1微分(differential)的几何量化与代数推导.

Sec. 3.7 Differentials 微分

1：微分(differential)的幾何量化與代數推導

增量（increment ）： 函數)(x f y =，當x 分量由1x 變動到2x 時，12x x x

-=∆稱為x 的一增量。

對應x 的此一增量x ∆，y 的增量為)()()()(111212x f x x f x f x f y y y -∆+=-=-=∆

如圖示

例1~2：Let 3)(x x f y ==. Find x ∆ and y ∆：

a) When x changes from 2to 01.2. b) When x changes from 2to 98.1.

解：

a) 01.0201.2=-=∆x (新的減舊的)

1.1206.02)01.2()2()01.2()()(3311=-=-=-∆+=∆f f x f x x f y

b) 02.0298.1-=-=∆x (新的減舊的)

237608.02)98.1()2()98.1()()(3311-=-=-=-∆+=∆f f x f x x f y

＃

定義：函數)(x f y =，

x 的微分（differential ）為x dx ∆=

y 的微分（differential ）為dx x f dy ⋅'=)(。 (dy 隨x 與dx 變動)

幾何說明：現賦予dy 、dx 幾何上的意義，讓來不尼茲符號dx dy 有兩數相除的意思。

如上圖所示(注意微分與增量的關係)

a)x 的增量為PR AB x ==∆，y 的增量為RQ CD x f x x f y ==-∆+=∆)()(

b) 如圖過點P 的切線斜率dx dy x f m =

'=)(PR RS =； 若令PR x dx =∆=，則dy 可取為如圖示的線段長RS ；

c) dy f ≈∆即RQ RS ≈

d) 用切線逼近曲線

例(補充)：Find dy if ()13y 3+-=x x a ()x x b 3y 2+= .

解：

()()

3313 23-=+-=x x x dx d dx dy a ()dx x dy 332-=⇒ ()x

x x x x dx d dx

dy b 32323 22++=+=dx x x x dy 32322++=⇒ ＃

例(補充)：Find ()

()x x d x x d 31323++- . 解：

()

()x x d x x d 31323++-()()3233323322+-=+-=x x dx x dx x ＃

2、近似Approximations ）： (看圖也有相同結論)

x

x f x x f x x f x x f x f x ∆-∆+≈∆-∆+='→∆)()()()(lim )(0 x x f x f x x f ∆⋅'≈-∆+⇒)()()(‥‥(1) (即dy f ≈∆或RQ RS ≈)

x x f x f x x f ∆⋅'+≈∆+⇒)()()(‥‥(2) (即RS BR BQ +≈)

例題3：Let 3)(x x f y ==.

a) Find the differential dy of y .

b) Use dy to approximate y ∆ When x changes from 2to 01.2.

c) Use dy to approximate y ∆ When x changes from 2to 98.1.

d) Compare the results of part (b) with those of Example 2.

解：

a) dx x dx x f dy x x f y ⋅='=⇒==233)()(

b)

01.0201.2=-=∆=x dx , 2=x 12.0)01.0()2(32=⋅=⇒dy

c)

02.0298.1-=-=∆=x dx , 2=x 24.0)02.0()2(32-=-⋅=⇒dy

d) part b) 近似值12.0=dy 與例2的真正值1.1206.0=∆y 兩者很接近 ＃

例4：Use differential to approximate

5.2

6. 解： 取函數x x f y ==)(，x x f 21

)(='。

當x 分量由25=x 變動到5.26=∆+x x 時，5.1=∆x ；

x x f x f x x f ∆⋅'+≈∆+)()()(

)5.1()25()25())5.1(25(5.26⋅'+≈+=⇒f f f

()15.515.055.125

2125=+=+≈ ＃

例 5：某一型的卡車行駛500英哩，若以時速每小時v 英哩，其營運成本為v

v v C 4500125)(++= 元。 求時速從每小時 55 英哩增加到每小時 58 英哩時營運成本的近似改變量是多少。

解：

2

45001)(v v C -='。 當v 分量由55=v 變動到58=∆+v v 時，3=∆v ；

v v C C ∆⋅'≈∆)()3()55(⋅'=C ()46.1355450012-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-= 元 ＃

例 6：Cannon 精密儀器公司花費x 千元的廣告時，其銷售量200)(0 5006.0002.0)(23≤≤+++-=x x x x x S 。

以微分估計廣告費從 $100,000 (100=x ) 增加到 $105,000 (105=x )時，銷售量的改變量是多少。