结构计算中艾里应力函数的物理意义
Airy应力函数在弹性力学平面问题中的应用
Airy应力函数在弹性力学平面问题中的应用摘要:应力函数满足双调和方程，不仅满足了平衡微分方程，也满足了协调方程。
其在本质上表示出协调条件，求出应力函数以后，然后可以求得应力分量，再有边界条件确定其待定系数，借助于物理方程和几何方程可以进一步求出相应的应变分量与位移分量。
关键词:艾里应力函数平面问题推导应用正文:下面就无体力和有体力情形如下1 .无体力情形若无体力，平衡方程和应力协调方程分别为(1.1)(1.2) 以应力为未知量的平面应变问题，归结为求解方程(1.1)(1.2)。
由于平衡方程(1.1)，我们可定义两个与路径无关的线积分，(1.3) 其中为中的某个固定点，为中的任意点。
从(1.3)，得(1.4) 在(1.4)中，关于的两个式子应一致，有(1.5) 类似地，从(1.5)可知存在函数，使(1.6) 将(1.6)代入(1.4)，得到(1.7) 通常称(1.7)中的为Airy应力函数。
从上面的推导可知，只要应力分量、和满足平衡方程(1.1)，就存在Airy函数使(1.7)成立;反之，对于任意函数，1.7)所求出的应力分量都满足平衡方程。
这样可以说，(1.7)为平衡方程(1.1)的通按(解。
在应力协调方程(1.2)中引入Airy应力函数，得(1.8) 由于(1.7)已使平衡方程自动满足，因此平面应变问题归结为:在给定的边界条件下求解双调和方程:(1.9)2 .有体力情形对于有体力的弹性力学问题，通常将其分为两个问题来解，先求有体力的特解，再求无体力的齐次方程的解，然后将二者叠加可得到原问题的解。
本段，按另一种方式考虑体力。
首先，注意下述引理。
引理和为上给定的函数，则存在和，使(2.1)证明:令和分别为和的对数位势，其中。
因此，有(2.2) 这儿。
(2.3) 这样即合所求。
引理得证。
将(2.2)代入平衡方程和协调方程，得(2.4)(2.5) 设(2.6) 如果令(2.7) 则(2.4)(2.5)成为(2.8)(2.9)(2.8)与无体力的(1.1) 在形式上完全一致,按前面的推导，类似于(1.7)有，(2.10) 将(2.7)前两式代入(2.9)，得(2.11) 如果势函数为调和函数，那么有体力的(2.11)与无体力的(1.2)相同。
弹性力学智慧树知到答案章节测试2023年浙江大学
第一章测试1.从下面哪个假设出发（），可以认为物体内部的应力、应变和位移等都是连续的。
A:各向同性假设B:连续性假设C:理想弹性假设D:均匀性假设答案:B2.理想弹性假设只考虑应力和应变成线性关系的情形。
（）A:错B:对答案:B3.物体在外界荷载作用下发生变形，当外界荷载被消除后，该变形可完全恢复的性质称为弹性。
（）A:错B:对答案:B4.根据连续性假设，弹性力学问题的应力、应变和位移可表示成坐标的连续函数。
（）A:对B:错答案:A5.在研究下面对象的宏观力学行为时，各向同性假设不成立的是（）。
A:金、铜等金属B:纤维增强复合材料C:木材D:钢材答案:BC6.下面属于研究弹性力学问题基本假设的是（）。
A:均匀性假设B:连续性假设C:完全弹性假设D:各向同性假设答案:ABCD第二章测试1.已知矢量，张量，按照求和约定，表达式的值是（）。
A:0B:2C:3答案:B2.已知物体内一点的应力张量为，下面叙述正确的是（）。
A:三个主应力分别是（3，0，-2），最大切应力 2.5B:三个主应力分别是（-3，0，2），最大切应力 2.5C:三个主应力分别是（-3，0，2），最大切应力 1.5D:三个主应力分别是（3，0，-2），最大切应力 1.5答案:A3.在给定应力状态下，一点的主应力方向必相互垂直。
（）A:错B:对答案:A4.物体内一点的主应力仅与该点的应力状态有关，与所选取的参考坐标系无关。
（）A:对B:错答案:A5.过一点的任意截面上的应力分量相互独立。
（）A:错B:对答案:A6.如图所示三角形水坝刚性固结在基础上，坝高为h，坝基底宽为l，水位线离坝顶O点距离为h0，水的密度为，若略去坝体自重，下面关于坝体应力边界条件描述正确的是（）。
A:OB边上各点的应力分量有：当时，B:OA边上各点的应力分量有：C:OA边上各点的应力分量有：D:OB边上各点的应力分量有：当时，答案:ABCD第三章测试1.已知位移场为,,，对应的应变张量为（）。
弹性力学 总结
弹性力学总结弹性力学概述弹性力学是研究物体在受力作用下的变形和恢复行为的物理学分支。
它主要研究物体在力的作用下如何发生形变，并在去除外力后如何回复到原来的状态。
弹性力学在工程、材料科学和地震学等领域都有广泛的应用。
弹性力学的基本原理弹性力学的基本原理主要包括胡克定律和变形的描述。
胡克定律胡克定律是弹性力学研究的基石之一，它描述了弹性物质的应力和应变之间的关系。
根据胡克定律，弹性物体在小应变范围内，应力与应变成正比。
公式表示为：σ = Eε其中，σ代表应力，E代表弹性模量，ε代表应变。
胡克定律适用于各向同性的线性弹性材料。
变形的描述弹性变形通常分为线弹性和非线性弹性两种情况。
线弹性是指应力与应变之间成线性关系的弹性变形，而非线性弹性则是指应力与应变之间存在非线性关系的弹性变形。
在弹性力学中，常用的变形描述方法有拉伸、压缩、剪切和扭转等。
这些变形可以通过位移场、应变场和应力场来描述。
弹性体的应力分析弹性体在受力作用下会发生应力分布。
根据应力的分布规律，可以得出一些重要结论。
平面应力和轴对称应力问题在平面应力问题中，物体受力平面上只有两个应力分量，另一个应力分量为零。
这种情况下，可以根据累积概率法或复数变量法求解。
轴对称应力问题是较为常见的一类问题，这类问题的特点是应力场只与径向位置有关。
通过解析方法或数值方法，可以得到轴对称弹性体的应力分布。
弹性体的本构关系弹性体的本构关系以描述应力和应变之间的关系。
弹性体的本构关系可以是线性的或非线性的。
常见的线性弹性体本构关系有：胡克弹性体、准胡克弹性体和线弹性体。
这些本构关系常用于弹性力学计算中，可以通过试验数据或材料参数得到。
非线性弹性体的本构关系较为复杂，常用的描述方法有牛顿-拉普森方程和本构方程等。
弹性力学应用弹性力学在各个领域都有广泛的应用。
以下是几个常见领域：工程领域在工程领域中，弹性力学主要用于材料的强度计算、结构的稳定性分析和振动问题的研究。
通过弹性力学的理论，工程师可以预测材料在受力下的变形和破坏情况，并设计出更加安全和可靠的结构。
弹性力学 第四章 应力和应变关系
第四章应力和应变关系知识点应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系一、内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。
由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。
应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。
对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。
分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二、重点1、应变能函数和格林公式；2、广义胡克定律的一般表达式；3、具有一个和两个弹性对称面的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；5、材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
弹性力学论文：关于圣维南原理的数值计算
关于圣维南原理的数值计算——基于艾里应力函数的平面应力问题的差分解法摘要本文通过应力函数的方法，结合数值方法，求解受端部集中力作用下的平板拉伸问题，评估基于圣维南原理的解与数值解相比带来的误差及其分布，并将此与J.N. Goodier的理论分析对比。
关键词弹性力学，圣维南原理，平面应力问题，有限差分法0引言圣维南原理（局部性原理）是弹性力学的一般原理之一，常用于在边界力系无法精确描述时的等效替代，其一种表述[1]为：“若把作用在物体局部边界上的面力，用另一组与它静力等效（即有相同的主矢量和主矩）的力系来替代，则在力系作用区域的附近应力分布将有明显的改变，但在远处所受的影响可以不计”。
作为一条经验定理[5]，这一原理的提出为材料力学和弹性力学问题的求解提供了大量的便利，但是对于这一原理的精确度，直到1937年，J.N. Goodier才从理论的角度给出评估，他指出圣维南原理的影响范围和外力作用的区域大致相近。
本文将以平面应力问题为例，借助数值计算的方法对比圣维南原理简化前与简化后的计算结果，验证Goodier对于圣维南原理影响范围的理论值，并给出在不同精度要求下的影响范围的精确结果。
1问题的描述考虑长方形平板的拉伸问题。
如下图所示，长度为a，宽度为b，在两边中点施加大小为F的集中点力。
2方程的建立2.1解法的选择应力解法和位移解法是弹性力学中的两种基本方法。
在平面问题中，应力解法可以通过应力函数的引入，将问题归结为关于应力函数的双调和方程的边值问题，与位移解法的偏微分方程组相比，更加适用于解析求解。
但是对于多连体问题，位移解法涉及到衔接条件的引入，会使问题更加复杂[3]。
但是本题只涉及到简单的单连通体，所以选择应力函数的求解方式。
若将应力函数记为，那么双调和方程可以写成。
2.2有限差分法在双调和方程中，应力函数是一个平面标量场，通过将的平板划分成的网格，连续函数离散为一个矩阵，矩阵中的元素记为。
利用中心差分公式化简偏导数项，结果如下。
工程弹塑性力学---平面应力应变问题的直角坐标解
第六章平面问题的直角坐标解知识点平面应变问题应力表示的变形协调方程应力函数应力函数与双调和方程平面问题应力解法逆解法简支梁问题矩形梁的级数解法平面应力问题平面应力问题的近似性应力分量与应力函数应力函数与面力边界条件应力函数性质悬臂梁问题楔形体问题一、内容介绍对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。
这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题的求解困难。
本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：平面应力和平面应变问题。
弹性力学平面问题主要使用应力函数解法，因此本章的工作从推导平面问题的基本方程入手，引入应力函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和步骤。
本章学习的困难是应力函数的确定。
虽然课程讨论了应力函数的相关性质，但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。
这就是说，应力函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。
二、重点1、平面应变问题；2、平面应力问题；3、应力函数表达的平面问题基本方程；4、应力函数的性质；5、典型平面问题的求解。
§6.1 平面应变问题学习思路:对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问题，则可以大幅度降低求解难度。
平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。
这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。
根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。
对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。
学习要点：1、平面应变问题；2、基本物理量；3、基本方程；4、应力表示的变形协调方程1、平面应变问题部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
改进的格林方法用于研究无限域带任意两孔的应力分布问题
院系：可再生能源学院专业班级：水电1202学生姓名：刘宜杰指导老师：吕爱钟学号： 1121420210 译文成绩：≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈华北电力大学毕业设计（论文）译文部分原文著作（期刊）名称：Extended Green’s Solution for theStresses in an Infinite Plate WithTwo Equal or Unequal CircularHoles作者：Son K. Hoang，Younane N. Abousleiman原文出版单位：Journal of Applied Mechanics原文出版时间：MAY ,2008原文出版地点：改进格林方法应用于无限域中有两个相同或不同圆孔的应力问题摘要在各向同性的无限大平面上开圆孔产生的应力分布问题很早就引起来了自数学和工程方面的关注。
遗憾的是，几乎所有的现有解决方案仅适用于圆孔边界无应力条件，而工程应用中的情况并不总是这样。
为了尝试覆盖更宽广的应用范围，本文根据Green提出的方法（1940年，带圆孔平面的广义谐波分析）提出了具体的方法解决无限域中两个相同或不同圆孔受无限远处荷载以及孔内荷载的应力分布问题。
新派生的方法不仅通过了已发表的针对特殊情况的方法的验证，也通过了具有可比性的、定性的实验测试。
而且，一些数值案例也让我们深刻认识了不同参数相互作用的复杂性。
关键词：无限域，无限平面，应力分布，圆孔，弹性，分析方法简介许多研究人员已经通过不同的方法研究了无限大平面上带圆孔的应力分布问题。
1921年，Jeffery开创了在双极坐标上的平面应力和平面应变理论，Ling在1948年利用此方法解决了在无限域中两个相同圆洞受远端场荷载的问题。
在1980年，Iwaki和Miyao将Ling的方法拓展到解决无限域中两个不同的孔洞受远端场荷载和孔内压力或者孔边受均匀剪切的问题。
弹性力学：平面问题02 应力函数解答
EI 2
(3-3)
v M (l x)x M y2
2EI
2EI
梁的挠曲线方程：
v M (l x)x y0 2EI
—— 与材力中结果相同
（2）悬臂梁
边界条件
u 0 xl
h y h
v 0 2
2
xl
由式（f）可知，此边界条件无法满足。
u
M EI
xy y
u0
(f)
v
M
2EI
y2
M 2EI
M min 3dh
h
2
M
x
(2) 若按其它形式分布，如：
则此结果不精确，有误差；
1 max 3dh y
h
但按圣维南原理，仅在两端误差较
2
大，离端部较远处误差较小。
x 6dy y 0 xy 0
(3) 当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。
4. 四次多项式
x
M I
y
（1） ax4 bx3 y cx2 y2 dxy3 ey4
总结：（多项式应力函数 的性质）
（1） 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足4 0 。 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0。
多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
（2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加
2 f (2)(y) 0
l
l
x 6dy y 0 xy 0
图示梁对应的边界条件：
M min 3dh
yh: 2
y 0, xy
0
h
2
M
x
x l : x 6dy, xy 0 1 max 3dh y
挡土墙受力分析及配筋设计
， 查 配 筋 表 ， 可 选 配
9φ 32 ( As = 9 × 804.2 = 7238mm 2 ) ，且在挡土墙中呈单排等间距布置。
T = f y As
z = h0 −
A
x 2
M AB
c = α1 f c bx x
x
B
图 2 挡土墙截面受力图
由 AB 截面上受力平衡得：
α 1 f c bx x = f y As ，则：
1 × 9.6 × 1000 x = 210 As
…………………………………………（28） 式中， As 为钢筋面积，再由力 T 对受压区中心取矩得：
ρ1 g ， y 方向的体力为 0，即 f y = 0 ，则将（1）式代入（3）
∂ 2φ = xf ( y ) ………………………………………………………（5） ∂x 2 将（5）式对 x 积分得： 1 φ = k 0 x 3 f ( y ) + xf1 ( y ) + f 2 ( y ) …………………………………（6） 6
可设
⎫ ⎪ ⎪ 3 2 f 2 ( y ) = A2 y + B2 y ⎬ ………（10） ⎪ 1 1 1 f1 ( y ) = k 0 (− Ay 5 − By 4 − C1 y 3 − D1 y 2 + E1 y + F1 )⎪ 10 6 3 ⎭
f ( y ) = Ay 3 + By 2 + Cy + D
，
d 4 f 2 ( y) =0 dy 4
，
2k 0
d 2 f ( y ) d 4 f1 ( y ) + =0 dy 2 dy 4
即
-2-
d 4 f1 ( y ) d 2 f ( y) = −2k0 dy 4 dy 2
边界上应力函数的意义
边界上应力函数的意义1.引言1.1 概述概述在研究边界上应力函数的意义之前，我们首先需要了解什么是边界应力函数以及它在力学领域中的重要性。
边界应力函数是一种数学工具，用于描述物体内部的应力分布情况。
在工程力学和固体力学等学科中，我们经常需要研究不同物体在外界作用力下的应力分布情况，而边界应力函数能够帮助我们得到这些应力分布的解析解。
边界应力函数的计算是基于椭圆假设和边界条件的，通过解析求解椭圆型偏微分方程，我们可以得到关于应力分量的公式表达式。
这种解析解的计算方法比数值方法更加高效和便捷，能够为工程实践提供重要的理论依据和设计指导。
边界应力函数在实际应用中具有广泛的意义。
首先，它可以帮助工程师和科学家们更好地理解和解释不同物体的应力分布情况。
通过对应力分量和应力分布的分析，我们可以揭示物体在力的作用下的变形和损伤特性，为工程设计提供基础数据和指导。
其次，边界应力函数在结构分析和优化设计中也发挥着重要的作用。
通过研究不同应力场的分布特点，我们可以识别出可能存在的弱点和局部集中应力的区域，并采取合适的措施进行加固和优化，从而提高结构的强度和稳定性。
此外，边界应力函数还可以用于研究复杂工程问题和探索新的工程应用。
通过改变边界条件和模型参数，我们可以模拟不同实际工程问题的应力分布情况，提出新的解决方案和创新设计。
综上所述，边界应力函数在理论研究和工程实践中具有重要的意义。
它不仅为我们揭示了物体内部应力分布的规律，还为工程设计和优化提供了有力的工具和方法。
因此，深入研究和理解边界应力函数的意义对于推动工程力学领域的发展具有重要的意义。
1.2文章结构文章结构的设计是写作过程中的重要一步，它为读者提供了整体框架和逻辑流程。
在本篇长文中，文章结构设计如下：1. 引言1.1 概述：简要介绍边界上应力函数的概念和重要性。
阐述其在解决边界问题和应用于不同学科领域的作用。
1.2 文章结构：本部分（下述详细说明）。
1.3 目的：明确指出撰写本篇长文的目标与意义。
弹性力学基本概念和考点
基本概念：（1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上,并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。
（3） 弹性力学的基本假定:连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形. （4） 平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。
同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。
这时，0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=,所以这种问题称为平面应力问题。
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束,同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化,由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。
由胡克定律，0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=.因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。
（5） 一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。
（6） 圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同,主矩也相同），那么,近处的应力分布将有显著的改变,但是远处所受到的影响可以忽略不计. （7） 轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况,以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面）,则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴.这种问题称为空间轴对称问题. 一、 平衡微分方程:(1) 平面问题的平衡微分方程；00yxx x xy yy f x yf x yτστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂（记）(2) 平面问题的平衡微分方程（极坐标）；10210f f ρρϕρϕρϕρϕρϕϕ∂σ∂τσσ∂ρρ∂ϕρ∂σ∂ττρ∂ϕ∂ρρ-+++=+++=1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的.2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。
公共基础知识应力基础知识概述
《应力基础知识概述》一、引言应力作为物理学和工程学中的一个重要概念，在众多领域中都有着广泛的应用。
从材料科学到土木工程，从机械制造到航空航天，应力的理解和控制对于确保结构的安全性和可靠性至关重要。
本文将对应力的基础知识进行全面的阐述和分析，包括基本概念、核心理论、发展历程、重要实践以及未来趋势。
二、应力的基本概念（一）定义应力是指物体由于受到外力作用而产生的内部抵抗力。
当物体受到外力时，其内部的分子和原子会发生相对位移，从而产生一种抵抗外力的力，这种力就是应力。
应力的单位是帕斯卡（Pa），1帕斯卡等于 1 牛顿每平方米（N/m²）。
（二）分类1. 正应力：垂直于作用面的应力分量，又称为法向应力。
正应力可以是拉应力或压应力，当物体受到拉伸作用时，产生拉应力；当物体受到压缩作用时，产生压应力。
2. 切应力：平行于作用面的应力分量，又称为剪应力。
切应力的作用是使物体发生剪切变形。
（三）应力状态物体内部某一点的应力状态可以用三个正应力和三个切应力来表示。
这六个应力分量可以组成一个应力张量，通过应力张量可以全面地描述物体内部某一点的应力状态。
三、应力的核心理论（一）胡克定律胡克定律是描述弹性材料应力与应变关系的基本定律。
对于线弹性材料，在弹性限度内，应力与应变成正比，即σ=Eε，其中σ为应力，ε为应变，E 为弹性模量。
弹性模量是材料的一种固有属性，它反映了材料抵抗变形的能力。
（二）圣维南原理圣维南原理指出，如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力，那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以忽略不计。
这个原理在工程实际中非常有用，可以简化复杂结构的应力分析。
（三）莫尔圆莫尔圆是一种用于分析平面应力状态的工具。
通过莫尔圆可以直观地表示出一点的正应力、切应力以及主应力的大小和方向。
莫尔圆的绘制方法是将一点的两个相互垂直的正应力和切应力作为直角坐标系中的两个坐标，然后根据一定的几何关系绘制出一个圆。
弹塑性力学-第6章 弹塑性平面问题
第六章 弹塑性平面问题任何一个弹塑性体实际上都是空间（三维）物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。
因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题,即所有的力学量都是坐标),,(z y x 的函数.但是，当所考察的物体（结构）及其所承受的载荷具有某些特点时,则可将它们近似地看作平面(二维）问题，即所有的力学量都是两个坐标(如y x ,)的函数,从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度.由第二章知，弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。
6.1 弹性平面问题的基本方程由第二章己经知道,两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的。
1.1平衡方程无论是平面应力问题还是平面应变问题，由于在z 方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x yxy xyx σττσ (6。
1—1)1。
2几何方程由于只需要考虑面内的几何关系，因此，对于两类平面向题均有 xvy u ，yv ，xuxy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε (6.1—2） 由式(6。
1—2)可得到平面问题的变形协调方程为y x xy xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 （6.1—3） 1。
3本构关系两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同,因此,由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同.(1)平面应力问题对于平面应力问题，因,0=z σ 0==zx yz ττ,根据广义虎克定律显然有0==zx yz γγ。
因此本构方程为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=-=-=xy xy y x z x y y y x x E EE Eτνγσσνενσσενσσε)1(2)()(1)(1 (6。
1—4a ） 或⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=+-=xyxy x y y y x x E E E γντνεενσνεενσ)1(2)(1)(122（6。
第02讲：应力强度因子的基本概念
应力强度因子的物理意义
20
应力强度因子的物理意义
由上节推导可知，在裂纹尖端有表达式： 由上节推导可知，在裂纹尖端有表达式：
应力分量： 位移分量： 应变分量：
K σ ij = f (θ ) 2πr
r ui = K g (θ ) 2π
K ε ij = h(θ ) 2πr
21
应力强度因子(K) 应力强度因子
表征裂端应力应变场强度的参量 Irwin于1957年提出 由线弹性理论推出，所以一般只适用 于线弹性材料的断裂 线弹性断裂力学中最重要的表征参量
22
结构强度的控制参量是应力
工作应力： σ 构件在可能受到的最大工作载荷作用下的应力。 ( 由力学分析计算得到 )
极限应力： 材料可以承受的强度指标。 极限应力： σys 、 σb 材料可以承受的强度指标。 延性材料： 脆性材料： 延性材料： σys ； 脆性材料： σb ( 通过材料力学性能的实验得到 ) 强度判据： ( 作用 ≤ 抗力 ) 强度判据： 结构或构件的工作应力≤ 结构或构件的工作应力≤ 材料的极限应力 延性材料 σys σ≤ σb 脆性材料
I型裂纹的应力强度因子 型裂纹的应力强度因子
应力强度因子的物理意义
12
裂纹的三种基本类型
(a)Ⅰ型---张开型 (b)Ⅱ型---滑移型 (c)Ⅲ型---撕开型
任何型式的裂纹都可看做是三种基本类型的组合。 任何型式的裂纹都可看做是三种基本类型的组合。工程上 型裂纹出现的最多、最危险，研究最深入， 出现的最多 Ⅰ型裂纹出现的最多、最危险，研究最深入，它是低应力 脆断的主要原因，是本课程的主要研究对象。 脆断的主要原因，是本课程的主要研究对象。
13
试判断下图中为哪种裂纹形式
固体力学计算方法的发展
固体力学计算方法的发展孙秀山 岑章志 刘应华（北京大学工程力学系, 北京100084）摘要本文简要回顾了固体力学计算方法的发展过程。
从早期通过解析方法求解简单问题开始，固体力学的计算方法经历了一个从精确解法到近似解法、从解析方法到数值方法的发展过程，这一过程可以依据其历史阶段分为三种类型：传统解析方法、近似求解方法（古典数值方法）和现代数值方法。
文中分析了不同发展阶段中典型固体力学计算方法的形成及其特点，探讨了这些方法对固体力学发展的作用以及影响，最后总结了这些方法之间的关系。
关键词固体力学，计算方法，发展过程，继承关系1 引言固体力学是在经典牛顿力学框架下最先发展起来的学科之一，主要研究可变形体在各种外界因素作用下，其内部各个质点所产生的位移、运动、应力、应变以及破坏等的规律，是力学中形成较早、理论性较强、应用较广的一个分支[1]。
固体力学的发展首先是建立在弹性理论基础之上的，随后在工业发展的推动下，固体力学中有关塑性理论、强度理论以及稳定理论等得到了进一步的发展[2, 3]。
在传统的固体力学理论中，一般把研究对象看作是由无限个假象的元素组合在一起的连续体，因此研究对象（连续体）中的力学量（如位移、应变、应力等）就可以假设为空间或时间的连续函数。
这样，对于一个确定的固体力学问题，借助于数学方法最终可以将其转化相应的偏微分方程（或方程组）在给定条件下的边值问题或初值问题，如经典弹性理论中L-N方程或B-M方程的狄利赫莱（Dirichlet）边值问题和诺依曼（Neumann）边值问题。
对于这类方程（或方程组）的求解一直贯穿着固体力学的整个发展阶段，成为固体力学的重要研究内容之一。
从早期通过解析方法求解简单问题开始，固体力学的计算方法依据其历史发展过程大致经历了如下三个阶段：传统的解析方法、近似求解方法（古典数值方法）和现代数值方法，其中每个阶段里都出现了多种分析方法和计算方法。
在这些方法的发展中，尤以计算机技术的出现和应用为转折点，标志着固体力学计算方法的一个飞跃，促使了固体力学无论在理论研究方面还是在实际工程应用中都有了显著的进步[4, 5]。
结构力学英语词汇
结构力学结构力学structural mechanics 结构分析structural analysis结构动力学structural dynamics拱Arch三铰拱three-hinged arch抛物线拱parabolic arch圆拱circular arch穹顶Dome空间结构space structure空间桁架space truss雪载［荷］snow load风载［荷］wind load土压力earth pressure地震载荷earthquake loading弹簧支座spring support支座位移support displacement支座沉降support settlement超静定次数degree of indeterminacy机动分析kinematic analysis结点法method of joints截面法method of sections结点力joint forces共轭位移conjugate displacement影响线influence line三弯矩方程three-moment equation单位虚力unit virtual force刚度系数stiffness coefficient柔度系数flexibility coefficient力矩分配moment distribution力矩分配法moment distribution method力矩再分配moment redistribution分配系数distribution factor矩阵位移法matri displacement method单元刚度矩阵element stiffness matrix单元应变矩阵element strain matrix总体坐标global coordinates贝蒂定理Betti theorem高斯--若尔当消去法Gauss-Jordan elimination Method屈曲模态buckling mode复合材料力学mechanics of composites复合材料composite material纤维复合材料fibrous composite单向复合材料unidirectional composite泡沫复合材料foamed composite颗粒复合材料particulate composite层板Laminate夹层板sandwich panel正交层板cross-ply laminate斜交层板angle-ply laminate层片Ply多胞固体cellular solid膨胀Expansion 压实Debulk 劣化Degradation 脱层Delamination脱粘Debond 纤维应力fiber stress 层应力ply stress 层应变plystrain 层间应力interlaminar stress 比强度specific strength 强度折减系数strength reduction factor 强度应力比strength -stress ratio 横向剪切模量transverse shear modulus 横观各向同性transverse isotropy 正交各向异Orthotropy 剪滞分析shear lag analysis 短纤维chopped fiber 长纤维continuous fiber 纤维方向fiber direction 纤维断裂fiber break 纤维拔脱fiber pull-out纤维增强fiber reinforcement 致密化Densification最小重量设计optimum weight design 网格分析法netting analysis混合律rule of mixture失效准则failure criterion蔡--吴失效准则Tsai-W u failure criterion达格代尔模型Dugdale model断裂力学fracture mechanics概率断裂力学probabilistic fracture Mechanics格里菲思理论Griffith theory线弹性断裂力学linear elastic fracture mechanics, LEFM弹塑性断裂力学elastic-plastic fracture mecha-nics, EPFM断裂Fracture脆性断裂brittle fracture解理断裂cleavage fracture蠕变断裂creep fracture延性断裂ductile fracture晶间断裂inter-granular fracture准解理断裂quasi-cleavage fracture穿晶断裂trans-granular fracture裂纹Crack裂缝Flaw缺陷Defect割缝Slit微裂纹Microcrack折裂Kink椭圆裂纹elliptical crack深埋裂纹embedded crack［钱］币状裂纹penny-shape crack预制裂纹Precrack短裂纹short crack表面裂纹surface crack裂纹钝化crack blunting裂纹分叉crack branching裂纹闭合crack closure裂纹前缘crack front裂纹嘴crack mouth裂纹张开角crack opening angle,COA裂纹张开位移crack opening displacement, COD裂纹阻力crack resistance裂纹面crack surface裂纹尖端crack tip裂尖张角crack tip opening angle, CTOA裂尖张开位移crack tip opening displacement, CTOD 裂尖奇异场crack tip singularity Field裂纹扩展速率crack growth rate稳定裂纹扩展stable crack growth定常裂纹扩展steady crack growth亚临界裂纹扩展subcritical crack growth 裂纹［扩展］减速crack retardation止裂crack arrest止裂韧度arrest toughness断裂类型fracture mode滑开型sliding mode张开型opening mode撕开型tearing mode复合型mixed mode撕裂Tearing撕裂模量tearing modulus断裂准则fracture criterionJ 积分J-integralJ 阻力曲线J-resistance curve断裂韧度fracture toughness应力强度因子stress intensity factor HRR 场Hutchinson-Rice-Rosengren Field 守恒积分conservation integral有效应力张量effective stress tensor应变能密度strain energy density能量释放率energy release rate内聚区cohesive zone塑性区plastic zone张拉区stretched zone热影响区heat affected zone, HAZ延脆转变温度brittle-ductile transition temperature固体力学弹性力学elasticity弹性理论theory of elasticity均匀应力状态homogeneous state of stress应力不变量stress invariant应变不变量strain invariant应变椭球strain ellipsoid均匀应变状态homogeneous state of strain应变协调方程equation of strain compatibility拉梅常量Lame constants各向同性弹性isotropic elasticity旋转圆盘rotating circular disk楔wedge开尔文问题Kelvin problem布西内斯克问题Boussinesq problem艾里应力函数Airy stress function克罗索夫--穆斯赫利什维利法Kolosoff-Muskhelishvili method 基尔霍夫假设Kirchhoff hypothesis板Plate矩形板Rectangular plate圆板Circular plate环板Annular plate波纹板Corrugated plate加劲板Stiffened plate,reinforced Plate中厚板Plate of moderate thickness弯［曲］应力函数Stress function of bending 壳Shell扁壳Shallow shell旋转壳Revolutionary shell球壳Spherical shell［圆］柱壳Cylindrical shell锥壳Conical shell环壳Toroidal shell封闭壳Closed shell波纹壳Corrugated shell扭［转］应力函数Stress function of torsion 翘曲函数Warping function半逆解法semi-inverse method瑞利--里茨法Rayleigh-Ritz method松弛法Relaxation method莱维法Levy method松弛Relaxation量纲分析Dimensional analysis自相似［性］self-similarity影响面Influence surface接触应力Contact stress赫兹理论Hertz theory协调接触Conforming contact滑动接触Sliding contact滚动接触Rolling contact压入Indentation各向异性弹性Anisotropic elasticity颗粒材料Granular material散体力学Mechanics of granular media 热弹性Thermoelasticity超弹性Hyperelasticity粘弹性Viscoelasticity对应原理Correspondence principle褶皱Wrinkle塑性全量理论Total theory of plasticity 滑动Sliding微滑Microslip粗糙度Roughness非线性弹性Nonlinear elasticity大挠度Large deflection突弹跳变snap-through有限变形Finite deformation格林应变Green strain阿尔曼西应变Almansi strain弹性动力学Dynamic elasticity运动方程Equation of motion准静态的Quasi-static气动弹性Aeroelasticity水弹性Hydroelasticity颤振Flutter弹性波Elastic wave简单波Simple wave柱面波Cylindrical wave水平剪切波Horizontal shear wave竖直剪切波Vertical shear wave体波body wave无旋波Irrotational wave畸变波Distortion wave膨胀波Dilatation wave瑞利波Rayleigh wave等容波Equivoluminal wave勒夫波Love wave界面波Interfacial wave边缘效应edge effect塑性力学Plasticity可成形性Formability金属成形Metal forming耐撞性Crashworthiness结构抗撞毁性Structural crashworthiness 拉拔Drawing破坏机构Collapse mechanism回弹Springback挤压Extrusion冲压Stamping穿透Perforation层裂Spalling塑性理论Theory of plasticity安定［性］理论Shake-down theory运动安定定理kinematic shake-down theorem 静力安定定理Static shake-down theorem率相关理论rate dependent theorem载荷因子load factor加载准则Loading criterion加载函数Loading function加载面Loading surface塑性加载Plastic loading塑性加载波Plastic loading wave简单加载Simple loading比例加载Proportional loading卸载Unloading卸载波Unloading wave冲击载荷Impulsive load阶跃载荷step load脉冲载荷pulse load极限载荷limit load中性变载nentral loading拉抻失稳instability in tension加速度波acceleration wave本构方程constitutive equation完全解complete solution名义应力nominal stress过应力over-stress真应力true stress等效应力equivalent stress流动应力flow stress应力间断stress discontinuity应力空间stress space主应力空间principal stress space静水应力状态hydrostatic state of stress对数应变logarithmic strain工程应变engineering strain等效应变equivalent strain应变局部化strain localization应变率strain rate应变率敏感性strain rate sensitivity应变空间strain space有限应变finite strain塑性应变增量plastic strain increment累积塑性应变accumulated plastic strain永久变形permanent deformation内变量internal variable应变软化strain-softening理想刚塑性材料rigid-perfectly plastic Material 刚塑性材料rigid-plastic material理想塑性材料perfectl plastic material材料稳定性stability of material应变偏张量deviatoric tensor of strain应力偏张量deviatori tensor of stress应变球张量spherical tensor of strain应力球张量spherical tensor of stress路径相关性path-dependency线性强化linear strain-hardening应变强化strain-hardening随动强化kinematic hardening各向同性强化isotropic hardening强化模量strain-hardening modulus幂强化power hardening塑性极限弯矩plastic limit bending Moment塑性极限扭矩plastic limit torque弹塑性弯曲elastic-plastic bending弹塑性交界面elastic-plastic interface弹塑性扭转elastic-plastic torsion粘塑性Viscoplasticity非弹性Inelasticity理想弹塑性材料elastic-perfectly plastic Material 极限分析limit analysis极限设计limit design极限面limit surface上限定理upper bound theorem上屈服点upper yield point下限定理lower bound theorem下屈服点lower yield point界限定理bound theorem初始屈服面initial yield surface后继屈服面subsequent yield surface屈服面［的］外凸性convexity of yield surface 截面形状因子shape factor of cross-section沙堆比拟sand heap analogy屈月艮Yield屈服条件yield condition屈服准则yield criterion屈服函数yield function屈服面yield surface塑性势plastic potential能量吸收装置energy absorbing device能量耗散率energy absorbing device塑性动力学dynamic plasticity塑性动力屈曲dynamic plastic buckling塑性动力响应dynamic plastic response塑性波plastic wave运动容许场kinematically admissible Field静力容许场statically admissible Field流动法则flow rule速度间断velocity discontinuity滑移线slip-lines滑移线场slip-lines field移行塑性铰travelling plastic hinge塑性增量理论incremental theory of Plasticity 米泽斯屈服准则Mises yield criterion普朗特--罗伊斯关系prandtl- Reuss relation特雷斯卡屈服准则Tresca yield criterion洛德应力参数Lode stress parameter莱维--米泽斯关系Levy-Mises relation亨基应力方程Hencky stress equation赫艾--韦斯特加德应力空间Haigh-Westergaard stress space 洛德应变参数Lode strain parameter德鲁克公设Drucker postulate盖林格速度方程Geiringer velocity Equation连续过程continuous process碰撞截面collision cross section通用气体常数conventional gas constant燃烧不稳定性combustion instability稀释度dilution完全离解complete dissociation火焰传播flame propagation组份constituent碰撞反应速率collision reaction rate燃烧理论combustion theory浓度梯度concentration gradient阴极腐蚀cathodic corrosion火焰速度flame speed火焰驻定flame stabilization火焰结构flame structure着火ignition湍流火焰turbulent flame层流火焰laminar flame燃烧带burning zone渗流flow in porous media, seepage达西定律Darcy law赫尔-肖流Hele-Shaw flow毛［细］管流capillary flow过滤filtration爪进fingering不互溶驱替immiscible displacement不互溶流体immiscible fluid互溶驱替miscible displacement互溶流体miscible fluid迁移率mobility流度比mobility ratio渗透率permeability孑匕隙度porosity多孔介质porous medium比面specific surface迂曲度tortuosity空隙void空隙分数void fraction注水water flooding可湿性wettability地球物理流体动力学geophysical fluid dynamics 物理海洋学physical oceanography大气环流atmospheric circulation海洋环流ocean circulation海洋流ocean current旋转流rotating flow平流advection埃克曼流Ekman flow埃克曼边界层Ekman boundary layer大气边界层atmospheric boundary layer大气-海洋相互作用atmosphere-ocean interaction 埃克曼数Ekman number罗斯贝数Rossby unmber罗斯贝波Rossby wave斜压性baroclinicity正压性barotropy内磨擦internal friction海洋波ocean wave盐度salinity环境流体力学environmental fluid mechanics斯托克斯流Stokes flow羽流plume理查森数Richardson number污染源pollutant source污染物扩散pollutant diffusion噪声noise噪声级noise level噪声污染noise pollution排放物effulent工业流体力学industrical fluid mechanics流控技术fluidics轴向流axial flow并向流co-current flow对向流counter current flow横向流cross flow螺旋流spiral flow旋拧流swirling flow滞后流after flow混合层mixing layer抖振buffeting风压wind pressure附壁效应wall attachment effect, Coanda effect简约频率reduced frequency爆炸力学mechanics of explosion终点弹道学terminal ballistics动态超高压技术dynamic ultrahigh pressure technique 流体弹塑性体hydro-elastoplastic medium热塑不稳定性thermoplastic instability空中爆炸explosion in air地下爆炸underground explosion水下爆炸underwater explosion电爆炸discharge-induced explosion激光爆炸laser-induced explosion核爆炸nuclear explosion点爆炸point-source explosion殉爆sympathatic detonation强爆炸intense explosion粒子束爆炸explosion by beam radiation 聚爆implosion起爆initiation of explosion爆破blasting霍普金森杆Hopkinson bar电炮electric gun电磁炮electromagnetic gun爆炸洞explosion chamber轻气炮light gas gun马赫反射Mach reflection基浪base surge成坑cratering能量沉积energy deposition爆心explosion center爆炸当量explosion equivalent火球fire ball爆高height of burst蘑菇云mushroom侵彻penetration规则反射regular reflection崩落spallation应变率史strain rate history流变学rheology聚合物减阻drag reduction by polymers 挤出［物］胀大extrusion swell, die swell 无管虹吸tubeless siphon剪胀效应dilatancy effect孑L压［误差］效应hole-pressure［error］effect 剪切致稠shear thickening剪切致稀shear thinning触变性thixotropy反触变性anti-thixotropy超塑性superplasticity粘弹塑性材料viscoelasto-plastic material滞弹性材料anelastic material本构关系constitutive relation麦克斯韦模型Maxwell model沃伊特-开尔文模型Voigt-Kelvin model宾厄姆模型Bingham model奥伊洛特模型Oldroyd model幂律模型power law model应力松驰stress relaxation应变史strain history应力史stress history记忆函数memory function衰退记忆fading memory应力增长stress growing粘度函数voscosity function相对粘度relative viscosity复态粘度complex viscosity拉伸粘度elongational viscosity拉伸流动elongational flow第一法向应力差first normal-stress difference第二法向应力差second normal-stress difference 德博拉数Deborah number魏森贝格数Weissenberg number动态模量dynamic modulus振荡剪切流oscillatory shear flow宇宙气体动力学cosmic gas dynamics等离［子］体动力学plasma dynamics电离气体ionized gas彳亍星边界层planetary boundary layer阿尔文波Alfven wave泊肃叶-哈特曼流］Poiseuille-Hartman flow哈特曼数Hartman number生物流变学biorheology生物流体biofluid生物屈服点bioyield point生物屈服应力bioyield stress电气体力学electro-gas dynamics铁流体力学ferro-hydrodynamics血液流变学hemorheology, blood rheology血液动力学hemodynamics磁流体力学magneto fluid mechanics磁流体动力学magnetohydrodynamics, MHD磁流体动力波magnetohydrodynamic wave磁流体流magnetohydrodynamic flow磁流体动力稳定性magnetohydrodynamic stability生物力学biomechanics生物流体力学biological fluid mechanics生物固体力学biological solid mechanics宾厄姆塑性流Bingham plastic flow开尔文体Kelvin body沃伊特体Voigt body可贴变形applicable deformation可贴曲面applicable surface边界润滑boundary lubrication液膜润滑fluid film lubrication向心收缩功concentric work离心收缩功eccentric work关节反作用力joint reaction force微循环力学microcyclic mechanics微纤维microfibril渗透性permeability生理横截面积physiological cross-sectional area 农业生物力学agrobiomechanics纤维度fibrousness硬皮度rustiness胶粘度gumminess粘稠度stickiness嫩度tenderness渗透流osmotic flow易位流translocation flow蒸腾流transpirational flow过滤阻力filtration resistance压扁wafering风雪流snow-driving wind停滞堆积accretion遇阻堆积encroachment沙漠地面desert floor流沙固定fixation of shifting sand流动阈值fluid threshold通类名词力学mechanics牛顿力学Newtonian mechanics经典力学classical mechanics静力学statics运动学kinematics动力学dynamics动理学kinetics宏观力学 macroscopic mechanics,macromechanics 细观力学mesomechanics微观力学 microscopic mechanics,micromechanics 一般力学general mechanics固体力学solid mechanics流体力学fluid mechanics理论力学theoretical mechanics应用力学applied mechanics工程力学engineering mechanics实验力学experimental mechanics计算力学computational mechanics理性力学rational mechanics物理力学physical mechanics地球动力学geodynamics力force作用点point of action作用线line of action力系system of forces力系的简化reduction of force system 等效力系equivalent force system刚体rigid body力的可传性transmissibility of force 平行四边形定则parallelogram rule力三角形force triangle力多边形force polygon零力系null-force system平衡equilibrium力的平衡equilibrium of forces平衡条件equilibrium condition平衡位置equilibrium position平衡态equilibrium state分析力学analytical mechanics拉格朗日乘子Lagrange multiplier拉格朗日［量］Lagrangian拉格朗日括号Lagrange bracket循环坐标cyclic coordinate循环积分cyclic integral哈密顿［量］Hamiltonian哈密顿函数Hamiltonian function正则方程canonical equation正则摄动canonical perturbation正则变换canonical transformation正则变量canonical variable哈密顿原理Hamilton principle作用量积分action integral哈密顿--雅可比方程Hamilton-Jacobi equation 作用--角度变量action-angle variables 阿佩尔方程Appell equation 劳斯方程Routh equation拉格朗日函数Lagrangian function 诺特定理Noether theorem 泊松括号poisson bracket边界积分法boundary integral method 并矢dyad运动稳定性stability of motion 轨道稳定性orbital stability 李雅普诺夫函数Lyapunov function 渐近稳定性asymptotic stability 结构稳定性structural stability 久期不稳定性secular instability 弗洛凯定理Floquet theorem 倾覆力矩capsizing moment 自由振动free vibration 固有振动natural vibration 暂态transient state环境振动ambient vibration 反共振anti-resonance 衰减attenuation库仑阻尼Coulomb damping 同相分量in-phase component 非同相分量out-of -phase component 超调量overshoot参量［激励］振动parametric vibration模糊振动fuzzy vibration临界转速critical speed of rotation阻尼器damper半峰宽度half-peak width集总参量系统lumped parameter system相平面法phase plane method相轨迹phase trajectory等倾线法isocline method跳跃现象jump phenomenon负阻尼negative damping达芬方程Duffing equation希尔方程Hill equationKBM 方法KBM method, Krylov-Bogoliu-bov-Mitropol'skii method 马蒂厄方程Mathieu equation平均法averaging method组合音调combination tone解谐detuning耗散函数dissipative function硬激励hard excitation硬弹簧hard spring, hardening spring谐波平衡法harmonic balance method久期项secular term自激振动self-excited vibration分界线separatrix亚谐波subharmonic软弹簧soft spring ,softening spring软激励soft excitation邓克利公式Dunkerley formula瑞利定理Rayleigh theorem分布参量系统distributed parameter system优势频率dominant frequency模态分析modal analysis固有模态natural mode of vibration同步synchronization超谐波ultraharmonic范德波尔方程van der pol equation频谱frequency spectrum基频fundamental frequencyWKB 方法WKB method, Wentzel-Kramers-Brillouin method 缓冲器buffer风激振动aeolian vibration嗡鸣buzz倒谱cepstrum颤动chatter蛇行hunting阻抗匹配impedance matching机械导纳mechanical admittance机械效率mechanical efficiency机械阻抗mechanical impedance随机振动stochastic vibration, random vibration隔振vibration isolation减振vibration reduction应力过冲stress overshoot喘振surge摆振shimmy起伏运动phugoid motion起伏振荡phugoid oscillation驰振galloping陀螺动力学gyrodynamics陀螺摆gyropendulum陀螺平台gyroplatform陀螺力矩gyroscoopic torque陀螺稳定器gyrostabilizer陀螺体gyrostat惯性导航inertial guidance姿态角attitude angle方位角azimuthal angle舒勒周期Schuler period机器人动力学robot dynamics多体系统multibody system多刚体系统multi-rigid-body system机动性maneuverability凯恩方法Kane method转子［系统］动力学rotor dynamics转子［一支承一基础］系统rotor-support-foundation system 静平衡static balancing动平衡dynamic balancing静不平衡static unbalance动不平衡dynamic unbalance现场平衡field balancing不平衡unbalance不平衡量unbalance互耦力cross force挠性转子flexible rotor分频进动fractional frequency precession 半频进动half frequency precession油膜振荡oil whip转子临界转速rotor critical speed自动定心self-alignment亚临界转速subcritical speed涡动whirl。
简述有效应力的表达式和物理意义
简述有效应力的表达式和物理意义有效应力的表达式是：[σ]=σpμ/(εγρ)，其中p是材料的弹性模量，μ是泊松比，γ是泊松比，ε是横向的剪切强度系数，μ是剪切面积，γ是泊松比，ρ是密度。
当不同的材料结构时，γ的值是不同的，从而影响了材料的强度，最大的γ值是1。
从上述表达式可以看出，γ影响材料的强度，也就影响着这个材料结构的应力。
a。
提高σ有效应力的意义是提高材料的强度和提高抗疲劳破坏的能力，如果我们需要更好地使用一种材料结构，应该增加γ的值，即提高σ有效应力。
b。
改变γ的值，就可以得到更好的强度指标。
对于混凝土结构，最大的γ是2。
3。
如果γ取小值，虽然减少了强度，但是抗压强度、弯曲强度都有所提高。
c。
采用钢筋混凝土框架来代替钢结构或者砖结构，由于γ较小，会导致抗裂能力降低，因此应尽可能选用γ大的混凝土结构。
d。
在有效应力提高后，构件的最大配筋率应该减少。
有效应力存在于材料内部，要想充分发挥它的强度作用，需要克服结构的拉力。
在实际工程中，我们往往只关心强度而忽略了变形。
但是，这并不意味着可以放弃对结构进行抗裂设计。
在一定的条件下，不仅要考虑最大拉应力而且还要注意裂缝的宽度。
总的原则是在确保安全的前提下，应该尽量控制裂缝宽度。
有效应力计算方法通常有轴向拉压强度理论、能量法、数值分析等。
a。
轴向拉压强度理论：轴向拉压强度理论认为材料沿横向拉压破坏的机理是：破坏之前先有纵向收缩的过程，由于构件混凝土中没有任何塑性变形的能力，裂缝很快从初始部位发展起来。
这时候构件的受拉区出现大量拉应力而受压区有大量压应力，在这种情况下，受压区的混凝土首先被拉开，产生拉应力集中而造成脆性断裂;随后又继续扩展，在整个截面上均匀分布许多细长裂缝，接着，受拉区的混凝土失去承载能力，受压区混凝土仍处于弹性阶段，未遭到损伤，故无明显的屈服点，仍具有足够的抵抗外荷载的能力，直至裂缝完全贯穿，构件才丧失承载能力。
b。
能量法：能量法是将有效应力简化为平均应力的叠加，再利用材料力学中的强度理论求解。
结构计算中艾里应力函数的物理意义
结构计算中艾里应力函数的物理意义
赵小飞;王应峰;王艳丽;唐连军
【期刊名称】《中国西部科技》
【年(卷),期】2010(009)007
【摘要】弹性力学中对于体力为常量的平面问题,最后都归结为在给定的边界条件下求解艾里应力函数的双调和方程,本文详细解释了艾里应力函数的物理意义,最后通过例子在实际中运用了艾里应力函数.
【总页数】3页(P58-59,55)
【作者】赵小飞;王应峰;王艳丽;唐连军
【作者单位】焦作市思科达科技有限公司,河南,焦作,454000;焦作三建建设工程有限公司,河南,焦作,454000;博爱县建筑安装公司,河南,焦作,454000;嘉隆房地产《河南》有限公司,河南,焦作,454000
【正文语种】中文
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结构计算中艾里应力函数的物理意义
数及应力，并进行比较 。
．
．
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（ 以 起 点 令 ｛ ｌ １ Ａ 始 ， ＝ｌ ＝ ）为 ＝ ｏ
则 在 Ａ 边 上 ：ｐ ｏ Ｂ （＿ ， 所 以得 到 在 Ｂ ： 点 ＝ ０
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定 积 分 常 数 。④ 由 求 得 的应 力 函 数 求 应 力 分 量 ｏ， 。 ｏ， ｔ ⑤ 由应 力 分 量 求 应变 分量 。⑥ 由应 变 分 量 求 位 移 分 量 。
ｐ
３ 艾里应力函数的应 用
下 面 举 例 子 以说 明式 ７ 式 ８ 应用 。 和 的 ［ ］ 单 位 厚 度 的 薄 板 受 力 如 图 ２ 示 ，现 分 别 求 Ａ 例 所 及 Ｄ 起 始 点 时 的 边 界 上 的 ‘ 及 其 导 数 ， 以及 域 内 的 应 力 函 为 ｐ
＝
所 以得 到 在 Ｃ ： 点
一
（ ：
— （） —式 ６
：
丁２ ｐ ｂ
，
－ｏ ，
显然 ，式５ 中等号右边表示物体在 曲线段Ａ 的右侧部分 Ｂ
给其左侧 部分 的作用力 （ 内力 ）对 点 Ｂ 矩 ，而 式 ６ 两 个 的 的 式 子 的等 号 右 边 ， 分 别 表 示 曲线 段 ＾ 右 侧 部 分 给 其 左 侧 部 Ｊ ３
Ｃ ． ｔ．ｉｏ ｕ ， ｎ ｎ４ ４ ０ ；．ｏ ｉ ｏ ｓｒｃｉｎａ ｄＩ ｓ ｌ ｔ ｎＣｏ ａ ｙｌ ｏ ｕ ， ｎ ｎ４ ４ ０ ；． ｎ ｎＪ ｌｎ ｏ， ｄ，ａ ｚ ｏＨｅ ａ ５ ０ ０３Ｂ ａ Ｃ ｎ ｔ ｔ ｎ ｔ ｌ ｉ ｍｐ ｎ ，ａ ｚ ｏＨｅ ａ ５ ０ ０４Ｈｅ ａ ａｏ ｇ Ｌ ｌ ｕ ｏ ｎ ａａ ｏ ｉ ｉ
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ｌ 前 言
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结 构 计 算 中 ，艾 里 应 力 函 数 的 引入 ， 使 平 面 问题 由 三
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个 未知函数变为一个未 知函数 ，从而把 问题 归结为在 给定
一
的边 界条件下求解双调和 方程 。应力 函数法 可 以解决不 少
弹性力学 问题 ，但是在解题 的过程中找应力 函数 的盲 目性 较大 。为此我们 希望多采用一些 有规律可循 ，力学意义 比 较 明确 的办法 ，艾里应力 函数就 是一应用广泛 的工具 。下 面 论 证 一 下 艾 里 应 力 函数 及 其 一 阶 偏 导数 和 在 平
规 定 曲线 的正 方 向 如 图 ｌ 示 。 所 设 曲线 任 一 点 的外 法 线 单 位 矢 量 为 ｖ ，该 点应 力 矢 量 的
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Ｄ Ｉ １ ．９ ９ Ｊｉ ｎ１ ７ —６ ９ ．０ ． ７０ ７ ０ ： ５ ６ ／ ．ｓ． ６ １ ５ ６２ １ ０ ．２ ０ ｓ ０
Ｔｈ ｙ ｉａ ｅ ｎ ｎ ｆ ｒ ｔｅ ｓＦｕ ｅ ｉｎ ｉ ｔｕ ｔ ｒ ｌ ｌｕ ａｉ ｎ ｅＰｈ ｓｃ ｌ Ｍ ａ ｉ ｇｏ ＡｉｙＳ ｒ ｓ ｎ ｔ ｎ Ｓ ｒ ｃ ｕ ａ ｃ ｌｔｏ ｏ Ｃａ
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中国西部科技 ２ １ 年０ 月 （ 旬 ） ９ 第０ 期 总第２ ４ ０Ｏ ３ 上 第０ 卷 ７ ０ 期
结构计算中艾里应力函数的物理意义
赵 小飞 王应 峰 王艳 丽 唐 连 军
（ ． 市思科 达科技 有限公 司，河 南 焦作 ４ ４ ０ ；２焦作三 建建 设工程有 限公 司，河南 焦作 ４ ４ ０ ； １焦作 ５ ００ ． ５ ０ ０ ５博 爱县建 筑安 装公 司，河 南 焦作 ４ ４ ０ ；４嘉 隆房地 产＜ ． ５ ００ ． 河南＞ 限公 司，河 南 焦作 ４ ４ ０ ） 有 ５ ０ ０
Ｃ ． ｔ．ｉｏ ｕ ， ｎ ｎ４ ４ ０ ；．ｏ ｉ ｏ ｓｒｃｉｎａ ｄＩ ｓ ｌ ｔ ｎＣｏ ａ ｙｌ ｏ ｕ ， ｎ ｎ４ ４ ０ ；． ｎ ｎＪ ｌｎ ｏ， ｄ，ａ ｚ ｏＨｅ ａ ５ ０ ０３Ｂ ａ Ｃ ｎ ｔ ｔ ｎ ｔ ｌ ｉ ｍｐ ｎ ，ａ ｚ ｏＨｅ ａ ５ ０ ０４Ｈｅ ａ ａｏ ｇ Ｌ ｌ ｕ ｏ ｎ ａａ ｏ ｉ ｉ
Ｓ ｌｉ ｇｔ ｅｂｈ ｒ ｎ ｃｅ ｕ ｔ ｎ ｏ ｒ ｔｅ ｓｆ ｎ ｔｏ ｎ ｅ ｉｅ ｏ ｎ ａ ｙｃ ｎ ｉ ｏ ｓＴｈ ｓｐ ｐ ｒｅ ｐａｎ ｎ ｄ ｔｉ ｔｅ Ｏｖｎ ｈ ｉａ ｍｏ ｉ ｑ ａｉ ｆ ｙｓｒ ｓ ｕ ｃｉｎ ｕ ｄ ｒｇｖ ｎ ｂ ｕ ｄ ｒ ｏ ｄｔ ｎ ． ｉ ａ ｅ ｘ ｌｉｓｉ ｅａｌｈ ｏ Ａｉ ｉ ｐ ｙ ｉａ ａ ｉｇｏ ｒ ｔｅ ｓｆ ｎ ｔ ｎ ａ ｄ ｆ ａｌ ｅ ｅ ｔ ｈ ｒ ｃｉａ ｐ ｌ ａ ｉｎ ｏ ｒ ｔｅ ｓｆ ｎ ｔｏ ｘ ｍｐｅ ． ｈ ｓｃ ｌ ｍｅ ｎｎ ｆ ｙｓｒ ｓ ｕ ｃｉ ，ｎ ｎ ｌ ｐｒｓ ｎ ｓｔ ｅｐ ａ ｔｃ ｌ ｐｉ ｔ ｆ ｙｓｒ ｓ ｕ ｃ ｉｎｉ ｅ ａ ｌｓ ｉ Ａ ｏ ｉ ｙ ａ ｃ ｏ ｉ Ａ ｎ Ｋｅ ｒ ｓＡ ｒ ｔｅ ｓｆ ｎ ｔ ｎ： ｕ ｄ ｒ ｏ ｄ ｔ ｎ ； ｌｎ ｒ ｂ ｅ ｙｗｏ ｄ ： ｙｓｒ ｓ ｕ ｃｉ Ｂ０ ｎ ａ ｖｃ ｎ ｉｉ ｓＰａ ｅｐ ｏ ｌｍ ｉ ｏ ｏ
面物 体 内任 意一 点 上 的 物 理意 义 。 …
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由图 １ 见 ： 可
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于是式１ 表示为： 可
２ 艾量应 力函数的物理 意义
对任 一物 体，过物体 内任意一点任作一 条 曲线 ，此 曲 线将物体 分割 成左右两部分 。如考虑 曲线 的左侧 部分 ，则
上 列 两 式 对 ｓ 从 定 点Ａ （ 点 可 以 任 意 取 定 ） 到 动 点 对 该 Ｂ 分 ，得 ： 积
摘
要 ：弹・ ｐ ＿力学中对于体 力为常量 的平 面问题 ，最后都 归结为在给 定的边界 条件下求解 艾里应 力函数的双调和方程 ， － －
本 文 详 细 解 释 了艾 里 应 力函 数 的 物 理 意 义 ， 最后 通过 例 子 在 实 际 中运 用 了艾 里 应 力函 数 。
关键词 ：艾里应 力函数；边界 条件 ；平 面问题