地球表面最短距离计算
地球表面两点间最短距离
先东南再东北
相关练习：
从甲地（70°N，80°E）到乙地（70°N， 150°E），若不考虑地形因素，最近的走法是
C
冬至日，（12月22日）凌晨4点（地方时）一架飞机从 甲地（60°N、100°W）起飞，沿最近航线匀速飞行， 8小时后抵达乙地（60°N、80°E）。据此回答各题。
一、两地之间的最短航线问题
球面上最短距离的判断
球面最短距离,是经过两点的大圆的劣弧长度。 凡是地球的大圆，其圆心必定是地心且均分地球。 赤道、经线圈、晨昏圈都是大圆。
最短距离的判断主要分三种情况： 1、两点都在赤道上 2、两点在相对经线上 3、两点既不在赤道上，也不在相对经线上
1、看所求的两点是否同位于赤道，若同位 于赤道上，赤道即为大圆，所以沿赤道向 东或向西走劣弧即可。
60
60
A到C的最短航线所沿方向是_先__向__东__北__再__向__东南 A到D的最短航线所沿方向是_先__向__西__北__再__向__西南
形式二：极地俯视图
判：
1到2地最短航线所沿 方向 先西北再西南
1到3地最短航线所沿 方向 先东北再东南
1到4地最短航线所沿 方向 先北再南
形式三：侧俯视图（能看到其中一极）
A 1、飞机出发时的行航向
A、朝北 B、朝南 2、飞机途中航向
C、朝西南 D、朝东北
D
A、一直不变
B、先朝东北后朝东南
C、先朝西北后朝西南 D、先朝北后朝南
3、这架飞机若以同样速度，沿北纬60°航行，抵达
乙地大致需要
D
A、16小时 B、12小时 C、20小时 D、24小时
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制作人：株洲市一中唐文利
地球两点间距离计算公式
地球两点间距离计算公式
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目录
1.地球是一个近似的椭圆球体
2.地球两点间距离的计算方法
3.应用举例
正文
地球是一个近似的椭圆球体，因此，计算地球上两点之间的距离需要考虑地球的形状。
根据地球的形状，我们可以使用以下公式来计算地球上两点之间的距离：
d = 2 * R * arccos[(r1 * r2 + d1 * d2) / (2 * r1 * r2)]
其中，d 是地球上两点之间的距离，R 是地球的半径，r1 和 r2 是两点的纬度，d1 和 d2 是两点的经度。
这个公式的原理是，首先，将地球表面看作是一个平面，然后计算在这个平面上两点之间的最短距离。
这个最短距离是一个弧长，它的长度等于地球的半径乘以两点之间的中心角。
中心角可以通过两点的经度和纬度计算出来。
最后，使用反余弦函数将中心角转换为弧长。
举个例子，假设我们要计算纽约（西经 74 度，北纬 40 度）和北京（东经116 度，北纬 39 度）之间的距离。
首先，我们需要将经度和纬度转换为弧度。
然后，我们可以使用上述公式计算出两地之间的距离。
计算结果约为 11,956 公里。
这个公式只适用于地球表面的近似计算。
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利用经纬网计算距离
利用经纬网计算距离经纬度是地理位置的坐标系，是用来描述地球表面上一个点的位置的，利用经纬度可以计算出两点之间的距离。
在计算两点之间的距离时，可以使用球面三角学的原理，也可以使用近似算法。
一、球面三角学方法球面三角学方法是求解地球表面上两点的最短距离的准确方法，也是最为常用和精确的方法。
这种方法基于地球是一个近似的球体，并使用了三角函数来计算距离。
具体步骤如下：1.将两点的经度和纬度坐标转换为弧度表示。
地球的圆周被分成360度，每个度再分成60分，每一分再分成60秒。
因此，将经度和纬度从度、分、秒转换为弧度的公式如下：弧度=（度+分/60+秒/3600）*π/1802.计算两点之间的经度差和纬度差，并转换为弧度表示。
3.使用Haversine公式计算两点之间的弧长，然后将弧度转换为所在圆的半径所对应的真实距离。
Haversine公式如下：haversine(α) = sin²(Δφ/2) + cos φ1 * cos φ2 *sin²(Δλ/2)其中，φ1和φ2为两点的纬度，Δφ为纬度差，Δλ为经度差。
4.将弧长除以地球的半径，得到最短距离。
这种球面三角学方法能够计算出两点之间的最短距离，但是计算复杂度较高。
二、近似算法近似算法是一种用于快速计算两点之间距离的方法，它并不考虑地球的形状，而是将地球视为平面进行计算。
这种方法通过计算两点之间矢量的长度来估计距离。
具体步骤如下：1.将两点的经度和纬度坐标转换为弧度表示。
2.计算两点经度之间的差值和纬度之间的差值。
3.将经度差值和纬度差值分别乘以地球的平均半径（约为6371 km），得到两个方向的分量。
4.利用勾股定理计算矢量的长度。
这种近似算法能够快速计算出两点之间的距离，但是由于没有考虑地球的形状，所以精度相对较低。
无论使用球面三角学方法还是近似算法，都可以利用经纬度计算两点之间的距离。
在实际应用中，根据需要选择合适的方法。
如果需要高精度的计算结果，可以使用球面三角学方法；如果只需要快速估计距离，可以使用近似算法。
地球表面两点最短线路的确定及距离计算(汇编)
地球表面两点最短线路的确定及距离计算高中地理教材中有关“地球运动的地理意义”的内容，一直是地理教学的重点和难点，但教材中不仅图文资料少，而且对相关结论又缺少足够的分析，尤其缺少在实际应用方面的内容。
面对空间想象力和数学水平不太高的学生，我们该如何帮助他们全面正确认识地球表面两点最短线路的确定及距离计算？一、球面上最短线路的确定在地球表面上，两点间最短距离是球面上通过这两点的大圆的劣弧长。
为什么大圆就是最短线路呢？如图，图中是过a和b的两个圆。
可以明显看出，在ab 两点中走大圆的圆弧线路短些。
圆越大，弧的曲度就越小，线路就越接近直线（因为球面上不可能有直线）。
具体掌握以下两种情况，问题就可迎刃而解。
（1）若两点的经度差等于180度，且不在赤道上，则经过两点的大圆便是经线圈，这两点间的最短航程须经过极点，具体又分三种情况：a. 若两点同位于北半球，最短航程须经过北极点，其航行方向一定是先向正北，过极点后向正南。
b. 若两点同位于南半球，最短航程须经过南极点，其航行方向一定是先向正南，过极点后向正北。
c. 若两点同位于南、北不同半球，这时需要讨论经过北极点的为劣弧还是经过南极点的为劣弧，然后再确定最短航程的走向。
如下图甲中，A点到B点的最短航程经过北极点，C点到D点的最短航程经过南极点，C点到B点的最短航程经过北极点，A点到D点的最短航程经过南极点。
(2) 若两点的经度差不等于180度，则经过两点的大圆便不是经线圈，而是与经线圈斜交，其最短航程也不经过极点。
若甲、乙两地在此大圆最北两侧或者最南两侧，具体分为两种情况：a. 甲地位于乙地的东方，从甲到乙的最短航程为：同在北半球，先向西北，后向西，最后向西南；同在南半球，先向西南，再向西，最后向西北；位于南、北不同半球时需要具体讨论哪一段为劣弧段。
b. 如上图乙中A点到B点的最短航程为先向东北，再向东，最后向东南，D点到C点的最短航程为先向西南，再向西，最后向西北。
球面距离的计算范文
球面距离的计算范文球面距离是地理学中常用的一个测量距离的方法，也可以用于其他领域如航海、导航、天文学等。
它是通过测量地球表面两点之间的弧长来计算距离。
相比于直线距离，球面距离更准确地反映了地球的曲率。
本文将介绍球面距离的概念、计算方法和具体的应用。
一、球面距离的概念球面距离是指地球表面两点之间沿球面的最短路径的弧长。
这个概念可以用于测量地球上任意两点之间的距离。
球面距离常用弧度或者度来表示。
二、球面距离的计算方法1. Haversine公式Haversine公式是最常用的计算球面距离的方法之一、它基于地球是一个近似球体的假设，在假设地球半径为R的情况下，计算两点之间的距离。
具体计算公式如下：a = sin²(Δφ/2) + cos(φ1) * cos(φ2) * sin²(Δλ/2)c = 2 * atan2(√a, √(1−a))d=R*c其中，φ1、φ2为两点的纬度，Δφ为纬度的差值，Δλ为经度的差值，R为地球的半径。
2. Vicenty公式Vicenty公式是一种更精确的计算球面距离的方法。
它基于地球是一个贴近椭球体的假设，该公式考虑了地球的椭球度和可能存在的扁平度。
具体计算公式如下：a=R*gb=R*fc=R*(g-f)d = atan2( √(cos(φ2)*sin(∆λ))^2 + (cos(φ1)*sin(φ2) -sin(φ1)*cos(φ2)*cos(∆λ))^2, sin(φ1)*sin(φ2) +cos(φ1)*cos(φ2)*cos(∆λ))e = atan2( a*φ1 + b*φ2, c*φ1 + d*φ2 )f = atan2( sin(φ1) + sin(φ2),√((cos(φ1)+a)^2+(cos(φ1)+b)^2) )其中，φ1、φ2为两点的纬度，∆λ为经度的差值，R为地球的半径，g为地球的第一偏心率平方，f为地球的第二偏心率平方。
三、球面距离的应用球面距离常用于地理、航海、导航等领域。
三角带长度的计算方法
三角带长度的计算方法三角带长度是指在地球表面上两点之间的最短距离，通常用于航海、航空、地理测量等领域。
在实际应用中，我们需要通过一定的计算方法来确定两点之间的三角带长度，以便进行导航和测量工作。
下面将介绍几种常用的三角带长度计算方法。
一、球面三角形计算法。
球面三角形计算法是最常用的三角带长度计算方法之一，它适用于地球表面上两点之间的大圆航线距离计算。
其计算步骤如下：1. 确定两点的经纬度坐标；2. 根据经纬度坐标计算两点之间的大圆航线距离；3. 将大圆航线距离转换为三角带长度。
这种方法计算简单，精度较高，适用于大范围的三角带长度计算。
二、椭球体三角形计算法。
椭球体三角形计算法是一种考虑地球椭球体形状的三角带长度计算方法，适用于近距离的三角带长度计算。
其计算步骤如下：1. 确定两点的经纬度坐标；2. 根据经纬度坐标计算两点之间的椭球面距离；3. 将椭球面距离转换为三角带长度。
这种方法考虑了地球的真实形状，适用于近距离的三角带长度计算，精度较高。
三、大地水准曲线计算法。
大地水准曲线计算法是一种考虑地球重力场的三角带长度计算方法，适用于需要考虑地球重力场影响的三角带长度计算。
其计算步骤如下：1. 确定两点的经纬度坐标；2. 根据经纬度坐标计算两点之间的大地水准曲线距离；3. 将大地水准曲线距离转换为三角带长度。
这种方法考虑了地球的重力场影响，适用于需要考虑地球重力场影响的三角带长度计算。
综上所述，三角带长度的计算方法有多种，选择合适的计算方法取决于具体的应用需求和精度要求。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的计算方法来确定两点之间的三角带长度，以便进行导航和测量工作。
地球上一点到一条线的最短路径 计算公式
地球上一点到一条线的最短路径计算公式在我们生活的这个大大的地球上，常常会碰到这样一个有趣的问题：从地球上的某一点到一条线，怎样走才能是最短的路径呢？这可不是一个能随便糊弄过去的小问题，它里面藏着不少的学问呢！要说这最短路径，咱们得先从基本的几何知识说起。
在平面几何里，大家都知道点到直线的最短距离，那就是从这点向直线作垂线，垂线段的长度就是最短的。
可地球不是一个平平的面呀，它是个大大的球！这就复杂了些。
咱们来想象一下，假如你站在操场上，面前有一条笔直的跑道线。
你想以最快的速度跑到这条线上的某个点，你会怎么走？肯定是直直地朝着那个方向冲过去，对吧？但在地球上可不能这么简单地想。
就拿飞机的航线来说吧。
你可能会想，飞机从一个城市飞到另一个城市，不就是从一点到另一条线嘛。
可实际上，飞机的航线可不是随便画的。
比如说从北京到纽约，它可不是直直地飞过去，而是会沿着一条弯曲的路线。
这是为啥呢？因为地球是个球，得考虑地球的形状和大气环流等好多因素。
那到底怎么计算地球上一点到一条线的最短路径呢？这就得用到球面几何的知识啦。
咱们假设地球上有一点 A，有一条线 L。
首先，得把这个问题转化一下，通过一些数学上的方法，把地球表面展开成一个平面图形。
这可不容易，就好像要把一个皮球的皮铺平一样难。
然后呢，再利用一些复杂的公式和计算方法来求解。
这里面涉及到好多的数学概念和运算，比如说三角函数、向量等等。
听起来是不是有点头疼？别担心，咱们慢慢来。
我还记得有一次，我给学生们讲这个知识点。
有个调皮的小家伙举手说：“老师，这东西太难啦，在生活中也用不到啊！”我笑着告诉他：“孩子，你可别小瞧了这知识。
就说航海吧，船长们要是不知道怎么计算最短路径，那得多浪费燃料，多耽误时间啊！”这孩子眨眨眼，好像有点明白了。
其实，不仅仅是航海和航空，在很多领域都能用到这个计算。
比如地质勘探，要找到最短的路线去探测地下的资源；还有通信领域，让信号以最短的路径传输，能提高效率，减少损耗。
怎么用经纬度计算两地之间的距离
怎么用经纬度计算两地之间的距离经纬度是地球上一点的坐标表示方法，可以用来计算两个点之间的距离。
计算两地之间的距离可以使用多种方法，包括球面距离公式、大圆航线距离和Vincenty算法等。
下面将详细介绍这些方法。
1.球面距离公式球面距离公式是最简单且最常用的计算两点之间距离的方法。
它基于球面三角形的边长计算两点之间的距离，如下所示：d = R * arccos(sin(lat1) * sin(lat2) + cos(lat1) * cos(lat2) * cos(lon2 - lon1))其中，d是两点之间的球面距离，R是地球的平均半径，lat1和lat2是两点的纬度，lon1和lon2是两点的经度。
2.大圆航线距离大圆航线距离是计算两点之间最短距离的方法，它基于地球表面上连接两点的最短弧线，如下所示：d = R * arccos(sin(lat1) * sin(lat2) + cos(lat1) * cos(lat2) * cos(lon2 - lon1))其中，d是两点之间的大圆航线距离，R是地球的半径，lat1和lat2是两点的纬度，lon1和lon2是两点的经度。
3. Vincenty算法Vincenty算法是一种更精确的计算两点之间距离的方法，它基于椭球体模型而不是简单地球模型。
该算法能够考虑地球形状的扁平化，并且适用于短距离和长距离的计算。
具体实现需要迭代计算，公式略显繁琐，如下所示：a=R1,b=R2,f=(a-b)/aL = L2 - L1, U1 = atan((1 - f) * tan(lat1)), U2 = atan((1 - f) * tan(lat2))sinU1 = sin(U1), cosU1 = cos(U1), sinU2 = sin(U2), cosU2 = cos(U2)λ=L,λʹ=2πwhile (，λ - λʹ， > 10e-12):sinλ = sin(λ), cosλ = cos(λ), sinσ = sqrt((cosU2 *sinλ) * (cosU2 * sinλ) + (cosU1 * sinU2 - sinU1 * cosU2 *cosλ) * (cosU1 * sinU2 - sinU1 * cosU2 * cosλ))cosσ = sinU1 * sinU2 + cosU1 * cosU2 * cosλσ = atan2(sinσ, cosσ)sinα = cosU1 * cosU2 * sinλ / sinσcos²α = 1 - sinα * sinαcos2σm = cosσ - 2 * sinU1 * sinU2 / cos²αC = f / 16 * cos²α * (4 + f * (4 - 3 * cos²α))λʹ=λλ = L + (1 - C) * f * sinα * (σ + C * sinσ * (cos2σm + C * cosσ * (-1 + 2 * cos2σm * cos2σm)))u² = cos²α * (a*a - b*b) / (b*b)B=u²/1024*(256+u²*(-128+u²*(74-47*u²)))Δσ = B / 6 * (cosσ * (-1 + 2 * cos2σm * cos2σm) - B / 4 * (cos2σm * (-3 + 4 * sinσ * sinσ) - B / 6 * cosσ * (-3 + 4 * cos2σm * cos2σm) * (-3 + 4 * sinσ * sinσ)))s=b*A*(σ-Δσ)其中，a和b是地球的长半轴和短半轴，f是扁平度参数，R1和R2是两点的曲率半径，L1和L2是两点的经度差，lat1和lat2是两点的纬度。
球面最短距离
球面最短距离一、概述球面最短距离是指在一个球体上两点之间的最短路径，也称为大圆弧距离或者地球表面的测地线。
在地理学、天文学、航空航天等领域中，球面最短距离是一个十分重要的概念。
二、公式推导假设有两个球面上的点A和B，它们的经纬度分别为(φ1, λ1)和(φ2,λ2)，其中φ表示纬度，λ表示经度。
则它们之间的大圆弧距离d可以通过以下公式计算：d = R * arccos(sinφ1 * sinφ2 + cosφ1 * cosφ2 * cos(λ1 - λ2))其中R为球体半径。
这个公式可以通过余弦定理推导得到。
将球体看作一个半径为R的圆，以A点和B点为圆心画出两条半径，并连接这两个点。
则这两个半径与圆周所夹成的角就是AB之间的大圆弧角度θ。
根据余弦定理，我们可以得到：cosθ = cosR / (cosA * cosB) - tanA * tanB / (cosA * cosB)其中A和B分别为AB连线与北极点连线所成角度，R为球体半径。
将A和B带入上式可以得到：cosθ = sinφ1 * sinφ2 + cosφ1 * cosφ2 * cos(λ1 - λ2)因为θ就是AB之间的大圆弧角度，所以d可以表示为：d = R * θ将θ带入上式即可得到球面最短距离公式。
三、应用场景1. 地理学：在地球表面上，球面最短距离可以用来计算两个城市之间的距离。
这个概念在航空、航海、旅游等领域中都有广泛的应用。
2. 天文学：在天文学中，球面最短距离可以用来计算星际之间的距离。
例如，在太阳系内，我们可以使用这个概念来计算地球和其他行星之间的距离。
3. 机器人领域：在机器人领域中，球面最短距离可以用来规划机器人移动路径。
例如，在一个球形空间中，机器人需要从一个点移动到另一个点，我们就可以使用这个概念来计算机器人需要走多长的路程。
四、误差分析虽然球面最短距离公式非常有用，但是它并不是完全准确的。
这是因为地球并不是一个完美的球体，而是一个略微扁平的椭球体。
高三地理——地球表面两点间最短距离
若两地不在同一半球：1.但在同一经线上，则为最短航程方向为向正北或正南。
2.若其中一地在极点，则另一地与其最短航程方向为向正北或正南。
如从北极点到南半球某地一定是该地所在经线向正南方向走为最短距离。
3.若两地经度不同，则据两地经度差看，从小于180度的方向走，就根据地图上的方向判断方法判断即可。
如从A地(北纬30度，东经30度)到B地(南纬20度，东经80度)的最短航程的方向为向东南方向；从C地（南纬50度，西经170度）到D地（北纬10度，东经160度）的最短航程的方向为西北方向。
另附本人所总结的“地球表面两点间最短航线的方向判断问题”供参考：地球表面两点间最短航线的方向判断在近年的地理试题中，考查地球上两点间最短航线的方向问题经常出现，由于很多学生对这类问题没有从本质上搞清楚，又缺乏空间想象能力，只是机械地背一些结论，造成解这类题目时经常出错。
本文对此问题简单归纳如下，望各位老师批评指正。
判读依据：数学知识：球面上两点间的最短距离为两点所在大圆的劣弧。
地理知识：地图上的方向。
如图1中所示几个圆中，只有AC所在的圆和EF所在的圆为大圆。
对于地理考查来说，一般是考查具有地理意义的大圆，主要包括：赤道、经线圈和晨昏圈，对于这几个大圆上的最短航线方向的判断方法归纳如下：1、两点位于赤道上：向正东或正西，如图1中A点到C点最短航线方向为向正东。
2、两点位于同一经线圈上：若两点位于同一经线上，则向正南或正北。
如图2中A点到B点最短航线方向为向正南。
若两点经度相对，最短航线则需过较近的极点，北极点附近先向正北再向正南，南极点附近先向正南再向正北。
如图2中E点到C点最短航线方向为先向正北再向正南；E点到D点最短航线方向为先向正南再向正北。
3、两点位于晨昏圈上：若两点均在晨线上或昏线上，则根据地图上的方向判断即可。
如图3中图1图2图3A点到B点最短航线方向为向东南方向。
若两点分别在晨线和昏线上，也需要考虑极点附近的方向问题。
地球表面上两点间最短距离(航线)方向的确定
地球表面上两点间最短距离（航线）方向的确定作者：***来源：《中学政史地·高中文综》2016年第03期在复习经纬网的内容时，地球表面上两点间最短航线方向的确定，是我们的拦路虎。
由于有的同学对这类问题缺乏足够的空间想象能力，只是机械地背一些结论，造成在解这类试题时经常出错。
针对有些同学空间想象能力和数学水平不太高等情况，本文旨在帮助他们全面正确认识地球表面上两点间最短航线方向的确定问题。
地球表面上两点之间的最短航线，指的是两点所在大圆的劣弧。
一、认识大圆过球面上两点的大圆就是经过这两点以地心为圆心的圆。
在地球上有三种情况大圆是确定的，如图1中的赤道、经线圈、晨昏圈。
在图2中，很显然，甲、乙、丙所在圆的圆心是地心，其所在的圆就是大圆，其他的圆都不是大圆。
二、确定劣弧大圆上两点间的最短航线或距离就是两点所在大圆的劣弧。
所谓劣弧，即两点间的弧度小于180°。
如图3中的⌒AB和⌒CD都是过大圆的劣弧，而⌒EF虽然是劣弧，但不是大圆上的劣弧。
图4中甲和乙之间的弧线，只有最上面的弧是过大圆的劣弧。
三、确定地球上两点间最短航线的方向沿着劣弧的行进方向就是最短航线的方向。
1.两点在同一经线圈上或者在赤道上（1）两点在同一经线上，向正北或向正南走，不转向。
如图5， A到B是向正北走；反之，B到A是向正南走。
（2）两点在两条经线上（经度相对，两点的经度差等于180°），过极点要转向。
如在通过北极点之前，先向正北走，过北极点后转向正南；反之，在通过南极点之前，先向正南走，过南极点后转向正北。
如图6，从A到B先向正北走，过北极点后向正南走；从B 到A是先向正北走，过北极点后向正南走。
（3）两点在赤道上，向正东走或向正西走，不转向。
如图7， A到B是向正东走；反之，B到A是向正西走。
2.两点既不在同一经线上，也不在赤道上地球上任意两点和地心必然确定一个大圆，一定存在一个纬线圈和这个大圆相切，切点即为这个大圆的纬度最高点，若大圆劣弧航线经过切点，则发生转向，转向点为切点；若大圆劣弧航线不经过切点，则不发生转向。
根据经纬度确定地球上两点之间的最短路程
根据经纬度确定地球上两点之间的最短路程王伟民(安徽省太和县宫集镇中心学校ꎬ安徽阜阳２３６６５２)摘㊀要:以例举的方式ꎬ分三种情况分别介绍如何根据地球表面两点的经纬度ꎬ确定两点之间的最短路程ꎬ以及最短路径长度的计算方法.关键词:地球表面ꎻ经线ꎻ纬线ꎻ最短路径ꎻ圆弧长度中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－０１３１－０３收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:王伟民(１９６４－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀由于球体的表面是曲面不是平面ꎬ所以ꎬ沿地球表面运行质点的运动轨迹一定是曲线ꎬ而非直线.运用数学知识可以证明ꎬ在球面上连接任意两点的所有曲线中ꎬ过这两点及球面球心的平面与球面的交线(是一个半径等于球面半径的圆)上ꎬ这两点之间的圆弧(劣弧)的长度最短.运用这一结论ꎬ对于地球表面上给定的两点ꎬ在已知它们经度和纬度的情况下ꎬ依地球半径作为已知条件ꎬ利用数学知识可以确定两地间最短路径的长度.１同一经线上两点之间的最短路程例１㊀已知地球的半径为６４００ｋｍꎬＥ㊁Ｆ是地球表面上的两点ꎬ其经纬度坐标分别为Ｅ(２０ʎＷꎬ５０ʎＮ)㊁Ｆ(２０ʎＷꎬ４０ʎＳ)ꎬ求地球表面上这两点间最短路径的长度.分析㊀依题意可知ꎬＥ㊁Ｆ两点在同一条经线上ꎬ由于经线所在圆的圆心就是地球的球心ꎬ所以ꎬ地球表面上同一经线上两点间的最短路程ꎬ等于这两点之间的经线圆弧的长度.解析㊀设地球的半径为Ｒꎬ球心为点ＯꎬＥ㊁Ｆ两点间的经线圆弧的长度为ｌꎬ则有ｌ＝ＲøＥＯＦ(øＥＯＦ单位为弧度)＝６.４ˑ１０３ｋｍˑ５０ʎ＋４０ʎ１８０ʎπʈ１００５３ｋｍ答:地球表面上这两点间最短路径的长度为１００５３ｋｍ.㊀２同一纬线上两点之间的最短路程需要说明的是ꎬ如果两点在同一条纬线上(即一个点在另一个点的正东或正西方向)ꎬ且这条纬线不是赤道的话ꎬ它们之间的最短路径不是经过这两点纬线圆弧的长度(相当一部分人有这种错误观点ꎬ认为地球表面上东西方向上两点之间最短路径的长度ꎬ等于这两点之间纬线圆弧的长度).例题２㊀已知地球的半径为６４００ｋｍꎬＥ㊁Ｆ是地球表面上的两点ꎬ其经纬度坐标分别为Ｅ(２０ʎＷꎬ６０ʎＮ)㊁Ｆ(８０ʎＷꎬ６０ʎＮ)ꎬ求地球表面上这两点间最短路径的长度分析㊀如图１所示ꎬ设Ｏ是地球球心ꎬ直线ＯＤ是地球的地轴(Ｄ为北极极点)ꎬ圆弧ＡＢ所在的圆是地球的赤道ꎬ圆弧ＥＦ所在的圆是纬度为β＝π３的１３１一条纬线(即øＢＯＦ＝β＝π３)ꎬ圆弧ＡＤ㊁ＢＤ是分别经过Ｅ㊁Ｆ两点且经度相差α＝π３的两条经线(即øＡＯＢ＝α＝π３)ꎬ为确定球面上Ｅ㊁Ｆ两点之间的最短路程ꎬ只需求出线段ＥＦ(是球面的一条弦ꎬ图中未画出)对球心Ｏ点所张的角øＥＯＦ的角度大小即可.图１解析㊀由图１可知øＥＣＦ＝øＡＯＢ＝α＝π３ＣＦ＝ＣＥ＝ＲｃｏｓβＥＦ＝２ＣＦｓｉｎα２＝２Ｒｃｏｓβｓｉｎα２øＥＯＦ＝２ａｒｃｓｉｎ１２ＥＦＯＦ＝２ａｒｃｓｉｎＲｃｏｓβｓｉｎα２Ｒ＝２ａｒｃｓｉｎ(ｃｏｓβｓｉｎα２)＝２ａｒｃｓｉｎ１４所以ꎬ球面上Ｅ到Ｆ的最短路径的长度是以地球半径Ｒ为半径ꎬ弧度大小为２ａｒｃｓｉｎ１４的圆心角所对的弧长ꎬ大小为２Ｒａｒｃｓｉｎ１４.２Ｒａｒｃｓｉｎ１４＝２ˑ６.４ˑ１０３ｋｍˑａｒｃｓｉｎ１４ʈ３２３６ｋｍꎬ答:地球表面上这两点间的最短路径的长度是３２３６ｋｍ.我们将这一数据与过ＥＦ两点纬线上ꎬ圆弧ＥＦ的长度相比较ꎬ设该圆弧长度为ｌꎬ则ｌ＝ＣＦ øＥＣＦ＝(Ｒｃｏｓβ)π３＝π６ˑ６.４ˑ１０３ｋｍʈ３４５０ｋｍ可以看出ꎬ纬线上ＥＦ两点间的圆弧长度比球面上经过ＥＦ的最大圆的圆弧长度多出了１１４ｋｍ.３地球表面任意两点间的最短路程例题３㊀如图２所示ꎬ已知地球的半径为６４００ｋｍꎬＥ㊁Ｆ是地球表面上的两点ꎬ其经纬度坐标分别为Ｅ(２０ʎＷꎬ１５ʎＳ)㊁Ｆ(８０ʎＷꎬ７５ʎＮ)ꎬ求地球表面上这两点之间最短路径的长度.分析㊀由题目条件可知ꎬＥ㊁Ｆ两点既不在同一条经线上ꎬ也不在同一条纬线上.参照上面两例题的解法ꎬ我们只需确定Ｅ㊁Ｆ两点所对地球球心圆心角的大小即可.解析㊀如图２所示ꎬ分别作出过Ｅ㊁Ｆ两点的地球的经线和纬线ꎬ并作出赤道平面.设øＥＡＣ＝α(两条经线的经度之差)ꎬ半径ＯＣ㊁ＯＦ与赤道平面的夹角分别是β和θꎬ由题目条件可知øＥＡＣ＝α＝６０ʎꎬβ＝１５ʎꎬθ＝７５ʎꎬ则:ＡＥ＝ＡＣ＝ＲｃｏｓβＢＤ＝ＢＦ＝ＲｃｏｓθʑＥＣ＝２ＡＣｓｉｎα２＝２Ｒｃｏｓβｓｉｎα２ＤＦ＝２ＢＦｓｉｎα２＝２Ｒｃｏｓθｓｉｎα２ＥＤ＝ＣＦ＝２Ｒｓｉｎβ＋θ２图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３将图２中的等腰梯形ＥＣＦＤ隔离出来单独分析ꎬ如图３所示ꎬ过其顶点Ｄ㊁Ｆ作该梯形的两条高线ＤＰ和ＦＱꎬ垂足分别为Ｐ㊁Ｑꎬ由勾股定理可知２３１ＥＦ２－ＣＦ２＝ＥＱ２－ＱＣ２ʑＥＦ＝ＣＦ２＋(ＥＱ＋ＱＣ)(ＥＱ－ＱＣ)＝ＣＦ２＋ＥＣ ＤＦ＝４Ｒ２ｓｉｎ２β＋θ２＋４Ｒ２ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２所以ꎬ图２中ꎬøＥＯＦ的大小(单位为弧度)为øＥＯＦ＝２ａｒｃｓｉｎ１２ＥＦＲ＝２ａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２所以ꎬ地球表面ꎬＥ㊁Ｆ两点之间的最短路径的的长度ｌ为ｌ＝Ｒ øＥＯＦ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒａｒｃｓｉｎ１２＋２＋３２＋６１２＋６１４＝２Ｒａｒｃｓｉｎ３４＝２ˑ６.４ˑ１０３ｋｍ ａｒｃｓｉｎ３４ʈ１０８５５ｋｍ答:地球表面上这两点间的最短路径的长度是１０８５５ｋｍ.例３解答中ꎬ所导出的根据地球表面两点的经纬度确定两点之间最短路径长度的计算公式ｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２ꎬ是一个普遍适用的公式ꎬ它涵盖了已知两点在同一条经线㊁同一条纬线ꎬ以及已知两点既不在同一条经线也不在同一条纬线等多种情形.该公式中ꎬ当β＝－θ时ꎬ公式演变为ｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎ(ｃｏｓβｓｉｎα２)ꎬ这就是例２中ＥＦ两点在同一条纬线上的情形.当α＝０时ꎬｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎβ＋θ２)＝２Ｒａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎβ＋θ２)＝Ｒ(β＋θ)ꎬ这正是例１中两点在同一条经线的状况.看该公式的一个实际应用.例４㊀已知北京和悉尼两座城市的经纬度坐标分别如下:北京(１１６.４６ʎＥꎬ３９.２ʎＮ)㊁悉尼(１５０.８８ʎＥꎬ３３.９２ʎＳ)ꎬ试求北京和悉尼间最短航线的长度(地球半径取６４００ｋｍ).解析㊀依题意知ꎬα＝１５０.８８ʎ－１１６.４６ʎ＝３４.４２ʎꎬβ＝３３.９２ʎꎬθ＝３９.２ʎ所以ꎬ两城市间的最短航线长度ｌ为ｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２３６.５６ʎ＋ｃｏｓ３３.９２ʎｃｏｓ３９.２ʎｓｉｎ２１７.２１ʎʈ８２００ｋｍ答:北京和悉尼间最短航线的长度约为８２００ｋｍ.当然ꎬ这里计算出的数据只是理论数据ꎬ两地间的实际航线还要受地理环境等多种因素的影响ꎬ飞机的实际飞行路线很可能会偏离 标准 的圆弧线ꎬ中途出现 拐弯 的情形ꎬ所以实际航线的长度会比理论值大一些.参考文献:[１]陈龙.追溯 源头 拨开云雾见 真身 :例析 与圆相关的最值问题 [Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(６):８４－８６.[２]许婷婷.例谈立体图形表面最短距离[Ｊ].高中数理化ꎬ２０１９(１０):１６－１７.[３]牛可新.巧解 求曲线上的点到直线的最短距离 题[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１３(９):９９.[责任编辑:李㊀璟]３３１。
定距离,定范围
(2)、同一条纬线（纬度为α ）上，经度相差1°的两地距离 相差约 111×cos α 千米。
依据： ① 纬线的长度由赤道向两极递减。 ② 任意一条纬线都跨360 °的经度（纬线是圆）。 ③ 同一纬线上，经度相差1°的两地距离＝ 此纬线的周长/360 °
④ 任意一条纬线（纬度为α）的周长＝赤道周长× cos α
图中的区域ABQP和ABDC的面积哪个大？
P
S
例题：
某人从赤道以北50公里处出发，依次向正 西、正南、正东、正北各走100公里，最后他 位于（ A ） A．出发点 B．出发点以西 C．出发点以北 D．出发点以东
赤道
例题、某人从赤道以北30公里处出发，依次 向正西、正南、正东、正北各走100公里，最 后他位于（ D ） A．出发点 B．出发点以西 C．出发点以北 D．出发点以东
（3）、赤道上经度相差1°的两地距离为111千米；
南北纬60°上经度相差1°的两地距离为111/2千米
（4）、纬度越大，同一纬线上经度相差1°的两地距离越短。
（纬线的长度由赤道向两极递减）
练习：
计算图中AB、CD、PQ、AC、BQ的长度
C D B
Q
N
思考，AD间的距离该如何计算？
A
（5）、基于距离的区域面积估算
读经纬网图，回答：图中阴影部分实际 面积的大小是：
20°
25°
A、甲等于乙 C、甲小于乙
B、甲大于乙 D、无法确定
读下图，回答问题。
（1）图中甲、乙、丙区域 内实际面积的比较为 A.甲>乙>丙 B.乙>甲>丙 C C.丙>乙>甲 D.丙>甲>乙 （2）图中a、b、c、d中不能观测到北极星 A.a B.b C.c D.d
地球上两点间距离的计算方法
地球上两点间距离的计算方法1.地球表面距离的球面三角法计算：这是最常用的方法之一，适用于中长距离的计算（通常距离小于1000公里）。
该方法假设地球是一个球体，通过计算两点之间的弧长来确定两点之间的距离。
根据勾股定理和地球的半径，我们可以使用以下公式计算两点之间的距离：d = R * arccos(sen(φ1) * sen(φ2) + cos(φ1) * cos(φ2) * cos(Δλ))其中：-d是两点之间的距离-R是地球的半径（通常取平均值6371公里）-φ1、φ2是两点间的纬度-Δλ是两点间的经度差这种方法的一个缺点是，它基于地球是一个完全规则的球体，实际上地球是稍微扁平的椭球体。
因此，在长距离和需要更高精度的计算中，你可能需要采用其他方法。
2.大圆航线计算法：这种方法考虑了地球的椭球形状，是航海、航空导航中常用的方法。
大圆航线是连接两点之间在地球表面上最短距离的弧线。
为了找到大圆航线的长度，我们需要使用霍博斯公式：d = R * arccos(sen(φ1) * sen(φ2) + cos(φ1) * cos(φ2) * cos(Δλ))这与球面三角法计算方法相同。
大圆航线计算法的优点是它考虑了地球的椭球形状，因此适用于长距离的计算。
3.VTISL法：VTISL法是一种用于计算地球上两点之间距离的近似方法，它根据两点之间的纬度和经度计算出一个系数，并将其乘以地球表面半径。
这个方法适用于全球尺度的计算，例如计算两个城市之间的距离。
这个方法的公式是：d = R * (Δφ^2 + Δλ^2 * cos(φm)^2) ^ 0.5其中：-d是两点之间的距离-R是地球的半径（通常取平均值6371公里）-Δφ是纬度差-Δλ是经度差-φm是两点纬度的平均值VTISL法是一个近似方法，对于全球尺度的计算是可行的，但对于较小的距离可能会有一定的误差。
4.卫星测距系统：卫星测距系统（如GPS）通过使用卫星和接收器之间的信号传输时间来计算接收器与卫星之间的距离。
最小曲率法计算公式
最小曲率法计算公式
最小曲率法是一种地理测量中常用的计算方法。
它基于地球表面是一个基本上是弯曲的椭球体这一事实，通过使用曲率半径来计算地球上两点之间的最短路径。
最小曲率法的计算公式如下：
S = R * θ
其中，S是两点之间的最短距离，R是地球的平均半径，θ是两点之间的弧度差。
要计算两点之间的最小曲率，首先需要知道地球的平均半径。
通常，人们使用地球的平均半径约为6367千米。
然后，需要测量两点的经度和纬度，以便计算出两点之间的弧度差。
最小曲率法在航海和飞行导航中应用广泛。
通过使用这种方法，可以计算出两个目标之间的最短路径，例如船只在海上航行时需要避免陆地或其他障碍物。
需要注意的是，最小曲率法只能计算出两点之间的最短距离，而不考虑地球表面上的实际地形。
在真实导航中，还需要考虑海拔高度、地形和其他限制因素。
总结起来，最小曲率法是一种基于地球曲面特性的计算方法，可以用于测量地球上两点之间的最短路径。
使用地球的平均半径和经纬度，该方法可以精确计算出两点之间的最小曲率距离，为航海和导航提供了有价值的信息。
球面距离公式
球面距离公式近千年来，人们对球面距离公式有着浓厚的兴趣，其重要性不容忽视。
在今天，这一公式被广泛应用于几何、测绘、航海、航空、极点测量、地球物理学、大气层、天文、空间技术等广泛的学科和技术领域中。
因此，了解其相关概念和计算式将有助于对技术领域中球面距离的测量应用。
一、球面距离是什么球面距离是指两个球面上的两个点之间的距离，它也常被称作大地距离或地球距离。
简而言之，球面距离就是两个点之间的最短距离，而这个距离是以地球表面上的经纬度座标系统为基础计算出来的。
二、球面距离公式一般而言，计算球面距离时，通常使用以下公式：d = arccos( sin(φ1) * sin(φ2) + cos(φ1) * cos(φ2) * cos(λ1 -2)) * R其中：d表示球面距离；φ1表示第一个点的纬度；φ2表示第二个点的纬度；λ1表示第一个点的经度；λ2表示第二个点的经度；R表示地球的半径，大约为6371000米。
三、球面距离公式的应用1.几何学中，球面距离公式可以用来计算两点之间的距离，这有助于绘制地图、测量面积等。
2.航海学中，球面距离公式可以用来计算一艘船从一个港口到另一个港口的距离，从而更好地计划航行路线。
3.航空学中，球面距离公式可以用来计算一架飞机从一片空域到另一片空域的距离，从而更好地计划航班行程。
4.极点测量学中，球面距离公式可以用来计算地球极点之间的距离，从而更好地了解地球的形状和大小。
5.地球物理学中，球面距离公式可以用来计算地球震源之间的距离，从而更好地了解地壳的物理特性和地震活动。
6.大气层学中，球面距离公式可以用来计算大气层中两个点之间的距离，从而更好地了解大气层的分布特征。
7.天文学中，球面距离公式可以用来计算天体之间的距离，从而更好地了解天体的位置分布和运动轨迹。
8.空间技术中，球面距离公式可以用来计算太空飞行器之间的距离，从而更好地了解太空器的运行轨迹和分布规律。
四、结论球面距离公式是一种重要的公式，它被广泛应用于几何、测绘、航海、航空、极点测量、地球物理、大气层、天文、空间技术等诸多学科和技术领域中。
地球最短距离的规律
地球最短距离的规律地球是我们生活的家园，它是我们所熟悉的、唯一的一个星球。
我们常常会好奇地问，地球上哪两个点的距离是最短的呢？其实，地球上两点之间的距离是有规律可循的。
我们要知道地球是一个近似于椭球形的球体。
地球的赤道半径约为6378.137千米，极半径约为6356.752千米。
这说明地球的赤道半径要大于极半径，因为地球在赤道处略微膨胀，所以赤道周长也要大于极周长。
由于地球不是一个完美的球体，所以地球上任意两点之间的最短距离并不一定是直线距离，而是通过地球表面的曲线距离。
这也就是为什么我们飞行时常常选择大圆航线，因为它是地球上两点之间最短距离的近似。
地球上两点之间的最短距离是通过地球表面的大圆弧线来测算的。
大圆弧线是将地球切割成两半的圆弧，它的半径就是地球的半径。
通过两点连线与地球中心连线的夹角来确定大圆弧线的位置。
夹角越小，两点之间的距离也就越短。
举个例子来说，假设我们要计算地球上纽约和北京之间的最短距离。
首先，我们可以将纽约和北京分别看作地球表面上的两个点。
然后，我们可以通过纽约和北京的经纬度来确定它们在地球表面上的位置。
最后，我们可以利用球面三角学的知识来计算纽约和北京之间的大圆弧线距离。
实际上，地球上任意两点之间的最短距离都可以通过球面三角学的方法来计算。
球面三角学是一门研究球面上三角形的学科，它可以帮助我们计算地球上两点之间的距离、方位角等等。
通过球面三角学，我们可以得到地球上任意两点之间的最短距离。
除了球面三角学，我们还可以利用计算机和地图软件来计算地球上两点之间的最短距离。
地图软件可以根据地球上的经纬度数据来计算两点之间的距离，这样我们就可以方便地获取地球上任意两点之间的最短距离了。
总结一下，地球上任意两点之间的最短距离是通过地球表面的大圆弧线来测算的。
这个距离可以通过球面三角学的方法来计算，也可以利用计算机和地图软件来获取。
无论是哪种方法，我们都可以得到地球上任意两点之间的最短距离，这样我们就可以更好地了解和认识我们生活的这个星球了。
根据坐标如何计算距离的方法
根据坐标如何计算距离的方法在日常生活和各种领域的应用中，我们经常需要计算两个位置之间的距离。
无论是在导航系统中确定路程，还是在地理研究中测量地球上两点之间的距离，我们都需要一个可靠而有效的方法来计算坐标间的距离。
1. 欧氏距离欧氏距离是最常见的计算两个点之间距离的方法。
它基于二维或三维的空间坐标系，在平面或立体几何中都适用。
欧氏距离的计算公式如下：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)其中，(x1, y1, z1) 和 (x2, y2, z2) 是两个点的坐标。
对于二维平面，可以简化为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)欧氏距离的计算公式基于直角三角形的勾股定理，通过计算两点间的直线距离来确定距离。
2. 曼哈顿距离曼哈顿距离是另一种常用的距离计算方法，它是基于城市中的网格交叉点而不是直线距离的。
曼哈顿距离的计算公式如下：d = |x2 - x1| + |y2 - y1|其中，(x1, y1) 和 (x2, y2) 是两个点的坐标。
曼哈顿距离可以看作是沿着网格线从一个点到达另一个点所需的最小步数。
3. 地球表面距离当需要在地球上计算两点之间的距离时，使用欧氏距离是不准确的，因为地球是一个近似球体，而不是一个平面。
为了解决这个问题，需要引入更复杂的计算方法，通常使用大圆距离来计算。
大圆距离是基于地球表面上两个点之间的最短曲线距离。
在计算地球表面距离时，我们需要使用经纬度来表示点的位置。
计算地球表面距离的公式如下：d = R * arccos(sin(lat1) * sin(lat2) + cos(lat1) * cos(lat2) * cos(l on2 - lon1))其中，R 是地球的半径，lat1 和 lon1 是第一个点的纬度和经度，lat2 和 lon2 是第二个点的纬度和经度。
计算球面上两点间最短距离的方法
计算球面上两点间最短距离的方法在球面上确定两点之间的最短距离，实际上是寻找这两点沿球面大圆（即过球心的平面与球面相交得到的圆）上的弧长。
这是因为球面大圆上的弧是球面上任意两点之间的最短路径。
以下是如何计算这一最短距离的步骤：1. 坐标表示首先，需要知道这两点在三维空间中的坐标，记为点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)。
2. 转换为球坐标（可选）虽然这一步不是必需的，但将直角坐标转换为球坐标（即纬度、经度和半径）有时可以使问题更直观。
然而，在直接计算最短距离时，我们通常会保持使用直角坐标。
3. 计算球心角两点之间的最短距离对应于以球心为顶点、两点为端点的球面三角形的内角（或称为球心角）。
这个角θ可以通过计算两点与球心构成的向量之间的夹角来得到。
具体地，使用向量的点积公式：cosθ=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=x1x2+y1y2+z1z2R2其中，R是球的半径，OA⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB⃗⃗⃗⃗⃗ 是从球心O到点A和点B的向量。
注意，由于OA⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB⃗⃗⃗⃗⃗ 都是半径为R的向量，所以它们的模都是R，可以直接在公式中消去。
4. 计算最短距离一旦我们有了球心角θ（以弧度为单位），就可以使用弧长公式来计算两点之间的最短距离d：d =R ∙θ但是，由于我们已经有cosθ，并且需要得到θ本身，我们可以使用反余弦函数（即arccos 或cos −1）来找到它：θ=arccos (x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2R 2)然后，将θ代入弧长公式得到最短距离：d =R ∙arccos (x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2R 2)注意事项● 确保在计算arccos 时使用的是弧度制，而不是角度制。
● 如果两点几乎重合或非常接近，则cosθ将非常接近于1，这可能导致数值不稳定性。
在实际应用中，可能需要添加一些检查来处理这种情况。
球面距离的计算及其计算公式
球面距离的计算及其计算公式
一、概述
球面距离是指在地球表面上的空间距离，是地球的球面延伸绘制出来的一种距离。
球面距离是指两个地点之间的空间距离，即在球面上两点之间经过的最短路径的长度，用数学的话来说就是空间点之间两点距离的圆周长。
球面距离是地理学中常用的概念，它可以提供更有说服力的分析结果。
它可以用来测量两个地点之间的距离，并可以用来标识地球上的一些特殊空间关系，如两城市相距多远等。
二、球面距离的计算
1、球面距离计算的基本原理：球面距离是建立在地球的球体表面上进行测量距离的，它是两点之间最短连线上的距离。
根据它最短的特性，我们可以用数学公式来计算球面距离，具体的计算公式如下：
d = r·arccos(sin(φ1)·sin(φ2) +
cos(φ1)·cos(φ2)·cos(Δλ))
其中，d表示球面距离，r为地球半径，arccos为反余弦函数，φ1和φ2分别表示两点的纬度，Δλ表示两点的经度之差。
2、GIS软件中球面距离的计算：现在，在GIS软件中，可以使用比较简单的方法，来计算球面距离。
只需要把需要计算的两个点的经纬度数据输入到GIS软件中，就可以计算出这两个点之间的球面距离。
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地球表面最短距离的计算
摘要：本论文探讨在仅知经纬度的情况下，地球表面最短距离计算的问题。
本文通过利用极点、已知地点的地理坐标构建球面三角形，引入球面三角形的第一五元素公式；用经纬度代换公式中的球心角的角度（弧度），成功的解决了利用经纬度计算地球表面任意两地间最短距离的问题。
导出了通过经纬度求两地最短距离的公式，并简化了特殊情况下的计算公式。
非常适合于地理学习、全球定位与导航等问题中的最短距离计算。
（球面距离）=2π
rarcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos(j1-j2)]/3600
关键词：经纬度，球面距离，球面三角形，第一五元素公式，反余弦
在地理科学的学习与应用中，我们时常遇到求地球表面两地间最短距离的情况。
在条件特殊时：如两点都在赤道上、或在同一经线上时较容易。
但当两地不再同一经线或赤道上时我们就难以获得准确答案。
笔者经过长时间的思考学习，总结了球面上任意两点间距离的计算方法，效果不错。
现介绍如下，以供大家参考。
1.公式推导
球面距离，就是球面上经过这两点的大圆的劣弧的长度。
而地球表球面上每个地点的位置是由经度、纬度来确定的，如果能利用经纬度来计算球面距离，我们就可以确定任意两地间的球面距离（不考虑地形影响，下同）。
如左图：设m（w1，j1）、l（w2，j2）
为地球表面两点，n为极点，表示两点之间的最短距离（球面距离），、分别表示极点至m、l的经线长。
依球面三角形概念可知：n、m、l共三点构成了球面三角形nml的三个顶点，、、构成了球面三角形的三条边。
它们的夹角、弧度、弧长等可根据球面三角形的性质进行相关计算得出。
为方便计算，按经纬度划分原则，将东经记为正，西经记为负；北纬记为正，南纬记为负。
例；东经60度记作j= +600、西经60度记作j =-600、北纬60度记作w=+600、南纬60度记作w=-600；用a、b、c分别表示三条边、、所对应的球心角，w1 w2分别m、l纬度,j1j2分别表示m、l两地的经度，a表示两地所在经线的夹角且小于1800， r为地球半径。
根据球面三角形的性质可得：
cosa=cosbcosc+sinbsinccosa （第一五元素公式）①
由经纬度知识可知 b= -w1 ,c= -w2 a=j1-j2. (当j1-j2大于1800时，取a=3600-(j1-j2)；因cos（2π－α）＝cosα，所以可用cos(j1-j2)代替 cosa)代入上式
cosa=cos( -w1)cos( -w2)+sin( -w1)sin( -w2)cos(j1-j2)
=sinw1sinw2+cos w1cos w2cos(j1-j2) 。
当反余弦值单位为角度时,由弧长公式得： =2πrarccosa/3600
=2πr arcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos(j1-j2)]/3600 公式ⅰ
当反余弦值的单位为弧度时，公式ⅰ可变为： =rarccosa
即=r arcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos(j1-j2)], 公式ⅱ
公式ⅰ、ⅱ对地球上任意两点球面距离的计算都适用。
1.1为减轻计算负担，经纬度为特殊值时，代入公式ⅰ，整理简化有：
1.1.1当两地位于同一经线上时，j1=j2，j1-j2=00，
=2πr arcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos00]/3600
=2πr arcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2]/3600
=2πr arcos[cos(w1-w2)]/3600。
ⅲ
1.1.2、当两地都在赤道上时w1=w2=00
=2πrarcos[sin00sin00+cos00cos00cos(j1-j2)]/3600
=2πrarcos[cos(j1-j2)]/3600。
ⅳ
1.1.3.当两地的经度差为1800时j1-j2=1800
=2πr arcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos1800]/3600
=2πr arcos[sinw1sinw2-cosw1cosw2]/3600
∵因cos(w1+w2)= [cosw1cosw2-sinw1sinw2]
∴[sinw1sinw2-cosw1cosw2]= -cos(w1+w2)代入上式
=2πr arcos[-cos(w1+w2)]/3600
=2πr×[1800-(w1+w2)]/3600。
ⅴ
1.1.4.两地位于同一纬线上w1=w2=w时，
=2πrarcos[sin2w+cos2wcos(j1-j2)]/3600。
ⅵ
1.1.5、当两地的经度差为900时
=2πrarcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos900]/3600
=2πrarcos[sinw1sinw2]/3600
1.2由于2πr /3600≈111.19km, 在要求不太精确时
ⅲ可简记为 = 111.19km/10×(w1-w2)
ⅳ可简记为 = 111.19km/10×(j1-j2) (当j1-j2大于1800时，取 = 111.19km/10×[3600-(j1-j2)])
ⅴ可简记为 = 111.19km/10×[1800 -(w1+w2)]
2.应用
2.1例1：2005年高考文科综合能力测试（全国卷ⅰ）第7题。
图2为亚洲两个国家略图。
读图回答。
据地理坐标判断，甲乙两地距离约为
a．300千米b．550千米c．1300千米d．1550千米
解：由题意知甲乙两地的纬度分别是w1=340、w2=290 经度为
j1=360、j2=480。
r=6371km。
代入公ⅰ式得：
实地距离=2π×
6371kmarcos[sin340sin290+cos340cos290cos(360-480)]/3600 ∵ sin340sin290+cos340cos290cos(360-480)= 0.98035
∴arcos 0.98035≈11.377220代入上式
实地距离=2π×6371km×11.377220÷3600≈1265 km
答：因为c项1300千米最接近1265km所以甲乙两地距离正确答案应选c项．
2.2练习：下图是一架飞机从a（600n，1350e）处起飞时的地
球光照图（阴影部分为黑夜，非阴影部分为白天），已知b的地理坐标（600n 、135°w）。
据此回答1-2题
（1）、飞机从a处沿图中箭头路线飞往b的航向是
a.从东南向西北
b.从南向北
c.先向西北再向西南
d.先
向东北再向东南
（2）、a、b两地间的实地距离大约是
a.2200 km
b.4600 km
c.5000 km
d.6300 km
答（1）、选d项
（2）、分析：依题意w1 =w2 =600= 、(j1-j2)= 2700=、代入公式ⅰ得：
实地距离= r arcos[sin sin +cos coscos( )] =6371km
arcos[sin2 ]=6371km arccos[ ]
=6371km ×0.7227
＝4604.5 km
答：因为b项4600千米最接近4604.5 km，所以甲乙两地距离正确答案应选b项。
3.结论：
地球表面任意两点间最短距离所对应的球心角的余弦值等于两点所在地的纬度的正弦值的积加上两地纬度的余弦值与两地经度
差的余弦值的积。
即：cosa =sinw1sinw2+cos w1cos w2cos(j1-j2)。
利用弧长公式即可导出两地间最短距离（不考虑地形因素）公式即：（球面距离）=2π
rarcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos(j1-j2)]/3600（反余弦单位为角度）。
该公式可在只知道经纬度的情况下，对地球上任意两点间的球面距离进行计算。
特别适合于解决地理教学、航行、全球定位等方面最短距离的计算问题。
参考文献：徐宝应振华《地球概论教程》高等教育出版社1983.11
注：文章内所有公式及图表请以pdf形式查看。