第六章集合的基数

第六章 集合的基数
本章学习目标
集合的基数是指集合的元素个数的多少，对有限集合来说，基数就是集合所包 含元素的个数，两个有限集的“大小”相等是指它们包含的元素个数相同。

对于无限 集合，用等势来表示两个无限集的“大小”相等。

教学目的：
通过本章学习，读者应该掌握以下内容：
1．基数的基本概念
2．有限集的概念及运算
3．用等势来表示两个无限集的“大小”相等
教学重点：
1．基数的基本概念
2．用等势来表示两个无限集的“大小”相等
教学难点：
用等势来表示两个无限集的“大小”相等
6.1 基数的概念
定义 6.1 设A、B 为两个集合，如果存在从 A 到B 的双射函数，则称 A 与B 是等势的，记作A≈B。

例6.1 验证自然数集N 与非负奇数集合 M 是等势的。

证明 因为N 与M 的元素之间可以作一双射函数，即
f （n ）=2n+1
所以，N ≈M 。

定理 6.1 设A 、B 和 C 为任意的集合，则
（1）A ≈A ；
（2）若 A ≈B ，则 B ≈A ；
（3）若 A ≈B ，B ≈C ，则 A ≈C 。

定义 6.2 如果有一个从集合{0，1，…，n }到 A 的双射函数，则称集合 A 是
有限的；如果集合 A 不是有限的，则称它是无限的。

定理 6.2 自然数集合N 是无限的。

定义 6.3
（1） 对于有限集合 A ，称与 A 等势的那个唯一的自然数为 A 的基数，记作:
card A ，即
card A=n ÛA ≈n
（2）自然数集合的基数记作 א 0 （读作阿列夫零）
，即 card N = א
0 （3）实数集合的基数记作א（读作阿列夫），即
card R = א 0 例
例6.3 证明区间[0，1]与（0，1）基数相同。

证明 设集合
A={0，1，，…，，…}，A Í[0，1]
定义 f ：[0，1]®（0，1）使得：
则，f 是双射函数
ï ï ï î
ï ï ï í ì - Î = ³ + = = A x x x f n n n f f ] 1 , 0 [ , ) ( 1 , 2 1 ) 1( 2 1 ) 0 ( 对 对
6.2 可数集和不可数集
定义 6.4 与自然数集合等势的任何集合称为可数的。

可数集合的基数也用 א
0 （读作阿列夫零）表示。

例如，{2，4，6，8，…，2n，…}
{-1，-3，-7，-9，…，-2n +1，…}
{x为素数}，其中 xÎN
都为可数集。

定理 6.3 A为可数集的充分必要条件是可以把 A排列成
A={a1，a2，…，a n，…}
的形式。

定理 6.4 任意无限集，一定包含可数子集。

证明 设 A为无限集， 从 A中取出一个元素， 记为a1， 因 A为无限集， A-{a1} 也为无限集，所以从 A­{a1}中取出一个元素，记为a2，而 A-{a1，a2}仍为无限集， 所以又可以取出a3，重复这个过程，可得到 A 的可数子集。

定理 6.5 任意无限集，一定与它的某一真子集等势。

证明 设无限集为 A， 根据定理6.3， A中包含可数子集B={a1， a2， …， a n， …}， 设M=A-B，定义 A到 A-{a1}的函数 f，使得 f在 M 上是恒等函数，即 f（x）=x， xÎM，在 B 上，使得 f（a n）=a n+1（n=1，2，3，…）。

显然 f是双射函数。

因此 定理得证。

定理 6.6 可数集的任意无限子集是可数集。

证明 设 A={a1，a2，…，a n，…}为可数集，B为 A的无限子集，将在 A中 而不在B中的元素删去， 同时注意到 B是无限集合， 则有B={a i1， a i2， …， a in， …}， 因此，B是可数的。

定理 6.7 可数集与有限集的并是可数集。

证明 设 A={a1，a2，…，a n，…}为可数集，B={b1，b2，…，b m}为有限集， 则 A∪B={b1，b2，…，b m，a1，a2，…，a n，…}，不妨设a m+i=a i，（i=1，2，…）， a1=b1，a2=b2，…，a m=b m，则 A∪B={a1，a2，…，a n，…}，所以 A∪B 为可 数集。

定理 6.8 可数个可数集的并集是可数集。

证明 设可数个可数集为：
A1={a11，a12，a13，…，a1n，…}
A 2={a 21，a 22，a 23，…，a 2n ，…}
A 3={a 31，a 32，a 33，…，a 3n ，…}
令A=A 1∪A 2∪A 3∪…，对A 中的元素排列如下：
定理 6.9 可数个可数集的并集是可数集。

在上面元素的排列中，由左上端开始，
其每一斜线上的每一元素的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元 素的个数依次为1，2，3，4，…，故 A 的排列为：a11，a21，a12，a31，a22，a13，… 所以，A 的可数的。

定理 6.10 设自然数集合为N ，则笛卡儿积N ×N 是可数集。

定理 6.11 有理数的全体组成的集合是可数集。

定理 6.12 全体实数集合R 是不可数集。

6.3 基数的比较
定理 6.13 设自然数集合为N ，则笛卡儿积N ×N 是可数集。

定义 6.5 设 A，B 为任意两个集合，若存在 f：A ®B 且 f 是单射函数，则 称B 优势于A，或称A 劣势于B，记作 A≤B。

若A≤B 且 A 与 B 之间不存在双射，则称B 绝对优势于A，或称A 绝对劣势
于B，记作 A p B。

定理 6.14
设A，B 为两个集合，则A≤B 当且仅当存在C ÍB，使得A≈C。

推论 设A ，B 为两个集合，
（1）若 A ÍB ，则 A ≤B ；
（2）若 A ≈B ，则 A ≤B 且B ≤A 。

定理 6.13 设A，B 和C 为三个集合，
（1） A≤A；
（2）若A≤B，B≤C，则A≤C。

定理 6.14 设A，B 为两个集合，则以下三条中恰有一条成立。

a
11
a 12 ...
... ...
...
... a 13 a 14 a 21
a 22 a 23 a 24 a 31
a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44
（1） card A p card B；
（2） card B p card A；
（3）card A = card B。

定理 6.15 设A，B为两个集合，如果card A≤card B，cardB≤card A，则有
card A = card B。

例6.4 证明[0，1]与（0，1）有相同的基数。

证明 作单射函数：f：（0，1）®[0，1]，f（x）=x
g：[0，1]®（0，1），g（x）=图片
，card A=א，求证：card（A×B）=א 例6.5 设A=N，B=（0，1），card A= א
证明 定义一个从A×B到正实数的函数f，f：A×B®{x│xÎRÙx>0}
f（n，x）=n+x
因为f是单射函数，并且card {x│xÎRÙx>0}=א。

此外，
作映射g，g：（0，1）®A×B
g（x）=<0，x>
因为 g是单射的，故א<card（0，1）。

所以 card（A×B）=א
א
定理 6.16设A是有限集合，card A p א
p
≤card A。

定理 6.17设A是无限集合，则 א
定理 6.18设A是集合，A的幂集为B，则card A p card B。

本章小结
本章介绍的主要内容有集合等势、集合的基数、有限集、无限集、可数集和 不可数集、集合基数的比较等。

集合的基数反映集合“大小”问题，我们首先建立一 个集合“大小”的标准，我们用集合的基数来表示一个集合的大小。