数据结构_图(2)

V-U
U
普里姆（Prim）算法
v
克鲁斯卡尔 (Kruskal) 算法
u
第7章 图 普里姆算法 (Prim算法,又称边割法) 1957年由Prim提出
假设N=(V, {E})是连通网，TE为最小生成树中边的集合。
Step1: 初始U={u0}(u0∈V), TE=φ； Step2: 在所有u∈U, v∈V-U的边中选一条代价最小的边(u0, v0) 并入集合TE，同时将v0并入U； Step3: 重复Step2，直到U=V为止。
问题演化 要在n个城市间建立通信联络网 顶点——表示城市 边的权——城市间建立通信线路所需花费代价
问题分析 n个城市间，最多可设置n(n-1)/2条线路 n个城市间建立通信网，只需n-1条线路 如何在可能的线路中选择n-1条， 能把所有城市（顶点）均连起来， 且总耗费（各边权值之和）最小。
0
6
22
3 6
0 {1,3,6} {2, 4,5}
1 0 6 1 5 2 6 0 5 3
3 1 5 0 5 6 4 4 5 5 0 2 5 3 6 0 6 6 4 2 6 0
adjvex 3
3
{1,3,
lowcost 55 0 0 6 0 6,4}
{2, 5}
设计思路： ① 增设一辅助数组Closedge[ n ]，以记录从U到V-U具有最小代价的边， 每 个数组分量都有两个域：
Colsedge[ i-1]
adjvex
lowcost
V-U中顶点vi
vi 在U中的邻接点u （u，vi）
u与vi之间对应的边权
要求：使Colsedge[ i-1].lowcost = min( ( u ,vi ) ) u U
第7章 图
第七章 图(2)
电子科技大学
第7章 图
第7章 图
7.1 图的定义与基本术语 7.2 图的存储结构 7.3 图的遍历 7.4 图的应用
--最小生成树 (无向图) --拓扑排序 (有向图，简介) --最短路径 (无向图或有向图)
第7章 图
7.4 图的应用—最小生成树
1. 无向图的生成树：回顾
一个连通图的生成树是一个极小连通子图,它含有图中全部顶点,但 只有构成一棵树的(n-1)条边。
e<n-1 → 非连通图 e>n-1 → 有回路 e=n-1 → 不一定都是图的生成树
V2
V2
V1
V4
V3
V6 V5
无向图G
V1
V4
V3
V6 V5
V2
V1
V4
V3
V6 V5
第7章 图
对于给定的连通网络，如何求得其生成树？ 对含有n个顶点的连通图G，从任一顶点出发，作一次深度优先 或广度优先遍历，将遍历过程中经过的n-1条边和图中的n个顶 点连接起来构成一个极小连通子图，就是图G的一棵生成树。 用不同的遍历图的方法，可以得到不同的生成树；从不同的顶 点出发，也可能得到不同的生成树。一个连通图的生成树可能 不唯一。
u
v-u
u
v
含义：将顶点分为两个不相交的集合U和V-U，
若边（u，v）是连接这两个顶点集的最小权值
u’
v’
边，则边（u，v）必然是某最小生成树的边。
第7章 图 我们可以利用反证法来证明MST性质：
假设不存在这样一棵包含边（u , v）的最小生成树。任取一棵最 小生成树T，将（u , v）加入T中。根据生成树的性质，此时T中必形 成一个包含（u , v）的回路，且回路中必有一条边 (u’, v’)的权值大 于或等于( u, v)的权值。删除（u’, v’)，则得到一棵代价小于等于T的 生成树T′，且T′为一棵包含边（u , v）的最小生成树。这与假设矛盾， 故该性质得证。
第7章 图
该问题等价于：
在n个顶点的连通网中，构造网的一棵最小生成树 (Minimum Cost Spanning Tree, MST) , 即：在 e 条带权的边中选取 n-1 条边 (不构成回路), 使“权值之和”为最小。
最小生成树有如下重要性质(MST性质)：
设 N=(V, {E}) 是一连通网，U 是顶点集V的一个非空子集。 若（u , v）是一条具有最小权值的边， 其中u∈U， v∈V-U， 则存在一棵包含边（u , v）的最小生成树。
此时，TE中必含有n-1条边，则T=(V, {TE})为N的最小生 成树。
从一个平凡图开始，普利姆算法逐步增加U中的顶点， 可 称为“加点法”。
注意: 在第最7小章生成图树的生成过程中，所选的边都是一端在U中，另一端
在V-U中。选最小边的过程是一个向集合U中添加顶点的过程。
例
6
1
5
1
1
1
2
1
4
5
5
struct { VertexType adjvex; // u在U集中的顶点序号 VRType lowcost; // 边的权值
} closedge[MAX_VERTEX_NUM];
u从U（u1~un）中挑选，选择U 中到顶点vi边的权值最小的顶点
第7章 图
具体示例：
怎样完成这个算法？ 可以采用双层for循环控制
所有生成树具有以下共同特点： 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同（是连通图的极小连通 子图） 一个有n个顶点的连通图的生成树只有n-1条边 在生成树中再加一条边必然形成回路 生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的
第7章 图
问题 (最小生成树) 的提出：
假设要在 n 个城市之间建立通讯联络网，则连通 n 个城市只需 要修建 n-1条线路，如何在最节省经费的前提下建立这个通讯网？
1
1
3
3 6
42
3
3
4
5
6
U={1} U={1,3}
6
U={1,3,6} 6
1
1
1
1
42
1
4
5
3 42
3 42
6
U={1,3,6,4}
6
U={1,3,6,4,2}
2
14533425
6
U={1,3,6,4,2,5}
第7章 图 计算机内怎样实现Prim（普里姆）算法？
Prime算法特点: 将顶点归并，与边数无关，适于稠密网。 故采用邻接矩阵作为图的存储表示。
起点 1
6
15
2 53 5 4
36
42
566
v
closedge
2
3
4
55
66
U
V-U
adjvex 1 1 1 1 1 lowcost 6 11 5 ∞ ∞
{1} {2,3,4, 5,6}
adjvex lowcost
3 5
0
1 5
3 6
3
44
{1, 3}
{2, 4, 5, 6}
adjvex 3 lowcost 5