6-高斯光束-聚焦

0
F
0
w′ 0
=
F
wf
0
ω 0
ω ω'
ω'
0
R R′
l
l′
图高斯光束通过薄透镜的变换
高斯光束的聚焦
(1) F > f ω0 ' ω0 F 1 f1 ( ) 1+ f 2 F
F − F2 − f 2
F
F+
F2 −f2
l = F − F2 − f 2 l = F + F2− f2
l
或
时,
ω' 0
ω
=
1
0
λ
或 w = λf
0
π
z： 腰位置 (观察点坐标)
w、R 参数
w(z): 观察点z处光斑半径
w(z) = w 1 + z2
0
f2
=
λ
(f
+
z2 )
π
f
R(z): 观察点z处等相位面 曲率半径
R(z) = z + f 2 z
高斯光束的特征参数
q 参数 定义:
1 q(z)
=
1 R(z)
−
i
λ πw 2
l′ = 0.099 m
ω '= λf ′ = 3.14×10−6 × 0.0099 = 0.0995mm
0
π
3.14
(2) 当 l=2
q=2+i
F
ω0
ω ′0
Z
q′ = Fq F −q
l l′
= 0.1(2 + i) = 0.1(2 + i)(-1.9 + i) = −0.104 + 0.00217i 0.1 − 2 − i (-1.9 − i)(-1.9 + i)
2 2l (l 2 − f )2 2 + 4l 2
2
f
2
2l
4l 2
(l 2 + f )2 2
=
(l 2
4l + f )2 2
=l
4l 2
透镜对高斯光束的变换公式
∴ω '=
F
l2 (
+
f
2
)ω
ω=
2l 0
0 (l − F)2 + f 2 0 [l −(l2 + f 2 )]2 + f 2
2l
=
l2 + (
l2 + f 2
l
=
(l −
l2 +
f
2
)2
+
f
2
l
l2 + f 2
l2 + f 2
l=
f4 l2
+
f
2
f l
l= l2 + f 2
l2 + f 2 =
f
1+⎜⎜⎝⎛
l f
⎟⎟⎠⎞2
高斯光束的聚焦
(3)
F
=
1 R(l) =
1 (l +
f
2
) 时,
2
2l
ω 0
'
=
1
ω
0
(4)F →∞时，ωω0 ' = 1
(2)腰斑半径w 0及腰位置(光波长为λ=3.14μm)
解
(1)
1 q
=
1 R
−
i
λ πw2
=
1 0.5
−i
3.14×10−6 3.14× (10−3 )2
=
2−i
q = 1 = 2 + i = 2 + i = 0.4 + i0.2(m) = z + i ⋅ f 2−i 4+1 5
∴ z = 0.4， f = 0.2
f
1
( ) 1+
f F
2
F
l
解：
f
=
πω 2 0
=
3 .14 × 10 −6
= 1m
λ
3 .14 × 10 − 6
F
(1) 当 l=0
ω0
ω ′0
q=i
Z
q′ = Fq
F −q
l l′
= 0.1i = 0.1 i(0.1 + i ) = −0.099 + 0.0099 i
0.1 − i (0.1 − i )(0.1 + i )
高斯光束的 操纵
主要内容
z 高斯光束的特征参数 z 高斯光束的传输规律 z 高斯光束的聚焦与准直 z 高斯光束的匹配
高斯光束的特征参数
z 定义：可以完全确定高斯光束形状与位置的物理量
z 参数类型：f、z 参数； w、R 参数； q 参数；
f、z 参数
f：焦参数 (或腰斑半径w0)
f
=
πw 2 0
f 2 )ω
2l
0
(l 2 − f 2 )2 + f 2
l2 (
+
f
2
)ω
= 2l
0
(l 2 + f )2 2
l2 + (
f 2 )ω
=
2l l2 + f 2
0
=ω 0
4l 2
4l 2
2l F
② 在高斯光束任一处放置一个与该处
ω ′0 , ω 0 Z
等相位面曲率半径相等的反射镜,可
实现自再现变化
l ,l′
l
ω' 0
有极大值
ω
0
ω0' = 1 + ( l )2
ω0
f
高斯光束的聚焦
证
(l − F )2 + f 2 − F − 2( l − F )
d ( w0′ w0 ) = dF
2 (l − F )2 +
(l − F )2 + f2
f2
=0
(l − F )2 + f 2 + F(l − F ) = 0 (l − F )2 + f 2
②若F＞f,只有l < F − F2 − f 2 及 l > F + F2 − f 2
才有聚焦作用
高斯光束的聚焦
2、l 固定（光束束腰距透镜距离固定）, ω 0′ 随 F 的变化规律
ω' 0
=
F
ω 0
(l − F )2 + f 2
(1)F =
0时，
ω' 0
=
0
ω
0
(2) F = R(l) = l + f 2 时
= 1m
z = 0.5m
q (= z + if ) =0.5 + i (m)
(2)
w(z)(= w0
1+
z2 f2
)
=
w0
1+
0.52 12
= 1.12mm
R(z)(= z + f 2 ) = 0.5 + 12 = 2.5m
z
0.5
例2 高斯光束在某处 z 的光斑半径为w= 1mm, 等相位面
曲率半径为R = 0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参数
腰位置为在该处左方1m处
(2)
1 (= q
1 z + if
)=
1 1+ i
=
1− i 2
=
1 2
−i
1 (= 2
1 R
−
λ πw 2 )
1 =1 R2 R = 2m
λ πw 2
=
1 2
w=
2λ π
= 2× 3.14×10−6 = 1.414mm 3.14
透镜对高斯光束的变换规律I—q参数变换
q =l+i·f q、q′:透镜处物、像高斯光束q参数
f
′
=
(l
F2 −F)2
+
f2
f
f
=
πω
2 0
λ
f
′
=
πω '2 0
λ
∴ω0'=
F (l − F )2
+
f
2
ω0
透镜对高斯光束的变换公式
讨论
①当
F
=
1 R(l) =
1 (l +
f2 )
时,
F
2
2l
ω 0′= ω 0, l ′=l。即：透镜焦距
等于物光束在透镜处等相面
ω 0 ω ′0
Z
半径之半时，物、像光束实
(2) w0 =
λf π
若已知 f 值，可得 w0
例3 高斯光束波长为λ=3.14μm,某处的 q 参数为 q=1+i(m),求(1)此光束腰斑半径w 0及腰位置(2)该处 光斑半径 w 与等相位面曲率半径R
解 (1) 由q = z + if
z =1m f =1m
w0 =
λf = π
3.14×10−6 ×1 =1mm 3.14
∴q = z2 + f 2 = (z2 + f 2)(z +if ) = z +i ⋅ f
z − if
(z −if )(z +if )
高斯光束的特征参数
讨论: 腰处的q参数 q0=q(0)=i×f
高斯光束3种特征参数的关系
f, z 参数
q(z) = z + if
w(z) =
λ
(
f
+
z2 )
π
f
R(z) = z + f 2 z
解
f
=
πω 2 0
=
3.14 × 10−6
= 1m
λ 3.14×10−6
(1) 当l = 0时
F ω 0 ω ′0
ω0' =
F
= F <1
Z
ω0 (l −F)2 + f 2 F2 + f 2
使用任何焦距的透镜
l l′
都可以有聚焦作用
(2) 当l =２m时，
ω 0
'
=
F
<1
ω 0
(l −F)2 + f 2
证
令
ω' 0
=
ω
0
F
=1
(l − F )2 + f 2
(l − F )2 + f 2 = F 2
l 2 − 2Fl + f 2 = 0
l = 2F ±
4F 2 − 4 f 2 =F±
F2 − f2
2
高斯光束的聚焦
(2)F< f
ω0 '
ω0 １ F
f
1
1+(
)f 2
F
F
l
结论 ①若F< f,总有聚焦作用
(l − F )2 + f 2 + F (l − F ) = 0 l 2 − 2lF + F 2 + f 2 + lF − F 2 = 0
l 2 + f 2 = lF
将F = l + f 2 = l2 + f 2
l
l
F=l+ f2
代入 w0′ = l
F
w0 (l− F )2 + f 2
w0′ = w0
(
z
)
证明: q(z) = z + i ⋅ f
证：
Qw(z) =
λ ( f + z2 ) πf
∴w12
=
π λ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f f 2 + z2
Q R(z) = z + f 2 z
∴1 = z R z2 + f 2
∴1 q
=
1 R
−i λ πW
2
=
z2
z +
f2
−i f z2 +
f2
=
z − if z2 + f
2
焦距 F = 1m 的凸透镜置於其腰 右方 l = 2m处,求经透镜变换后
q q′
f(ω 0)
O
f′(ω ′0) Z
O′
的像光束的焦参数f ′、其腰距透
镜的距离l ′以及ω ′0 /ω 0 解 q=2+i
l F l′
q′ = Fq = 2+i = (2+i)(−1+i) = −2−i +2i −1 = −3+i
q′ = F(l +i⋅ f ) = (l +i⋅ f )[(F −l)+i⋅ f ] F (F −l)−i⋅ f [(F −l)−i⋅ f ][(F −l)+i⋅ f ]
Qq′ = −l′ + f ′
=
[l(F
−l)− f 2]+i⋅ (F −l)2 + f 2
f
⋅
F
F
∴l′ = −l(F −l)− f 2 F = l(l − F)+ f 2 F (F − l)2 + f 2 (l − F)2 + f 2
q′=-l′+i·f ′ l、l ′:物、像高斯光束腰到透镜距离
1 =1− 1 q' q F
f、f ′:物、像高斯光束焦参数
q′ = Fq F −q
大作业：
q q′
f(ω0)
f′(ω ′0) Z
推导高斯光束
O
O′
1 =1− 1 q' q F
l F l′
高斯光束q参数的传输规律—例子
例1 某高斯光束焦参数为 f = 1m,将
高斯光束的聚焦
z F固定(透镜固定), ω 0′随 l 的变化规律
ω' 0
=
ω
0
F
l=0时,
(l − F)2 + f 2
ω 0
'
=
F
=
1
ω 0
F2 + f 2
( ) 1 + f 2 F
l'=
l(l − F ) +
f2 F
(l − F )2 + f 2
ω'
l=F时,
0
ω
有极大值
0
l→∞时，
ω 0
ω
'
→
q 参数
w, R 参数
1 q(z)
=
1 R(z)
−
i
λ πw2(z)
例1 某高斯光束波长为λ=3.14μm,腰斑半径为w 0=1mm, 求腰右方距离腰50cm处的:(1)q参数(2)光斑半径w 与等相位面曲率半径R
解 (1)
w0 =
λf π
f
=
πw
2 0
λ
=
3.14 × 10−6 3.14 × 10−6
ω0' =
F
ω0 (l −F)2 + f 2
高斯光束的聚焦例子
例1：波长为3.14μm的高斯光束，腰半径 1mm，使用焦距F=0.1m的透镜对它
进行聚焦，分别将腰置于透镜处、距
离透镜２m处,求聚焦后的腰半径及其
位置。
F
ω0
ω ′0
Z
l l′
高斯光束的聚焦例子
这对应于F固定，变化l的情况
ω0'
ω0 １ F
¾ 可否直接变换 f、w、l 参数？
f′=
F2
f
(l − F )2 + f 2
ω '= 0
F
ω
(l − F)2 + f 2 0
ω 0
l'=
l(l − F ) +
f2 F
(l − F )2 + f 2
F
ω ω' ω ' 0 R R′
l
l′
图高斯光束通过薄透镜的变换
透镜对高斯光束的变换公式
证 q = l + i·f
0
lim
ω' 0
=
lim
F
ω F →∞ 0
F→∞ (l − F )2 + f 2
w′0 w0
1+(
l f
)2
= lim
1
=1
1
F→∞ ( l - F )2 + f 2
F
F2
RR
2
F
结论： 只有F < 1 R(l),才有聚焦作用
2
高斯光束的聚焦
3、高斯光束的聚焦方法
¾ 使用小焦距透镜(F < f )
¾ 将透镜置于腰处(l = 0)或距腰足够远 处(l >> f )
F − q 1−2−i (−1−i)(−1+i) 1+1
2
= −1.5+0.5i = −l'+if' ∴ l ′ =1.5m f ′ =0.5m
ω = λf ω '= λf '
0
π0
π
ω' 0
=
f'
ωf
0
透镜对高斯光束的变换规律II—f、w、l参数变换
z 已知l、f、F,求l ′、f ′
¾ 之前都是先通过变换q，然后通过q与q ′ 的关系来进行变换的
l′ = 0.104m
ω '= λf ' = 3.14 × 10−6 × 0.00217 = 0.0466mm
0
π
3.14
例２
波长为3.14μm的高斯光束，腰半径 1mm,分别将一个透镜置于腰处、距离 腰２m处，问使用多长焦距的透镜便
可对它有聚焦作用？
F
ω0
ω ′0
Z
l l′
这对应于l 固定（腰距透镜距离固定）, ω 0′随 F 的变化的情况
证
现自再现变化 ∴l′ = l(l − F) + f 2
(l − F)2 + f 2
F
=
l(l
−
l2
+
f
2
)+
2l
(l −
l2
+
f
2
)2
+
f f
2 2
l l2 (
l′ + f2
) 2l
2l
=
l2 l(
−
f
2
)+
2l
l2 (
−
f
2
)2
+
f f
2 2
l2 (
+f 2l
2
)
=
l2 + f 2 l2 + f
F>1.25m
使用焦距F>1.25m的透镜可以有聚焦作用