第三章 行列式
高等代数第3章第4节行列式按行展开
定理3.4.1 若在一个n阶行列式
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ D = ai1 ⋯ aij ⋯ ain ⋮ ⋮ ⋮ an1 ⋯ anj ⋯ ann
中，第 i 行(或第 j 列)的元素除aij 外都是零，那么这个行 列式等于aij 与它的代数余子式Aij 的乘积： 证明：
D = aij Aij .
0
−2
3
0
5 1 −2
−1 4 5 −1 4 −1 2 3 1 + (−1) ⋅ (−1) 4+1 2 3 3 = 92 3 1 −2 3 1 0
17
解法二： 按第三列展开
1 −1 D= 2 3
2 0 −1 4 −1 5 3 3 1 1 0 −2
1 2 −1
= 0 + (−1) ⋅ (−1) 2+3 2 3
10
⋮ ⋯ aij
⋮
得 由命题3.3.2，行列式互换两行（列）行列式变号，
D = (−1) i + j −2
aij a1 j ⋮ ai −1, j ai +1, j ⋮ anj
0 a11 ⋮ ai −1,1 ai +1,1 ⋮ an1
⋯ ⋯
0
0
a1, j −1 a1, j +1 ⋮ ⋮ ⋯ ai −1, j −1 ai −1, j +1 ⋯ ai +1, j −1 ai +1, j +1 ⋮ ⋮ ⋯ an, j −1 an, j +1
a21 M12 = a31 a41 A12 = ( −1)
a23 a33 a43
1+ 2
a24 a34 a44
M12 = − M12 M 44 = M 44
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,..化为三角形行列式⑤上下三角形行列式: 行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k k A A A +=2121)(k k k kA A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵 初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式n ij nn ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的.矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置T A 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB 但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B AA 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵. 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A A A A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==** 4、1*-=A A A A 可逆 5、1*-=n A A 6、()()A AA A 1*11*==--A 可逆7、()()**T TA A = 8、()***AB AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A I I A n n 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()nm ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果rj j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由rj j j ααα,.....,21线性表出.秩:极大无关组中所含的向量个数.定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r.现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T Tn TTTnTTr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r Tn T T <⇒)....(21ααα 线性无关充要n r T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=T T T ααα；无关,则0321≠T T T ααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关.定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关. 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的. 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21αα I 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数.非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμII 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解. 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解.第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ;),(),(1111j i sj j ri i j sj j ri i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵；２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量. |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值则1-A --------λ1 则m A --------m λ则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1若2A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P6、若A~B,则它们有相同的特征值. 特征值相同的矩阵不一定相似7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100-=P PB AO AP P =-1 A=OI AP P =-1 A=II AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线.约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵. 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1.第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型. 标准型：形如 的二次型,称为标准型.规范型：形如 的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。
3-1 n阶行列式的概念
行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 近代,被广泛应用于数学, 近代,被广泛应用于数学,物理以及工程技术等 许多领域. 许多领域. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 定义
(a , b)
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数 若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度 不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换 作m+1次相邻对换 作m次相邻对换 次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性 奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
1
第一节 n阶行列式的概念 阶行列式的概念
2
一,排列及其逆数 由n个自然数组成的一个有序数组, 定义3.1.1 定义3.1.1 称为由这n个自然数的一个全排列 全排列,简称排列 全排列 排列 记作: i1i2 in 例
自然数 1,2 1,2,3 1,2,3,4 123 1234 132 12 213 231 …… …… 312 4321 n(n-1) 321 ( -1)…321
线性代数03-行列式按行(列)展开
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
行列式的定义及性质
a b c
0
等于零？
按第三行展开 aA31 bA32 cA33
也可以看做第一行元素与第三行代数余子式的乘积
例3.3
设D
1 2 1 2 2 4 2
5 3 2
4 2 2 1
2 2
，求D的第3列元素的代数余子 式之和。
解
根据行列式的展开定理可得
a12 A13 a22 A23 a32 A33 a42 A43 0，
B A;
性质3.3(2)：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。
证明：
a11 as1 D at 1 an1
a12 as 2
a1 n a sn
at 2 atn an 2 ann
a11 a21 A ... a n1
a12 a22 ... an 2
... a1n ... a2 n ... ... ... ann
例如
a22 a32 M 11 an 2
a23 a2 n a33 a3n an 3 ann
n 1
a21 a23 a2 n a31 a33 a3n M 12 an1 an 3 ann
从而， 即，
2( A13 A23 A33 A43 ) 0， A13 A23 A33 A43 0.
1 5 7 8 1 1 1 1 2 0 3 6 1 2 3 4 ，
练习 已知 D
计算 A41 A42 A43 A44 .
利用展开定理得到计算行列式的基本方法Ⅰ “降阶法”，即 利用行列式展开定理, 可将n阶行列式的计算转化为n-1阶行列 式的计算。
《线性代数的几何意义》之三(行列式的几何意义)
----图解线性代数----任广千胡翠芳编著2010.06.01《线性代数的几何意义》几何意义名言录没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。
-------笛卡尔算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。
--------希尔伯特“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。
”--------拉格朗日不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不过是行尸走肉。
--------柏拉图无论是从事数学教学或研究, 我是喜欢直观的。
学习一条数学定理及其证明, 只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了, 我才认为真正懂了。
--------中国当代数学家徐利治第三章 行列式的几何意义在中国古代，用筹算表示联立一次方程未知量的系数时，就有了行列式的萌芽-----排列的方式。
日本吸收了这种思想，在1683年，日本学者关孝和（Seki Takakusu）对行列式的概念和它的展开已有了清楚的叙述。
到18世纪，瑞士数学家克莱姆（G.Gramer）和法国数学家拉普拉斯（place）建立了行列式理论。
行列式的几何意义具有深刻的含义。
它是指行列式的行向量或列向量所构成的平行多面体的有向体积。
这个有向体积是由许多块更小的有向面积或有向体积的累加。
在我们逐步地讨论这个几何意义之前，先来回顾一下行列式的定义。
3.1. 行列式的定义行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。
当然，如果行列式中含有未知数，那么行列式就是一个多项式。
它本质上代表一个数值，这点请与矩阵区别开来。
矩阵只是一个数表，行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。
行列式分阶，比如二阶行列式、三阶行列式直至n 阶行列式。
线性代数详细知识点
线性代数 第一章 行列式§1 二阶和三阶行列式一、二元一次线性方程组与二阶行列式结论：如果112212210a a a a -≠，则二元线性方程组 11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩的解为122122*********b a a b x a a a a -=-，1121212112121a b b a x a b b a -=-。
定义：设11122122,,,a a a a ，记11221221a a a a -为11122122a a a a 。
称11122122a a a a 为二阶行列式有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为112222111122122b a b a x a a a a =，111122211122122a b a b x a a a a =二、三阶行列式与三元一次线性方程组定义：111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---定理：如果1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠，则***123(,,)x x x 是下面的三元线性方程组的解111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩当且仅当*1x =112132222333233/b a a b a a D b a a ,*2x =111132122331333/a b a a b a D a b a ,*3x =111212122231323/a a b a a b D a a b 其中111213212223313233a a a a a a a a a 为系数行列式。
第三章 行列式(序)
det( e1 , e 2 , ⋯ , e n ) = 1
千言万语汇成 一句话
• “线性”+“交换”可以 交换” 线性” 交换 把行列式的计算转化为 “自然基 情形进行计算。 自然基”情形进行计算 自然基 情形进行计算。
工欲善其事 必先利其器
2 2 2 1 1 1 2 i , j =1 i j i j
乘法对加法的分配律和与数 乘的结合律将某种乘积展开
det(α , α ) = 0 ， det(α , β ) = − det( β , α )
棱重合， 棱重合，互换
det( e1 , e2 ) = 1
垂直关系
3 中的三个向量， 对于 R 中的三个向量， α = OA ， β = OB ， γ = OC ，
i , j ,k =1
∑x y z
i
2
j k
det(α i , β j , γ k )
• 乘法对加法的分配律和与数乘的结合律将 某种乘积展开
det( α , α , γ ) = 0 ， det( α , β ， γ ) = − det( β , α , γ )
• 棱重合，互换（也可以是 、3或者 、3位置） 棱重合，互换（也可以是1、 或者 或者2、 位置 位置）
由方程组的四个系数确定。 由方程组的四个系数确定。
二、面积与体积
∆ = a11 a 22 − a12 a 21 是上述解中的共同分母
设 ∆ = OA ⋅ OB ， ∆ 的绝对值是以 OA 和
OB 为一组邻边的平行 四边形的面积 ， 符号与
sin ∠AOB 一致。
设 OA = ( a1 , a2 ) ， OB = (b1 , b2 ) ， 定 义
线代第三章习题解答
第三章 行列式习题3.13-1-6.用定义计算行列式（1）()2,1,0,,,0000000222211114=≠=i d c b a d c b a d c b a D ii i i解：设444⨯=ija D 则4D 中第1行的非0元为113111,b a a a ==，故11,3j =同法可求：2342,4;1,3;2,4j j j ===∵4321,,,j j j j 可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2， 故4D 中相应的非0项有4项，分别为2211d b c a ，,2211c b d a -2211d a c b -，2211c a d b 其代数和即为4D 的值，整理后得 ()()122112214d c d c b a b a D --=(2)010...0002 0000...000 0n D n =M M MM解：由行列式的定义121212()12(1)n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑L L L仅当12,,,n j j j L 分别取2，3,…,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零12121()(231)1212231(1)(1)(1)(1)(1)12(1)!n n n j j j n n j j nj n n n n D a a a a a a a n n ττ---=-=-=-⋅=-⋅L L L L L习题3.23.2-2.证明(1)0sin cos 2cos sin cos 2cos sin cos 2cos 222222=γγγβββααα证明:22222222222222132222222cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin c c αααααααβββββββγγγγγγγ-=-+-左0= (2) 322)(11122b a b b a a b ab a -=+证明:23222212()()2()11001c c a ab ab b b a a b b a b a b c c a ba b b a b a b a b --------==---左右=-=3)(b a(3) 121211221100001000001n n n n n nn n x x x a x a x a x a x a a a a a x-------=+++++-+L L M MM O M M L L L证明: 按最后一行展开，得1211000000010001000(1)(1)00010000100101n n n n x x a a x x x ++----=-+-----L L L L O M M M M M O M M L L LL左321220000100000000100(1)(1)0001000000001001n n n x x x x a a x x +----+-++----LL L L L M M M O M M M M M O M M L L LL21100100()(1)000100nx x x a x x--++--LL M M M O M M L L222222121221(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x a x x a x ----=-+-+-++-++-L 2211221n n n n n n a a x a x a x a x x ----=++++++=L 右3=2-3．计算下列行列式 （1）11111100((1))((1))x a a a x a ax a x a x n a x n a a a xa a xx a-=+-=+--LL L LLLM M O M M M OM MM O M LLL])1([)(1a n x a x n -+-=-(2)()()()()()()111(1)211111111()1(1)(1)111111nnnn n n n n n n n n nnna a a n a a a n a a a n D a a a n a a a n a a a n ---++---------==-------L L L LM MOMMM O ML L LL（最后一行（n+1）行依次与第n,n-1,…,2,1行交换，经过n 次交换；再将新的行列式的最后一行（即原来的n 行）依次换到第二行，经过n-1次交换；。
第三章 行列式
MATLAB 软件应用第三章 行列式例1：输出矩阵311212123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，计算（1）A ; (2) 取出A 的第二列；（3）删除A 第一行.解：建立m 文件d1.m 如下：clcA=[3 1 1;2 1 2;1 2 3]fprintf('det(A)=%d',det(A))A1=A(:,2)A(1,:)=[];A2=A运行结果如下：A =3 1 12 1 21 2 3det(A)=-4A1 = 112A2 = 2 1 21 2 3例2：计算行列式2324323631063a b c da ab a bc a b cd D a a b a b c a b c da ab a bc a b c d++++++=++++++++++++. 解：建立m 文件d2.m 如下：clcsyms a b c d %定义符号变量 A=[a,b,c,d;a a+b a+b+c a+b+c+d;a 2*a+b 3*a+2*b+c4*a+3*b+2*c+d;...a 3*a+b 6*a+3*b+c 10*a+6*b+3*c+d] ; %输出符号矩阵 D=det(A)运行结果如下：D =a^4例3： 应用Cramer 法则求解下列线性方程组的解.123412423412342583 69 254760.x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩，，， 解：建立m 文件d3.m 如下：clcA=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6]; b=[8;9;-5;0]D=det(A)C1=[b,A(:,2:4)];D1=det(C1);x1=D1/DC2=[A(:,1),b,A(:,3:4)];x2=D2/DC3=[A(:,1:2),b,A(:,4)];x3=D3/DC4=[A(:,1:3),b];D4=det(C4);x4=D4/D运行结果如下：x1 =3x2 =-4x3 =-1x4 =1例4：验证行列式的性质：把一行的倍数加到另一行，行列式不变.解：建立m 文件d4.m 如下：clcA=[5 4 7 8;6 5 2 4;1 0 3 8;5 7 6 6]fprintf('det(A)=%d',det(A))syms kB=[A(1:3,:);k*A(1,:)+A(4,:)]det(B)运行结果如下:A =5 4 7 86 5 2 41 0 3 85 76 6det(A)=-448B =[ 5, 4, 7, 8][ 6, 5, 2, 4][ 1, 0, 3, 8][ 5*k+5, 4*k+7, 7*k+6, 8*k+6]ans =-448【练习与思考】1、计算下列行列式1）1234234134124123D=；2）x y x yD y x y xx y x y+=++.2、已知212111()321111x xxf xxx-=，求4x与3x的系数.3．应用Cramer法则求解下列线性方程组1）1234123412341234232633325323334x x x xx x x xx x x xx x x x-++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩；2）121232343454556156056056051x xx x xx x xx x xx x+=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪+=⎩.4.验证行列式的性质：对换行列式中两行的位置，行列式反号.。
第三章 矩阵的秩与行列式
第三章 矩阵的秩与行列式1矩阵的秩（1）矩阵的定义第一章结论5所描述的不重复数量其实就是这里所讲解的矩阵秩。
用数学语言描述为：对n 阶矩阵A 进行多次初等变换后，最少不全为0的行或列的个数t ，则称t 为矩阵A 的秩，记为：()t A r =。
（2）向量前面我们已经知道用向量可以对矩阵简化表示，不仅如此，在对矩阵的性质进行分析时，用向量可以便于描述，分析过程自然也更加清晰。
○1线性表出与线性相关 （a ）线性表出如果n 维向量β能表示成向量s ααα,,,21 的线性组合，即：s s k k k αααβ+++= 2211，则称β可由向量组s ααα,,,21 线性表出,其中数sk k k ,,,21 称为关于β的组合系数.(b)向量组的等价 如果向量组s ααα,,,21 中的每个向量都可由向量组t βββ,,,21 线性表出，且向量组t βββ,,,21 中的每个向量也可以由向量组sααα,,,21 线性表出,那么就称这两个向量组等价.【例3.1】试判定向量 T )2,0,2,1(-=β 是否可由向量组T)0,1,1,1(1=α, T )1,0,1,1(2=α,T)1,1,0,1(3=α,T )1,1,1,0(4=α表出，解：设有βαααα=+++44332211x x x x ，此线性方程组是否有解就代表是否可表出。
根据解线性方程组的思路，可以将上述的列向量写成如下矩阵形式，并实施行初等变换，变为左边区域可用单位矩阵代替的新矩阵，最右边一列的值便是方程的解。
{}⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=321000350100310010370001~21110011012101110111,,,,4321初等行变换βαααα则此方程有唯一解：321351311371,,,--====x x x x ，故向量可线性表出。
○2向量组的线性相关 （a ）向量组的线性相关的定义 对于n 维向量组s ααα,,,21 ，若存在一组不全为0的数s k k k ,,,21 ，使得：02211=+++s s k k k ααα ，则称n 维向量组s ααα,,,21 线性相关.(b)用向量描述矩阵的秩矩阵A 的每一列或行构成的向量都可以称为矩阵A 的列向量或矩阵A 的行向量。
《高等代数》第三章 行列式
二、向量组的线性相关性
1. 定义 定义 12 如果向量组 1 , 2 , … , s (s 2)中
有一个向量可以由其余向量线性表出，那么向量组
1 , 2 , … 2,1,3,1), 2 (4,2,5,4), 3 (2,1,4,1)
1 (a11, a12 , , a1n , b1), 2 (a21, a22 , , a2n , b2 ),
s (as1, as2 , , asn , bs ),
则可用向量组 A： 1, 2, … , s 来表示方程组 (1)
或称向量组 A 是由方程组 (1) 所确定的向量组；
的 n + 1 元有序数组之间的关系. 因此，我们先来 讨论多元有序数组.
n 元有序数组的应用举例
应该总指之，出n，维多有元序有数序组数在实组际不中只的是应可用以例代子表有很线性 方程多，，而作为且它还们与的其一他个方共面同有抽象极，其就广有泛下的面联的系定义.
例 1 点的坐标
在解析几 何中我们已经看到， 有些事物的性质 不能用一个数来刻画 . 例如，为了刻画一点在平面
可 验证 向因为量组 1 , 2 与向量组 1 , 2 等价.
4. 1等价1向量2组, 的2性 质1 22 ,
1 21 2 , 2 1 2 .
即它们可1)相反互身线性性：表每出一，个故向等量价组. 都与它自身等价.
2) 对称性：如果向量组 1 , 2 , … , t 与 1, 2, …, s 等价，那么向量组 1, 2, …, s 也与 1 , 2 , … , t 等价.
的，去掉它也不影响方程组的解. 事实上，第三个
方程等于第一个方程的 3 倍减去第二个方程，所
以满足第一、第二个方程的解一定满足第三个方程 也即方程组的解完全由前两个方程确定，第三个方 是多余的.
《高等代数行列式》课件
高等代数行列式的注意事项 与易错点
第六章
计算过程中的符号问题
行列式的定义与性质 展开式中的符号规律 计算过程中的符号变化 易错点：符号使用不当导致的错误
计算过程中的化简问题
符号问题：行列式 中的正负号容易混 淆，需要注意区分
矩阵的逆：利用行列式和矩阵的性质，求出矩阵的逆，进而求解线性方程 组
矩阵的运算
矩阵加法 矩阵乘法 矩阵转置 矩阵求逆
向量的内积与外积
向量的内积定义：两个向量的点乘，表示它们的夹角和长度之间的关系
向量的外积定义：两个向量的叉乘，表示它们之间的垂直关系和长度之间的关系
向量的内积和外积的性质：内积为实数，外积为向量，它们的性质和运算规则
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汇报人：PPT
03
代数余子式：行列式中任意一行或一列去掉后得到的子行列式称为代数 余子式。
04
拉普拉斯展开式：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果是 该行或该列的代数余子式的乘积之和。
05
行列式的展开定理：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果 是该行或该列的代数余子式的乘积之和。
06
行列式的计算公式：行列式的计算公式是对于n阶行列式，其 计 算 公 式 为 D = a 1 *A 1 + a 2 *A 2 + . . . + a n *A n ， 其 中 A1,A2,...,An为行列式中不同行不同列的元素构成的代数余子 式。
特点：适用于具有某种规律性的数列，如等差数列、等比数列等
应用：在高等代数行列式中，递推法可以用于计算行列式的值
注意事项：在使用递推法时，需要注意初始项和递推公式是否正确，以及递推的终止 条件是什么
《高等代数》第三章习题及答案
习题3.1计算下列行列式：①5312--+a a ②212313121+----a a a解 ①5312--+a a =(a+2)(a-5)+3=a 2-3a-7②212313121+----a a a =(a-1)(a-1)(a+2)-3-12+2(a-1)-3(a-1)+6(a+2)= a 3+2a习题3.2求从大到小的n 阶排列(n n-1 … 2 1)的逆序数． 解 τ(n n-1 … 2 1)=(n-1)+(n-2)+…+1+0=2)1(-n n 习题3.31.在6阶行列式中，项a 23a 31a 42a 56a 14a 65和项a 32a 43a 14a 51a 66a 25应各带有什么符号？解 因为a 23a 31a 42a 56a 14a 65=a 14a 23a 31a 42a 56a 65，而τ(4 3 1 2 6 5)=3+2+0+0+1+0=6，所以项a 23a 31a 42a 56a 14a 65带有正号．又因为项a 32a 43a 14a 51a 66a 25=a 14a 25a 32a 43a 51a 66，而τ(4 5 2 3 1 6)=3+3+1+1+0+0=8，所以项a 32a 43a 14a 51a 66a 25带有正号． 2.计算：000400010002000300050000 解 因为a 15a 24a 33a 42a 51的逆序数为τ(5 4 3 2 1)=5×4/2=10，带有正号，所以000400010002000300050000=5×3×2×1×4=120 习题3.4计算：6217213424435431014327427246-解 6217213424435431014327427246-=6211003424431001014327100246-=100×621134244*********1246-=-294×105习题3.51.计算下列行列式：①1723621431524021----- ②6234352724135342------解 ①1723621431524021-----=1374310294111120001------=137410291111-----=-726②6234352724135342------=1035732130010313410------=0105731331310---- =05723133710----=-5×72337--=-1002. 计算下列n 阶行列式（n ≥2）：①ab ba b a b a 000000000000 ②1210010010011110-n a a a③n n n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+④111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n n n n --------- 解 ① n n a b b a b a b a ⨯000000000000=)1()1(00000000000-⨯-⨯n n a b a b a b a a+)1()1(1000000000000)1(-⨯-+⨯-n n n b a b b ab b=a n+(-1)n+1b n② D n =1210010*********-n a a a=a n-1×D n-1+(-1)n+1×)1)(1(2100000000001111---n n n a a= a n-1D n-1+(-1)n+1×(-1)1+(n-1)×)2)(2(232100000000----n n n n a a a a=a n-1D n-1-a 1a 2…a n-2=a n-1(a n-2D n-2-a 1a 2…a n-3)-a 1a 2…a n-2 =a n-1a n-2D n-2-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 …= a n-1a n-2…a 2D 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2= a n-1a n-2…a 21110a -a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2=-a n-1a n-2…a 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 =-∑---11211)...(n i in a a a a ③ D n =nn n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+=112111...)1()1(---++-⨯-n n n n n n D x x x x a =a n x 1x 2…x n-1+x n D n-1=a n x 1x 2…x n-1+x n (a n-1x 1x 2…x n-2+x n-1D n-2) =a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+x n x n-1D n-2 …=a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+…+x n x n-1…x 4a 3x 1x 2+x n x n-1…x 4x 3D 2=a n x 1x 2...x n-1+x n a n-1x 1x 2...x n-2+...+x n x n-1...x 4a 3x 1x 2+x n x n-1...x 4x 3[(a 1+x 1)x 2+a 2x 1] =)( (1)1121121∑=+--+ni n i i i n n x x a xx x x x x x④D n+1=111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n nn n ---------=nn n n n n n n a a a n a a a n a a a )1()1()()1()()1(111)1(1112)1(----------+=)1()]}1([)2)(1)]{(()2)(1[()1(2)1(---------+ n n n n=2!3!...n!3.计算下列n 阶行列式（n ≥1）：①n a a a a ++++1111111111111111321②ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n nn ----- 321321321321解 ① D n =na a a a ++++1111111111111111321=na a a a +++++++11110111*********11321=1111111111111111321a a a ++++na a a a111011101110111321+++ =110010010321a a a +1-n n D a =a n D n-1-a 1a 2…a n-1=a n (a n-1D n-2-a 1a 2…a n-2)-a 1a 2…a n-1 =a n a n-1D n-2-a n a 1a 2…a n-2-a 1a 2…a n-1 =n ni n i i a a a a a aa 211111)(+∑=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=ni i n a a a a 12111 (a i ≠0) ②D n =a x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -----321321321321=ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -+-+--+- 321321321321000=n n n n x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x 321321321321----+ax x x a x x x a x a x x x x a x -----321321321321000 =x n (-a)n-1(x 1+x 2+…+x n )+(-a)n4.证明：n 阶行列式yz z x y y x z xzz zz y y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 其中z ≠y ．解 D n =xzz zzy y x z z yy y x z x y zx00--=(x-z)D n-1-(y-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y z=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(111-⨯-n n x z z y y x y yy=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(10010001-⨯-----n n y x yz y z y x=(x-z)D n-1-(y-x)z(x-y)n-2=(x-z)D n-1+z(x-y)n-1即有D n =(x-z)D n-1+z(x-y)n-1(1)又D n =xzz zy y x z yy y x x z yy y y y x--=(x-y)D n-1-(z-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y y=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(1111-⨯-n n x z z z yy x z=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(001111-⨯-----n n z x z y z y z x=(x-y)D n-1-(z-x)y(x-z)n-2即有D n =(x-y)D n-1+y(x-z)n-1(2) 联立式（1）和式（2）得yz z x y y x z xzz zzy y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 习题3.61.设A,B,P ∈Mat n ×n (F)，并且P 是可逆的，证明：如果B=P -1AP ，则|B|=|A|．证 因为|P -1||P|=1，所以|B|=|P -1AP|=|P -1||A||P|=|A|． 2*.仿照例3.6.1，试用分块初等变换，证明定理3.6.1． 证 设A ，B 都是n ×n 矩阵，则nE BA -0=B A B A A E B n n n n=-=--+)1(0)1(另一方面，对nE BA -0的第2行小块矩阵乘以A 加到第一行上去，有nE BA -0=AB E BAB n=0所以B A AB =．习题3.71.求下列矩阵的伴随矩阵和逆矩阵①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1112 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--325436752解 ①设原矩阵为A ，则A 11=-1，A 21=-1，A 12=1，A 22=2，伴随矩阵A *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2111，|A|=-2+1=-1，所以，A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---211111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111②设原矩阵为A ，则A 11=3243--=-9+8=-1，A 21=3275---=-（-15+14）=1，A 31=4375=20-21=-1，A 12=3546--=38，A 22=3572-=-41，A 32=4672-=34， A 13=2536-=-27，A 23=2552--=29，A 33=3652=-24伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----242927344138111，|A|=-18-84+100-105+16+90=-1，所以，A -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------24292734413811111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2429273441381112.证明：上三角形矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．证 因为矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，而上三角形矩阵的行列式等于它的主对角线上所有元的乘积，所以上三角形矩阵的行列式不为零的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零，故上三角形矩阵可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．3.设A 是n ×n 矩阵．证明：A 是可逆的，当且仅当A *也是可逆的．证 因为 AA *=|A|E ，两边取行列式得|A||A *|=|A|n．若A 可逆，则A 的行列式|A|≠0，从而有|A *|=|A|n-1≠0，所以A *可逆．反之，若A *可逆，设A *的逆阵为(A *)-1．用反证法，假设A 不可逆，则A 的行列式|A|=0，所以AA *=|A|E=0，对AA *=0两边同时右乘(A *)-1，得A=0，从而A 的任一n-1阶子式必为零，故A *=0，这与A *可逆相矛盾，因此A 可逆． 4.证明定理3.7.2的推论1．推论1的描述：设A 是分块对角矩阵，A=diag(A 1,A 2,…,A s )，证明：A 可逆当且仅当A 1,A 2,…,A s 均可逆，并且A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．证 A 可逆，当且仅当A 的行列式|A|≠0，而|A|=|A 1||A 2|…|A s |，所以|A|≠0当且仅当|A 1|，|A 2|，…，|A s |都不为零，即A 1,A 2,…,A s 均可逆．令B=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)，则有AB=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S A A A21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11211s A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛S E E E21=E 故A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．4.设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a 是实矩阵（实数域上的矩阵），且a 33=-1．证明：如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则|A|=1．证 如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则A 的伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =A T ．所以|A *|=|A|，又AA *=|A|E ，两边取行列式得|A|2=|A|3． 由a 33=-1，得AA *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++1232231a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛||000||000||A A A比较最后一个等式两端第3行3列的元素知|A|=a 312+a 322+1≠0，对|A|2=|A|3两边同时除以|A|2得|A|=1．6.设A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，有两个线性方程组（Ⅰ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++u x c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222212111212111)（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222211211221111)如果（Ⅰ）有解．证明：当且仅当u =v 时，（Ⅱ）有解．证 设方程组（Ⅰ）的解为x 1*, x 2*,…, x n *，代入方程组（Ⅰ）得（Ⅲ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++ux c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n n n n nnn n n n n **2*1**2*12*2*22*211*1*12*11................................................ (212)12121 当u =v 时，因为 A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，A 的行列式不等于零，根据克莱姆法则，方程组（Ⅱ）的前n 个方程作为一个线性方程组，它有唯一解，记该解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入方程组（Ⅱ）的前n 个方程中得（Ⅳ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++----nnn n n n nn n n n n c x a x a x a cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn ****2**11**1**12**112**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅳ）中第1个等式的两端同时乘以x 1*,第2个等式的两端同时乘以 x 2*,…, 第n个等式的两端同时乘以 x n *，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅲ）式，可得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=c 1x 1*+ c 2x 2*+…+ c n x n *=u由u =v ，得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=u即x 1**, x 2**,…, x n **也满足（Ⅱ）中最后一个方程．所以方程组（Ⅱ）有解．反之，若方程组（Ⅱ）有解，设其解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入（Ⅱ）得到（Ⅴ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++-vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n n n n n nn n n n n ****2**11****2**12**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅲ）中第1个等式的两端同时乘以x 1**,第2个等式的两端同时乘以 x 2**,…,第n 个等式的两端同时乘以 x n **，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅴ）式，可得c 1x 1*+c 2x 2*+…+c n x n *=b 1x 1**+ b 2x 2**+…+ b n x n **将上式左端与（Ⅴ）式中最后一个等式比较，将上式右端与（Ⅲ）式中最后一个等式比较，得 u =v ．7.设A 是n ×n 矩阵．证明：|A *|=|A|n-1证 因为AA *=|A|E ，两边取行列式得 |A||A *|=|A|n ．如果|A|≠0，两边除以|A|，得|A *|=|A|n-1如果|A|=0，也可写成|A *|=|A|n-1，总之，有|A *|=|A|n-1成立．。
线性代数
线性代数第一章性质1：行列式与它的转置行列式相等P92：互换行列式的两行（列），行列式变号 p10推论：如果行列式有两行（列）完全相同，此行列式等于0 3：行列式中的某一行或列中的所有元素乘以同一数k，等于k乘以此行列式。
推论：行列式中的某一行或列所有元素的公因子可以可以提到行列式的记号的外面4：行列式中如果有两行成比例，则此行列式等于05：若行列式的某一行或列都是两数之和，则等于两个行列式之和6：把行列式的某一列或行的各个元素乘以同一数然后加到另一列或行对应的元素上去，行列式不变。
引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有的元素除（I,j）元a ij外都为0，那么这行列式等于a ij与它的代数离子式的乘积，即D=a ij.A ij定理3：行列式等于它的任一行或列的各个元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D=a i1.A i1+a i2A i2+ a in A in（i=123 n）或D=a1j A1j+a2j A2J+ a nj A nj（j=123 n） p7范德蒙德行列式：1 1 1 1X1 X2 X3 X NX12 X22 X33 X33X1n-1 X2n-1 X3n-1 X n-1Ⅱn>>i>>j>>1(x i-x j) 注“Ⅱ“表示全体同类因子的乘积。
推论：定理可得行列式某一行或列的元素与另一行的对应元素的代数余子式之和等于0，即ai1Aj1+ ai2Aj2 +…ainAjn=0 i≠ja1iAj1+ a2iA2j+… aniAnj=0 i≠j p19克拉默法则：如果线性方程组的系数行列式不等于0，那么方程一定有解，且x1=D1/D2 x2=D2/D2 x n=D n/D n其中D j(j=1 2 3 …n)是把系数行列式中的第j行的元素用方程组右端的常数项代替后得到的n阶行列式 P72定理4：如果线性方程组的系数行列式D≠0，则方程一定有解，且解是唯一的。
几何与线性代数(第三章 行列式与矩阵)
n 2时 ，D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j1
其中A1 j (1)1 j M1 j
a21 a2, j1
M1 j
a31
a3, j1
an1 an, j1
a2, j1 a2n a3, j1 a3n
an, j1 ann
( j 1,2,..,n)
ai1 j1 ai2 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik jk
非零子式
定义（秩）：非零矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩， 记为r(A)或R(A)。规定：零矩阵的秩为0
注：最高阶数，即指A存在r阶非零子式，但所有r+1阶子式 （如果存在）都等于0，则最高阶数为r。 注：r(A)=r(AT)
例：
1 4 2
A 3 5 1
2 1 6
性质2：
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ann
推论：
** * * 0 0 0 0 ** * *
性质3：
***
*** ***
k (5) A1 1
A
规定：当A可逆时，A0 E, Ak ( A1 )k k N，则当r, s Z时，有
Ar As Ars , ( Ar )s Ars
伴随矩阵
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
A11
a2n ann
A*
A12
A1n
A21 A22
| A|
| A|
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再让j向左移动， 再让 向左移动，依次与 i, ks , ,…, k2 , k1 交换。经过 向左移动 交换。经过s+1次 次 相邻的两个数码的对换后， 相邻的两个数码的对换后，排列变为 . （2） … j, k1, k2 ,…, ks , i,… 对换而得到的排列。因此， 但（2）正是对（1）施行 (i, j) 对换而得到的排列。因此， 正是对（ 相当于连续施行2s+1 2s+1次相邻数码的 对（1）施行对换 相当于连续施行2s+1次相邻数码的 (i, j) 对换。 。，每经过一次相邻两数码的对换 每经过一次相邻两数码的对换， 对换。由1。，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改 变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（ 2s+1是一个奇数 变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇 偶性相反。 偶性相反。
……
…, i, j,…,
其中A与 都代表若干个数码 都代表若干个数码.施行对换 其中 与B都代表若干个数码 施行对换 (i, j), 得
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……
…, j, i,…,
A
B
我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换 我们比较这两个排列的反序数 显然经过这个对换 属于A或 的数码的位置没有改变 的数码的位置没有改变,因此这些数 后,属于 或B的数码的位置没有改变 因此这些数 属于 码所构成的反序数没有改变.同时 ，j与A或B中的 码所构成的反序数没有改变 同时i， 与 或 中的 同时 数码所构成的反序数也没有改变。 数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排 i 列中， 列中， < j, 那么经过对换 (i, j) 后，i与j就构成一个 与 就构成一个 反序。 反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数 i 增多一个。若在给定的排列中， 增多一个。若在给定的排列中， > j, 那么经过对换 排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形， 后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形， 排列的奇偶性都有改变。 排列的奇偶性都有改变。
λ2 λ
3 1
, 试问
(1) 当 λ 为何值时 D = 0 ; (2) 当 λ 为何值时 D ≠ 0 .
由阶行列式的定义有: 解:由阶行列式的定义有 由阶行列式的定义有
4 −3 5 2
= 4× 2 − (−3) ×5 = 23 = λ2 − 3λ
而 = D
λ2 λ
3 1
λ (1)当 = λ2 − 3λ = 0时 得 = 0或 = 3. D , λ
称为三阶行列式, 即 称为三阶行列式
主对角线法
‘—’三元素乘积取“+”号； ‘—’三元素乘积取“-”号.
a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31
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数码（ ），那么这个排列的反序数等于 数码（显然 mn = 0 ），那么这个排列的反序数等于 m + m2 +⋯+ mn 。 1 例如：在排列 例如：在排列451362里，m1 = 2, m2 = 4, m3 = 2, m4 = m5 = m6 = 0. 里 所以这个排列有8个序 个序。 所以这个排列有 个序。 一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。 一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个 反序的排列叫做一个偶排列 有奇数个反序的排列叫做奇 偶排列； 反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇 排列。 排列。
三、重点难点： 重点难点：
利用对角线法则计算二阶、 利用对角线法则计算二阶、三阶行列式
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3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)
二阶行列式 我们用记号
a11 a12 a21 a22
表示代数和 a11a22 − a12a21 称为二阶行列式, 称为二阶行列式 即
我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式 然后利用这一 我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到 阶行列式,然后利用这一 阶行列式 工具来解答含有n个未知量 个方程的线性方程组. 个未知量n个方程的线性方程组 工具来解答含有 个未知量 个方程的线性方程组
例题选讲
例 计算
4 −3 . 5 2
又如 , 设 D =
a11 a12 a21 a22
= a11a22 − a12a21
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三阶行列式
a11 a12 a13
我们用记号 a21 a22 a23
a31 a32 a33
表示代数和
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31
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3.1 线性方程组和行列式
一、内容分布
3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则 二阶、三阶行列式的计算 对角线法则 对角线法则) 3.1.2 行列式在线性方程组中的应用
二、教学目的： 教学目的：
1.了解二阶、三阶行列式的定义。 了解二阶、三阶行列式的定义。 了解二阶 2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。 会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。 会利用对角线法则计算二阶宁波工程学院理学院《高等代 Nhomakorabea》课程组制作
(2)当 = λ2 − 3λ ≠ 0时 得 ≠ 0或 ≠ 3. D , λ λ
3.2 排列
一、内容分布 3.2.1 排列、反序与对换 排列、 3.2.2 奇、偶排列的定义及性质 二、教学目的 了解排列、反序、 了解排列、反序、对换的定义 三、重点难点 求反序数
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3.2.2 奇、偶排列的定义及性质
定义3 定义3 看n个数码的一个排列，如果把这个排列里 个数码的一个排列， 个数码的一个排列 的任意两个数码i与 交换一下 交换一下， 的任意两个数码 与j交换一下，而其余数码保持不 动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的 那么就得到一个新的排列， 这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（ ， ） 这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（i，j） 来表示。 来表示。 定理3.2.1 n个数码的任意两个 定理3.2.1 设i1i2 ⋯in和j1 j2 ⋯ jn 是n个数码的任意两个 排列， 排列，那么总可以通过一系列对换由 i1i2 ⋯in得出j1 j2 ⋯ jn 证明: 我们已经知道， 证明 我们已经知道，通过一系列对换可以由 我们只需证明， i1i2 ⋯in得出 ⋯no 我们只需证明， 12 通过一系列对换可由 12⋯n得出j1 j2 ⋯ jn ，
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3.2.1 排列、反序与对换 排列、
定义1 个数码 , 定义1 n个数码 1 2,⋯n 的一个排列指的是由这 个数码组 的一个排列指的是由这n个数码组 排列指的是由这 有序组. 成的一个有序组 成的一个有序组 例如: 都是四个数码的排列。 例如 1234，2314都是四个数码的排列。 ， 都是四个数码的排列 n个数码的不同排列共有n！个 个数码的不同排列共有n 例如： ， ， 这三个数码的全体不同的排列一共有 这三个数码的全体不同的排列一共有3！ 例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有 ！= 6 它们是： 个，它们是：123，132，231，213，312，321。 ， ， ， ， ， 。 定义2 在一个排列里， 定义2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个 反序。 较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序 较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。 1 计算反序数的方法：看有多少个数码排在1的前面 的前面， 计算反序数的方法：看有多少个数码排在 的前面，设为 m 构成反序；然后把1划去 划去， 个，那么就有 m 个数码与 构成反序；然后把 划去，再看 1个数码与1构成反序 有多少个数码排在2的前面 的前面， 有多少个数码排在 的前面，设为 m2个，那么就有 m2个数 码与2构成反序 然后把2划去 计算有多少个数码在3前面 构成反序； 划去， 前面， 码与 构成反序；然后把 划去，计算有多少个数码在 前面， 设为 m 个，……，如此继续下去，最后设在 n前面有 mn 个 ，如此继续下去， 前面有 3
b1 a12 a11 b1 b a22 a b x1 = 2 , x2 = 21 2 . a11 a12 a11 a12 a21 a22 a21 a22
a11x1 + a12 x2 + a13x3 = b1 (2) 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2) a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3
第三章 行列式
3.1 线性方程组和行列式 3.2 排列 3.3 n阶行列式 3.4 子式和代数余子式 行列式依行(列)展开 行列式依行( 3.5 克拉默法则 课外学习6：行列式计算方法 课外学习6 课外学习7 q_行列式及其性质 课外学习7：q_行列式及其性质
能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、 能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、 和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人， 和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于 这种人。 这种人。 ――庞加莱(Poincare，1854－ 庞加莱(Poincare ――庞加莱(Poincare，1854－1921) 一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人， 一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人， 那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。 那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。 －－外尔斯特拉斯 Weierstrass，1815－1897） 外尔斯特拉斯（ －－外尔斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）