青岛大学概率论及数理统计二考研真题2015—2017年
青岛大学考研真题—概率论与数理统计
一、(20分)概念题1）全概率公式与贝叶斯公式2）数学期待与方差3）点预计与区间预计4）回归分析与最小二乘法二、(15分) 计算题某电子设备发明厂所用的元件是由三家元件发明厂提供的的，按照以往的记录有以下数据：设这三家工厂的产品在仓库中是匀称混合的，且无区别的标志，问：1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为评价产品质量责任，求此次品出由三家工厂生产的概率分离是多少？三、（15分）证实题设随机变量独立，ξ且方差存在，则有与η22)()()(ηξηξηξξηE D D E D D D •+•+•=由此并可得ηξξηD D D •≥)(四、(15分) 计算题设二维随机变量），（ηξ的联合密度为 ⎩⎨⎧>>=--其它），（,00,0,43y x ke y x p y x问：1）求常数k;2）求相应的分布函数； 3）求），（2010<<<<ηξp 五、（15分）计算题设有A,B 两种不相关的证券，它们的收益与概率如下表：问：1）应如何投资这两种证券最佳（即要满意收益越大越好，风险越小越好）？2）若这两种证券相关，譬如相关系数5.0,-=B A ρ，结果又如何？六、 （15分）计算题假设某险种在投保时期内一共发生了N 次赔款，i ξ表示第i 次赔款额，则相应的赔款总量为：N S ξξξ+++=...21，其中N 为取非负整数值的随机变量，N ξξξ...,21，，具有相同的分布函数，且N,N ξξξ (21)，互相自立，问： 1）推导赔款总量S 的数学期待及方差公式；2）若N 顺从参数3=λ的泊松分布，第i 笔赔款额i ξ的分布列如下表：计算赔款总量S 的范围。
七、（15分）证实题设{}n ξ为自立同分布的随机变量序列，每个随机变量的期待为a ,且方差存在，证实：a k n n nk k →+∑=1)1(2ξ（依概率收敛）八、（20分）计算题设总体ξ～),(2σμN ，2,σμ为未知参数，（n ξξξ,...,,21）是来自总体ξ的一个样本，问： 1）2,σμ的矩预计； 2）2,σμ的极大似然预计；3）以上两个预计是否无偏预计？若不是如何修正？九、（20分）计算题 针对一元线性回归模型i i i i x y εεβα,++=～n i N ,...,2,1),,0(2=σ求其中参数βα，的最小二乘预计及2σ的无偏预计，其中n x x x ,...,,21不全相同。
2017概率论与数理统计
二○一七年硕士研究生入学考试试题
考试科目：概率论与数理统计
注意事项：1．本试卷共9道大题（共计16个小题），满分150分；
2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
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1、（10分）有三个朋友去喝咖啡，他们决定用掷硬币的方式确定谁付账：每人掷一枚硬币，如果有人掷出的结果与其他两人不一样，那么由他付账；如果三个人掷出的结果是一样的，那么就重新掷，一直这样下去，直到确定了由谁来付账．求以下事件的概率：
4、（15分）设连续随机变量 的密度函数 是一个偶函数， 为 的分布函数，
求证：对任意实数 ，有：
（1） ；
（2） ；
（3） .
5、（15分）设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为:
（1）求分布函数 ；（2）求概率
6、（15分）设随机变量（X，Y）的概率密度函数为：
（1）试确定常数b；
（2）求边缘概率密度fX(x)，fY(y)；
（1）进行到了第2轮确定了由谁来付账；
（2）进行了3轮还没有确定付账人.
2、（15分）某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
3、（20分）甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.
（3）求函数U=1，X2）具有概率密度函数为：
2014年青岛大学考研试题852概率论及数据统计
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青岛大学 2014 年硕士研究生入学考试试题
科目代码: 852 科目名称:概率论及数理统计（2） （共 2 页） 请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
Y 相互独立， 设X ， 且都服从 N ( , 2 ) ， 试求 Z1 X Y 和 Z 2 X Y
P( AB ), P( A B), P( AB ), P ( A B ) 。
三、计算题（20 分） 一人驾车从城中甲地到乙地，途中经过若干交通路口，设他在每个路口遇 “红灯”的概率均为 0.4，试求： 1）此人过 5 个路口仅遇到一次“红灯”的概率； 2）此人第 5 次过路口才遇到“红灯”的概率； 3）此人第 5 过路口已是第 3 次遇“红灯”的概率。 四、计算题（20 分） 设一盒内有 2 件次品， 3 件正品， 进行有放回的抽取和无放回的抽取.设 X 为 第一次抽取所得次品个数， Y 为第二次抽取所取得次品个数.试分别求出两种抽 取情况下： 1） ( X , Y ) 的联合分布律； 2）二维随机变量 ( X , Y ) 的边际分布律； 3） X 与 Y 是否相互独立。 五、计算题（10 分）
推导参数 ， 的普通最小二乘估计， 并给出 2 的无偏估计， 其中 x1 , x 2 ,..., x n 不 全相同。
2
的相关系数， , 为不等于零的常数。 六、证明题（20 分） 如果随机变量序列 X 1 , X 2 ,..., X n ,... 满足
lim
n 1 D ( Xk) 0 n n 2 k 1
则对任给 m P X k E ( X k ) 1 n n k 1 n k 1
七、计算题（20 分） 设总体 X 服从 [a, b] 上的均匀分布，其中 a, b 是未知参数。( X 1 , X 2 ,..., X n ) 是 来自总体 X 的样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求参数 a, b 的估计。 八、综合题（20 分） 针对一元线性回归模型：
青岛大学432统计学2015到2017三套考研真题
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青岛大学2015年硕士研究生入学考试试题 科目代码： 432 科目名称： 统计学 （共4页） 请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
一、填空题（30分，每题3分）
1、要了解一个城市居民的平均消费情况，最适合的调查方式是（ ）。
2、设总体X ～) ,(2σμN ，x 为样本均值，s 为样本标准差。
当σ未知， 且为小样本时，则n s x μ
-服从自由度为（ ）的（ ）分布。
3、属于位置型平均数的有中位数和（ ）。
4、平均指标反映了总体分布的（ ）。
5、若A 组青年的体重均值是55公斤，标准差为4.2公斤，离散系数为
7.6%；B 组青年体重均值为48公斤，标准差为3.9公斤，离散系数为8.1%，则（ ）组青年体重差异大于 （ ）组青年。
6、相关系数的取值范围是（ ）。
7、可决系数的取值范围是（ ）。
8、参数估计量优劣的三个标准是（ ）。
9、一个口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ）。
10、设X 与Y 相互独立，且2)(=X E ，3)(=Y E ，1)()(==Y D X D ，则
])[(2Y X E -等于（ ）。
二、单项选择题（15分，每题3分）
1、一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为（ ）。
04183概率论与数理统计(经管类)2015年真题2套及标准答案
全国高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）2015年10月真题(课程代码：04183)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1.设事件A 与B 互不相容，且P(A)=0.4，P(B)=0.2，则P(A∪B)=（ ）A.0B.0.2C.0.4D.0.62.设随机变量X ～B(3,0.3)，则p={X-2}=（ ） A.0.189 B.0.21 C.0.441 D.0.73.设随机变量X 的概率密度为( )=⎩⎨⎧≤≤=a x ax x f ，则常数其他,,0,10,)(2 A.0 B.31 C. D.3214.设随机变量X 的分布律为( ){}==-12.06.02.01012X P P X ，则 A.0.2 B.0.4C.0.6D.0.85.设二维随机变量(x,y)的分布律为( ){}==11.02.01.013.02.01.00210\X P YX 则 A.0.1 B.0.2C.0.3D.0.46.设随机变量X ～N(3，)，则E(2X+2)=( )22 A.3 B.6 C.9 D.157.设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y 服从参数为的指数分布，且X,Y51互相独立，则D(X-2Y+1)=( ) A.23 B.28C.103D.1048.已知X 与Y 的协方差Cov （X,Y ）=，则Cov （-2X,Y ）=( )21- A. B.021- C. D.1219.设为总体X 的一个样本，且为样本均值，)2(,...,,21＞n x x x n ，未知)()(μμ=X E x 则的无偏估计为( )μ A. B.x n xC. D.x n )1(-x n )1(1-10.设a 是假设检验中犯第一类错误的概率，为原假设，以下概率为a 的是( )0H A. B.{}不真接受00|H H P {}真拒绝00|H H P C. D.{}不真拒绝00|H H P {}真接受00|H H P 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）11.袋中有编号为0，1，2，3，4的5个球，从袋中任取一球，取后放回；再从袋中任取一球，则取到两个0号球的概率为_____.12.设A,B 为随机事件，则事件“A,B 至少有一个发生”可由A,B 表示为_____.13.设事件A,B 相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则=_____.)(B A P 14.设X 表示某射手在一次射击命中目标的次数，该射手的命中率为0.9，则P{x=0}=_____.15.设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则P{X ＞2}=_____.16.设二维随机变量(X,Y)的分布律为则c=_____.cYX 2561256259010\17.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则P{X≤0，Y≤0}用F(x,y)表示为_____.18.设二维随机变量(X,Y)服从区域D:-1≤x≤2,0≤y≤2的均匀分布，则(X,Y)概率密度f(x,y)在D 上的表达式为_____.19.设X 在区间[1,4]上服从均匀分布，则E(X)_____.20.设,则D(X)=_____.⎪⎭⎫⎝⎛515～B ，X 21.设随机变量X 与Y 的协方差Cov(X,Y)=,E(X)=E(Y)=1,则E(XY)=_____.21-22.设二维随机变量(X,Y)服从区域D:0≤x≤4,0≤y≤4上的分布，则____.=+)(22Y X E 23.设总体X ～N(0，1)，为来自总体X 的一个样本，且123x x x ，，，则n=______.2222123~()x x x n χ++24.设X ～N(0,1)，Y ～(10)，且X 与Y 互相独立，则_____.2X =10/Y X25.设某总体X 的样本为_____.=⎪⎭⎫⎝⎛=∑-n i l n x n D X D x x x 12211,)(,,...,,则σ三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.已知甲袋中有3个白球、2个红球；乙袋中有1个白球、2个白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
2015年10月自考概率论与数理统计(二)试题及答案解析
2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试概率论与数理统计(二) 试卷本试卷共4页。
满分l00分，考试时间l50分钟。
考生答题注意事项：1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。
答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸. 2．第一部分为选择题。
必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑. 3．第二部分为非选择题必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。
4．合理安排答题空间。
超出答题区域无效。
第一部分选择题一、单项选择题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。
请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。
未涂、错涂或多涂均无分。
1．设事件4与B互不相容，且P(A)=0．4，P(B)=0．2，则P(A∪B)=A．0 B．O．2 C．O．4 D．O．62．设随机变量X～B(3，0.3)，则P{X=2}=A．0．1 89 B．0．2l C．0．441 D．0．7A．0．2 B．0．4 C．0．6 D．0．85．设二维随机变量(X,Y)的分布律为6．设随机变量X～N(3，22)，则E(2X+3)=A．3 B．6 C．9 D．157．设随机变量X，Y，相互独立，且，Y在区间上服从均匀分布，则第二部分非选择题二、填空题(本大题共l5小题。
每小题2分，共30分)请在答题卡上作答。
11．袋中有编号为0，l，2，3，4的5个球．今从袋中任取一球，取后放回；再从袋中任取一球，则取到两个0号球的概率为_______．12．设A,B为随机事件，则事件“A,B至少有一个发生”可由A，B表示为_______．13．设事件A,B相互独立，且P(A)=0．3，P(B)=0．4．则= _______．14．设X表示某射手在一次射击中命中目标的次数，该射手的命中率为0．9，则P{X=0}= _______．15．设随机变量X服从参数为单科自考包过：qq:18606240单科自考包过：qq:186062401的指数分布，则= _______．16．设二维随机变量(X，Y)的分布律为则c= _______．17．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(0，0;1，l；0)，则(X,Y)的概率密度F(x,y)= _______.18．设二维随机变量(X,Y)服从区域D：-l≤x≤2，0≤y≤2上的均匀分布，则(X,Y) 的概率密度f(x,y)在D上的表达式为_______．19．设X在区间上服从均匀分布，则E(X)= _______．20．设的= _______．21．设随机变量x与y的协方差= _______．22．在贝努利试验中，若事件A发生的概率为P(0<p<1)，今独立重复观察n次，记三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共l6分)请在答题卡上作答。
2015考研数学二真题及答案
2015考研数学二真题及答案在2015年考研数学二的真题中，有一道关于概率统计的题目，让考生进行推理和计算。
以下是该题目的详细描述和解答方法。
题目描述：某公司的员工年龄分布服从正态分布，且平均年龄为30岁，标准差为4岁。
现从该公司随机抽取10名员工，请计算抽到的这10名员工年龄的平均值大于32岁的概率。
解答方法：该题目要求计算抽到的这10名员工年龄的平均值大于32岁的概率。
首先，我们知道正态分布的随机变量服从正态分布，且满足以下两个参数：均值（mean）和标准差（standard deviation）。
我们已知平均年龄为30岁，标准差为4岁。
因此，我们可以使用正态分布的公式来计算概率。
正态分布的公式如下：P(X > x) = 1 - P(X ≤ x)其中，P(X > x)表示大于x的概率，P(X ≤ x)表示小于等于x的概率。
根据题目要求，我们需要计算抽到的这10名员工年龄的平均值大于32岁的概率。
现在我们需要进行一些计算来得出答案。
我们知道，抽到的这10名员工年龄的平均值服从正态分布。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布接近正态分布。
根据题目中的条件，我们可以将问题转化为计算样本均值大于32岁的概率。
根据中心极限定理，样本均值的分布服从正态分布，且其均值等于总体均值，标准差等于总体标准差除以样本容量的平方根。
因此，我们可以使用正态分布的标准化公式来计算概率：Z = (X - μ) / (σ / √n)其中，Z为标准化的变量，X为样本均值，μ为总体均值，σ为总体标准差，n为样本容量。
根据题目中的条件：X = 32，μ = 30，σ = 4，n = 10代入上述公式，我们可以计算出Z的值为：Z = (32 - 30) / (4 / √10) = 1.58现在，我们需要计算Z大于1.58的概率。
我们可以查找标准正态分布表或使用计算器来得出该概率值。
假设得出的概率值为P(Z > 1.58) = 0.0571根据题目要求，我们需要计算抽到的这10名员工年龄的平均值大于32岁的概率。
2015-2016学年第一学期概率论与数理统计阶段测验(二)试卷答案
北 京 交 通 大 学2015~2016学年第一学期概率论与数理统计阶段测验（二）试卷参 考 答 案一．（本题满分10分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎩⎨⎧<<<-=其它0101,y x y c y x f ⑴ 求常数c （5分）；⑵ 求概率{}1<+Y X P （5分）． 解：⑴ 由密度函数的性质：()1,=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得()()⎰⎰⎰⎰-==+∞∞-+∞∞-y dx y c dy dxdy y x f 011,1()()6312111210cc dy y y c ydy y c =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=⎰⎰，由此得6=c ． ⑵ {}()⎰⎰<+=<+1,1y x dxdy y x f Y X P()⎰⎰⎰-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=2101212102616dx y y dy y dx xx y x x ()434121321321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰dx x ．二．（本题满分10分）设随机变量Y 服从参数为1=λ的指数分布，定义随机变量k X ，()2,1=k 如下：⎩⎨⎧>≤=k Y kY X k 10 求二维随机变量()21,X X 的联合分布列．解：由题设，得随机变量Y 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0x x e y f y． ()()()()111121112,100---∞--=-===≤=≤≤===⎰⎰e e dy e dy yf Y P Y Y P X X P y y ，()()()02,11021=∅=>≤===P Y Y P X X P ，()()()()2121212121112,101-----=-===≤<=≤>===⎰⎰e e edy e dy y f Y P Y Y P X X P y y，()()()()22222122,111-∞+-+∞-+∞=-===>=>>===⎰⎰e e dy e dy yf Y P Y Y P X X P yy ．因此，()21,X X 的联合分布列为三．（本题满分12分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它01421,22y x y x y x f ．⑴ 求随机变量X 及Y 各自的边缘密度函数()x f X 与()y f Y （8分）；⑵ 判断随机变量X 与Y 是否相互独立（4分）？ 解：⑴ 当11<<-x 时， ()()()4212212182121421421,22x x y x ydy x dyy x f x f x x X -=⋅===⎰⎰+∞∞-， 所以，随机变量X 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其它11182142x x x x f X ．当10<<y 时， ()()2523322724731421421,y y y y y ydy x dx y x f y f yyyyY =⋅=⋅===--+∞∞-⎰⎰， 所以，随机变量Y 的边缘密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它102725y yx f X ． ⑵ 因为()()()y f x f y x f Y X ≠,，所以随机变量X 与Y 不独立．四．（本题满分12分）设随机变量X 与Y 相互独立，下表给出()Y X ,的联合分布列及X 与Y 各自的边际分布的某些取值：试计算该表的其它数值． 解：()()()2418161,,12111=-===-====y Y x X P y Y P y Y x X P ， ()()()4161241,1111=======y Y P y Y x X P x X P ，()()()()1218124141,,,2111131=--===-==-====y Y x X P y Y x X P x X P y Y x X P ， ()()()214181,1212=======x X P y Y x X P y Y P ，()()()3141121,1313=======x X P y Y x X P y Y P ，()()43411112=-==-==x X P x X P ，()()()838121,,21222=-===-====y Y x X P y Y P y Y x X P ， ()()()4112131,,31332=-===-====y Y x X P y Y P y Y x X P ．表中其余各值如下表所示：可以验证，对于上述表中各值，X 与Y 相互独立．五．（本题满分12分）将3个球随机地放入4个杯子中．令X 表示杯子中球的最大个数．求：⑴ X 的分布列（6分）；⑵ X 的数学期望()X E 与方差()X D （6分）． 解：⑴ X 的可能取值为3,2,1．且{}8341334===P X P ．{}1614433===X P ．{}{}{}1691618313112=--==-=-==X P X P X P ．所以，随机变量X 的分布列为⑵ ()1616316281=⨯+⨯+⨯=X E ．()1651161316928312222=⨯+⨯+⨯=X E ．因此，()()()()2568716271651222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D ． 六．（本题满分10分）记掷n 颗均匀的骰子点数之和为X ，求()X E （5分）与()X var （5分）． 解：以k X 表示掷第k 颗均匀的骰子出现的点数，()n k ,,2,1 =，则随机变量n X X X ,,,21相互独立，而且同分布，∑==nk k X X 1．k X 的分布列为所以，(){}27621616161====⋅=∑∑==k k k k k X P k X E ． (){}691616126122===⋅=∑∑==k k kk k X P k XE所以，()()()()1235273691var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=k k k X E X E X ．因此，()()n X E X E X E nk nk k n k k 2727111===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===．再由n X X X ,,,21 的相互独立性，得()()n X X X nk nk k n k k 12351235var var var 111===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===．七．（本题满分14分）一射手进行射击，击中目标的概率为p ()10<<p ，射击直至击中2次目标时为止．令X 表示首次击中目标所需要的射击次数，Y 表示总共所需要的射击次数． ⑴ 求二维随机变量()Y X ,的联合分布律（6分）． ⑵ 求随机变量Y 的边缘分布律（4分）．⑶ 求在n Y =时，X 的条件分布律．并解释此分布律的意义（4分）． 解：⑴ 随机变量Y 的取值为 ,4,3,2；而随机变量X 的取值为1,,2,1-n ，并且 (){}次第次，第二次命中目标在第一次命中目标在第n m P n Y m X P ===, 2211p q p q p q n m n m ----=⋅=， （其中p q -=1） ()1,,2,1;,4,3,2-==n m n ．⑵ ()()()221122111,p q n p q n Y m X P n Y P n n m n n m --=--=-======∑∑，() ,4,3,2=n ． 即随机变量Y 的边缘分布律为()()221p q n n Y P n --== () ,4,3,2=n ．⑶ 由于()()()()111,2222-=-=======--n p q n p q n Y P n Y m X P n Y m X P n n 因此在n Y =时，X 的条件分布律为 ()11-===n n Y m X P ()1,,2,1-=n m 这表明，在n Y =的条件下，X 的条件分布是一个“均匀”分布．它等可能地取值1,,2,1-n ．八．（本题满分10分）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布()1,0N ．令随机变量22Y X Z +=．⑴ 试求随机变量Z 的密度函数()z f Z （6分）．⑵ 试求()Z E （4分）．⑴ 由题意，得()2221x X ex f -=π ()∞<<∞-x ， ()2221y y ey f -=π()∞<<∞-y ．设随机变量22Y X Z +=的分布函数为()z F Z ，则(){}{}z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=22当0≤z 时，(){}()022=∅=≤+=P z Y X P z F Z ；当0>z 时，(){}()()⎰⎰≤+=≤+=zy x YXZdxdy y f x f z Y XP z F 2222⎰⎰≤++-=zy x y x dxdy e 2222221π作极坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，则有()⎰⎰⎰--==zr zr Z rdr erdr ed z F 022202221πθπ所以，随机变量22Y X Z +=的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-000022z z rdre z F z rZ所以，随机变量22Y X Z +=的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-0022z z zez F z f z Z Z ⑵ ()()⎰⎰⎰∞+-+∞-∞+-∞+∞-+-===2222222dz ezedz e zdz z f z Z E z z z z222212222ππ====⎰⎰+∞∞--+∞-dz e dz ez z ． 九．（本题满分10分）设G 是由X 轴、Y 轴及直线022=-+y x 所围成的三角形区域，二维随机变量()Y X ,在G 内服从均匀分布．① 求X 与Y 的相关系数（6分）；② 计算概率{}X Y P ≥（4分）．（1） 由于区域G 的面积为1，因此()Y X ,的联合密度函数为()()()⎩⎨⎧∉∈=Gy x G y x y x f ,,1,．当10<<x 时，()()()x dy dy y x f x f xX -===⎰⎰-+∞∞-12,220，所以，()()⎩⎨⎧<<-=其它01012x x x f X ．当20<<y 时，()()21,210ydy dx y x f y f yY -===⎰⎰-∞+∞-， 所以，()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它2021y y y f Y ．()()()3131212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E X ， ()()32212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y y dy y yf Y E Y ， ()()()6141312121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x XE X，()()32212222=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y ydy y f y Y E Y，所以，()()()()1813161var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X ，()()()()923232var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y ， ()()⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-⋅===1220222012,dx y x xydy dxdxdy y x xyf XY E xx，()()6121324122212123102=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x ，所以，()()()()181323161,cov -=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ．()()()2192181181var var ,cov ,-=-==Y X Y X YX ρ．（2） {}()()()2123232,1121=-=-===≥⎰⎰⎰⎰⎰-≥dx x dy dxdxdy y x f X Y P x xxy ．。
【青岛大学2012年考研专业课真题】概率论及数理统计(2)2012
p( ) ～ N ( , 2 ) ， , 2 为未知参数， （ 1 , 2 ,..., n ） 是来自总体 的一个样本，问：
2
1） , 2 的矩估计； 2） , 2 的极大似然估计； 3）以上两个估计是否无偏估计？若不是如何修正？ 七、 （本题 20 分） 对于多元线性回归模型：
yi 0 1 xi1 ... p xip i , i 1,2,..., n 各 i 相互独立且服从N (0, 2 )分布
试推导多元回归模型参数向量的最小二乘估计表达式，并给出 2 的无偏 估计表达式。
3
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志，问： 1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率； 2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为追溯产品质量 责任，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？ 三、 （本题 25 分）
（，） 设二维随机变量 具有密度函数
Ce 2( x y ) , 0 x ,0 y p ( x, y ) ，试求： 其它 0,
i
pi
2000 0.2
3000 0.3
4000 0.5
计算上述赔款总量 S 的 ES 及 DS 。 五、 （本题 20 分） 1）设 是非负连续型随机变量，证明：对 x 0 ，有
p( x) 1 E x
r
2）若对连续型随机变量 ，有 E (r 0) ，证明：
1）常数 C； 2) 分布函数 F ( x, y) ；
1
3）边际分布函数 F（ x), F ( y ) 及相应的边际密度； 4）求 落在区域 G ( x, y) : x 0, y 0, x y 1内的概率。 （，） 四、 （本题 25 分） 假设某险种在投保时期内一共发生了 N 次赔款， i 表示第 i 次赔款额， 则相应的赔款总量为： S 1 2 ... N ，其中 N 为取非负整数值的随 机变量，1， 2， ..., N 具有相同的分布函数，且 N，1， 2， ..., N 相互独立， 试求： 1）赔款总量 S 的数学期望 ES 及方差 DS ； 2）若 N 服从参数 3 的泊松分布，第 i 笔赔款额 i 的分布列为
青岛大学2015年硕士研究生入学考试(概率论及数理统计(2))试题
青岛大学 2015 年硕士研究生入学考试试题科目代码：852 科目名称：概率论及数理统计（2）（共 3 页）请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效一、解释概念（30 分，每题 6 分）（1）古典概型与几何概型（2）条件分布与条件期望（3）依概率收敛与分布收敛（4）估计统计量与检验统计量（5）相关分析与回归分析二、计算题（20 分）某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的 15%，20%，30%，35%，又这四条流水线的次品率依次为 5%，4%，3%，2%，问：（1）现从出厂产品中任取一件，问恰好取到次品的概率为多少？（2）在出厂产品中随机地取一件产品发现是次品，为进行产品质量追溯，此次品出自第 1 条流水线生产的概率是多少？三、计算题（20 分）设有 A，B 两种不相关的证券，它们的收益与概率如下表：问：（1）应如何投资这两种证券最佳？（2）若这两种证券相关，相关系数ρA,B =-0.5，结果又如何？四、证明题（20 分）若对连续型随机变量ξ，有 E ξrE ξrp(ξ>ε)≤εr并由此验证切比雪夫不等式成立！< +∞ (r>0)，证明：五、计算题（20 分）设随机变量ξ的密度函数为：⎧ax,0 <x< 2p(x)=⎪cx + b, 2≤ x <4⎨⎪x ≤0 or x ≥40,⎩且已知 E(ξ)=2,p{1<ξ<3}=43，试求：（1）a，b，c的值；（2）随机变量η=eξ的数学期望与方差。
六、计算题（20 分）2η服从对数正态分布，（1）设随机变量η服从分布N (μ,σ) ，则ξ=e求此对数正态分布密度；（2）设（ξ1,ξ2,...,ξn)是取自上述对数正态分布的母体ξ的一个子样，分别求μ,σ2的极大似然估计。
七、计算题（20 分）某居民小区进行了两次城镇职工收入调查，抽样记录可支配收入情况如下（千元）：第一次：第二次：n= 10,x =27.3,s*= 6.4 11n= 8,y =30.5,s*= 3.8 22若城镇职工可支配收入服从正态分布，试检验：（1）两次抽样调查结果的方差是否有显著差异？（2）两次抽样调查结果的数学期望是否有显著差异？（已知α= 0.05, F0.025(9,7) = 4.82, F0.975(9,7) = 0.283, t0.025(16) = 2.1199 ）。
青岛大学概率论及数理统计2013年考研真题考研试题硕士研究生入学考试试题
1青岛大学2013年硕士研究生入学考试试题科目代码：619科目名称：概率论及数理统计（共3页）请考生写明题号，将答案答在答题纸上，答在试卷上无效
一、概念题（每题8分共40分）
1、基本事件（8分）
2、概率的公理化定义（8分）
3、全概率公式（8分）
4、概率密度函数的基本性质（8分）
5、特征函数（8分）
二、填充题（每题4分共20分）
1、（4分）设A 和B 是相互独立的随机事件，()0.5p A =，()0.7p B =，则()p A B =∪。
2、(4分)随机变量ξ的数学期望()5E ξ=,标准差()2σξ=，则2()E ξ=。
3、（4分）设随机变量X 在区间（0,2）上服从均匀分布，则随机变量2Y X =在区间（0,4）上的概率密度为()Y f y =。
4、（4分）甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________。
5、（4分）设总体X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,
0,10,)1()(x x x f θθ1−>θ.n X X X ,,,21⋯是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________。
三、选择题（每题3分共15分）
1、设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有
（A）()()()1P C P A P B ≤+−（B）()()
P C P A B ≤∪（C）()()()1P C P A P B ≥+−（D）()()
P C P A B ≥∪。
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p( ) r
并由此验证切比雪夫不等式成立！ 五、计算题（20 分）
设随机变量 的密度函数为：
ax, 0 x 2 p(x) cx b, 2 x 4
0, x 0 or x 4
且已知 E( ) 2, p1 3 4 ，试求：
二、计算题（20 分） 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女
生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份。随机地（等可能）取一个地区的报 名表，从中先后抽出两份，问：
1）先抽取的一份是女生表的概率； 2）当已知后抽到的一份是男生表，此时先抽到的一份是女生表的概 率又该如何?
科目代码: 852 科目名称:概率论及数理统计(2)（共 2 页） 请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
四、证明题（20 分）
写出并证明切比雪夫不等式成立。
五、计算题（20 分） 假设 与 相互独立，分别服从参数为 1 的指数分布，求 的
分布密度。
六、计算题（20 分）
设随机变量 X 的分布函数为
2
青岛大学 2017 年硕士研究生入学考试试题
科目代码：852 科目名称：概率论及数理统计（2）（共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答试卷上无效
一、简答题（20 分）
1. 请写出全概率公式和贝叶斯公式。 2. 请写出随机变量的两种收敛性。 3. 请简述总体 N（µ，σ²）均值µ置信区间的求解过程。（σ²已知） 4. 请说明估计量的评价标准。
三、计算题（20 分）
设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在区间（0，1）上服从均匀分布，Y
的概率密度为
fY
(
y)
1 2
ey
/
2,
y0
0,
y0
（1）求 X 和 Y 的联合概率密度。
（2）设含有 a 的二次方程为 a2 2 Xa Y 0 ，试求 a 有实根的概率。 （ （1）=0.8413， （0）=0.5）
青岛大学 2015 年硕士研究生入学考试试题
科目代码：852 科目名称： 概率论及数理统计（2）（共 3 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
一、解释概念（30 分，每题 6 分）
（1）古典概型与几何概型 （2）条件分布与条件期望 （3）依概率收敛与分布收敛 （4）估计统计量与检验统计量 （5）相关分析与回归分析
F(x;
)
1
1 x
,
x
1
0,
,x 1
其中参数 1。设 X1, X 2 ,..., X n 是来自总体 X 的样本，问：
1） 未知参数 的矩估计；
2） 未知参数 的极大似然估计。
七、计算题（20 分） 有甲、乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人试验分析的结
二、计算题（20 分）
某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总 产量的 15%，20%，30%，35%，又这四条流水线的次品率依次为 5%， 4%，3%，2%，问：
（1）现从出厂产品中任取一件，问恰好取到次品的概率为多少？ （2）在出厂产品中随机地取一件产品发现是次品，为进行产品质量追溯， 此次品出自第 1 条流水线生产的概率是多少？
4
5
6
7
8
甲检验员 4.3 3.2 3.8 3.5 3.5 4.8 3.3 3.9
乙检验员 3.7 4.1 3.8 3.8 4.6 3.9 2.8 4.4
试问甲、乙两个检验员的试验分析结果之间有无显著差异？ （已知 0.10, F0.95 (7,7) 0.264, F0.05 (7,7) 3.79, t0.05 (14) 1.7613)
三、计算题（20 分）
设有 A，B 两种不相关的证券，它们的收益与概率如下表：
类型
收益（元）
-30 证券 A
30 -20 证券 B 40
问： （1）应如何投资这两种证券最佳？
概率 1/3 2/3 1/2 1/2
1
（2）若这两种证券相关，相关系数 A,B 0.5 ，结果又如何？
四、证明题（20 分）
3
青岛大学 2016 年硕士研究生入学考试试题
科目代码: 852 科目名称:概率论及数理统计(2)（共 2 页） 请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
一、解释概念（30 分） 1）古典概型与伯努利概型 2）条件分布与条件期望 3）依概率收敛与分布收敛 4）矩估计与极大似然估计 5）方差分析与回归分析
3 （1） a，b，c 的值；
（2）随机变量 e 的数学期望与方差。
六、计算题（20 分）
（1）设随机变量 服从分布 N(, 2 ) ，则 e 服从对数正态分布， 求此对数正态分布密度；
（2）设（ 1,2 ,...,n ) 是取自上述对数正态分布的母体 的一个子样，分 别求 , 2 的极大似然估计。
三、计算题（20 分） 设有 A,B 两种证券，它们的收益与概率如下表：
类型
收益（元）
概率
证券 A
-30
1/3
30
2/3
证券 B
-20
1/2
40
1/2
问：
1）若这两种证券相关系数为 ，如何投资这两种证券最佳？
2）取 0 和 0.75 进行结果对比分析，得到什么结论？
1
青岛大学 2016 年硕士研究生入学考试试题
七、计算题（20 分） 某居民小区进行了两次城镇职工收入调查，抽样记录可支配收入情况
如下（千元）：
2
第一次： n1 10, x 27.3, s1* 6.4 第二次： n2 8, y 30.5, s2* 3.8 若城镇职工可支配收入服从正态分布，试检验： （1）两次抽样调查结果的方差是否有显著差异？ （2）两次抽样调查结果的数学期望是否有显著差异？ （已知 0.05, F0.025(9,7) 4.82, F0.975(9,7) 0.283,t0.025(16) 2.1199 ）
二、计算题（20 分）
某设备,在危险发生时,开关闭合发出警报。可以利用两个或多个开关并联改善 设备抵御危险的能力（危险发生时，有一个开关闭合，警报就发出）。（1）若并联 两个开关，且单个开关在危险发生时闭合的概率为 0.96，问设备抵御危险的概率 是多少？（2）要使设备抵御危险的概率为 0.9999 以上，需要至少并联多少个开关？ （各开关闭合与否相互独立）