一函数与映射的基本概念

一、函数与映射的基本概念

一、基本概念

1．函数的定义：

设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ⊆. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定．

2、对应法则

是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。例如：x x x y x y ++=+=2

2

cos sin 1与的对应法则是相同的。

3、同一个函数

两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．

4、变换字母

在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数

本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数.

5、区间及其表示方法．

区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、，

规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|，

半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|． 其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度．

符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数． 用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式． 如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),(

6．映射的概念：

映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射．

7、映射与函数的关系

函数是映射，但映射不一定是函数。由映射的概念可知，函数本质上是定义在两个非空数集

上的一类特殊的映射：当A 、B 是两个非空数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，并记作y =f (x )，其中x ∈A ，y ∈B ．原象的集合A 叫做函数的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C B ．

8、函数的三种表示法及其优缺点

（1）、解析法

用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示两个变量间的函数关系，，这种表示法叫

做解析法．例如，代数式，y =-2x -1，y =22

-+x x ，y =

x

1

，y =3-x 等等都是函数解析式．一般的可表示为)(x f y =。解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，即给出了由x 求y 的方法，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表达出来． （2）、列表法

把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法．如平方表、平方根表等．列表法一目了然，表格中已有自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律．而且是近似值 （3）、图象法

用平面直角坐标系中的曲线表示函数关系的方法叫做图象法．图象法形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，例如函数有没有最大值(或最小值)？最大(小)值是多少？函数值是随自变量增大而增大，还是随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究函数性质的有力工具．但是，由图象观察只能由x 的值量出y 的近似值 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数的自变量的取值范围． 注意：

(1)当函数是由一个解析式表示时，欲求函数值，实质就是求代数式的值．

(2)当已知函数解析式，又给出函数值，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程． (3)当已知函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式．

9、分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量

代入相应的表达式

例：求分段函数的函数值 已知函数

求f{f[f(a)]} (a<0)的值。

分析 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由 a<0, f(a)=2a ，又0<2a <1, , , 所以，。

注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段的表达式．