立体几何高考内容分析及复习建议

立体几何高考内容分析与复习建议
内容提要：本文通过对新旧教材在内容、考试要求、教学重点难点、以及近几年来的新旧课程的高考试题特点等进行研究，制定相应的复习策略。

本文还提出了几种对空间角与距离的解法。

关键词：空间想象能力，转化化归思想、向量代数法。

2004年是广东省采用数学新课程的第一次高考，虽说高考对立体几何的考查一直是以能力为主，对能力考查的要求有一年比一年提高的趋势，题型也相对较为稳定。

但新旧课程在内容、考试要求、教学要求、教材的编排体系等毕竟有相当大的改变，因此我们进行高三立体几何复习时，有必要对新旧教材在内容、考试要求、教学重点难点、以及近几年来的新旧课程的高考试题特点等进行研究，制定相应的复习策略，争取在2004年高考中获得全面丰收。

以下谈谈笔者的一些看法：
一、立体几何内容分析
（一）新旧教材比较：
在考试内容方面：新教材中删除了棱台，旋转体（圆锥、圆柱、圆台、球冠及球缺等）。

增加了正多面体与欧拉定理；增加了空间向量及其加、减法，与数乘运算；空间向量的数量积；空间向量的坐标表示，及其对应的加减法，数乘与数量积运算；平面法向量等内容。

在考试要求方面：删除了棱台，旋转体（圆锥、圆柱、圆台、球冠及球缺等）的面积与体积公式，淡化了三垂线定理及其逆定理的要求，增加了理解空间向量与空间向量坐标的概念，掌握空间向量的加减法、数乘与数量积的概念；及其对应坐标的加减法，与数乘运算；理解直线的方向向量、平面的法向量等内容。

突出了利用空间向量知识解决求空间角、空间距离；证明平行与垂直的问题，明确了对传统几何的向量化思想。

同时也体现了对解决问题的方法上的灵活性，重点让学生掌握向量代数法，同时也兼顾传统几何综合推理方法。

（二）复习重点：
（1）线线、线面、面面平行和垂直的判定与性质；三垂线定理及其逆定理的应用；
（2）空间向量的概念、性质与运用；
（3）空间角与距离的概念和计算；
（4）特殊棱柱、棱锥的定义、性质；
（5）棱柱、棱锥中线线、线面与面面的位置关系，线线、线面与面面所成角的构造与计算；（特别注重向量代数法来计算角）
（三）复习难点：
（1）找到要计算的角、距离等；
（2）掌握应用向量解决立体几何的问题；
（3）平面图形与空间图形相互转换，即空间想象能力进一步提高；以及转化化归思想、类比思想等的培养。

二、高考考点剖析
立体几何三大考点：
（1）线面位置关系的推理判断（小题）、证明（大题）；
（2）空间角；
（3）空间距离。

线面位置关系突出平行和垂直，又侧重于垂直关系，因为空间直角坐标系的建立和空间角的平面角的构造与求解离不开垂直；空间距离也离不开垂直。

主要以三棱柱、四棱柱（正方体）、三棱锥、四棱锥为载体。

与球有关的问题也是高考常考点。

立体几何大题不独立考查单纯的线面位置关系，而明确以多面体为载体，综合考查概念、性质、线面关系、角与距离。

三、考题特点分析
每年的数学高考立体几何题中，有2~3道选择题，1道填空题及1道解答题。

分值占全卷的18%~20%。

考题属于“理解”和“掌握”这两个层次，难度中等，试题常有课本背景。

总结2000~2003年两省一市（晋津赣）或江苏、辽宁等省新教材高考卷与全国高考卷的立体几何题可以看到以下几个特点：
（1）新教材立体几何试题中大题以棱柱或棱锥为载体，融线面关系于几何体中。

继续采取传统的小步设问、逐层
加深的模式。

第一小问考查线线、线面、面面的位置关系、后几问考查空间角，空间距离等度量关系，解题方法是向量代数法，其解题思路：“建立坐标系——求向量坐标——用公式计算”。

旧教材相对稳定。

（2） 在考查空间概念的基础上，强调作图、证明和计算相结合，融推理论证于几何量的计算中，逻辑思维能力、空间想象能力的考查存在于运算中。

（3） 对空间想象能力的要求进一步提高，试题直接对空间想象能力的考查；
如（2000年天津卷第16题），如图，E 、F 分别为 D 1 C 1
正方体的面ADD 1A 1，面BCC 1B 1的中心，则四 A 1 B 1
边形BFD 1E 在该正方体的面上射影可能是 。

E F
D C
A B
本题需从不同的角度来观察图形，直接体现了对空间想象能力的考查。

再如，2001年北京春季高考卷第11题；2003年全国卷第16题。

（4）重点考查基础知识的同时，也注重形式的多样性，如与简易逻辑、排列组合等的小综合题型也常出现，这也是一种传统。

如：（2002年山西卷）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ） A ）8种
B ）12种
C ）16种
D ）20种
又如：2003年江苏卷第16题是与简易逻辑相结合。

（5）重视对数学素质的基本数学思想方法的考查；试题体现了立体几何学科特点的通性、通法，突出和加大了对转化、化归思想，类比思想及等积变化等基本方法的考查力度。

如：2003年新课程卷第15题，考查类比思想。

如：（2003年江苏卷第12题）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） 此题的最优解法是：将这个正四面体放入一个正方体中，再将这个正方体放入球中与球相外接。

因为正方体的对角线就是球的直径，而正四面体的棱就是正方体的侧面对角线。

所以，设正方体的棱长为a ，则有2a =2，a =1，.3,2
3,332π==∴==∴球S R a R 故选A 。

此题是典型的考查转化、化归思想。

四、复习建议
由于高考立体几何题是中低档题为主，所以在复习时一定要抓好基础，注意以下几个方面。

1． 回归课本，加强基本概念、定义、定理的理解和应用，加强归纳总结，将基础知识条理化、网络化，以利于记忆。

对课本上的每一条定义（或概念）、定理、公理、法则等，要求学生首先要叙述出来，其次是分清它们的条件与结论，再次转换成用符号语言表述，并要能画出正确的图，定理甚至要求掌握它的证明。

对课本上一些重要题目也要求学生能用文字语言表述清楚，用数学符号语言表示正确，画出立体感比较明显的几何图。

如：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果它和已知角两边的夹角为锐角且相等，那么这条斜线在平面内的射影是在这个角的角平分线上。

对这个常用的结论，一般可要求学生填空，画出其图形；
又如，对常用公式21cos cos cos θθθ=，
要求学生不仅要理解其意义，而且还得画出图形。

对各种角、距离的定义与操作过程要认真总结归纳。

（具体小结如附1）
2． 进一步对空间想象能力的培养，为此可以从两个方面来入手：
（1） 重视看图能力的培养：对于一个几何体，可要求学生从不同的角度去观察，可以是俯视、仰视、侧视、斜视，让学生体会不同的感觉，可以开拓学生的空间视野，培养空间感；从而也使学生明白，当从一个角度去观察一个几何图形而解决不了问题时，可以换一个观察角度。

（2） 加强画图能力的培养：要求学生掌握基本图形的画法；如异面直线的几种画法、二面角的几种画法等等；对线面的位置关系，所成的角，所有的定理、公理都要画出其图形，而且要画出具有较强的立体感，除此之外，还让学生体会到用语言叙述的图形，画哪一个面在水平面上，产生的视觉完全不同，往往从一个方向上看不清的图形，从另
方向上可能一目了然。

对于诸如过多面体上的已知点作截面，或作二面角的棱等问题，主要作图依据是平面的三条性质和“三平面两两相交，得到三条交线，则三条交线或者互相平行或者交于一点”。

（3）加强认图能力的培养：对立体几何题，既要由复杂的几何图形体看出基本图形，如点、线、面的位置关系；又要从点、线、面的位置关系想到复杂的几何图形，既要看到所画出的图形，又要想到未画出的部分。

能实现这一些，可使有些问题一眼看穿。

3．加强审题能力的培养。

一般地方法是：先一句一句理解，再全面考虑，要注意文字语言、符号语言、图形语言的互译。

对于未给出图形的题和判断位置关系的问题，先用手头的工具比划它们的位置关系（桌面、书、笔、教室等等），如果需要画图，再选择恰当的方位画图。

如果有图，边读题边想象实际图形，再综合分析线面关系。

4．应注重让学生掌握解题方法中的通法通则，特别是转化化归思想，向量代数法。

在授课时讲清讲透彻，让学生不仅理解深刻而且能牵牵掌握。

如线面和面面关系的转化；三棱锥等积法要熟练掌握；面面平行转化为线面平行，可再转化为线线平行来处理。

再如，点到面距离，可转化为线到面距离，又可转化为面面距离；证明两线平行，可转化为两直线同时垂直于一个平面的证明。

又如求二面角的向量代数法、三垂线定理法和射影面法；求点到面的距离的向量代数法和等体积法等这一些都是立体几何中的通法；
5．引导学生多积累。

如（1）注意平面几何和立体几何概念的区别与联系，如：空间的垂直未必相交；正三棱锥不仅要底面是正三角形，还要顶点在底面上的射影是底面三角形的中心；三棱锥顶点在底面上的射影是底面三角形的外心、内心、垂心的条件各是什么等问题。

（2）记住一些特殊图形的线面关系和有关量。

如：正方体中对角线与侧面对角线异面时，它们互相垂直；正四面体相对棱相互垂直；直角四面体的三个侧面面积的平方和等于底面面积的平方等等；若能记住它，将提高解题速度。

还使学生对问题的理解更加快捷。

6．严抓解题的表述与书写的规范性。

在传统的逻辑推理方法中的基本步骤是：“一作（作辅助线），二证明（如证明直线与平面所成的角），三求（求解角或距离等）”；在用向量代数法时，必须按照“一建系（建立空间直角坐标系），二求点的坐标，三求向量的坐标，四运用向量公式求解”；如在证明线面垂直时，应证线线垂直时，学生容易只证与平面内一条直线垂直就下结论，这里应强调证两条相交直线，缺一不可；用空间向量解决问题时，需要用建立坐标系时，一定要说清楚；用三垂线定理作二面角的平面角时，一定得点明斜线在平面上射影；书写解题过程的最后都必须写结题语。

7．在面积、体积计算中，要抓住基本图形的基本量，利用基本量可用方程思想处理计算问题。

长方体的长、宽、高；正三棱锥的侧棱与底面边长；球的半径等等；这些基本量是列关系式的基本元素。

8．加强与球有关的问题。

球内接长方体的对角线等于球的直径；球内接正四面体的棱长与球的直径的关系则可以通过相应的球内接正方体来作中间桥梁，即正四面体的棱长等于正方体的侧面对角线长；如2003年全国卷第12题便是考查这一点。

球与截面的问题可类比于圆与弦的问题。

9．培养学生两种意识：
（1）特殊化意识。

许多线面关系的问题要特别注意它们的特殊位置关系，在一些计算问题在一般位置（图形）和特殊位置（图形）的答案是不变的，从特殊中寻找快捷的解题思路。

要培养学生的这种意识，以提高解题速度。

有时，由特殊图形的关系可引出一般在关系。

（2）运动的观点。

平移不改变角的大小，在立体几何中，所有角的求解都可做平行线（平移）来解决，这样我们可将不相交的线的夹角转化为相交线的夹角；直线不能移动，但其方向向量可以按需要任意平移。

以上是笔者一些肤浅的看法，由于笔者水平有限，不妥之处，请多多指正！
附1：
（1）求异面直线所成的角主要方法：
①依据其定义，可归纳为“选点——作平行线——解三角形”。

一般用“三点定面法”即在异面的两线段的4个端点中，适当选其中三点确定平面，然后在其确定的平面上先考虑能否平移其中一条线段与另一条相交，如果不行，则可以考虑另两种做法：（Ⅰ）找线段中点或图形上的特殊点，来作两异面直线的中位线或其它平行线；（Ⅱ）通过补形来达到平移其中一条直线与另一条直线相交。

当然选点原则是所得到的三角形好解，如直角三角形等。

②采用向量代数法，向量代数法也有两种手段：（Ⅰ）利用空间向量基本定理，选取恰当一组基底来分别表示两异面
直线上的方向向量；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，分别求出两异面直线上的方向向量的坐标；然后都用数量积公式求出其夹角的余弦值。

以上两种方法，最主要是掌握向量代数法。

（2） 求二面角常用以下方法：先判断是否可能为直二面角（要证明），其次可用以下方法：
① 定义法：在二面角棱上取一点分别向两个半平面作垂直于棱的射线.由于棱上选点的任意性对下一步计算不利,所以我们常先在一面内选一特殊点作棱的垂线交棱于一点。

再过这一点在另一面作垂直于棱的射线，从而得到二面角的平面角。

再解三角形。

② 三垂线定理法：过一平面内一点分别作棱的垂线和另一面的垂线，连接两个垂足，可得二面角的平面角。

再解直角三角形。

以上方法是已知了二面角的棱，可归纳为：“选点一—作平面角—一证明——解三角形”。

求解时，先要分析是否为直角三角形。

③ 从已知图形中找出某图形与其射影图形。

利用公式斜面射影面
S S =θcos 求出θ，即为二面角的度数。

④ 向量代数法：建立适当的空间直角坐标系，分别在两个平面上求两条相交直线的方向向量的坐标。

然后分别取这
两个平面的法向量21,n n ρρ，根据条件分别取21,n n ρρ一组具体坐标，再用公式|
|||cos 2121n n n n ρρρρ⋅=θ求出θ，即为二面角或其补角的度数。

这里有一个难点是法向量的取法与判断二面角是小于90o 还是大于90o 。

另外，如果没有给出二面角的棱，可将图形中的某些线段或平面延长，延拓或平移得到二面角棱。

或将原几何体补成（或平移）特殊几何体，使之出现二面角的棱。

在以上方法中，主要掌握向量代数法、射影面法及三垂线定理法。

（3） 求点到面的距离有四种方法：
① 根据定义，直接作垂线，找垂线段； A
② 转化为线面距离或面面距离；
③ 三棱锥等积法；
④ 向量代数法： 如图，点A 到平面的距离是|AO|， 则向量BA 在直线OA 方向
向量上的投影是OA
则有,cos ||||,cos ||||e BA e BA OA BA BA OA ρ=><=><= 参考资料：
1． 高中数学教材《数学》第二册下册。

2． 《十年高考分类解析与应试策略（1994~2003） 数学》 主编任志鸿 南方出版社
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