谓词逻辑习题解

数理逻辑习题解二

1.设个体域是整数集合，请利用给出的谓词将下列命题符号化。

N(e)：e是自然数（不包括0）。

P(e)：e是素数。

Q(e)：e是偶数。

E(e1,e2)：e1=e2。

L(e1,e2)：e1≤e2。

D(e1,e2)：e1|e2。（即e1整除e2）

a)凡素数均为自然数。

b)没有最大的素数。

c)有些自然数不是素数。

d)并非所有的素数都不是偶数。

e)偶素数只有2。

f)一个自然数是素数的充要条件是除1之外，该数不能被其它任何小于它的自

然数整除。

[解]a)∀x(P(x)→N(x))。

b)⌝∃x(P(x)∧∀y(P(y)→L(y,x)))。

c)∃x(N(x)∧⌝P(x))。

d)⌝∀x(P(x)→⌝Q(x))。

e)∀x(P(x)∧Q(x)→E(x,2))。

f)∀x(N(x)→(P(x)↔⌝∃y(N(y)∧⌝E(y,1)∧⌝E(y,x)∧L(y,x)∧D(y,x))))。

2.利用上题给出的各谓词，用自然语言表达下述命题。

a)∀x(Q(x)→D(2,x))

b)∃x(N(x)∧D(x,9))

c)∀x∀y(N(x)∧N(y)∧D(x,y)∧D(y,x)→E(x,y))

d)⌝∃x(N(x)∧∀y(N(y)→L(y,x))

e)∀x(P(x)→∀y(N(y)∧D(y,x)→E(y,x)∨E(y,1)))

f)∀x(N(x)∧⌝P(x)→∃y(⌝E(y,x)∧⌝E(y,1)∧D(y,x)))

[解]a)凡偶数都能被2整除。

b)存在着能整除9的自然数。

c)两个能互相整除的自然数相等。

d)没有最大的自然数。

e)凡素数的因数只有1和自身。

g)凡合数必有不是1和自身的因数。

3.符号∃!称为唯一性量词，即∃!x A(x)为真当且仅当存在唯一的x，使得A(x)为真。请

用量词∀，∃和相等=来表达∃!x A(x)。

[解]1)∃!x A(x)=Df∃x(A(x)∧∀y(A(y)→y=x))。

2)∃!x A(x)=Df∃x A(x)∧∀x∀y(A(x)∧A(y)→x=y)

3)∃!x A(x)=Df∃x∀y(A(y)↔y=x)

注:可以证明上述三种表达式是等价的。

4.将下列命题符号化。

a)猫是动物，但有些动物不是猫。

b)没有不犯错误的人。

c)闪光的未必是金子。

d)并非所有的金属都能溶于某种液体中。

e)每个人都有自己喜欢的职业。

f)有些职业是所有的人都喜欢的。

g)如果我们班有人迟到，全班的人都会看他一眼。

h)如果天气不好，则有些人不会按时到。

i)张华是我们班学习成绩最好的。

j)他最高能得第二名。

（提示：最后两个命题要用相等词=。）

[解]a)令：C(e)：e是猫(cat)

A(e)：e是动物(animal)

形式化：∀x(C(x)→A(x))∧∃x(A(x)∧⌝C(x)) 。

b)简单化：令：P(e)：e是人(person)

W(e)：e犯错误(wrong)

形式化：⌝∃x(P(x)∧⌝W(x));

复杂化：令：P(e)：e是人(person)

V(e1,e2)：e1犯e2(violate)

W(e)：e是一种错误(wrong)

形式化：⌝∃x(P(x)∧∀y(W(y)→⌝V(x,y)))。

c)令：F(e)：e闪光(flash)

G(e)：e是金子(gold)

形式化：⌝∀x(F(x)→G(x))。

d)简单化：令：M(e)：e是金属(metal)

L(e):能溶于某种液体中(liguid)

形式化：⌝∀x(M(x)→L(x))。

复杂化：令：M(e)：e是金属(metal)

L(e)：e是一种液体(liguid)

D(e1,e2)：e1能溶于e2中(dissolve)

形式化：⌝∀x(M(x)→∃y(L(y)∧D(x,y)))。

e)简单化：令：P(e)：e是人(person)

O(e)：e有自己喜欢的职业(occupation) 形式化：∀x(P(x)→O(x))。

复杂化：令：P(e)：e是人(person)

L(e1,e2)：e1喜欢e2(like)

O(e)：e是一种职业(occupation)

形式化：∀x(P(x)→∃y(O(y)∧L(x,y)))。

f)令：P(e)：e是人(person)

L(e1,e2)：e1喜欢e2(like)

O(e)：e是一种职业(occupation)

形式化：∃x(O(x)∧∀y(P(y)→L(y,x)))。

g)令：C(e)：e是我们班的一名同学(classmate)

L(e)：e迟到了(late)

S(e1,e2)：e1看e2一眼(see)

E(e1,e2)：e1=e2(eguality)

形式化：∀x(C(x)∧L(x)→∀y(C(y)∧⌝E(y,x)→S(y,x)))。

h)令：W：天气好(weather)

P(e)：e是人(person)

T(e)：e按时到(on time)

形式化：⌝W→∃x(P(x)∧⌝T(x))。

i)令：C(e)：e是我们班的同学(classmate)

B(e1,e2)：e1的成绩优于e2的成绩(be better then)