vA OA l （见图c），故
lav a2 x2
7-7 在图a 和b 所示的两种机构中，已知O1O2 = a = 200 mm，ω1=3 rad/s。求图示位置时杆
O2A 的角速度。
解：
（a）套筒 A 为动点，动系固结于杆 O2A ；绝对运 动为绕 O1的圆周运动，相对运动为沿 O2A 的直线运动，
得
a1 2a2
3
2
1 2
1.5
rad/s
（b）套筒 A 为动点，动系固结于杆 O1A；绝对运动为 A 绕 O2 圆周运动，相对运动为 A
沿杆的直线运动，牵连运动为 O1A 绕 O1 定轴转动。速度分析如图b1 所示。
由图b1： 得
va O2 A2 ， ve O1A 1 a1 ， O2 A 2a cos 30o
l
代入上二式得
v 2l
v2 2l 2
另解：几何关系
tan
vt l
两边对t 求导，可得
sec2
v l
即
v l
cos2
；再求导，得
2v l
cos
sin
，将
4
时，vt
l
代入上二式得
v 2l
v2 2l 2
6-5 如图所示，曲柄 CB 以等角速度 0 绕轴 C 转动，其转动方程为 0t 。滑块 B 带动 摇杆 OA 绕轴 O 转动。设 OC =h，CB = r。求摇杆的转动方程。
解：杆 CD 上点 C 为动点，动系固结于杆 AB；牵连运动为 曲线平移，相对运动沿BA直线，绝对运动为上下直线。速度与加速 度分析分别如图b、图c 所示，图中
vA vB ve ， vCD va ， aA aB ae ， aCD aa
于是得
vCD va ve cos O1A cos 0.1m/s aCD aa ae sin O1A2 sin 0.346m/s2
板 ABD 的角速度和点 D 的速度。 解：三角板 ABD 作平面运动，在图示位置的速度瞬心在点P，设
三角板角速度为 ωAB ，由题意得 vA O1A O1A PA AB
由几何关系
PA O1A PO1 O1A O1O2 cot 30o 0.10 0.05 3 (m)
把PA值代入上式，得
vDE 0
（2）当 = 0°、180°时，杆 AB 的速度瞬心在点 B，即 vB = 0 。而 vA，v C 均沿铅垂方
向，杆 CD 上 vC，vDE 均沿铅垂方向，杆 CD 此时作瞬时平移，vDE = vC。图c表示 = 0°的情
形。因 故
vC
1 2
vA
=4.00
m/s
vDE 4.00 m/s
OA2 AD2 r2 l 2
r2 l2
根据速度投影定理得
vA vD cos
由于
vA
OA
2 n 60
0.4
m/s
vD
vA cos
vA
r2 l2 l
0.4
0.12 0.42 0.4
1.295 (m/s)
故得
vF vE vD 1.295 m/s （↓）
10
8-19 在图示机构中，曲柄 OA 长为 r ，绕轴 O 以等角速度 ωO 转动，AB = 6r， BC 3 3r 。求图示位置时，滑块 C 的速度和加速度。
当
4
时，得
v 2l
此时，C点的速度
vc
OC
av 2l
4
7-17 图a 所示铰接四边形机构中，O1A= O2B =100mm ，又 O1O2 =AB，杆 O1A 以等 角速度 ω=2rad/s 绕 O1轴转动。杆 AB 上有一套筒 C，此筒与杆CD相铰接。机构的各部件都 在同一铅直面内。求当 60o 时，杆CD的速度和加速度。
方向如图
7-19 如图a 所示，曲柄 OA 长 0.4 m，以等角速度 ω = 0.5 rad/s 绕 O 轴逆时针转向转 动。由于曲柄的 A 端推动水平板 B ，而使滑杆 C 沿铅直方向上升。求当曲柄与水平线间的夹 角 θ = 30°时，滑杆 C 的速度和加速度。
解：曲柄 OA 端点 A 为动点，动系固结于滑杆 BC；牵连运动
yD OAsin t 2AC sin t
代入已知数据，得到点 D 的运动方程为
xD
200
cos
5
t
yD
200 sin
5
t
2 50 sin
5
t
100
sin
5
t
把以上两式消去 t 得点 D 轨迹方程
x2 2002
y2 1002
1
即，D 点轨迹为中心在（0, 0），长半轴为0.2 m，短半轴为0.1 m 的椭圆。
5-1 图示曲线规尺的各杆， 长为OA =AB =200 mm，CD = DE = AC = AE = 50mm。如
杆
OA 以等角速度
5
பைடு நூலகம்
rad/s
绕 O 轴转动，并且当运动开始时，杆 OA 水平向右，求尺上
点 D 的运动方程和轨迹。
解：如图所示 ∠AOB =ωt ，则点 D 坐标为
xD OA cost
牵连运动为绕 O2 定轴转动。速度分析如图a1 所示,由速
度合成定理
va ve vr
因为ΔO1O2A 为等腰三角形，故 O1O2 O1A a ， O2 A 2a cos 30o ， va a1 ，
ve O2 A 2 2a2 cos 30o
由图a1
va
ve cos 30o
2a2
解：图a所示杆AB，CD 作平面运动。
（1）当 = 90°、270°时，曲柄 OA 处于铅垂位置，图b 表示 = 90°时， vA、vB 均沿水平 方向，则杆 AB 作瞬时平移，vA = vB，vC 也沿水平方向，而杆 CD 上的点 D 速度（即推杆DE 的 平移速度）vDE 应沿铅垂方向，故杆 CD 的速度瞬心在点 D。可见此时，
解：EF 作铅垂方向平移，点 B 绕 O1 作圆周运动，速度分析如图b 所示，作vE，vB的速度
垂线，其交点即为杆 ED 的速度瞬心P，由几何关系知： （1）EP=PD，所以点 D 速度的大小与点E 速度大小相等，即
vE vD （2）∠ADO =∠BDO =PED =∠PDE =φ
sin
OA
r ， cos l
EF
vF PF
EF
vF / sin
vF
sin EF
0.133
rad/s （顺）
8
8-9 图a所示配汽机构中，曲柄 OA 的角速度 ω = 20 rad/s，为常量。已知 OA=0.4m， AC BC 0.2 37 m。求当曲柄 OA 在两铅直线位置和两水平位置时，配汽机构中气阀推杆
DE 的速度。
AB
O1 A PA
O1 A
0.10 2 0.10 0.05
1.07 rad/s 3
于是有
vD PD AB ( AD PA)AB (0.05 0.10 0.05 3) 1.07 0.253 (m/s)
7
8-8 图a 所示机构中，已知：OA = BD = DE = 0.1 m， EP 0.1 3 m；曲柄 OA 的角速 度 ω= 4 rad/s 。在图示位置时，曲柄 OA 与水平线 OB 垂直；且 B，D 和 F 在同一铅直线上，
为上下直线平移，相对运动为水平直线，绝对运动为绕 O 圆周运动。
点 A 的牵连速度与牵连加速度即为杆 BC 的速度与加速度。速度、加
速度分析如图b 所示，得
vC ve OA cos 0.173m/s aC ae OA2 cos 0.05m/s2
方向如图。
5
7-21 半径为 R 的半圆形凸轮 D 以等速 v0 沿水平线向右运动，带动从动杆 AB 沿铅直方 向上升，如图a所示。求 30o 时，杆AB相对于凸轮的速度和加速度。
又 DE 垂直于EF。求杆 EF 的角速度和点 F 的速度。
解：机构中，杆 AB，BC 和 EF 作平面运动，曲柄 OA 和三角块 CDE 作定轴转动，而滑
块 B，F 作平移。在图示位置，杆 AB 作瞬时平移，其上的 vA，v B 方向如图b（水平向左）。 vB vA OA OA 0.4m/s
下直线，相对运动为 A 沿 OC 的直线运动，牵连运动为 OC 绕
O 定轴转动。速度分析如图b所示，设杆 OC 角速度为ω，其转
向逆时针。由题意及几何关系可得
va v ， ve OA 由关系 va ve vr
有
va cos ve
得
ve OA
va cos l / cos
va
cos2 l
解：杆 AB 的顶点 A 为动点，动系固结于凸轮。绝对运动为上
下直线，相对运动为沿凸轮圆弧曲线，牵连运动为水平直线平移。杆
AB 的运动与点 A 运动相同,速度、加速度分析如图b 所示。
1、 速度
因 ve v0 ，从速度分析中得
vr
ve cos
1.155v0
2、 加速度
因 v0 常量。故
ae 0
解：取直角推杆上与杆 OA 接触点 B 为动点；动系固结于 OA；牵连运动为 OA 绕 O 点的定轴转动，绝对运动为 B 点的 水平直线运动，相对运动为 B 点沿杆 OA 直线运动。点 B 的速
度分析如图b,设 OA 角速度为 ω，,则
va v ， ve va sin OB ， OB v sin 即
求此瞬时筛子BC 的速度。
解：筛子 BC 作平移，如图b 所示的位置，vB 与 CBO 夹角为30°，
与 AB 夹角为 60°。且
vA
OA
0.3
40 30
0.4
(m/s)
由速度投影定理 (vA )AB (vB )AB ，得
vA vB cos 60o
vBC
vB
vA cos 60o
0.8
2.51
6-4
机构如图所示，假定杆AB
以匀速 v
运动，开始时
0
。求当
4
时，摇杆OC的角
速度和角加速度。
解：依题意，在 0 时，A 在D处。由几何关系得
杆OC的运动方程为 角速度 角加速度
tan
vt l
arctan
vt l
l2
vl v2t2
(l 2
2v3lt v2t2 )2
1
当
4
时， vt
l
。将 vt