第六章-1 光的衍射现象和惠更斯—菲涅耳原理

干叠加方法计算波场中任一点
P 的光振动，如图 6-10 所示，是
由波前 S 上的面元 dS 所发出
dS
法
线
O
θ
的子波在 P 点产生的复振幅， 则 S 面在 P 点产生的总扰动可 表示为
E~(P) = ∫∫ dE~(P). (6-1) S
这就是惠更斯—菲涅耳原理的
单色点光源
r P
S
图 6-10 惠更斯—菲涅耳原理
计算出P点光波的复振幅 E~(P) ，则P 点的光强为
式中
光强分布特征 (1) 中央衍射极大 当 θ＝0 时
IP
=
E~ ( P ) ⋅ E~ ( P ) ∗
=
I0
sin 2 u2
u
u
=
π
a sin θ λ
lim sin 2 u = 1 θ →0 u 2
(6-9) (6-10)
I θ =0 = I0
表明在屏幕中央，各光束同相位，相干叠加后产生极大光强。 (2) 各级衍射极小 当 u=kπ时，由式(6-9)有
中心光斑，中心光斑两侧还有很多个次光斑，距离中心光斑越远，次光斑的光强越弱；狭缝
越窄，光斑的间距越大，实验现象如图 6-2 所
示。初步研究发现，当狭缝宽度远大于光波波
长时，只出现中心光斑，符合光的直线传播定
律；狭缝宽度变窄到波长的若干倍，次光斑出
现，如图 6-2(a)和图 6-2(b)所示；狭缝宽度继
I
= I0
sin 2 kπ (kπ )2
=0
(k=±1,±2,…)
即当 a sinθ = kλ 时衍射光强为极小，衍射极小对应的衍射角为
θ
= sin−1(± λ ), a
sin−1(± 2λ ), a
L
(6-11)
在夫琅和费衍射中，衍射角很小，因此各衍射极小，对应的衍射角可以近似表示为
θ = ± λ , ± 2λ .... aa
射图样如图 6-3(a)所示，光斑呈矩形分布，中心十字线上的光斑比较强，其它光斑相对比较
弱；正方孔衍射屏的衍射图样如图 6-3(b)所示，光斑呈正方形分布，光强分布与矩形孔衍射
的分布规律相似；正十二边孔衍射屏的衍射图样如图 6-3(c)所示，光斑分布比较复杂；圆孔
衍射屏的衍射图样如图 6-3(d)所示，呈同心圆环分布。
实际情况相符。
由点光源发出球面波的情况如图 6-9 所示，某一时刻球面波的波前是一个球面，球面上
每个点都是次级子波源，发出相同的次级球面波，所有次级球面波波前的包络面又构成一个
大的球面，该球面与原来的球面同心，也与实际情况相符。
图 6-8 根据惠更斯原理导出平面波的次级波前
图 6-9 根据惠更斯原理导出球面波的次级波前
I
=
1 2
I0
即
I0 2
=
I0
sin 2 u u2
2sin 2 u = u 2
(6-13)
用作图法解此超越方程，如图 6-17 所示。
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第六章 光的衍射与光学仪器的分辨本领
解得
u = 4π
9
此结果可以用图 6-16(b)验证。
代入式(6-10)得到中央极大半强点对应的衍射角 θ半
π a sinθ半 = 4 π
nr
面元 ds 到观察点 P 的距离为 r，法线 n 与
r 的夹角为θ，如图 6-12 所示，利用式(6-1) 可以计算出 P 点的光强为
图 6-11 夫琅和费圆孔衍射实验装置示意图
I
=
Cπ
2a4[1 −
1
m2
+
1 m2 (
)2
−
1
m3 (
)2
+
1 m4 (
)2
± L]2
(6-2)
2 3 2! 4 3! 5 4!
现象，惠更斯和菲涅尔对实验现象做了深入的研究，提出了著名的惠更斯—菲涅耳原理。
1. 光的衍射现象及分类
(1) 光的衍射现象
实验装置如图 6-1 所示，激光器发出的平行光遇到单狭缝后，一部分光被遮挡，另一部
分光投射到屏幕。按照光的直线传播定律，在狭缝后方的屏幕上应该得到与狭缝几何形状完
全相同光斑，而且边缘应该是非常清晰的，然而，实验现象却不然，中心出现了光强很强的
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第六章 光的衍射与光学仪器的分辨本领
图 6-14 单狭缝衍射实验装置
(a)点光源照明 (b)线光源照明 图 6-15 单缝衍射
3.单狭缝衍射的光强公式 设单狭缝衍射实验中衍射屏上的狭缝宽度为a，光波波长为λ。把单缝处的波面分割成
许多小窄条，它们是振幅相等、初相位相等的子波源，向各个方向（2π立体角）发出次级子 波。来自不同面元，具有相同衍射角 θ 的光波，经透镜L2会聚在屏幕上同一点 P，由式(6-1)
(6-4)
sinθ10=0.819λ/a，sinθ20=1.333λ/a，sinθ30=1.847λ/a，… 最大值的相对强度为
(6-5)
I 0=1， I 1=0.0175， I 2=0.0042， I 3=0.0016，…
(6-6)
可以证明第一暗环之内中心亮斑的光强占整个入射光束光强的 84%，这个中央光斑称为
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第六章 光的衍射与光学仪器的分辨本领
(a)矩形孔衍射
(b)正方孔衍射 (c)正十二边孔衍射
图 6-3 一些规则几何形状衍射屏的衍射图样
(d)圆孔衍射
光在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边沿传播，光的这种偏离直线传播的 现象称为光的衍射。 (2) 衍射的种类 (a)菲涅耳衍射
衍射屏距光源、衍射屏距接收屏，二者或二者之一为有限远时的衍射称为菲涅尔衍射。 光源 S 和观察点 P 相对衍射屏的距离都是有限远的情况如图 6-4 所示；光源 S 在无穷远，观 察点 P 在有限距离的情况如图 6-5 所示。
菲涅耳吸取了惠更斯的次级子波的概念和杨氏的相干叠加的思想，提出了一种解释衍射
现象的新思想，即波前 S 上每一个面元 dS 都可以看作新的子波源，发出球面子波。波场
中任一点 P 的光振动，是所有这些子波源在该点产生的光振动的相干叠加。这一观点被后
人称为惠更斯—菲涅耳原理。
惠更斯—菲涅耳原理的核
心是用复振幅讨论 dE~ 相
数学表达式。
6.2 夫琅和费衍射、爱利斑、单狭缝衍射、多缝衍射、光栅、莫尔条纹
1.夫琅和费圆孔衍射和爱利斑
夫琅和费圆孔衍射实验装置如图 6-11
所示，平行光垂直照到圆孔衍射屏上，接
收屏本应该放在无穷远处，为了使实验装
置紧凑，用透镜 L 将观察点变换到透镜 L
的像方焦平面上。
上取根面据元惠d更s，斯该—面菲元涅的耳法原线理方，向在为衍nr射屏，
费单狭缝衍射实验。图中狭缝S和透镜L1用于光源变换，将有限距离的光源变换到无穷远， 狭缝S位于透镜L1的物方焦平面上，两个狭缝相互平行。
用点光源照明，得到的衍射光斑如图 6-15(a)所示，中间是主极大，两侧依次是±1 级， ±2 级，……。
用平行于狭缝的线光源照明，得到的衍射图为一组平行于狭缝的直线，如图 6-15(b)所 示。
解。
将得到的解代入式(6-9)中，得到
各衍射光强的次极大相对值，式(6-9)
的曲线如图 6-16(b)所示。 解得
u 0，±1.43π，±2.46π，±3.47π，… I I0，(4.7%)I0，(1.7%) I0，(0.8%) I0，…
图 6-16 图解法求单狭缝衍射光强
从以上数据不难看出，各次极大的能量都很小，而且离中心越远，次极大越弱。用式(6-9)
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第六章 光的衍射与光学仪器的分辨本领
与几何光学相比，惠更斯原理在解释光的衍射现象上向前迈进了一大步，但是，惠更斯
原理在进一步深入研究衍射现象时遇到了无法解决的两个困难。
第一个困难是无法计算光沿不同方向传播的振幅和光强，第二个困难是按照惠更斯原
理，除了有向前传播的光波外，还应该有反向传播的光波，但是实验证明倒退波并不存在。
6-13(b)所示，理论计算结构得到了实验的验证。
(a) 光强分布三维图
(b)衍射光斑
图 6-13 夫琅和费圆孔衍射的光强分布
在很多光学仪器中，孔径光阑为圆孔，通过孔径光阑的光束为近似的平行光。在这种条
件下，由于孔径光阑对光束的限制，会产生夫琅和费圆孔衍射，衍射的结果将限制光学系统
的成像分辨率。
2. 单狭缝衍射的实验装置和现象 将夫琅和费圆孔衍射实验中的圆孔衍射屏换成单狭缝，就成为如图 6-14 所示的夫琅和
Δθ = λ = Δl a 2f'
细丝直径
2a = 4λf ' = 12.7μm Δl
2.在白光照明下，Fraunhofer 衍射零级斑中心是什么颜色？零级斑外围呈什么颜色？ 解：白光是由各种波长的光按一定比例组成的，经 Fraunhofer 衍射后，各种波长光波的零级 斑中心仍然重合与几何像点上。 Fraunhofer 衍射零级斑的半角宽为
可以证明， 85%以上的能量集中在中央衍射极大中。
(4) 中央明条纹的角宽度
由式（6-11）可以得到两个第一衍射极小之间的角距离即中央极大的角宽度为
Δθ0
=
2θ1
=
2sin −1
λ a
≈
λ 2
a
(6-12)
说明中央明条纹的角宽度为其它明条纹角宽度的两倍。
讨论
(a)当
a>>λ时，第
k 级极大的张角θk
= sin −1
kλ a
= 0 ，各极大挤在屏幕中心，形成一亮点，
成为几何光学的焦点，衍射现象消失；
（b）当 a 减小，接近λ时，衍射中央极大遍布缝后空间，此时衍射最剧烈；
（c）当 a<λ时，衍射极小消失，发生散射。
在比较中心极大的衍射范围时，经常用中央极大半强点对应的衍射角，这一角度对应
的光强为
由式(6-9)
第六章 光的衍射与光学仪器的分辨本领
第六章 光的衍射与光学仪器的分辨本领 前面学过光的直线传播定律只是特定条件下的规律，在一定条件下，光还会显现衍射 现象，这种衍射现象限制了光学仪器的极限分辨本领。
§6.1 光的衍射现象和惠更斯—菲涅耳原理
光在遇到某些障碍物时，传播方向会偏离直线传播定律，根本无法用几何光学解释实验
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第六章 光的衍射与光学仪器的分辨本领
表明各衍射光强极小的位置近似
等间距分布。
(3) 各级衍射次极大
对光强求极值，令 dI = 0, 得 du
tgu = u
这是一个超越方程，无法得到解
析解，我们用作图求解的方法求近似
解。在 u-y 平面中绘制直线 y=u 和三
角函数曲线 y=tan u，如图 6-16(a)所示， 两线交点对应的 u 值就是超越方程的
续减小，达到 2~3 倍波长时，这种现象已经非
常明显，如图 6-2(c)所示；当狭缝宽度小到与
波长相近或小于波长时，次光斑消失，如图 6-2(d)所示。
图 6-1 观察衍射现象的实验装置
(a)
(b)
(c)
(d)
图 6-2 衍射实验
如果把单狭缝衍射屏换成其它衍射屏，则衍射图样也会发生变化。矩形孔衍射屏的衍
爱利（S.G.Airy，1801~1892）斑。
爱利斑的半角宽度为
Δθ1≈0.61λ/a=1.22λ/D 若在衍射屏后方放置一个像方焦距为 f ’的透镜，则爱利斑的半径为
(6-7)
r ≈1.22λf ’/D
(6-8)
按式(6-2)计算并绘制的光强分布三维图如图 6-13(a)所示，实验得到的衍射光斑如图
象。惠更斯首先提出可以借用水波的衍射(如图 6-7
所示)解释光衍射现象的原理，被称为惠更斯原理。
惠更斯原理
波前上任一点都可看作次级子波源，发出球
面次波，它们的包络面为下一时刻新的波前。
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根据惠更斯原理，平面波波前上的每个点都 看作次级子波源，每个这样的子波源都发出球面
图 6-7 水波的衍射
波，所有球面波的包络面就是下一时刻新的波前，如图 6-8 所示，新时刻的波前是平面，与
即
λ
9
θ半
=
sin −1( 4λ 9π
)
图 6-17 图解法求解超越方程 2sin2u=u2
例题 1.用衍射测径仪测量细丝直径。将单缝 Fraunhofer 衍射装置中的单缝用细丝代替，现测得零 级衍射斑的宽度（两个一级最小之间的距离）为 10mm，并且已知照明光的波长是 0.6328 μm，透镜焦距为 50mm，求细丝的直径。 解：设细丝半径为 a，依题意零级衍射斑的宽度为Δl=10，则零级斑半角宽为
图 6-12 利用惠更斯-菲涅耳公式计算光强的数学模型 74
第六章 光的衍射与光学仪器的分辨本领
式中 m=(πasinθ/λ)，C 为常数，a 为圆孔半径，λ为光波波长
可以证明该光强表达式为收敛级数。
从式(6-2)可以导出中央最大位置为
光强最小位置为
sinθ0=0
(6-3)
sinθ1=0.610λ/a，sinθ2=1.116λ/a，sinθ3=1.619λ/a，… 光强次最大位置为
P
S
图6-4 光源和观察点都为有限远的衍射
S
P
图6-5 光源无限远，场点有限远 72
第六章 光的衍射与光学仪器的分辨本领
(b)夫琅和费衍射 衍射屏距光源和接收屏都为无限远的衍射称为夫琅和费衍射。夫琅和费衍射如图 6-6 所
示。
P
S
图6-6 夫琅和费衍射
２. 惠更斯—菲涅耳原理
用光的直线传播定律无法解释光的衍射现