数列求和专题.

**教育五环教学案

日期：授课人：学生：科目：数学今日格言：柏拉图说：“数学是一切知识中的最高形式”

课

题

数列求和专题

教学目标

高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．

知识点及重难点梳理1．数列求和的方法技巧

(1)分组转化法

有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．

(2)错位相减法

这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}，{b n}分别是等差数列和等比数列．

(3)倒序相加法

这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．

(4)裂项相消法

利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为

1

a n a n＋1

的数列的前n项和，其中{a n}若为等差数列，则

1

a n a n＋1

＝

1

d⎝

⎛

⎭

⎫

1

a n－

1

a n＋1.

常见的拆项公式：

①

1

n(n＋1)

＝

1

n－

1

n＋1

；

②

1

n(n＋k)

＝

1

k(

1

n－

1

n＋k

)；

③

1

(2n－1)(2n＋1)

＝

1

2(

1

2n－1

－

1

2n＋1

)；

④

1

n＋n＋k

＝

1

k(n＋k－n)．

考点训练考点一分组转化求和法

例1等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前n项和S n.

在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．

设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －

a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫

π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋1

2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .

考点二 错位相减求和法

例2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－1

2n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .

错位相减法求数列的前n 项和是一类重要方法．在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数

列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题．

设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －

1.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .

考点三 裂项相消求和法

例3 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *,

且a 2，a 5，a 14构成等比

数列．

(1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<1

2.

数列求和的方法：(1)一般地，数列求和应从通项入手，若无通项，就先求通项，然后通过对通项变

形，转化为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式，从而选择合适的方法求和得解．(2)已知数列前

n 项和S n 或者前n 项和S n 与通项公式a n 的关系式，求通项通常利用a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

S 1(n ＝1)

S n －S n －1(n ≥2).已知数列递推式求

通项，主要掌握“先猜后证法”“化归法”“累加(乘)法”等．

已知x ，

f (x )

2

，3(x ≥0)成等差数列．又数列{a n }(a n >0)中，a 1＝3，此数列的前n 项和为S n ，对