地球表面最短距离计算

地球表面最短距离的计算
摘要：本论文探讨在仅知经纬度的情况下，地球表面最短距离计算的问题。

本文通过利用极点、已知地点的地理坐标构建球面三角形，引入球面三角形的第一五元素公式；用经纬度代换公式中的球心角的角度（弧度），成功的解决了利用经纬度计算地球表面任意两地间最短距离的问题。

导出了通过经纬度求两地最短距离的公式，并简化了特殊情况下的计算公式。

非常适合于地理学习、全球定位与导航等问题中的最短距离计算。

（球面距离）=2π
rarcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos(j1-j2)]/3600
关键词：经纬度，球面距离，球面三角形，第一五元素公式，反余弦
在地理科学的学习与应用中，我们时常遇到求地球表面两地间最短距离的情况。

在条件特殊时：如两点都在赤道上、或在同一经线上时较容易。

但当两地不再同一经线或赤道上时我们就难以获得准确答案。

笔者经过长时间的思考学习，总结了球面上任意两点间距离的计算方法，效果不错。

现介绍如下，以供大家参考。

1.公式推导
球面距离，就是球面上经过这两点的大圆的劣弧的长度。

而地球表球面上每个地点的位置是由经度、纬度来确定的，如果能利用经纬度来计算球面距离，我们就可以确定任意两地间的球面距离（不考虑地形影响，下同）。

如左图：设m（w1，j1）、l（w2，j2）
为地球表面两点，n为极点，表示两点之间的最短距离（球面距离），、分别表示极点至m、l的经线长。

依球面三角形概念可知：n、m、l共三点构成了球面三角形nml的三个顶点，、、构成了球面三角形的三条边。

它们的夹角、弧度、弧长等可根据球面三角形的性质进行相关计算得出。

为方便计算，按经纬度划分原则，将东经记为正，西经记为负；北纬记为正，南纬记为负。

例；东经60度记作j= +600、西经60度记作j =-600、北纬60度记作w=+600、南纬60度记作w=-600；用a、b、c分别表示三条边、、所对应的球心角，w1 w2分别m、l纬度,j1j2分别表示m、l两地的经度，a表示两地所在经线的夹角且小于1800， r为地球半径。

根据球面三角形的性质可得：
cosa=cosbcosc+sinbsinccosa （第一五元素公式）①
由经纬度知识可知 b= -w1 ,c= -w2 a=j1-j2. (当j1-j2大于1800时，取a=3600-(j1-j2)；因cos（2π－α）＝cosα，所以可用cos(j1-j2)代替 cosa)代入上式
cosa=cos( -w1)cos( -w2)+sin( -w1)sin( -w2)cos(j1-j2)
=sinw1sinw2+cos w1cos w2cos(j1-j2) 。

当反余弦值单位为角度时,由弧长公式得： =2πrarccosa/3600
=2πr arcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos(j1-j2)]/3600 公式ⅰ
当反余弦值的单位为弧度时，公式ⅰ可变为： =rarccosa
即=r arcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos(j1-j2)], 公式ⅱ
公式ⅰ、ⅱ对地球上任意两点球面距离的计算都适用。

1.1为减轻计算负担，经纬度为特殊值时，代入公式ⅰ，整理简化有：
1.1.1当两地位于同一经线上时，j1=j2，j1-j2=00，
=2πr arcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos00]/3600
=2πr arcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2]/3600
=2πr arcos[cos(w1-w2)]/3600。

ⅲ
1.1.2、当两地都在赤道上时w1=w2=00
=2πrarcos[sin00sin00+cos00cos00cos(j1-j2)]/3600
=2πrarcos[cos(j1-j2)]/3600。

ⅳ
1.1.3.当两地的经度差为1800时j1-j2=1800
=2πr arcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos1800]/3600
=2πr arcos[sinw1sinw2-cosw1cosw2]/3600
∵因cos(w1+w2)= [cosw1cosw2-sinw1sinw2]
∴[sinw1sinw2-cosw1cosw2]= -cos(w1+w2)代入上式
=2πr arcos[-cos(w1+w2)]/3600
=2πr×[1800-(w1+w2)]/3600。

ⅴ
1.1.4.两地位于同一纬线上w1=w2=w时，
=2πrarcos[sin2w+cos2wcos(j1-j2)]/3600。

ⅵ
1.1.5、当两地的经度差为900时
=2πrarcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos900]/3600
=2πrarcos[sinw1sinw2]/3600
1.2由于2πr /3600≈111.19km, 在要求不太精确时
ⅲ可简记为 = 111.19km/10×(w1-w2)
ⅳ可简记为 = 111.19km/10×(j1-j2) (当j1-j2大于1800时，取 = 111.19km/10×[3600-(j1-j2)])
ⅴ可简记为 = 111.19km/10×[1800 -(w1+w2)]
2.应用
2.1例1：2005年高考文科综合能力测试（全国卷ⅰ）第7题。

图2为亚洲两个国家略图。

读图回答。

据地理坐标判断，甲乙两地距离约为
a．300千米b．550千米c．1300千米d．1550千米
解：由题意知甲乙两地的纬度分别是w1=340、w2=290 经度为
j1=360、j2=480。

r=6371km。

代入公ⅰ式得：
实地距离=2π×
6371kmarcos[sin340sin290+cos340cos290cos(360-480)]/3600 ∵ sin340sin290+cos340cos290cos(360-480)= 0.98035
∴arcos 0.98035≈11.377220代入上式
实地距离=2π×6371km×11.377220÷3600≈1265 km
答：因为c项1300千米最接近1265km所以甲乙两地距离正确答案应选c项．
2.2练习：下图是一架飞机从a（600n，1350e）处起飞时的地
球光照图（阴影部分为黑夜，非阴影部分为白天），已知b的地理坐标（600n 、135°w）。

据此回答1-2题
（1）、飞机从a处沿图中箭头路线飞往b的航向是
a.从东南向西北
b.从南向北
c.先向西北再向西南
d.先
向东北再向东南
（2）、a、b两地间的实地距离大约是
a.2200 km
b.4600 km
c.5000 km
d.6300 km
答（1）、选d项
（2）、分析：依题意w1 =w2 =600= 、(j1-j2)= 2700=、代入公式ⅰ得：
实地距离= r arcos[sin sin +cos coscos( )] =6371km
arcos[sin2 ]=6371km arccos[ ]
=6371km ×0.7227
＝4604.5 km
答：因为b项4600千米最接近4604.5 km，所以甲乙两地距离正确答案应选b项。

3.结论：
地球表面任意两点间最短距离所对应的球心角的余弦值等于两点所在地的纬度的正弦值的积加上两地纬度的余弦值与两地经度
差的余弦值的积。

即：cosa =sinw1sinw2+cos w1cos w2cos(j1-j2)。

利用弧长公式即可导出两地间最短距离（不考虑地形因素）公式即：（球面距离）=2π
rarcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos(j1-j2)]/3600（反余弦单位为角度）。

该公式可在只知道经纬度的情况下，对地球上任意两点间的球面距离进行计算。

特别适合于解决地理教学、航行、全球定位等方面最短距离的计算问题。

参考文献：徐宝应振华《地球概论教程》高等教育出版社1983.11
注：文章内所有公式及图表请以pdf形式查看。