初中几何变换——翻折

初中数学几何变换之
轴对称
一、知识梳理
1、轴对称基本要素：对称轴。

2、基本性质：
（1）对应线段、对应角相等
（2）对应点所连线段被对称轴垂直平分 （3）对称轴上的点到对应点的距离相等 （4）对称轴两侧的几何图形全等 3、应用
翻折问题、最值问题等
二、常考题型
类型一：轴对称性质
1、如图，在平行四边形ABCD 中，13=AB ，4=AD ，将平行四边形ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为__________.
第1题
第2题
第3题
2、如图， 矩形
中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE
与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为__________.
3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边
AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为。

4、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’F CD时，CF
的值为。

FD
5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是。

第4题第5题第6题
6、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF 折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是。

7、如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝83，AD＝10，点E是CD的中点.将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落在B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG ＝ .
图2 图3
8、如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长.
类型二：轴对称应用
1、菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．
2、如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为．
3、如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD 和AB上的动点,则BM+MN的最小值为。

4、如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是.
类型三：动点与轴对称
1、如图，在矩形ABCD 中，AB=32， 点E 是边BC 的一个三等分点（CE<BE ），F 是AD 边上一动点，将图形以EF 为折痕翻折后，当D 、C 的对应点、
、
、C D 与B 在一条直线上时，∆EFG 的周长是 。

G C'
D'
E
D
B
C
A
F
第1题
第2题
2、如图，在矩形ABCD 中，AB=5， AD=13， E 、F 分别是AB 、AD 边上的动点，将∆ABE 向下翻折，点A 落在BC 边上A 、处，则A 、B 的最小值是 。

3、如图，正方形ABCD 的边长为6，EF 是正方形ABCD 的一条对称轴，G 、H 分别在AB 、CD 上，将图形沿GH 对折后，点C 落在E 处，求tan ANE = 。

N M
G A
C
B
F
N
E
A
C
D
第3题
第4题
4、如图，在Rt ∆ABC 中AC=4，BC=3， D 是AB 边上一动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，当DE//BC 时，AD= 。

5、如图，在Rt∆ABC中，AB=4， BC=3， D是AB边上一动点，DE//BC，A、A、关于DE对称，当∆A、EC为直角三角形是AD= 。

A'E
A
C
B
D
类型四：综合应用
1、如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；
（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．
2、如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点
E、F处，折痕分别为CM、AN.
（1）求证：△AND≌△CBM.
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ ∥MN。

且AB=4，BC=3，求PC的长度.
3、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
4、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．
（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
5、问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由.
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由.
三、课后作业
1、如图，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.
2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．
第1题第2题第3题
3、如图，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______.
4、如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，则tan∠ANE=_____．
5、如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是__________．
6、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，在边AB上取一点D，作DE⊥AB 交BC于点E，先将△BDE沿DE折叠，使点B落在线段DA上，对应点记为B1；BD 的中点F的对应点记为F1．若△EFB∽△AF1E，则B1D=
7、如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△A EB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．
探究一：猜想：四边形ABCD是何种特殊的四边形？请证明自己的猜想．
探究二：连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB 与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN2、ND2、DH2之间的数量关系，并说明理由．
探究三：若EG=4，GF=6，BM=3，你能求出AG、MN的长吗？
8、数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2
1
AB ， 求证：∠B=30°，请你完成证明过程．
（2）如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的抓痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处，折痕交AE 于点G ，请运用（1）中的结论求∠ADG 的度数和AG 的长．
（3）若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠，B 、D 两点恰好重合于一点O （如图④），当AB=6，求EF 的长．。