有限元第四章一些数学概念和结论.ppt

R2 空间中的两个元素，x ( 1, 1 ), y ( 2, 4 ) 可以有如下模的定义:
xy 2
x1 y1 2 x2 y2 2
10
xy 1
x1 y1
x2 y2
4
x y max
x1 y1 , x2 y2
＝3
y (2,4)
10 3 １
x (1,1)
在实数域内， 模 x 与绝对值 x 是等价的。
例２ 由于可以找出任意多个线性无 的试探函数组成n维线性空间。而所有
关的连续函数（1、x、x2 xn ） 所以Ｃ空间为无限维线性空间。Ｌ2 空 间也是无限维线性空间。
形式为
n
n
u uii , v vii
的位移场则组成 2ni1维线性空间。i1
3. 线性空间的模（范数）
（１）模的定义
当线性空间 E 中的任意一个元素 x 可用一个非负实数与之对应，记作‖x‖ （表示“大小”或“长度”）称为E 空间为模线性空间或赋范线性空间，实数‖x‖ 称为模或范数。模的性质如下：
(iv) (u , u) ≥0 仅当 u ≡0 时 (u , u ) = 0。
定义了内积的线性空间称为内积空间。
例 u(x), v(x) C2 [a, b] 至少存在以下四种形式的内积：
u,
v
b
a
u
a
a
则
c11 (x) c22 (x)2
c1212 (x) c2 22 2 (x) 2c1c21 (x)2 (x)
2 c1212 (x) c2222 (x)
所以 c11 (x) c22 (x) 也是（a, b）上平方可积的函数。所有（a, b）上平方可积的
函数组成一个线性空间，记作L2 (a, b) 。
(i) ‖x‖≥0 ,仅当 x ≡ 0 时 ‖x‖=0 (ii) 对任一常数α有: ‖αx‖=∣α∣•‖x‖ (iii) 对任意 x、y ∈ E 有:
‖x + y‖≤‖x‖＋‖y‖ （此式又称三角不等式）。
‖x‖----------元素 x 的“大小”，
‖x - y‖--------两个元素 x、y 之间的“距离”。
例５Pn(x) [a,b] 定义在 [a,b] 上的n 次多项式 Pn(x) [a,b] C [a,b] 构成线性空间。
2 线性空间的维数
( 1 ) 线性相关与线性无关
( 2 ) 线性空间的维数
设 1、２n 为线性空间Ｅ的n个元素
（i）若存在不全为零的常数使得
c11 c22 cnn 0 则称 1、２n 线性相关；
若 1 (x) 、2 (x) 是[a, b]上的连续函数，则c11 c22 也是[a, b]上的连
续函数。故定义在[a, b]上的所有连续函数组成一个线性空间。记作C [a, b]。
例２ L2 （a,b）
b
b
若 1(x)、2 (x)是（a, b）上平方可积的函数，即 1 (x)2 dx 、 2 (x)2 dx 存在
第四章 一些数学概念和结论
关于有限元方法的一些数学概念和结论； 有限元解的收敛性以及单元精度问题； 本章的主要对象是函数：
真实解是一个函数； 基函数是一组函数； 试探函数是某一类函数； 有限元解是某类函数中使πP 取最小值的那一个函数。 本章中： “元素”指的就是函数； “空间” 就是具有某种性质的函数的集合，即函数空间。
设真实解为u，有限元解为uh，
当‖u-uh‖→0，
有限元解收敛于真实解。 模的定义不同，收敛的意义也不同。
例１ 在 平面(Ｒ２) 内，向量 x（x1, x2）可以有下列三种模的定义:
x 2
x12
x
2 2
x 1
x1
x2
x
max
x1 , x2
例２ 设 x, y E 则， II x- y II 可以表示这两个元素的“接近程度”，若在
若线性空间Ｅ 满足
（i）任意n+1个元素一定线性相关。 （ii）存在着n个线性无关的元素。
则称线性空间Ｅ 的维数为n。
(ii) 若 c11 c22 cnn 0
仅当 c1 c2 cn 0
例１ 若 1、２n 线性无关，则
所有形式为
才成立，则称 1、２n 线性无关。
c11 c22 cnn
例３ C1 [a,b] 若 1 (x) 、1(x) 、2 (x) 、2 (x) 在[a, b]上连续，则
c11 c22 c11 c22
也在（a, b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（a, b）上连续的函数组成 一种线性空间，记作C1 [a, b]。
例４ Rn
n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）, R3（三维空间）是 n 维欧氏空 间的特例。
(2) 设Ｅ 中的元素与实数域的元素有“数乘”运算，即 x, y E，a, b K(实数
域） abx abx E （i） 1 x x
（iΒιβλιοθήκη Baidu） a b x ax bx
（iii） ax y ax ay
（iv）若Ｋ为实数域则Ｅ 称为实线性空间，Ｋ 为复数域则Ｅ 称为复线性空间。
例１ C [a,b]
图４－１
（２）两种常用的模
① 一致模 若u ∈ C [a, b]，则 u 必在 [a, b] 上取到最大值和最小值，故:
② L2 模
u max u
a xb
b
若u ∈ L2 (a, b) 则 L2 u 2dx
a
存在，
L2 模 定义为：
u
L2
1
b u 2dx 2
a
按一致模收敛是一致收敛，按 L2 模收敛则是平均收敛。
§4-2 内积空间（酉空间）
１. 内积 对于线性空间Ｅ 的每一对元素 u、v 定义一个确定的实数与之对应，称 为 u、v 的内积，记作（u、v），且满足:
(i) （ u、v）＝（v、u）
（对称性）
(ii) 对任一常数α有(αu, v) = α(u, v)
（齐次性）
(iii) 对于u1、u2、v ∈E 有 ( u1+u2 , v ) = ( u1 , v )+( u2 , v ) （可加性）
§4-1 线性空间（向量空间）
1. 线性空间的定义
满足下列条件的空间E为线性空间 (1) x, y , zE 有如下“加法”运算 （i） x ( y z) ( y x) z
（ii） x y y x
（iii）存在“零元素” q E x E 有 x x
（iv） x E 存在逆元素 –x E 使 x (x)