以圆锥曲线焦点弦为一边的三角形面积的探究
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ma + 2 4.结语 根据高中数学竞赛试题的特点，从组织数学探 究活动着手，训练和培养数学竞赛解题思维能力.多 方位探索解题途径，培养解题思维的灵活性•深入地 思考发现数学问题的本质,培养解题思维的深度 ，辨 析和对比转换问题,培养解题的批判性，积淀数学解 题策略，切入解决问题的普适性，提升问题拓展引申 的能力.
2
调递增•故当2 = 9,即m = 0时，(Saaob)mnx = J，此Ll
时直线Z的方程为2 = 9. 由上题发现，当直线AB的斜率不存在即AB为
通径时,4A0B的面积最大. 22
为此笔者猜想对一般性的椭圆耸+告=9(a ab
>2> 0)，是否都有这个结论成立？
2019年第7期
中学数学研究
-39 •
2
②若宁W 9,即c W -时，令g(2 =-2 + — ( 2
b
t
M 9丿，则g()在［9 , + g丿上单调递增•故当2 = 9
即m = 0时，(S4A0B)m4二b竽c•此时直线Z的方程为
X - C. 显然当2 —》+ g时，S4A0B —、0 ,故无最小值. 综上得以下结论: 结论9 过椭0 圆y气= 9 a>2 > 0)右焦 ab
=
a (c2 -b2) —b2--+---a- 入
,0p
+02
、f =入(2P
\ +22丿
A +22
2pOo
(、
=(入 2P
+ C (入2q +2 =入2 2p2o + 入C(p + 2o)+ cC
假设存在，(0,n)满足条件，则丽•而=(2p,
Op-n) • ()22 一 n) = 2p22 + OpOo 一 n(Op + 02丿
参考文献
[1]G.波利亚.怎样解题.数学思维的新方法[M].上海科技 教育出版社209.
以圆锥曲线焦点弦为一边的三角形面积的探究
浙江省绍兴鲁迅中学 (319000)徐耀
圆锥曲线中的三角形面积问题是圆锥曲线有 关最值问题中比较常见的一种题型.它结合了数形 结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等多种 数学思想方法，有利于综合考查考生的能力，是各地 高考试题中出现频率较高的热点问题.在高二学生 的作业中，笔者发现了这样一道题：
= 0 —般化，只需假定
Ab2pAb2o 二-m(m >°), 在平面直角坐标系2)中，椭圆i：% 0y + % = ab
9(a > 2 > 0)的上顶点B2,不经过B2的直线P与椭
圆交于P,2两点，且Ab2pAb20 = - m(m > 0) •求证：
2 一(2 直线八恒过定点(0, - “a「bzi.
my+c，
2 ml cy - b4 = 0. *.* 4 = 4a224(m2 + 9 ) > 0 ,二 0[ +
-2 mb2 c
-b4 一
9
a 二 b m --+-a 2,91y2 bm +a2-'
2•
0F2 • O1 - 02 I
J alc m2 +9
bm +a
J aZb4 ( m2 + 9 ) 2 Im2 + a2
J 令 2 = m2 +9 (t M 9 丿则 S^aob
abc
2•
l2 +^
al cc I2 + c2
①若y>9,即c >2时24A0B
al c al c —W莎
=a.当且仅当2 =亍,即m二土槡：-1时，等号
成立•此时(S4A0B ) mn =¥，直线2的方程为0 =
2
bc
或
b
jc^i
bc
jc-1
2 a ( - 22 + 2 n2 - I )入2 + a2 ( 22 - I ) (
+ n = ---------------- a, +1
--------- +(2-
22，由于与,无关，所以有a(-c +2 n2-I)= a2
a2 (C -I),解得 n = 2,进而 B> •蔵=0.
—I
拓展3 将B> •
点F的直线P交椭圆于A、B两点，0为坐标原点， (9)若c > 2,则(S4A0B)mn = a)此时直线/的
方程a
2
—或
2
+
bc
；
(2)若c W 2,则(S4A0B)mn =b^c ，此时直线/的
方程为2 =c.4A0B的面积无最小值. 椭圆有这个结论，那么同为圆锥曲线的双曲线
和抛物线是否也有类似的结论呢？下面我们先来研 究一下双曲线•
I)o2 + 2mlcc + I = 0.
c4 = 4a2I(m2 + 9) > 0,二 y1 + a =
-2mlc
0 题目 直线z过椭圆牙+O2 =9的右焦点F交
椭圆于A、B两点，0为坐标原点，求4A0B面积的最
大值及此时直线Z的方程• 解：设 A(O1,91) ,B(22,02),直线 P： =my + 9.
联立｛2 + y = ， 消去2得(m2 + 2 )y2 + my =my+ 9 ，
-9
=0. c 4
-30 •
中学数学研究
2219年第7期
•
解：设儿^：：二入2+c，其中2二-a2— 一(2 ,与椭 a +2
圆i：%0y = 9(Biblioteka Baidu > 2 > 0)联立方程组得 ab
( b +a ， ) 0 + ，2a0+a ( 2 -b ) = 0
所以 2P
+ 20
2 — — T 2
，2a +a2 入12,2p22
=8m2 + 8
> 0,二 0[
+ y2
=
-2 m m2 + 2
292
-9 m2 + 2
J8m2 + 8 二 S4A0B = T * 0F2 * • ^ - y2，=亍' m + =q J槡mm＋+9.
J 令 2 = m2 + 9 (2 M 9)则 S40B
J/2
=22 +9 =
9 •令 g() = 2 + 2 ,则 g()在[9, + g )上单 2 +—
探究二 过双曲线0筈y-笔=9(a > 02 > 0) ab
的右焦点F作直线P交双曲线于A、B两点，0为原 点，求4A0B面积的最值.
解：设 A(O1,91) ,B(22,02),直线 Z： = my +
c m H ¥) • b
“2 2
22
22
联立｛-2 -a+ =a-，消去 2 得(Im2 -
0=my+c，
探究一过椭圆a + l = 9(a > 2 > 0)的右 a b2
焦点F的直线2交椭圆于A、B两点，0为坐标原点,
求4A0B面积的最大值及此时直线2的方程.
解:设 A(o1,91) ,B(22 22),直线 P： = my + c.
联立
, 22
2 t2
a + a ，消去2 得(Im*2 + a2)y2 +
2
调递增•故当2 = 9,即m = 0时，(Saaob)mnx = J，此Ll
时直线Z的方程为2 = 9. 由上题发现，当直线AB的斜率不存在即AB为
通径时,4A0B的面积最大. 22
为此笔者猜想对一般性的椭圆耸+告=9(a ab
>2> 0)，是否都有这个结论成立？
2019年第7期
中学数学研究
-39 •
2
②若宁W 9,即c W -时，令g(2 =-2 + — ( 2
b
t
M 9丿，则g()在［9 , + g丿上单调递增•故当2 = 9
即m = 0时，(S4A0B)m4二b竽c•此时直线Z的方程为
X - C. 显然当2 —》+ g时，S4A0B —、0 ,故无最小值. 综上得以下结论: 结论9 过椭0 圆y气= 9 a>2 > 0)右焦 ab
=
a (c2 -b2) —b2--+---a- 入
,0p
+02
、f =入(2P
\ +22丿
A +22
2pOo
(、
=(入 2P
+ C (入2q +2 =入2 2p2o + 入C(p + 2o)+ cC
假设存在，(0,n)满足条件，则丽•而=(2p,
Op-n) • ()22 一 n) = 2p22 + OpOo 一 n(Op + 02丿
参考文献
[1]G.波利亚.怎样解题.数学思维的新方法[M].上海科技 教育出版社209.
以圆锥曲线焦点弦为一边的三角形面积的探究
浙江省绍兴鲁迅中学 (319000)徐耀
圆锥曲线中的三角形面积问题是圆锥曲线有 关最值问题中比较常见的一种题型.它结合了数形 结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等多种 数学思想方法，有利于综合考查考生的能力，是各地 高考试题中出现频率较高的热点问题.在高二学生 的作业中，笔者发现了这样一道题：
= 0 —般化，只需假定
Ab2pAb2o 二-m(m >°), 在平面直角坐标系2)中，椭圆i：% 0y + % = ab
9(a > 2 > 0)的上顶点B2,不经过B2的直线P与椭
圆交于P,2两点，且Ab2pAb20 = - m(m > 0) •求证：
2 一(2 直线八恒过定点(0, - “a「bzi.
my+c，
2 ml cy - b4 = 0. *.* 4 = 4a224(m2 + 9 ) > 0 ,二 0[ +
-2 mb2 c
-b4 一
9
a 二 b m --+-a 2,91y2 bm +a2-'
2•
0F2 • O1 - 02 I
J alc m2 +9
bm +a
J aZb4 ( m2 + 9 ) 2 Im2 + a2
J 令 2 = m2 +9 (t M 9 丿则 S^aob
abc
2•
l2 +^
al cc I2 + c2
①若y>9,即c >2时24A0B
al c al c —W莎
=a.当且仅当2 =亍,即m二土槡：-1时，等号
成立•此时(S4A0B ) mn =¥，直线2的方程为0 =
2
bc
或
b
jc^i
bc
jc-1
2 a ( - 22 + 2 n2 - I )入2 + a2 ( 22 - I ) (
+ n = ---------------- a, +1
--------- +(2-
22，由于与,无关，所以有a(-c +2 n2-I)= a2
a2 (C -I),解得 n = 2,进而 B> •蔵=0.
—I
拓展3 将B> •
点F的直线P交椭圆于A、B两点，0为坐标原点， (9)若c > 2,则(S4A0B)mn = a)此时直线/的
方程a
2
—或
2
+
bc
；
(2)若c W 2,则(S4A0B)mn =b^c ，此时直线/的
方程为2 =c.4A0B的面积无最小值. 椭圆有这个结论，那么同为圆锥曲线的双曲线
和抛物线是否也有类似的结论呢？下面我们先来研 究一下双曲线•
I)o2 + 2mlcc + I = 0.
c4 = 4a2I(m2 + 9) > 0,二 y1 + a =
-2mlc
0 题目 直线z过椭圆牙+O2 =9的右焦点F交
椭圆于A、B两点，0为坐标原点，求4A0B面积的最
大值及此时直线Z的方程• 解：设 A(O1,91) ,B(22,02),直线 P： =my + 9.
联立｛2 + y = ， 消去2得(m2 + 2 )y2 + my =my+ 9 ，
-9
=0. c 4
-30 •
中学数学研究
2219年第7期
•
解：设儿^：：二入2+c，其中2二-a2— 一(2 ,与椭 a +2
圆i：%0y = 9(Biblioteka Baidu > 2 > 0)联立方程组得 ab
( b +a ， ) 0 + ，2a0+a ( 2 -b ) = 0
所以 2P
+ 20
2 — — T 2
，2a +a2 入12,2p22
=8m2 + 8
> 0,二 0[
+ y2
=
-2 m m2 + 2
292
-9 m2 + 2
J8m2 + 8 二 S4A0B = T * 0F2 * • ^ - y2，=亍' m + =q J槡mm＋+9.
J 令 2 = m2 + 9 (2 M 9)则 S40B
J/2
=22 +9 =
9 •令 g() = 2 + 2 ,则 g()在[9, + g )上单 2 +—
探究二 过双曲线0筈y-笔=9(a > 02 > 0) ab
的右焦点F作直线P交双曲线于A、B两点，0为原 点，求4A0B面积的最值.
解：设 A(O1,91) ,B(22,02),直线 Z： = my +
c m H ¥) • b
“2 2
22
22
联立｛-2 -a+ =a-，消去 2 得(Im2 -
0=my+c，
探究一过椭圆a + l = 9(a > 2 > 0)的右 a b2
焦点F的直线2交椭圆于A、B两点，0为坐标原点,
求4A0B面积的最大值及此时直线2的方程.
解:设 A(o1,91) ,B(22 22),直线 P： = my + c.
联立
, 22
2 t2
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