离散系统的Z域分析

系统函数
例1： 6y(k) – 5y(k – 1) +y(k – 2)= f(k) y( –1)= - 6，y(– 2)= – 20，f(k) = 10cos(0.5k)(k)。求y(k)
Y (z)
5y(1) y(2) y(1)z1 6 5z1 z2
6
1 5z1
z 2
F(z)
Y
(z)
10z2 6z2 5z
k
k
f
k k 1 2
2 F1 e j
e jk d
Z 平面
f k 1
2
2 F1
e j
( e j )k d
z = e j
令 z = e j、d = z-1dz/j，有 F (z)
f k zk
k
双边z变换对
f
(k)
1
2
j
F
z
z k 1dz
2、由L－T到Z－T
k 0
y自由 (k)、 y瞬态 (k)
y强迫 (k)、y稳态(k)
例 1 y (k) + 0.5y (k-1) = f (k) + 2 f (k-1) f (k) =2 cos(k/3), k≧0
求，系统零状态响应和稳态响应。
F(z)
2 z2
z2 z cos( / 3) 2z cos( / 3) 1
k
z
例：求序列
的z变换。
七、k域反转(仅适用双边z变换） f( –k) ←→ F(z-1)
八、部分和
k f (i) z F (z)
i
z 1 k
f (k) * (k) f (i) (k i) f (i)
z
F(z)
i
i
z 1
例:
九、初值定理和终值定理
初值、终值定理适用于右边序列，即适用于k<M(M为 整数)时f (k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初 值f (M), f (M+1),…或终值f (∞), ，而不必求得原序列。
三、序列乘ak(z域尺度变换) akf(k) ←→ F(z/a) , a<z<a
四、卷积定理 f1(k)*f2(k) ←→ F1(z)F2(z) 五、序列乘k（z域微分）
六、序列除(k+m)(z域积分）
f (k) zm km
z
F
( )
m1
d
km0
(k+ m )<0 ??
f (k) F () d k>0
66
2
3
h(k)=[3(1/2)k –2(– 1/3)k](k)
y(k) 1 y(k 1) 1 y(k 2) f (k) 2 f (k 1)
6
6
m
二、系统函数与z域框图
H
(
z
)
def
Yf
(
z
k 0
F (z) ze j |z|> a
由收敛坐标a的值（F(z)的极点位置）：
（1） a <1，即F(z)的极点均位于单位园内，则F (e j ) F (z) ze j
1 3
k
k
z
z 1/
3
1 3
k
k
e
j
e j 1
/
3
（2） a =1 ，即F(z)的收敛边界为单位园、即、极点在单位园上：
F(z)
K1 e j z
z e j
K1 e j z
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k)，… …
(3) F(z)有重极点 推导记忆：
k(k 1).....(k r 2) akr1 (k)
(r 1)!
z>
两边对a求导
再对a求导
例：已知象函数 F(z) z3 z 2
F(z)
B(z) A( z )
bm z m bm1z m1 ..... b1z b0 z n an1z n1 ..... a1z a0
式中m≤n
（1）F(z)均为单极点，且不为0
F(z) K0 K1 .... Kn
z
z z Leabharlann Baidu1
z zn
F ( z )
K0
n i 1
Ki z z zi
f (k)zk
k
k
⑴ 有限序列 f(k) k ∈[ k1 , k2 ] 0<= z =<∞
(k) ←→ 1 全z平面 (k+1)+ (k-2) ←→ Z + Z-2 0< z < ∞
(k+3)←→ Z3 z < ∞ (k)+ (k-2) ←→ 1 + Z-2
⑵ 右边序列 f(k) k ∈[ k1 , ∞ ] < z =<∞
一、差分方程的变换解 二、系统函数与z域框图
7.5 系统函数零、极点与系统特性
一、系统函数与时域特性 二、系统函数与频域特性 三、系统的因果性与稳定性
7.1 z 变换
收敛域问题
一、z 变换的引出
1、由DTFT到Z－T
f(k) - k 的DTFT存在
f k e k jk
f k [e j ] k F1 e j
取样信号： fS (t) f (t)T (t) f (kTs ) (t kTs )
k
两边取双边拉普拉斯变换，得 FSb (s)
f (kT ) ekTs S
k
令 z = e S Ts，f (kT) →f (k) ，得 F (z) f (k )zk
又、序列f(k)的单边z变换
二、s域与z域的关系***
ak (k) bk (k 1) z z ∣a∣< |z|< |b|
za zb
jIm[z]
|b|
|a|
o
Re[z]
四、常用 z 变换
(k+1) ←→z; (k-1) ←→z-1;……
(k) ←→1 (k) ←→z/(z-1) ←→ - (- k-1)
零、极 点分布
k k z k k 1
例2： 已知当输入f(k)=(– 1/2)k(k)时，其零状态响应
yf
(k)
[3 (1)k 22
4( 1)k 3
9 ( 2
1 )k ] (k)
2
求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。
解 H(z) Yf (z) z2 2z 3z 2z
F(z) z2 1 z 1 z 1 z 1
第七章 离散系统的Z域分析
离散频域分析以虚指数信号ej k为基本信号，任意 信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响 应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在DTFT，如(2)k(k); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。
在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题。
6z 1
6z2
z2 5z
1
10 z 2 z2 1
z 8 z z 1 z z2 z
z
1 2
3
z
1 3
z
1 2
3
z
1 3
z2 1
yzi (k)
yzs (k)
F(z)
10 z 2 z2 1
y(k)
1 2
k
8 3
1 k 3
1 2
k
1 1 k 3 3
cos
k
2
sin
k
2
ak (k) ak zk
z
k 0
za
∣a∣< z
0< z
jIm[z]
|a|
o
Re[z]
⑶ 左边序列 f(k) k ∈[-∞ , k2] <= z <
bk (k 1)
1
(bz1)k
z
k
zb
|z|< |b|
jIm[z]
|b|
o
Re[z]
⑷ 双边序列 f(k) k ∈[-∞ , ∞] < z <
f(k) = [k(k-1) + 3k + 1 ] (k)
7.4 z 域分析
n
m
一、差分方程的变换解 ani y(k i) bm j f (k j)
i0
j0
设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),…y(-n)。
n
i 1
m
ani[ziY (z) y(k i)zk ] bm j[z j F (z)]
例 F(z)
z2
(z 1)(z 2)
收敛域：(1) z>2 (2) z<1 (3) 1<z<2
F(z)
z
13 23
z (z 1)(z 2) z 1 z 2
F(z) 1 z 2 z 3 z 1 3 z 2
(1) z>2： (2) z<1 (3) 1<z<2
f
(k)
1 [
(1)k
2
(2)k
Z eS Ts e e Ts jTs e j
k
F (z) f (k)zk k 0
e Ts
Ts
2 s
S 域中的一点→ → Z 域中的一点；Z 域中的一点→ → S 域中的无穷个点。
S 1 Ln z 1 Ln(e j ) 1 Ln j
Ts
Ts
Ts
Ts
三、收敛域: F (z) f k zk
i0
k 0
j0
n
n
i 1
m
[ ani z i ]Y (z) ani [ y(k i)z k ] ( bm j z j )F(z)
i0
i0
k 0
j0
A (z)
M (z)
B (z)
Y(z)
M (z) A( z )
B(z) A( z )
F(z)
Yx (z)
Yf
(z) = H(z)
F(z)
f () lim f (k) lim z 1 F(z) lim(z 1)F(z)
k
z1 z
z 1
7.3 逆z变换
● 一般而言，f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(–k – 1) + f(k) (k) 因此、F(z) = F2(z) + F1(z)， < |z| <
其中 F1(z)= Z[f(k)(k)]=
，|z| >
F2(z)=Z[f(k)(–k –1)]=
，|z| <
●当已知象函数F(z)时，根据给定的收敛域不难由F(z)求得 F1(z)和F2(z)，并分别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将 两者相加得原序列f(k)。
●由F1(z)、F2(z) 求f1(k)、f2(k)的方法： 幂级数展开法、部分分式展开法和反演积分（留数法）
本章引入复频率 Z = ej ,以复指数函数 z k为基本
信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之 和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 Z ，故称 为Z域分析。所采用的数学工具为Z变换。
内容提要： 7.1 z 变换
一、z 变换的引出 二、s域与z域的关系 三、收敛域 四、常用 z 变换
7.2 z 变换的性质 7.3 逆z变换 7.4 z 域分析
z
k
cos(
0
k
)
k
z
z2 z2 z cos 2z2 2z cos 0
0
1
2
..........
k
sin 0k
k
z
2z2
z 2
sin 0 z cos 0
1 2
.........
k k
k
z (z )2
k k
k
1
五、ZT & DTFT
求和收敛
设f(k)
为因果序列、则
F (e j ) f k e jk
2z z
1 2
e
j
3
j
j e 3
j
z e 3 z e 3
Yf (z) z
1 2z1 1 0.5z1
F(z) z
H
z
2z
1 2
e
j
3
j
j
e 3
j
z e 3 z e 3
A
j
ze 3
A*
j
ze 3
B z 0.5
………………………..
所以，yss (k) =2 ×2 cos(k/3 – 21.8), k≧0
k z 而 k DTFT ?
z 1
（3） a >1 ，F(z) 有位于单位园外的极点，此时 F (e j )不存在。
例 3k k z , |z|> 3 ；而其DTFT不存在。
z3
7.2 z 变换的性质
一、线性
二、移位（移序）特性
双边z变换的移位： f(km) ←→ zmF(z), <z<
]
(k)
3
3
f (k) [ 1 (1)k 2 (2)k ] (k 1)
3
3
f (k) 1 (1)k (k) 2 (2)k (k 1)
3
3
(2) F(z)有共轭单极点 如z1,2 = c jd = e j, 则
F (z) K1 K1* z z c jd z c jd
令K1=K1ej
初值定理： 如果序列在k<M时，f(k)=0，f(k)←→F(z) ，<z<=∞, 则
f (M ) lim z m F(z) 对因果序列f(k)， f (0) lim F(z)
z
z
终值定理：
含单位圆
若、在k<M时，f(k)=0，f(k) ←→ F(z) ，<z<= ，且0<1，
则序列的终值
H(z)的极点在单位圆内。
单边z变换的移位：
f(k-1) ←→ z-1F(z) + f(-1) f(k-2) ←→ z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1 f(k+1) ←→ zF(z) – f(0)z f(k+2) ←→ z2F(z) – f(0)z2 – f(1)z
特例：若f(k)为因果序列，则f(k – m) ←→ z-mF(z)
(z 1)3
，z>1
解 F (z) z 2 z K11 K12 K13
z (z 1)3 (z 1)3 (z 1)2 z 1
K11
(z 1)3
F(z) z
z 1
2
K12
d dz
( z
1)3
F(z) z
z 1
3
K13
1 2
d2 d z2
( z
1)3
F(z) z
z 1
1
F(z) 2z 3z z (z 1)3 (z 1)2 z 1