以圆锥曲线焦点弦为一边的三角形面积的探究
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点2 圆锥曲线焦点弦三角形面积
3．如图，设直线 过焦点 且交椭圆 于 两点，直线 倾斜角为 ，证明：当且仅当 时， .
三、双曲线焦点弦三角形面积公式及其最值
1.双曲线同支焦点弦三角形面积公式
【结论4】
4．如图，设直线 过焦点 且交双曲线 于 、 两点，直线 倾斜角为 ，双曲线的半通径为 ，证明：双曲线同支焦点弦三角形 的面积 .
【结论2】
2．如图， 为椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，证明：椭圆焦点弦三角形 的面积 .
2.椭圆焦点弦三角形面积最大值
对公式②进行化简，得 ，
令 .
对于椭圆，离心率 ，于是由均值不等式可知
，当且仅当 ，即 时 取得最大值，即椭圆焦点弦三角形面积最大值： .
代入 ，上式可化简为 ，此时焦点弦所在直线与 轴夹角 满足 （或 ）.于是我们得如下结论——
A． B． C． D．
（2022·江西·模拟预测（理））
18．设椭圆 的左右焦点分别为 ，直线l过 且与C交于A，B两点，则 内切圆半径的最大值为()
A． B． C． D．1
19．设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 ，且与 轴垂直的直线 与双曲线交于 ， 两点，若 的面积为 ，则双曲线 的离心率为（）
由公式⑥，显然 存在最小值： ，此时 ，即 ，焦点弦所在直线与 轴垂直.
【结论9】
9．如图，设直线 过焦点 且与抛物线 交于 两点，直线 倾斜角为 ，证明：当且仅当 时， .
典型例题：
例1
10． 分别是椭圆的 左、右焦点，过点的直线 交椭圆 于 两点.
(1)若 的面积为 ，求 的长；
(2)求 面积的最大值及此时直线 的方程.
（1）求椭圆 的标准方程；
《圆锥曲线中的三角形面积问题》课件
第三步，代数运算。
此时点
P
到直线
l
|2·－2－－2－2|
的距离为
＝
22＋－12
4 5＝
45 5 .∴|AB| ＝
1＋k2 · x1＋x22－4x1x2 ＝
1＋22· －42－4－4＝4 10，故△ABP 面积的最大值
4 为
10×4 2
2
2.利用共同的底边，拆分三角形为面积和（或差），
常化为
S
1 2
|
公共底边长
||
x1
x2
|
或S
1 2
|
公共底边长
||
y1
y2
|
“联立方程+韦达定理+ ”是前提，最值问题常化为
函数、不等式最值等。
问题 2
如图，已知直线 l：
y＝2x－2 与抛物线 C： x2＝－2y 交于 A、B 两
点，O 为坐标原点．若
k
y kx 2
位置关系代数化：由
x2 2
y2
，消去
1
y
得关于
x
的
方程：(1 2k2)x2 8kx 6 0 。由直线 l 与椭圆相交于 A、
B 两点， 0 64k 2 24(1 2k 2 ) 0 解得 k2 3 。
2
问题目标代数化：
方法
1：
S SAAOOBB
1 2
| OD | |
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的离心率
为
6 3
，右焦点为
(2
2,0)。斜率为 1 的直线l与
焦点三角形面积面面观
焦点三角形面积面面观
玉邴图
【期刊名称】《文山学院学报》
【年(卷),期】2006(019)001
【摘要】为培养学生创新意识和实践能力,课堂教学应充分发挥学生主体作用,故在新课程的改革中,探究性学习已经走进课堂教学.在中学数学教学中,如果教师善于引导学生探究一些难易适中的典型问题,那么学生就能够掌握数学的思维方法,提高学生分析问题和解决问题的能力,而且对于学生当前的学习和今后的工作都是有益的.为此,文章以焦点三角形面积为例,引导学生对它的计算方法和应用作一些探究,这样做,恰与素质教育要求的"要重视知识的形成过程和发展过程,培养学生的创新意识和实践能力"的本质相吻合,同时对于高考复习也有较强的应对性.
【总页数】7页(P109-114,117)
【作者】玉邴图
【作者单位】广南县第一中学,云南,广南,663300
【正文语种】中文
【中图分类】O124
【相关文献】
1.椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式——解决客观题的法宝 [J], 董晖
2.椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式--解决客观题的法宝 [J], 董晖;
3.以圆锥曲线焦点弦为一边的三角形面积的探究 [J], 徐耀
4.从椭圆焦点三角形面积问题的一道错题谈起 [J], 汪海斐
5.利用焦点三角形面积公式解一类高考题 [J], 张仁华
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微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题(解析版)
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：①一般方法：d AB S 21=（其中AB 为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离），设直线为斜截式m kx y +=.进一步，d AB S 21==20011221214)(121k m y kx x x x x k ++--++②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x 轴或者y 轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.12PAB PQA PQB A B S S S PQ y y ∆∆∆=+=-=12PAB PQA PQB A B S S S PQ x x ∆∆∆=+=-=③坐标法：设),(),,(2211y x B y x A ，则||211221y x y x S AOB -=∆④面积比的转化：三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化⑤四边形的面积计算在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.⑥注意某条边过定点的三角形和四边形当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题【精选例题】【例1】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，1F ，2F 分别为左右焦点，点(1P，2P -⎛⎝在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的离心率；(2)过左焦点1F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，O 为原点，直线OM交直线3x =-于点N ，求1ABNF 取最大值时直线l 的方程.则2222(2)(2)2x y x -+=-【跟踪训练】1.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，圆O ：22320x y x y ++--=，若圆O 过椭圆C 的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0作两条相互垂直的直线1l ，2l ，分别与椭圆相交于点A ，B ，D ，E ，试求AB DE +的取值范围．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题【精选例题】圆心O 到直线CD 的距离为2||51m d k ==+联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223k x ++()()()2226423360km k m ∆=-+->，可得设()11,A x y 、()22,B x y ，则12623km x x k -+=+()2222121236141k m AB kx x x x k=++-=+()()()(2222261322612k km k ⋅++-+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（首先建立目标函数，再求这个函数的最值，式长最值．P x y满足方程【例3】动点(,)【点睛】求解动点的轨迹方程，可通过定义法来进行求解型的轨迹的定义，由此来求得轨迹方程用不等式的性质、基本不等式等知识来进行求解【例4】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为(1)求椭圆C的标准方程；【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点达定理可得12y y +，12y y ，可求出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线【跟踪训练】(1)求椭圆C的标准方程；(2)判定AOMV（O为坐标原点）与理由.【答案】(1)2212xy+=；(2)面积和为定值，定值为【分析】（1）根据题意求,a b）方程为22221x ya b+=，焦距为2c，则2221b a c=-=，的标准方程为221 2xy+=.()0,1A，()0,1B-，直线l：x(1)求椭圆C的方程；(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．△面积的最大值．②求AOD②设直线AD 恒过定点记为M 由上()222481224t m ∆=-+=⨯所以1222423t y y t +=+，122y y =）题型三：利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题【精选例题】(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值；(3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】(1)2214xy+=；(2)4；(3)）当直线1l，2l中的一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为1AB CD=⨯⨯=.4122当直线1l，2l的斜率都存在且不为0时，【跟踪训练】2．已知焦距为2的椭圆M ：于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求椭圆M 的方程；F l）斜率不存在时.1l 方程为1x =，2l 方程为1134622ABCD S AB CD =⋅=⋅⋅=四边形斜率为0时.1l 方程为0y =，此时无法构成斜率存在且不为0时.设1l 方程为y =12．已知圆O ：224x y +=，点点P 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知()1,0F ，过F 的直线m【点睛】方法点睛：设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理结合弦长公式得出弦长3．已知椭圆2222:1(x yEa b+=()2,1T，斜率为k的直线l与椭圆(1)求椭圆E的标准方程；（2）设直线AB的方程为6．已知椭圆(2222:1x y C a a b+=两点，且1ABF V 的周长最大值为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 是椭圆C 上一动点（不与端点重合），则112AF AH AF AF +≤+=故当AB 过右焦点2F 时，ABF V 因为椭圆C 的离心率为c e a =22121,2A F a c A A a =-===则11214A PQ PA A S S =V V ，故PQ =设(,),(02)P P P P x y x <<，则又P 点在22143x y +=上，则又2(2,0)A ，所以直线2A P 的方程为）O 中，由OA l ⊥，2EOF EOA ∠=∠，则EOA V 中，cos 601OA OE =⋅=o ，则S 当直线l 的斜率不存在时，可得:1l x =±，代入方程可得：2114y +=，解得32y =±，可得MN 当直线l 的斜率存在时，可设:l y kx b =+，联立可得））得1(0,3)B ，2(1,0)F ，12B F k =所以直线MN 的斜率为33，所以直线()2231313x y =++=．消去y 并化简得13(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆若不存在，请说明理由；(3)椭圆E的内接四边形ABCD4t4t【点睛】方法点睛：本题（2圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值11．已知椭圆221:184x yC+=与椭圆(1)求椭圆2C的标准方程：不妨设P 在第一象限以及x 故000022AP AQ k y y k x x -+⋅=⋅=-由题意知直线AP 存在斜率，设其方程为若直线l ，m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线所以直线l 的斜率存在且不为零，设直线()()1122,,,A x y B x y ，()1y k x ⎧=+。
圆锥曲线中求三角形面积的几种方法
圆锥曲线中求三角形面积的几种方法（宜昌市田家炳高级中学 胡爱斌）圆锥曲线中求三角形面积的问题很常见。
此类题若方法选取不当将直接影响解题的速度与准确率，如下看求三角形面积的几种有效方法。
1、 正弦定理和余弦定理相结合求面积例1：双曲线191622=-y x 上有点P ，F 1、F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2=3π，求△F 1PF 2的面积解析：设1PF =m, 2PF =n ，由双曲线的定义可知82==-a n m ，642=-n m即m 2+n 2-2mn=64 (1)在△F 1PF 2中，21F F =10，由余弦定理得m 2+n 2-2mncos3π=100 (2) (2)-(1)，整理得mn=36∴21PFF S ∆=21mn ·sin 3π=93 例2：已知F 1、F 2是椭圆16410022=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，若∠F 1PF 2=3π，求△F 1PF 2的面积 解析：设1PF =m ，2PF =n ，由椭圆的定义可知m+n=20，在△F 1PF 2中，由余弦定理得m 2+n 2-2mncos3π=21F F 2=144 即()mn n m 32-+=144又m+n=20，∴mn=325621PF F S ∆=211PF ·2PF ·sin ∠F 1PF 2 =21mn ·sin 3π=21⨯3256⨯23 =3364 点评：求解焦点三角形的面积若是结合圆锥曲线的定义，用余弦定理得出三角形边与角的关系式，再用正弦定理算面积，设而不求，往往能事半功倍，极大地减少计算量。
当∠F 1PF 2=2π时用上述解法亦可，不过用圆锥曲线定义与勾股定理，再算两直角边积的一半更简便。
如下例：例3：已知F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=2π，求△F 1PF 2的面积 解析：221)(PF PF - =4a 2=16(双曲线第一定义)，而由勾股定理得20)2(22221==+c PF PF ，P F 1·P F 2=21[2212221)(PF PF PF PF --+] =21⨯（20-16）=2 ∴21PF F S ∆=21⨯P F 1·P F 2=21⨯2=12、 用分割法求面积例4：一三角形以抛物线y 2=4x 的焦点弦为一边，另一个顶点在原点，若焦点弦所 在直线的斜率为1，求此三角形的面积。
《圆锥曲线中的三角形面积问题》教学设计
人教A版高中数学高三一轮复习立足基础，提升时效——圆锥曲线中的三角形面积问题执教者：授课时间：2017-10-18 早上第三节授课学生：高三1班(高三文科班) 授课地点：新校区录播室一、教学内容分析近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长、定值、面积等。
分析这类问题，往往利用数形结合、函数与方程、化归与转化等思想和“设而不求”的方法及韦达定理等。
本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．二、预测高考会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的综合题。
三、教学目标1.会选择合理的方法求圆锥曲线中三角形面积。
2.能利用函数与方程、数形结合、转化与化归等思想解决圆锥曲线中的三角形面积问题。
四、教学重难点1.教学重点：掌握圆锥曲线中三角形面积的计算方法。
2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力。
五、教学策略选择自主学习、小组讨论法、师生互动AOB 的面积。
请同学们根据刚才讲的四个步骤，在导学案上完成解答。
同学上台展示作业，并介绍解题过程。
师小结：看来用上这四个步骤可以很好的帮我们解决问题。
（Ⅰ）第一步，分析几何对象几何特征，理解题意，并画出图像。
本问题中，由椭圆的几何特征，先求出椭圆方程。
直线问题目标代数化：AOBS=第三步，代数运算。
269x =||1AB ∴=1029。
原255=。
AOBS=AOB 面积取得最大值时，求直线∴>⇒064S=问题目标代数化：AOB 第三步，代数运算。
由韦达定理得2S=AOB064∴>⇒问题目标代数化：方法1：AOBS=|| x x-161k=+AOB POB POAS S S=-12=直线与抛物线相交于A 、B 两点，抛物线上动点P 从A 到B 运动。
有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用
圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。
圆锥曲线焦点三角形面积问题
圆锥曲线焦点三角形面积问题
圆锥曲线焦点三角形面积问题指的是在一个圆锥曲线上，给定焦点和一个点P 的坐标，求得由焦点和该点P构成的三角形的面积。
首先，我们需要了解圆锥曲线和焦点的概念。
圆锥曲线是指在三维空间中一个由直线与一个射线共用一个端点且直线在射线上方的几何图形。
常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
焦点是指在一个几何图形或曲线上与该图形或曲线中的点有特殊关系的点。
要计算由焦点和点P构成的三角形的面积，我们可以利用三角形的面积公式。
三角形的面积可以用其底边和高来计算。
在这个问题中，底边是焦点和点P之间的距离，高是点P到焦点所在的直线的垂直距离。
首先，我们可以使用两点间距离公式计算焦点和点P之间的距离。
假设焦点的坐标为F(x1, y1, z1)，点P的坐标为P(x2, y2, z2)，则焦点和点P之间的距离为
√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。
然后，我们需要计算点P到焦点所在的直线的垂直距离。
这个垂直距离也可以被称为焦距。
焦距可以通过焦点到点P之间的线段与焦点所在的直线的垂直距离来计算。
最后，我们可以利用三角形的面积公式：面积 = 1/2 * 底边 * 高，来计算出由焦点和点P构成的三角形的面积。
需要注意的是，在计算过程中，我们要保证点P在圆锥曲线上，以确保三角形的存在。
综上所述，通过给定焦点和点P的坐标，我们可以计算出由这两 points 构成的三角形的面积。
这个问题涉及到了圆锥曲线的性质和三角形面积的计算方法，通过运用相关的几何知识，我们可以解决这个问题。
高中数学之圆锥曲线之焦点三角形面积知识点
高中数学之圆锥曲线之焦点三角形面积知识点
什么是焦点三角形？
定义：
椭圆（双曲线）上任意一点与两个焦点所组成的三角形叫做焦点三角形，它是由焦距和焦半径构成的特别的三角形。
其中焦点三角形的面积也是一个非常重要的几何量。
怎么求焦点三角形的面积呢？先看一道例题
公式推导：
同样的方法可以也可以证明得到双曲线的焦点三角形面积公式。
公式如下：
接下来在给出关于焦点三角形顶角的一个结论：
这个结论可以借助焦点三角形面积公式的推导过程来继续说明：
实战演练：。
圆锥曲线中焦点三角形几个问题的解法
刘 豪
(靖江市第三中学 ,江苏 泰州 214500)
摘 要 :焦点三角形是圆锥曲线的两个焦点与圆锥曲线上的任意一点组成的三角形 ,它在圆锥曲线中有着重要 的地位 。详细介绍如何求焦点三角形的周长 面积及和焦点三角形相关的最值问题 。
关键词 :圆锥曲线 ;焦点三角形 ;解法 中图分类号 : G633. 65 文献标志码 : A 文章编号 : 1008 - 6714 (2008) 04 - 0086 - 02
= b2
tan
θ ,
在双曲线里焦点三角形的面积
S
= b2
co t
θ。
2
2
注 : (1)此结论称为圆锥曲线焦点三角形面积公式。
( 2)此结论可用于客观题的解题 。在解圆锥曲线的问题
中 ,有些选择题或填空题 ,如果用常规方法去解题 , 无疑是
小题大做 ,这在考试特别是高考中 , 是非常不可取的 。运
用特殊解法 ,显得很重要 ,不但可以节省时间 , 还可提高答
PF1 - PF2 = ±2a
PF1 2 + PF2 2 - 2 PF1 · PF2 cos60°= ( 2c) 2 解得 PF1 · PF2 = 64
所以
S△PF1 F2
=
1 2
× PF1
·
PF2
sin60°= 1 2
×64 ×
3 2
= 16
3
如为客观题 , 可直接代入焦点三角形面积公式得 :
S△PF1F2 = 16 3 小结 : ( 1)求椭圆和双曲线的焦点三角形面积 , 需要
即 △F1 PF2 的周长无最大值 。 小结 :解和焦点三角形有关的最值问题 ,主要是利用
圆锥曲线的第一定义 ,并借助正弦定理 余弦定理以及均
圆锥曲线中一类三角形面积问题的公式化及应用
圆锥曲线中一类三角形面积问题的公式化及应用天 之 信 山东，济南在圆锥曲线的教学过程中，涉及到一类典型的三角形面积问题：即以曲线的两焦点1F 、2F 及曲线上任意一点P 为顶点的21PF F ∆面积的求解问题，如果经过一般式的推导使其结果公式化，则对处理具体（或类似）问题能够起到事半功倍的效果。
一、公式推导过程如下：在图1中设椭圆的标准方程为：()012222>>=+b a by a x ，∠F 1PF 2=θ，根据椭圆的定义及余弦定理可得下列推导过程：｛2212221221214cos 22cPF PF PF PF FF aPF PF =⋅⋅-+==+θ()()θθcos 124cos 124422221+=+-=⋅⇒b c a PF PF而()2tan cos 12sin 421sin 21222121θθθθb b PF PF S PF F =+⋅=⋅=∆ 图1 在图2中设双曲线的标准方程为：()0,012222>>=-b a by a x ，∠F 1PF 2=θ，根据双曲线的定义及余弦定理可得下列推导过程：2212221221214cos 22cPF PF PF PF FF aPF PF =⋅⋅-+==-θ()()θθcos 124cos 124422221+=+-=⋅⇒b a c PF PF而()2tan cos 12sin 421sin 21222121θθθθb b PF PF S PF F =+⋅=⋅=∆图2｛二、对应习题及答案如下：1、已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)两个焦点，P在椭圆上，∠F1PF2＝α，且当α＝2π3时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程.2、设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|＝2：1，则△F1PF2的面积等于().3、已知F1、F2是椭圆x2100＋y264＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝π3，求△F1PF2的面积．4、若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的左、右两个焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．5、双曲线x29－y216＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为_____．对应习题答案：1、x212＋y23＝1. 2、4. 3、6433. 4、∠F1PF2＝90°. 5、3.2.6、2355.417.6.94。
【市级公开课】《圆锥曲线中的三角形面积问题》课件
1 2
|
AB
|
d
第三步，代数运算。 由韦达定理得
x1
x2
8k 1 2k 2
x1
x2
6 1 2k 2
| AB | 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2
(x1 x2 )2 4x1x2
1 k2 1 2k 2
16k 2 24
原点 O 到直线 l 的距离 d 2
1 k2
Q SVAOB
11||AABB| |dd 22
16k 2 24 2 1 2k 2
2 1
2k 2 2k 2
3
.
m
2k2 3(m 0) ，
2k 2
m2 3 S
2 m2
2m 4
22 m 4
2 2
m
当且仅当 m
4 m
即
m
2
时，
Smax
问题 1
已知椭圆 C:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率
为 2 ，短轴长为 2。过点 P(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C
2
交于 A 、 B 两点，
（Ⅰ）当直线 l 的斜率为 2 时，求 AOB 的面积。
（Ⅰ）第一步，分析几何对象几何特征，理解题意，并画出图像。
本问题中，直线 l 与椭圆相交于 A 、 B 。
线 l 与椭圆相交于 A 、 B 。
第二步，进行代数化。
元 素 代 数 化 ： 由 已 知 得 e c 2 , 2b 2. 解 得 a2
对一道圆锥曲线三角形面积问题的深度探究
对一道圆锥曲线三角形面积问题的深度探究作者：任莉来源：《数学教学通讯·高中版》2019年第10期[摘 ;要] 圆锥曲线是高中数学的重难点知识，高考在考查时常综合其他知识进行，其中分析圆锥曲线中三角形面积最值是较为典型的代表，该问题突破求解的关键是合理构建三角形的面积模型，联合圆锥曲线知识完成转化. 文章以一道圆锥曲线综合题为例开展解法探究，模型提炼拓展.[关键词] 圆锥曲线;三角形;面积;模型;割补问题呈现，解法探究1. 问题呈现例1：已知椭圆E的方程为 + =1 （a>b>0），其离心率为，点F是椭圆E的右焦点，已知点A（0，-2），直线AF的斜率为，设坐标的原点为O，试回答下列问题：（1）求椭圆E的方程;（2）过点A作动直线l，与椭圆E相交于点P和Q，试求△OPQ面积最大时直线l的方程.2. 解法探究（1）该问求椭圆E的方程，需要求出半轴长a和b的值，根据条件可知e= = ，点F为椭圆的右焦点，则其坐标为（c，0），则直线AF的斜率可以表示为k= = ，从而可解得a=2，c= ，则b=1，所以椭圆C的方程为 +y2=1.（2）该问求所构△OPQ的面积最大时动直线l的方程，需要在椭圆内构建三角形模型，分析其最大值. 直线l经过定点A，其斜率不确定，需要对其加以讨论.①当直线l的斜率不存在时，即l垂直于x轴，分析可知不符合题意.②当直线l不与x轴相垂直时，设其斜率为k，则l可以表示为y=kx-2，设l与椭圆交点的坐标：P（x1，y1），Q（x2，y2），设原点O到PQ的距离为d，则△OPQ的面积可以表示为S△OPQ= ·PQ·d，因此只需要表示出PQ和d的长，然后联立构建函数关系即可，其中PQ可以通过联立直线l与椭圆的方程来实现，而d则可以利用点到直线的距离公式来完成，具体如下：联立为y=kx-2与 +y2=1，整理可得（1+4k2）x2-16kx+12=0，Δ>0时可解得x1，2= ，而PQ= ·x1-x2，原点O到直线PQ的距离d= ，有S△OPQ= ·PQ·d= . 设 =t，则t>0，S△OPQ= ，而t+ ≥4，分析可知当且仅当t=2时，即k=±时等号成立，此时△OPQ的面积取得最大值，对应的直线l的方程为y=± x-2.评价分析，模型提炼上述是高考常见的圆锥曲线压轴题，主要考查椭圆的标准方程、直线方程与椭圆的位置关系，其中涉及几何与函数两大模块知识，对学生的综合能力要求较高，尤其是第二问分析三角形面积最大情形下直线的方程，既需要构建相应的面积模型，又需要结合代数分析法来研究面积最值. 上述求解的突破过程有以下几点值得探究审视.1. 把握图像联系，提取特征关系整体来看，上述属于圆锥曲线中三角形的面积分析题，其含有两大特点：一是以椭圆为研究背景，二是所构三角形为动态图形. 因此第（2）问的求解需要准确识别图像联系，包括椭圆、动直线l的特点，以及两者之间的联系，即椭圆的长半轴位于x轴上，与动直线l有两个交点：P和Q，这两个交点与原点O构建了所求三角形.2. 借用代数不等式，研究面积最值无论直线与曲线的位置关系如何，最终都需要确定分析面积最值的策略，这也是圆锥曲线综合题突破的关键点.一般而言分析最值有两种策略：一是将其视为不等关系，借用不等式来完成;二是构建二次函数，利用函数性质来完成.上述解题的过程则充分考虑到问题的特殊性，融合两者，首先构建面积函数，然后借用均值不等式简化分析，从而达到了化简的目的，也为后续面积模型的构建指明了方向——设未知，构函数.3. 数形充分融合，构建面积模型构建求解三角形的面积模型是第（2）问求解的核心所在，也是其精华所在，求解圆锥曲线背景下的三角形面积需要充分利用圆锥曲线的相关知识和几何特点. 上述基于三角形的面积公式 bh确定了以直线与椭圆的交点弦为底，以原点到交点弦的距离为高的三角形模型，从而将交点条件充分利用. 同时上述所用的面积模型也是圆锥曲线压轴题的经典模型，其构建过程具有极大的研究价值.【交点弦面积模型】如图1所示，点P是椭圆内的一定点，直线l与椭圆相交于点A和B，则△ABP的面积模型可以采用如下构建方式.将其视为以交点弦AB为底、以点P为顶点的三角形，过点P作AB的垂线，垂足为点H，则PH就为底AB上的高，所以△ABP的面积可以表示为S△ABP= ·AB·PH，其中AB可视为椭圆内的弦，PH为顶点P到直线AB的距离，設直线AB的方程为y=kx+m，因此根据相关知识有：弦长公式：AB= ·x1-x2 （x1和x2为两交点的坐标），点到直线的距离公式：d=PH= .从而有S△ABP= ·AB·PH= ;·x1-x2·，因此在实际解题时可以直接利用该面积模型来构建思路，如下所示：【模型应用示例】例2：设椭圆E的标准方程为 + =1，已知其两个焦点的坐标分别为（- ，0）和（，0），且经过点， .（1）试求椭圆的方程;（2）直线l的斜率为k，经过点（0，-2），且与椭圆相交于点A和B，试求△OAB面积的最大值.解析：（1）该问结合焦点坐标、经过点的坐标，以及椭圆的定义，很容易求得标准方程中的a= ，b=1，所以椭圆的标准方程为 +y2=1.（2）该问分析所构三角形的面积最大值，可以采用上述的面积模型，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线斜率存在，直线l的方程为：y=kx-2. 联立椭圆E和直线l的方程，可得（1+3k2）x2-12kx+9=0，则x1+x2= ，x1x2= . 参照模型可将△OAB视为以点O为顶点、以线段AB为底的三角形. 设点O到直线AB的距离为d，则三角形的面积可以表示为S△OAB= ·AB·d，其中AB= ·x1-x2= ·，而d= ，所以S△OAB= ·AB·d= × · × = .设 =t（t>0），则k2=t2+1，所以S△OAB=6×，结合均值不等式可知S△OAB≤ ，当且仅当t= ;时，等号成立，所以△OAB面积的最大值为 .上述问题同样是分析圆锥曲线背景下三角形面积的最大值，引入交点弦三角形面积模型后可以直接获得解题的思路，提高解题效率. 该模型的特点是所求三角形的顶点为一定点，而弦长为动直线，此时就可利用该模型来转化构建，通过代数分析的方式完成求解.深度拓展，模型探究上述只是圆锥曲线三角形面积问题众多模型的一种，在求解对应问题中有着良好的解题效果，并不一定适用于其他类型的面积问题，解题时需要充分利用题干条件，结合所构三角形的特点来选用模型.若三角形与x轴或y轴相交于定点，则可以利用定点三角形模型，下面深入探究.【定点三角形模型】在初中阶段我们学习了求解函数综合题中一般三角形的求解方法，如对于△ADE，我们可以采用图2的割补方式，将其面积表示为S△ADE= AF·yD-yE，采用图3的割补方式将其面积表示为S△ADE= EF·xD-xA.同样的，我们可以将该种构建方式引入在圆锥曲线背景题中，以三角形与x轴存在两个定交点为例，如图4所示，过点P的直线l与椭圆E有两个交点A和B，点Q为x轴上的一个定点，连接AQ和BQ，构建△ABQ. 基于上述面积模型，可以将其面积表示为S△ABQ= PQ·yA-yB;同理若点P和Q为y轴上的定点，则其面积可以表示为S△ABQ= PQ ·xA-xB. 因此利用该模型解题时只需要确定定长线段PQ以及点A和B的坐标即可. 考虑到点A和B均位于曲线上，则可以考虑采用方程联立的方式，结合韦达定理来等化，即xA-xB= .【模型应用示例】例3：已知椭圆E的标准方程为 + =1（a>b>0），其离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点所构三角形的周长为6+4 .（1）试求椭圆E的标准方程;（2）直线l与椭圆E相交于点A和B，而以AB为直径的圆经过椭圆的右焦点C，试求△ABC面积的最大值.解析：分析可知直线l的斜率必然存在，可以将其设为x=ky+m，设交点A（x1，y1），B （x2，y2），联立椭圆E和直线l的方程，可得（k2+9）y2+2kmy+m2-9=0，则y1+y2=- ，y1y2= . 因为以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，则 · =0，代入坐标可确定直线AB必然過定点D ，0，则可以使用上述三角形模型，即求△ABC的面积可以表示为S△ABC= S△ADE= CD·y1-y2= ×CD× = ;，分析可确定S△ABC的最大值为，即△ABC面积的最大值为 .上述同样是分析椭圆背景中的三角形面积问题，虽然题干没有表明直线l经过定点D，但根据条件可以挖掘出过定点的隐含条件，因此可以套用定点三角形模型，从而将问题简化为分析直线与椭圆交点的坐标差.写在最后圆锥曲线中三角形面积的求解是高中常见的问题类型，其解题的关键是联合曲线合理构建三角形的面积模型. 上述展示的是其中较为常见的面积模型，需要说明的是模型之间有着一定联系，对于同一考题有时可以基于不同的模型来分析求解，模型并没有本质的区别. 因此在实际解题时需要灵活变通，多实践总结.。
高考数学一轮复习专题03 圆锥曲线面积问题(解析版)
F 2F 1OyxBA解析几何专题三：圆锥曲线面积问题一、知识储备 1、三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+00002211122'2'1ABP kx y m kx y mS AB d k A A k ∆-+∆-+∆=⋅=+⋅=+2、焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为 112121212'ABF c S F F y y c y y A ∆∆=⋅-=-= 2222222222222224()11||S =||d 22AOB a b a A b B C C AB A B a A b B A B∆+-=+++2222222222()C ab a A b B C a A b B+-=+注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数3、平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 1221m m d CH k-==+222222121212''11()41()41'''B C AB k x x k x x x x k k A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+1212221''1ABCDm m m m SAB d k A A k -∆-∆=⋅=+⋅=+注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数. 4、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数CDHOyxBA均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论）（2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++ 当且仅当2219k k =时，等号成立 （3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立(5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立. 二、例题讲解1．（2022·广东高三月考）已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>，且过点()3,1．（1）求椭圆G 的方程；（2）斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积．【答案】（1）221124x y +=；（2）92.【分析】（1）根据椭圆离心率、及所过的点，结合椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB ：y x b =+，其线段AB 中垂线为1y x =--，联立椭圆方程并应用韦达定理求12x x +、12x x ，进而可得12y y +，由AB 中点在中垂线上代入求参数b ，进而求||AB 、P 到AB 的距离，即可求△PAB 的面积． 【详解】（1）由题意，22222911a b a b c c e a ⎧==⎪⎪⎪+⎨==+⎪⎪⎪⎩，解得22124a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆G 的方程221124x y+=.（2）令AB 为y x b =+，则AB 中垂线方程为(3)21y x x =-++=--， 联立AB 与椭圆方程得：223()12x x b ++=，整理得22463120x bx b ++-=， 若1122(,),(,)A x y B x y ，则1232b x x +=-，2123124b x x -=， △121222by y x x b +=++=，又1212(,)22x x y y ++在AB 中垂线上，△3144b b-=，可得2b =，即123x x +=-，120x x =，△||AB == 又()3,2P -到AB的距离d △19||PABSAB d =⋅=. 2．（2022·全国高三模拟预测）已知双曲线C ：22221x ya b -=()0,0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，虚轴上､下两个端点分别为2B ，1B ，右顶点为A ，且双曲线过点，22213B F B A ac a ⋅=-.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设以点1F 为圆心，半径为2的圆为2C ，已知过2F 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与双曲线交于P ，Q 两点，直线2l 与圆2C 相交于M ，N 两点，记PMN ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）[)12,+∞.【分析】（1）由22213B F B A ac a ⋅=-得223a b =，由双曲线过点得22231a b -=，两个方程联立求出a 和b ，可得双曲线1C 的标准方程；（2）设直线1l ：2x my =+，根据垂直关系得直线2l ：()2y m x =--，求出弦长||MN 和||PQ ，求出121||||2S S MN PQ +=，再根据参数的范围可求出结果. 【详解】（1）由双曲线的方程可知(),0A a ，()10,B b -，()20,B b ，()2,0F c ， 则()22,B F c b =-，()1,B A a b =.因为22213B F B A ac a ⋅=-，所以223ac b ac a -=-，即223a b =.①又双曲线过点，所以22231a b -=.② 由①②解得1a =，b = 所以双曲线1C 的标准方程为2213y x -=. （2）设直线1l ：2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则由21l l ⊥，得直线2l ：()2y m x =--，即20mx y m +-=. 因为圆心()12,0F -到直线MN的距离d ==所以MN =2d <，故2103m ≤<. 联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22311290m y my -++=， ()222144363136(1)0m m m ∆=--=+>，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，所以()22126113m PQ y m +=-=-，则1212S S PQ MN +=⋅=， 又2103m ≤<，所以[)1212,S S +∈+∞. 即12S S +的取值范围为[)12,+∞. 【点睛】关键点点睛：设直线1l ：2x my =+，用m 表示||MN 和||PQ 是本题的解题关键.3．（2022·浙江高三开学考试）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率； （2）求三角形AMN 面积的最小值. 【答案】（1（2）16.【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，设点()2,2A t t ，可知0t >，求出M 、N 的纵坐标，利用斜率公式结合已知条件得出1AM MN k k ⋅=-，可得出关于t 的方程，解出正数t 的值，进而可求得直线AF 的斜率；（2）求出点M 、N 的坐标，求得AM 以及点N 到直线AM 的距离d ，可求得AMN 的面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得AMN 面积的最小值. 【详解】（1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+， 联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-， 进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++， 联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444A M M N A M M N AM MN A M M N A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--， 代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=， 又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴==（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t tt+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---= 所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++==+，()332331122216AMN t S t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△， 当且仅当1t =时，S 取到最小值16. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．1．（2022·江苏南京·高三月考）已知抛物线1G ：24y x =与椭圆2G ：22221x y a b+=（0a b >>）有公共的焦点，2G 的左、右焦点分别为1F ，2F ，该椭圆的离心率为12． （1）求椭圆2G 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴，椭圆2G 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧），且1PFQ ∠与1PF R ∠互补，求1F QR ∆面积S 的最大值．【答案】（1）22143x y +=．（2【分析】（1）由已知条件推导出1c =，结合12e =和隐含条件222a b c =+，即可求出椭圆标准方程； （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，可得110QF RF k k +=，根据已知条件，结合韦达定理、点到距离公式和均值不等式，即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，∴椭圆的半焦距1c =，又椭圆的离心率为12，∴12c e a ==，即2a =， 222a b c =+，222413b a c ∴=-=-=，即b =∴椭圆2C 的方程为22143x y +=． （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，∴110QF RF k k +=， ∴1212011y yx x +=++，化简整理，可得1222110x y y x y y +++=①， 设直线PQ 为(0)x my n m =+≠，联立直线与椭圆方程22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理，可得222(34)63120m y mny n +++-=，∆222224364(34)(312)0b ac m n m n =-=-+->，可得2234n m <+②，由韦达定理，可得21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++③， 将11x my n =+，22x my n =+代入①，可得12122(1)()0my y n y y +++=④， 再将③代入④，可得2226(4)6(1)3434m n mn n m m -+=++，解得4n =-，PQ ∴的方程为4x my =-，由点(1,0)F -到直线PQ的距离d =，11||2F QRSQR d =⋅= 由②可得，23416m +>，即24m >，设()f m =24m t -=，0t >，()f t ∴= 由均值不等式可知，25625692996t t t t+⋅=， 当且仅当2569t t =时，即163t =，等号成立，当2569t t+取最小值时，()f t 取最大值，即1FQR 面积S 最大，∴()18max f t =， ∴△1FQR 面积S2．（2022·重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为点与右焦点的连线构成正三角形． （△）求椭圆C 的标准方程；（△）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，当OMN ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】（△）2214x y +=；（△）2y -或2y =-． 【分析】（△）由题意知，c =c a =222b a c =-，即可求得椭圆的方程； （△）设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=，利用韦达定理，弦长公式结合OMN的面积公式得到OMNS =，利用换元结合基本不等式求解. 【详解】（△）由题意知，c =cos 6c a π==， 2a ∴=，2221b a c =-=所以椭圆的方程为2214x y +=．（△）当l x ⊥轴时不合题意，由题意设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ． 联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=． 当()216430k ∆=->，即234k >，且1221614k x x k +=-+，1221214x x k =+．从而12||MN x-=．又点O 到直线MN的距离d =所以OMN 的面积1||2OMNSd MN =⋅=t ，则0t >，24444OMNt St t t==++．因为44t t +≥，当且仅当2t =，即2k =±时等号成立，且满足0∆>． 所以，当OMN 的面积最大时，直线l的方程为2y x =-或2y x =-． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2022·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别是()1F和)2F ，点Р在椭圆E 上，且12PF F △的周长是4+ （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知、、A B C 为椭圆E 上三点，若有0OA OB OC ++=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据题设条件和椭圆的定义得到12124PF PF F F ++=+124PF PF +=，得到2a =，进而求得21b =，即可求得椭圆的方程；()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，联立方程组求得1212,x x x x +，根据0OA OB OC ++=，求得2282(,)1414km m C k k -++，结合点到直线的距离公式和面积公式，求得3332ABCOABS S=⋅=；当直线AB 斜率不存在时，得到直线AB 方程为1x =±，求得332ABCABOS S==. 【详解】（1）由题意，双曲线2222:1xy E a b+=的焦点()1F 和)2F ，可得12F F =因为12PF F △的周长是4+12124PF PF F F ++=+所以124PF PF +=，即24a =，可得2a =，又由222431b a c =-=-=， 所以椭圆E 的方程是2214x y +=.()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2221484()40k x kmx m +++-=，则22212122284416(41)0,,1414km m k m x x x x k k -∆=-+>+=-=++ 由0OA OB OC ++=，可得12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，又由122814kmx x k +=-+，可得()12121222214m y y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+ 所以332282,1414km m x y k k ==-++， 将()33,x y 代入椭圆方程可得222282441414km m k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得22414m k =+， 又O 到直线AB的距离为d =则()2112OABSk =⋅+= 又由0OA OB OC ++=，可得点O 为ABC 的重心，所以3332ABCOABS S=⋅=； 当直线AB 斜率不存在时，根据坐标关系可得，直线AB 方程为1x =±，可得AB112ABOS ==所以13312ABC ABOSS==⨯综上可得：ABC S △. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．4．（2022·榆林市第十中学高三月考（理））已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左，右焦点，126F F =，当P 在E 上且1PF 垂直x 轴时，217PF PF =.（1）求E 的标准方程；（2）A 为E 的左顶点，B 为E 的上顶点，M 是E 上第四象限内一点，AM 与y 轴交于点C ，BM 与x 轴交于点D .（i ）证明：四边形ABDC 的面积是定值. （ii ）求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）221123x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）())max 31CDM S =△.【分析】（1）由通径长公式得21b PF a=，结合椭圆定义可得,a b 关系，再由3c =求得,a b ，得椭圆方程；（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，由三点共线把,s t 用,m n 表示，然后计算四边形面积可得结论；（ii ）由（i ）只要ABM 面积最大即可，求出椭圆的与AB 平行的切线方程，切点即为M （注意有两个切点，需要确定其中一个），从而得面积最大值． 【详解】解：（1）由题意知21b PF a=，212PF PF a +=，217PF PF =，则182PF a =，得2a b =，又3c =，222a b c =+，解得2a b == 所以E 的标准方程是221123x y +=.（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，因为A ，C ，M 三点共线，则AC AM λ=，解得t =B ，D ，M 三点共线，则BD BM μ=，解得s =，AD s =+BC t =，221123m n +=，66AD BC st ⋅--+==6612m n +==. 162ABDC S AD BC =⋅=. （ii ）因为CDM ABM ABDC S S S =-四边形△△， 所以当ABM S △最大时，CDMS 最大.1:2AB l y x =AB 平行的直线()1:02l y x p p =+<， 与221123x y +=联立，消y 得222260x px p ++-=，()2244260pp ∆=--=，解得p =p =（舍去），两平行线AB l ，l间的距离25d =，())max1312ABM S AB d =⋅=△，则())max 31CDM S =△.5．（2022·山西祁县中学高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)F ，动点P 到直线6x =的距离等于2||2PF +.动点P 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）已知(2,0)A ，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记AOB ∆和AOD ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S +的最大值．【答案】（1）221123x y +=；（2）3.【分析】（1）设点P (x ，y )，再根据动点P 到直线x ＝6的距离等于2|PF |＋2列出方程化简即可；（2）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立直线与（1）中所得的椭圆方程，得出韦达定理，再得出S 1＋S 2＝12|OA ||y 1－y 2|关于m 的表达式，换元求解最值即可 【详解】(1)设点P (x ，y )，当6x ≥时，P 到直线x ＝6的距离显然小于PF ，故不满足题意； 故()62,6x x -=<，即4x -=整理得3x 2＋4y 2＝12，即24x ＋23y ＝1.故曲线C 的方程为24x ＋23y ＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ>0显然成立， 所以y 1＋y 2＝－2634m m +，y 1y 2＝－2934m +， 所以|y 1－y 2|故S 1＋S 2＝12|OA ||y 1|＋12|OA ||y 2|＝12|OA ||y 1－y2|.设t t ≥1，则m 2＝t 2－1，则S 1＋S 2＝21231tt +＝1213t t+. 因为t ≥1，所以3t ＋1t≥4(当且仅当t ＝1时，等号成立)．故S 1＋S 2＝1213t t+≤3， 即S 1＋S 2的最大值为3.6．（2022·西藏拉萨中学高三月考（理））（1）一动圆过定点(1,0)A ，且与定圆22:(1)16C x y ++=相切，求动圆圆心的轨迹E 的方程．（2）直线l 经过点A 且不与x 轴重合，l 与轨迹E 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【分析】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．由与定圆22:(1)16C x y ++=相切，且点A 的圆C 内，由||44||MC R MA =-=-，即||||4MC MA +=，利用椭圆的定义求解；（2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=，由121||2CPQSCA y y =⋅-，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．定圆C 的圆心(1,0)C -，半径为4. 点A 的圆C 内．||44||||||4MC R MA MC MA ∴=-=-∴+=，且4AC > ，∴轨迹E 是以C 、A 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以椭圆方程为：22143x y +=. （2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=， 得()2234690m y my ++-=，设()()1122,,P x y Q x y ⋅， 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，121||2CPQSCA y y =⋅-，=令21(1)t m t =+，则1212CPQS=1()9f t t t=+在[1,)+∞为增函数1t ∴=，即0m =时，CPQ S △取最大值3.7．（2022·山东高三模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30o ． （1）求双曲线C 的方程；（2）经过点F 的直线与双曲线的右支交与,A B 两点，与y 轴交与P 点，点P 关于原点的对称点为点Q ，求证：QABS>【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+可求出22,a b ，从而可求出双曲线C 的方程； （2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，可得()02P k -，，()02Q k ，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出()()2222248131QABk k Sk +=-，再由直线与双曲线的右支交与,A B 两点，可得231k >，则2310t k =->，代入上式化简可求得结果 【详解】解：（1）由题意得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+ 解得2231a b ==，所以双曲线C 的方程为：2213x y -=（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，得()02P k -，，()02Q k ，， 设()11A x y ，，()22B x y ，，联立()22132x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得()222231121230k x k x k --++=21221231k x x k +=-，212212331k x x k +⋅=- 所以1212QABQPB QPASSSPQ x x =-=-122k x x =- 所以()()2222221212224123124443131QABk k Sk x x x x k k k ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎢⎥=+-=- ⎪⎣⎦--⎢⎥⎝⎭⎣⎦2()()222248131k k k+=-直线与双曲线右支有两个交点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++=>⋅=>-- 所以231k >，设2310t k =->，()2221111645334813QABt t St t t ++⎛⎫⋅+⎪⎛⎫⎝⎭==++ ⎪⎝⎭2641564251633383643t ⎛⎫=+->⨯-=⎪⎝⎭所以QAB S >【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出()()2222248131QABk k S k+=-，再结合231k >，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题 8．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F，点(P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若OAB ∆的面积为求直线l 的方程．【答案】（1）22122x y -=；（2）2y =+和2y =+． 【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c =，所以224a b +=，代入双曲线方程，可得()222221044x y a a a-=<<-，将P 点坐标代入，即可求得a 值，即可得答案；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，与双曲线C 联立，可得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的表达式，代入弦长公式，即可求得AB ，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l 的距离d ，代入面积公式，结合题意，即可求得k 的值，即可得答案. 【详解】（1）依题意，2c =，所以224a b +=，则双曲线C 的方程为()222221044x y a a a-=<<-，将点P 代入上式，得22252314a a -=-， 解得250a =(舍去)或22a =， 故所求双曲线的方程为22122x y -=．（2）依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得()221460k x kx ---=．因为直线l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，所以()22210(4)2410k k k ⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1k k ≠±⎧⎪⎨<⎪⎩(*) 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+． 【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为：解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题.9．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ． （1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程； （2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积．【答案】（1）221832y x -=；（2）8-【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k 值，即可得答案； （2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠， 又该双曲线过点()2,3， 所以49164k -=，解得k =-2， 所以所求双曲线方程为：221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c == 在12F PF △中，2222121212121212()280cos15022PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【点睛】解题的关键是：掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b-=共渐近线的方程可设为：2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为：22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题.10．（2022·浙江高三开学考试）已知抛物线T ：()22y px p N +=∈和椭圆C ：2215x y +=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点．（1）若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；（2）若MN 恰好被AB 平分，求OAB 面积的最大值． 【答案】（1）4p =；（2【分析】（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据F 恰是椭圆C 的焦点，即可得出答案；（2）设直线l ：2p x my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，求得AB 的中点坐标，根据因为MN 恰好被AB 平分，则直线MN 的斜率等于m -，再根据点差法求得直线MN 的斜率，求得2m ，根据由AB 的中点在椭圆内，求得p 的最大值，从而可求得OAB 面积的最大值． 【详解】解：（1）在椭圆中，2224c a b =-=，所以2c =， 因为F 恰是椭圆C 的焦点， 所以22p=，所以4p =； （2）设直线l ：2px my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ， 联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y mpy p --=， 则212122,y y mp y y p +=⋅=-，则2122x x m p p +=+，故AB 的中点坐标为2,2p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又因为MN 恰好被AB 平分，则2342x x m p p +=+，342y y mp +=，直线MN 的斜率等于m -，将M 、N 的坐标代入椭圆方程得：223315x y +=，224415x y +=， 两式相减得：()()()()3434343405x x x x y y y y +-++-=， 故234342110y y m x x m-+=--， 即直线MN 的斜率等于22110m m+-， 所以22110m m m+-=-，解得218m =， 由AB 的中点在椭圆内，得2222()15p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<，解得26413p <， 因为p Z ∈，所以p 的最大值是2，12y y -== 则OAB面积212122p S y y p =⨯-==≤， 所以，当2p =时，OAB ． 11．（2022·普宁市第二中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．【答案】（1）准线方程：1y =-；（2）直线AB 恒过定点()0,2，证明见解析；（3）4．【分析】（1）由焦点在y 轴正半轴上，且2p =，即可得准线方程；（2）设直线AB 方程为y kx b =+，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得b 的值，即可得所过的定点；（3）设1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求M 、N 两点坐标，由两点间距离公式求FM 、FN 的长，再计算12FMN SFM FN ，由基本不等式求最值即可求解.【详解】 （1）由24x y =可得：2p =，焦点为()0,1F ，所以准线方程：1y =-，（2）设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=， 所以124x x k +=，124x x b =-，222121212124416x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-， 即2440b b -+=，解得：2b =所以直线2y kx =+过定点()0,2（3）()0,1F ，由题意知直线1l 、2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线2l 的方程为11y x k=-+， 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=， 所以344x x k +=，344x x =-，所以()34122M x x x k =+=，2121M M y kx k =+=+，所以()22,21M k k + 用1k -替换k 可得2N x k =-，221N y k =+，所以222,1N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12FMN S FM FN ====224≥=⨯=，当且仅当221k k =即1k =±时，等号成立， 所以FMN 的面积取最小值4．【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。
焦点三角形面积的妙用
焦点三角形面积的妙用玉炳图【期刊名称】《数学教学通讯：教师阅读》【年(卷),期】1996(000)002【摘要】以圆锥曲线上一点与其两焦点为顶点的三角形叫做焦点三角形。
它们有如下的面积公式: P为椭圆（x<sup>2</sup>）/（a<sup>2</sup>）+（y<sup>2</sup>/b<sup>2</sup>）=1（a>b>0）上任一点,F<sub>1</sub>、F<sub>2</sub>是两焦点,∠F<sub>1</sub>PF<sub>2</sub>=θ,则S<sub>△PF<sub>1</sub>F<sub>2</sub></sub>=b<sup>2</sup>tgθ/2 （1） P为双曲线（x<sup>2</sup>）/（a<sup>2</sup>）-（y<sup>2</sup>/b<sup>2</sup>）=1上任一点,F<sub>1</sub>、F<sub>2</sub>是两焦点,∠F<sub>1</sub>PF<sub>2</sub>=θ,则【总页数】2页(P1-2)【作者】玉炳图【作者单位】云南广南一中 663300【正文语种】中文【相关文献】1.椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式——解决客观题的法宝 [J], 董晖2.椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式--解决客观题的法宝 [J], 董晖;3.以圆锥曲线焦点弦为一边的三角形面积的探究 [J], 徐耀4.从椭圆焦点三角形面积问题的一道错题谈起 [J], 汪海斐5.利用焦点三角形面积公式解一类高考题 [J], 张仁华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
圆锥曲线内接三角形的面积公式及其应用
46中学数学研究2021年第1期(上)圆锥曲线内接三角形的面积公式及其应用广西防城港市东兴市东兴中学(538100)吴中伟摘要求三角形面积的方法有很多，但对于无法确定形状的三角形，其面积没有统一的求法•经过推导，发现在参数方程条件下圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线与抛物线)的内接三角形的面积都有统一的表达式,并且这些表达式结构非常相似.关键词圆锥曲线；内接三角形;面积表达式求三角形面积的方法有很多，但对于无法确定形状的三角形，其面积没有统一的求法•笔者发现在参数方程条件下圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线与抛物线)的内接三角形的面积都有统一的表达式，并且这些表达式结构非常相似.引理在4ABC中，已知一B—(x i,y i),一1—(血,y2),则4ABC的面积S a abc—2|x i y2—血y i|.(x a cos a(a为y—b sin a参数)的三点，它们对应的参数分别为a i,a2,a3,则S a abc——|sin(a2— a i)+sin(a i—a3)+sin(a3— a2)|.证明易知A(a cos a i,b sin a i),B(a cos a2,b sin a2), C(a cos a3,b sin a3),贝V a B—(a(cos a2—cos a i),b(sin a2—sin a i)),一1—(a(cos a3— cos a i),b(sin a3—sin a i)),由引理得，S a abc=2ab(cos a2— cos a i)(sin a3—sin a i)—ab(cos a3— cos a i)(sin a2—sin a i)ab=—cos a2sin a3— cos a2sin a i— cos a i sin a3+cos a i sin a i—(cos a3sin a2— cos a3sin a i S a abc-fx—a sec a，厶定理3已知A,B,C是双曲线|(a为参y—b tan a数)的三点，它们对应的参数分别为a i,a2,a3,则sin(a2—a i)+sin(a i—a3)+sin(a3—a2)cos a i cos a2cos a3x b tan a 同理可证,焦点在y轴的双曲线=(a为参y—a sec a数)的内接三角形的面积表达式与焦点在x轴的双曲线的完全一样.接下来推导在参数方程条件下，抛物线的内接三角形的面积的统一表达式.x—2p t2定理4已知A,B,C是抛物线｛(t为参y=2pt数p>0)上的三点，它们对应的参数分别为t i,t2,t3,则S a abc—2p2|(t i—t2)血—t3)(t3—t i)|.特别的，若点C 为坐标原点，则S a abc—2p2|(t i—t2)t i t21证明易知A(2pt f,2pt i),B(2pt2,2pt2),C(2pt|,2pt3),则S a abc=2a B—a1=2p2|(t2—ti)(t3—t1)—(t3一ti)(t2一t1)=2p2(t i一 t2)(t2一t3)(t3一t i).显然，若C为原点，则S a abc—2p2|(t i— t2)t i t2〔.同理可证,其他情形的抛物线的内接三角形的面积表达式与定理4相同.基于以上的结论,本文从—cos a i sin+cos a i sin a i)豊|sin(a2-a i)+sin(a i— a3)+sin(a3-a2)同理可证,焦点在y轴的椭圆的内接三角形的面积表达式与焦点在x轴的椭圆的完全一样.利用类似的方法也易证得以下定理.亠.—x—a+r cos a「厶“定理2对于圆(a为参数)，A,B,Cy—b+r sin a是其三点，对应的参数分别为a i,a2,a3,则S a abc r2—|sin(a2— a i)+sin(a i— a3)+sin(a3— a2)|.实例的角度，阐述这些公式在解决圆锥曲线的内接三角形面积问题的作用.例1已知椭圆C1:x+务=1(a>b>0)的左、右焦点为F i、F2,|F i F2—l/l,若圆Q方程(x—/l)l+(y—1尸=1,且圆心Q满足|QF i+|QF2=2a.(I)求椭圆C i的方程；(II)过点P(0,1)的直线l i:y—kx+1交椭圆C1于A、B两点，过P与l i垂直的直线h交圆Q于C、D两点, M为线段CD中点，若4MAB的面积为第1,求k的值.5解(I)略；(II)由(I)可知椭圆的参数方程为2021年第1期(上)中学数学研究47x—2cos ay=sin a(a为参数),与y—kx+1联立得V2sin a—2k cos a+1t i+t2—号,t i t2———.因为点M对应的参数为t—1,所以由定理3,得①S a ABM=8|(t i—t2)(t2—1)(1—t i)|代入sin2a+cos2a—1,整理得(2+4k2)cos2a+4k cos a—1=0.设A(2cos a.sin a i),B(2cos a2,sin a2)贝J-2k cos a i十cos a2=1+2k2联立①1①2得,■,■/2 sin a1十sin a2=1+2k2由①2①3得,|sin(a i-a2)|=|sin a2—sin a i|cos a i—cos a2—1 cos a i cos a2=2+4k2..1-4k2 sin a i sin a2=2+4k2V1+4k21+2k2，_2k/1+4k2=1+2k2，/2•/1+4k21+2k2因为Q(血,1)对应的参数为4,所以由定理1得①2①3S a qab=血 |sin(a i-a2)+sin(a2-寸)+sin(寸-a i)| =/2Lin(a i—a2)+(sin a2—sin a i)(cos a i—cos a2)=8J(t i+t2)2—4t i t2|—t i t2—1+t i+t2=\/(m2+4)(2m-3)2°令f(x)—(m2+4)(2m—3)2,贝」f z(m)—2(2m-3)(4m2-3m+8),33所以f z(m)—0的解为m=2,m e(—x>,2)时,f z(x)<0,322f(x)单调递减;m e$,+x>)时,f z(x)>0,f(x)单调递增;又因为m22,所以f(m)——f⑵—8,故三角形ABM面积的最小值为2/2.x2例3已知点F i是双曲线C:忑-y2—1的左焦点,点M为其右顶点，过点F i的斜率为1的直线交双曲线的左支于A,B两点，求AABM的面积.解由已知可知点F i(-/5,0),M(2,0),直线I ab:x—fx2sec a(a为参数),y—tan a得2sec a—tan a—a/5,即sin a—a/5cos a—2依题意得，sin(a i—a2)与cos a i—cos a2异号，所以①1S a qab—|sin a2-sin a i2W1+4k21+2k2因为M在线代入sin2a+cos2a—1,整理得6cos2a+cos a+3=0.段CD中点，所以MQ丄l2,又因为l i丄l2,所以MQ//l i,所以S a mab—S a qab,从而覚十誓—半，解得k—±/2.此时I2:y—士冷2x+1,圆心Q到^2的距离h=±畔x/2-1+1/<-,成立.例2在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:x2—设A(2sec a i,tan a i),B(2sec a2,tan02),贝」2/5一"3cos a i+cos a2联立①1①2得,sin a i+sin a2cos a i cos a212①24y,点P是C的准线I上的动点且其横坐标m22,过点P 作C的两条切线，切点分别为A,B.若点M的坐标为(4,4),求三角形ABM面积的最小值.{x—4t(t为参y=4t2数)，准线l:y——1,y z—1x.设A(4t i,4t f),B(4t2,4t2),点P(m,—1),则切线PA的方程为：y+1=2t i(x-m),把点A(4t i,4t f)代入上式，得4t f+1=2t i(4t i-m),即4t i-2mt i-1=0.同理可得,4t2-2mt2-1=0,故t i,t2是方程4t2-2mt-1—0的两个解.由根与系数关系得,23，2血I••=3,|s i n a2—sin a i1sin a i sin a2—------6①3^10因为由已知得M对应的参数为0,且sin(a i-a2)与由①①得，|sin(a i-a2)|sin a2—sin a i同号，所以由定理2,|sin(a i—a2)+sin a2+sin(—a i) S a abm—1----------------------------------------------|cos a i cos a22/2/10-丁；丁-竿(2+/5)2参考文献[1]吴中伟•一个三角形面积公式在解析几何中的应用[J].中学数学研究(华南师范大学版),2020(3):40-42.。
圆锥曲线中求三角形面积取值范围问题
圆锥曲线中求三角形面积取值范围问题1、已知为坐标原点，定点，点分别在,轴上运动且.动点满足.设点的轨迹为曲线.直线交曲线于另外一点.（1）求曲线的方程, (2)求面积的最大值．解：的轨迹方程即为曲线整理可得：，相关点法求解析式、、设点C y x y x AB y n x m y n y x m x y n x PB y m x AP y x P n B m A 19256496425648)(3858)(5353),(),,(),(),0()0,()1(2222=+=+∴=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-∴--=-=∴ )37116195.72418024169211619(1161911801161991180259190225910081368164812259)259(814722)1(25981,2597208172)259(19254)1(2)(4214),,(),,()2(222222222222222222221221222221212211”成立时“即当且仅当，式可得：带入联立的面积方程为：设直线设点=±=+=+=≤=⨯≥++++++⨯=++++⨯=++⨯⨯=+⨯+⨯+⨯⨯=++⨯⨯+⨯=+-=⋅+-=+∴=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+⨯⨯=∆∴+=k k k k k k k k k k k k k k k k k k S k y y k k y y ky y k y x ky x y y y y S OPQ ky x PM y x Q y x P求面积最值问题，需要先把面积表示出来，之后就可以看出如何计算更加简洁。
此题列出式子后可以看出直线反设O )0,4(M B A ,x y 8=AB P →→=PB AP 53PC PM C Q C OPQ ∆会更加简单，另外计算时数字比较大，但是找出公因数再计算就会非常简单，切忌硬来。
2、在平直角坐标系中，已知椭圆的离心率,且椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值。
圆锥曲线中焦三角面积公式的应用
S=b2tan ，在双曲线里焦三角的2面积S=b2cot^。
下面我们给出证明：若2由椭圆的焦三角面积公式，这里v=60°,—=300得厶PF1F2的面积是2圆锥曲线中焦三角面积公式的应用在圆锥曲线中的椭圆和双曲线里，以曲线上的一点及两个焦点作为顶点的三角形我们称之为焦三角。
焦三角的面积只与b和曲线上的这点与两个焦点的视角有关。
假设这个视角为二，F i、F2分别是曲线的两个焦点，在椭圆中焦三角的面积2 2P 是椭圆X_ y^ = 1 （a>b>0）上一点，F i、F2 是a b1两个焦点，设|PF i|=r i,|PF2|=r2,三角形PF1F2的面积为S,贝V s=—r^sin^ (1)2在三角形PF1F2中，由余弦定理2 2 2 2（2c）= r1 r2-2中2 cos v - （口r2） -2「订2COST , (2)2 2 2b又「1+「2=2a,…… ⑶代入（2）得：4c =4a - 2口心COS二52= 代入（1）中cos 62 日 2 日可得S=b2tan ，同理可得双曲线中焦三角的面积S= b2cot-2 2在解决圆锥曲线问题中，适当使用焦三角面积公式使解题变得很简便，运算量少且准确，下面举例予以说明。
例1 （2004年咼考福州）已知2P是椭圆—• y2=1的一点，F2是椭圆的两个焦点,4且/ F1PF2=60°，则△ PF1F2的面积是2 2x V例2•双曲线1的两个焦点分别是F1、F2,点P在双曲线上，且直线PF1、PF2倾斜9 16角之差为一，则△ PF1F2的面积为（）3A. 16 3B. 32 、、3C. 32D. 42n n解：由三角形外角性质可得/ RPF2=，即V = —，再由双曲线的焦三角面积公式，S=3 3b cot =16cot =16'、3,故选A。
2 62 2例3•在椭圆- V1上求一点P,使它与两焦点F2的连线互相垂直。
圆锥曲线中的三角形面积
圆锥曲线中的三⾓形⾯积圆锥曲线同步拔⾼，难度4颗星！知识剖析焦点三⾓形⾯积椭圆x2a2+y2b2=1的焦点三⾓形△PF1F2⾯积S=b2tan∠P2，双曲线x2a2−y2b2=1的焦点三⾓形△PF1F2⾯积S=b2tan∠P2(其中点P在椭圆或双曲线上).直线与圆锥曲线中的三⾓形⾯积(以下以椭圆为例)通法：底×⾼÷2S△=12×底×⾼，适合⼀切题型，属于通法，但计算量会⼤些，如图，S△PAB=12⋅AB⋅PC(其中底为弦长AB，⾼为点P到直线AB的距离)两边之积×夹⾓正弦值÷2S△=12ab sin C，适合边⾓已知的题型割补法适合三⾓形某⼀顶点在坐标轴上的题型情况1 同边如图，点P在x轴上，直线AB交x轴于点C，当A,B是在x轴异侧时，S_{ΔPAB}=S_{ΔPAC}+S_{ΔPBC}=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot|y_A |+\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot|y_B |=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot |y_A-y_B |当A,B是在x轴同侧时，S_{ΔPAB}=S_{ΔPAC}-S_{ΔPBC}=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot |y_A |-\dfrac{1}{2}\cdot PC \cdot |y_B |=\dfrac{1}{2}\cdot PC \cdot |y_A-y_B | {\color{Red}{PS }}不管A,B在x轴同侧还是异侧，公式S_{ΔPAB}=\dfrac{1}{2}\cdot PC \cdot |y_A-y_B |依然成⽴.若点在y轴类似可得S_{ΔPAB}=\dfrac{1}{2}\cdot PC \cdot |x_A-x_B |.情况2 利⽤倾斜⾓如图，点P在x轴上，直线AB的倾斜⾓为\theta，当A,B是在x轴异侧时，.S_{ΔPAB}=S_{ΔPAC}+S_{ΔPBC}=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot AC\cdot sin(π-θ)+\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot BC\cdot sinθ=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot AB\cdot sinθ当A,B是在x轴同侧时，.S_{ΔPAB}=S_{ΔPAC}-S_{ΔPBC}=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot AC\cdot sinθ-\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot BC\cdot sinθ=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot AB\cdot sinθ{\color{Red}{PS }}不管A,B是在x轴同侧还是异侧，公式S_{ΔPAB}=\dfrac{1}{2}\cdot PC\cdot AB\cdot sinθ依然成⽴.(点在轴类似)经典例题焦点三⾓形⾯积【典题1】设双曲线C : x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )的左、右焦点分别为F _ { 1 } , F _ { 2 }，P是C上⼀点，且F_1 P⊥F_2 P，若△PF_1 F_2的⾯积为4，则离⼼率e=\underline{\quad \quad } .【解析】{\color{Red}{⽅法⼀ }}由题意可知a=1，设|PF_2 |=m ,|PF_1 |=n，可得|m－n|=2∵△PF_1 F_2的⾯积为4∴\dfrac{1}{2} mn=4⇒mn=8{\color{Red}{(遇到焦点三⾓形△PF_1F_2，想到定义和解三⾓形的内容)}}∵F_1 P⊥F_2 P∴m^2+n^2=4c^2∴(m-n)^2+2mn=4c^2⇒4c^2=4+16=20⇒c=\sqrt 5∴e = \dfrac { c } { a } = \sqrt { 5 }.{\color{Red}{⽅法⼆ }}由双曲线焦点三⾓形⾯积公式S = \dfrac { b ^ { 2 } } { \tan \dfrac {\angle P } { 2 } }，{\color{Red}{(椭圆焦点三⾓形⾯积公式S= b ^ { 2 } \tan \dfrac { \angle P } { 2 } ) }}由题意可知\dfrac{b^2}{tan45°}=4，∴b=2⼜∵a=1，∴c=\sqrt5，∴e = \dfrac { c } { a } = \sqrt { 5 }.两边之积×夹⾓正弦值÷2【典题2】已知直线l与双曲线E : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )的两条渐近线分别交于A(x_1 ,y_1 )、B(x_2 ,y_2)两点，且x_1 x_2>0，若\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =-4，且△AOB的⾯积为2\sqrt3，则E的离⼼率为\underline{\quad \quad }.【解析】∵\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =-4，S _ { \triangle A O B } = 2 \sqrt { 3 }，∴\begin{cases} { Q A \cdot O B \cdot \cos \angle A O B = - 4 } \\ { \dfrac { 1 } { 2 } O A \cdot O B \cdot \sin\angle A O B = 2 \sqrt { 3 } }\end{cases}，∴tan∠AOB=-\sqrt3,∴∠AOB=120°，故∠AOx=60°, ⼜直线OA⽅程为y=\dfrac{b}{a} x,∴ \dfrac { b } { a } = \tan 60 ^ { \circ } = \sqrt { 3 }，即b=\sqrt 3 a，∴e = \dfrac { c } { a } = 2.【点拨】本题对“\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =-4”的处理是⽤数量积的定义得到OA⋅OB⋅cos∠AOB=-4，⽽△AOB的⾯积⽤到S_{△AOB}=\dfrac{1}{2}⋅OA⋅OB⋅sin∠AOB⽐较合理.通法与割补法【典题3】已知双曲线\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )的离⼼率为2，焦点到渐近线的距离等于\sqrt3，过右焦点F_2的直线l交双曲线于A、B两点，F_1为左焦点．(1) 求双曲线的⽅程；(2) 若△F_1 AB的⾯积等于6\sqrt2，求直线l的⽅程．【解析】(1)过程略，x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1.(2) {\color{Red}{ ⽅法⼀}}设A(x_1 ,y_1 ),B(x_2 ,y_2 )，当直线l的斜率不存在，则直线l的⽅程x=2，此时易得S_{△F_1 AB}=12≠6\sqrt2，故可设直线l的⽅程为y=k(x-2)，由\begin{cases} { y = k ( x - 2 ) } \\ { x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \end{cases}，得(k^2-3) x^2-4k^2 x+4k^2+3=0，∵有两个交点，∴k≠±\sqrt3，且x _ { 1 } + x _ { 2 } = \dfrac { 4 k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } - 3 },x _ { 1 } x _ { 2 } = \dfrac { 4 x ^ { 2 } + 3 } { k ^ { 2 } - 3 }，| A B | = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \sqrt { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 } }= \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \dfrac { 6 \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } { k ^ { 2 } - 3 }= \dfrac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) } { k ^ { 2 } - 3 },∵F_1 (-2 ,0)到直线l的距离d = \dfrac { 4 | k | } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } }，∴△F_1 AB的⾯积S = \dfrac { 1 } { 2 } \cdot d \cdot | A B | = \dfrac { 1 } { 2 } \cdot \dfrac { 4|k| } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \cdot \dfrac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) } { k ^ { 2 } - 3 }12 | k | \cdot \dfrac { \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } { k ^ { 2 } - 3 } = 6 \sqrt { 2 }，{\color{Red}{(利⽤三⾓形⾯积公式S_Δ=\dfrac { 1 } { 2 } ×底×⾼) }}∴k^4+8k^2-9=0，解得k=±1，∴所以直线l的⽅程为y=±(x-2)．{\color{Red}{⽅法⼆ }}设A(x_1 ,y_1 ),B(x_2 ,y_2 )，同⽅法⼀可得k≠±\sqrt3，且x _ { 1 } + x _ { 2 } = \dfrac { 4 k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } - 3 }，∴|y_1－y_2 |=|k(x_1－x_2 )|= | k | \cdot \dfrac { \sqrt { ( 4 k ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 ( k ^ { 2 } - 3 ) ( 4 k ^ { 2 } + 3 ) } } { | k ^ { 2 } - 3 | } = \dfrac { 6 | k | \sqrt{ | k ^ { 2 } + 1 } } { | k ^ { 2 } - 3 | }，∴△F_1 AB的⾯积S= \dfrac { 1 } { 2 } | F _ { 1 } F _ { 2 } | | y _ { 1 } - y _ { 2 } |12 \cdot \dfrac { | k | \cdot | \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } { | k ^ { 2 } - 3 | } = 6 \sqrt { 2 }，{\color{Red}{(由于点F_1在x轴，利⽤S= \dfrac { 1 } { 2 } | F _ { 1 } F _ { 2 } | | y _ { 1 } - y _ { 2 } |) }}化简得k^4+8k^2－9=0，解之得k^2=1，∴k=±1，得直线l的⽅程为y=±(x-2)【点拨】①注意分类讨论直线l的斜率是否存在；②因为直线过双曲线内的点，故不要看判别式Δ是否⼤于0，但要注意k^2－3≠0⇒k≠±\sqrt3；③第⼆问⽅法⼀是利⽤三⾓形⾯积公式S_Δ=\dfrac { 1 } { 2 } ×底×⾼，得S=\dfrac { 1 } { 2 } \cdot |AB|\cdot d，其中以弦长AB为底，点F_1到直线AB的距离为⾼；⽅法⼆利⽤分拆三⾓形的⽅法得S= \dfrac { 1 } { 2 } | F _ { 1 } F _ { 2 } | | y _ { 1 } - y _ { 2 } |，此时要理解“不管AB是在x轴同侧还是异侧，公式依然成⽴”.【典题4】过抛物线C：y^2=2px(p>0)的焦点F且倾斜⾓为\dfrac{π}{3}的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且|AF|=|FC| ,|BC|=2．(1)求抛物线C的⽅程；(2)直线l交抛物线C于D、E两点，且这两点位于x轴两侧，与x轴交于点M, 若\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE}=4，求S_{△DFO}+S_{△DOE}的最⼩值．【解析】(1)过点A作抛物线准线的垂线，垂⾜为A_1，过点B作准线的垂线，垂⾜为B_1，设准线与x轴交于点G，如图所⽰，∵∠AFx=∠CBB_1=\dfrac{π}{3} ,BC=2，∴BB_1=1，∴BF=1，⼜点F为AC的中点，∴AF=CF=BC+BF=3，∴|GF|=\dfrac { 1 } { 2 } |AA_1 |=\dfrac { 1 } { 2 } |AF|=\dfrac { 3 } { 2 } ，∴p=\dfrac { 3 } { 2 }，所以抛物线C的⽅程为y^2=3x．{\color{Red}{(注意抛物线定义和平⼏知识的运⽤) }}(2)设D(x_1 ,y_1),E(x_2 ,y_2), 设y_1>0 ,y_2<0，l_{DE}：x=my+t，{\color{Red}{ (这样设⽅程计算简便些)}}联⽴得⽅程组\begin{cases} { x = m y + t } \\ { y ^ { 2 } = 3 x } \end{cases}，得y^2-3my-3t=0，\begin{cases} { y _ { 1 } + y _ { 2 } = 3 m } \\ { y _ { 1 } y _ { 2 } = - 3 t } \end{cases}，∴\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE}=x_1 x_2+y_1 y_2=\dfrac{y_1^2⋅y_2^2}{9}+y_1 y_2=4，{\color{Red}{ (曲线代换：利⽤抛物线⽅程消“x_1 x_2”)}}∴y_1 y_2=3(舍去)或y_1 y_2=－12，∴－3t=－12，∴t=4，即M(4 ,0)，S _ {\triangle D F O } + S _ { \triangle D O E } = \dfrac { 1 } { 2 } | O F | \cdot y _ { 1 } + \dfrac { 1 } { 2 } | O M | \cdot ( y _ { 1 } - y _ { 2 } )= \dfrac { 3 } { 8 } y _ { 1 } + 2 ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) = \dfrac { 19 } { 8 } y _ { 1 } + ( -2 y _ { 2 } )\ge 2 \sqrt { \dfrac { 19 } { 8 } \times 2 | y _ { 1 } y _ { 2 } | } = 2 \sqrt { \dfrac { 19 } { 4 } \times 12 } = 2 \sqrt { 57 }，(当且仅当\dfrac{19}{8} y_1=-2y_2，即y _ { 1 } = \dfrac { 8 \sqrt { 57 } } { 19 } , y _ { 2 } = - \dfrac { \sqrt { 57 } } { 2 }时，取到等号)所以S _ {\triangle D F O } + S _ { \triangle D O E }的最⼩值为2 \sqrt { 57 }．【点拨】在抛物线上设直线⽅程为l_{DE}：x=my+t较为常见，同时也配合上三⾓形⾯积S _ {\triangle D F O } + S _ { \triangle D O E } = \dfrac { 1 } { 2 } | O F | \cdot y _ { 1 } + \dfrac { 1 } { 2 } | O M | \cdot ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ).【典题5】已知A、B是椭圆C: \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )的左，右顶点，B(2 ,0)，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M ,N，交直线x=4于点P，且直线PA、PF、PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ的中垂线交x轴于T点(1)求椭圆C的⽅程；(2)求△MNT的⾯积的最⼤值.【解析】(1)由题意知a=2，A(-2 ,0)，设P(4 ,y_0 ) ,F(c ,0)，k _ { P A } = \dfrac { y _ { 0 } } { 6 } , k _ { P B } = \dfrac { y _ { 0 } } { 2 } , k _ { P F } = \dfrac { y _ { 0 } } { 4 - C },依题意可知\dfrac { 2 y _ { 0 } } { 4 - c } = \dfrac { y _ { 0 } } { 6 } + \dfrac { y _ { 0 } } { 2 }，解得c=1,∴b^2=a^2-c^2=3，∴椭圆C的⽅程\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1.(2)设R(x_1 ,y_1 ),Q(x_2 ,y_2)，∵R和Q的横坐标之和为2,∴x_1+x_2=2，∵R、Q均在椭圆上，\dfrac { x _1^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y _ { 1 } ^ { 2 } } { 3 } = 1①\dfrac { x _2^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y _ { 2 } ^ { 2 } } { 3 } = 1②{\color{Red}{(点差法) }}① - ②得\dfrac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } = - \dfrac { 3 } { 2 ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) }，设T(t ,0)，由中垂线性质得TR=TQ，即\sqrt { ( t - x _ { 1 } ) ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } } = \sqrt { ( t - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } }，化简得2 t = 2 + \dfrac { y _ { 1 } ^ { 2 } - y _ { 2 } ^ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } }= 2 + ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) \dfrac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } = 2 - \dfrac { 3 } { 2 } = \dfrac { 1 } { 2 }，∴ t = \dfrac { 1 } { 4 }，即T(\dfrac { 1 } { 4 },0).设M(x_3 ,y_3 ),N(x_4 ,y_4)，直线MN:x=my+1与椭圆联⽴可得(3m^2+4) y^2+6my-9=0，y _ { 3 } + y _ { 4 } = \dfrac { 6 m } { 3 m ^ { 2 } + 4 } , y _ { 3 } y _ { 4 } = - \dfrac { 9 } { 3 m ^ { 2 } + 4 }，{\color{Red}{(因为直线MN过椭圆内⼀点F，故m可取全体实数R，不需要考虑判别式Δ>0) }}| y _ { 3 } - y _ { 4 } | ^ { 2 } = ( y _ { 3 } + y _ { 4 } ) ^ { 2 } - 4 y _ { 3 } y _ { 4 }= \dfrac { 36 m ^ { 2 } } { ( 3 m ^ { 2 } + 4 ) ^ { 2 } } + \dfrac { 36 } { 3 m ^ { 2 } + 4 } = 144 \dfrac { m ^ { 2 } + 1 } { ( 3 m ^ { 2 } + 4 ) ^ { 2 } }，令n=m^2+1≥1，{\color{Red}{(使⽤换元法降次，化难为简，函数思想注意⾃变量的取值范围) }}则| y _ { 3 } - y _ { 4 } | ^ { 2 } = 144 \cdot \dfrac { n } { ( 3 n + 1 ) ^ { 2 } } = 144 \cdot \dfrac { 1 } { 9 n + \dfrac { 1 } { n } + 6 }∵ y = 9 n + \dfrac { 1 } { n }在[1 ,+∞)是递增的，∴y_{min}=10，{\color{Red}{(由对勾函数图像易得，由于n∈[1 ,+∞)不能⽤基本不等式) }}| y _ { 3 } - y _ { 4 } | ^2_ { m a x } = 144 \cdot \dfrac { 1 } { 10 + 6 } = 9，即|y_3-y_4 |_{max}=3，故S _ { m a x } = \dfrac { 1 } { 2 } \cdot F T ^ { \prime } \cdot | y _ { 3 } - y _ { 4 }|_{m a x} = \dfrac { 1 } { 2 } \times \dfrac { 3 } { 4 } \times 3 = \dfrac { 9 } { 8 }.【点拨】① “R和Q的横坐标之和为2”这条件可想到“中点弦问题”的点差法，避免设直线RQ⽅程导致计算量增⼤；②本题最重要的想法是求△MNT的⾯积，⽤到了公式S=\dfrac{1}{2} \cdot FT \cdot|y_3-y_4 |，同时设直线⽅程为MN:x=my+1，联⽴⽅程时消x得到y的⼀元⼆次⽅程较易得到|y_3-y_4 |的表达式，⼤⼤减少了计算量，也避免直线斜率是否存在的分类讨论；④求函数形如y = \dfrac { a _ { 1 } x ^ { 2 } + b _ { 1 } x + c _ { 1 } } { a _ { 2 } x ^ { 2 } + b _ { 2 } x + c _ { 2 } }最值问题，其中涉及对勾函数或基本不等式、换元法等内容，同时要注意⾃变量的取值范围，这是常考的题型.巩固练习1(★★)设F_1 ,F_2是椭圆\dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 6 } = 1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF_1 |：|PF_2 |=2：1，则△F_1 PF_2的⾯积等于\underline{\quad \quad }.2(★★)过双曲线\dfrac { x ^ { 2 } } { 3 } - y ^ { 2 } = 1的右焦点F，作倾斜⾓为60°的直线l, 交双曲线的渐近线于点A、B，O为坐标原点，则△OAB的⾯积为\underline{\quad \quad }.3(★★)抛物线C：y^2=8x的焦点为F，N为准线上⼀点，M为y轴上⼀点，且\overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{NF}=0，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的⾯积为\underline{\quad \quad }.4(★★)已知双曲线C: \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )的离⼼率为\sqrt5，虚轴长为4．(1)求双曲线的标准⽅程；(2)过点(0 ,1)，倾斜⾓为45°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求ΔOAB的⾯积．5(★★)椭圆C: \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } +\dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )过点A ( 1 , \dfrac { 3 } { 2 } )，离⼼率为\dfrac {1 } { 2 }，左、右焦点分别为F_1,F_2，过F_1的直线交椭圆于C ,D两点．(1)求椭圆C的⽅程；(2)当△F_2 CD的⾯积为\dfrac { 12 \sqrt { 2 } } { 7 }时，求直线的⽅程．6(★★★)如图，设椭圆的中⼼为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F_1 ,F_2，线段OF_1 ,OF_2的中点分别为B_1,B_2，且△AB_1 B_2是⾯积为4的直⾓三⾓形．(1)求该椭圆的离⼼率和标准⽅程；(2)过B_1作直线交椭圆于P ,Q两点，使PB_2⊥QB_2，求△PB_2 Q的⾯积．7(★★★)已知椭圆C: \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } +\dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )的离⼼率为\dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 }，F是椭圆的焦点，点A(0 ,－2)，直线AF的斜率为\dfrac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 }，O为坐标原点．(1)求椭圆C的⽅程；(2)设过点A的直线与C相交于P、Q两点，当△OPQ的⾯积最⼤时，求l的⽅程．8(★★★★)已知双曲线C的⼀个焦点为(-\sqrt5 ,0)，且过点Q(2\sqrt5 ,2)．如图，F_1，F_2为双曲线的左、右焦点，动点P(x_0 ,y_0)(y_0≥1)在C的右⽀上，且∠F_1 PF_2的平分线与x轴、y轴分别交于点M(m ,0)(-\sqrt5<m<\sqrt5)、N，设过点F_1,N的直线l与C交于D ,E两点．(1) 求C的标准⽅程；(2) 求△F_2 DE的⾯积最⼤值．答案2 \sqrt {3 }\dfrac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 }6 \sqrt { 2 }x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 \quad ( 2 ) \dfrac { 4 } { 3 }( 1 ) \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1( 2 ) x - y + 1 = 0 或 x + y + 1 = 0( 1 ) e = \dfrac { 2 } { 5 } , \dfrac { x ^ { 2 } } { 20 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1\quad ( 2 ) \dfrac { 16 } { 9 } \sqrt { 10 }(1)\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1\quad ( 2 )y = \pm \dfrac { \sqrt { 7 } } { 2 } x - 2Processing math: 5%( 1 ) \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1 \quad ( 2 ) 4 \sqrt { 30 }。
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a (c2 -b2) —b2--+---a- 入
,0p
+02
、f =入(2P
\ +22丿
A +22
2pOo
(、
=(入 2P
+ C (入2q +2 =入2 2p2o + 入C(p + 2o)+ cC
假设存在，(0,n)满足条件，则丽•而=(2p,
Op-n) • ()22 一 n) = 2p22 + OpOo 一 n(Op + 02丿
ma + 2 4.结语 根据高中数学竞赛试题的特点，从组织数学探 究活动着手，训练和培养数学竞赛解题思维能力.多 方位探索解题途径，培养解题思维的灵活性•深入地 思考发现数学问题的本质,培养解题思维的深度 ，辨 析和对比转换问题,培养解题的批判性，积淀数学解 题策略，切入解决问题的普适性，提升问题拓展引申 的能力.
=8m2 + 8
> 0,二 0[
+ y2
=
-2 m m2 + 2
292
-9 m2 + 2
J8m2 + 8 二 S4A0B = T * 0F2 * • ^ - y2，=亍' m + =q J槡mm＋+9.
J 令 2 = m2 + 9 (2 M 9)则 S40B
J/2
=22 +9 =
9 •令 g() = 2 + 2 ,则 g()在[9, + g )上单 2 +—
-30 •
中学数学研究
2219年第7期
•
解：设儿^：：二入2+c，其中2二-a2— 一(2 ,与椭 a +2
圆i：%0y = 9(a > 2 > 0)联立方程组得 ab
( b +a ， ) 0 + ，2a0+a ( 2 -b ) = 0
所以 2P
+ 20
2 — — T 2
，2a +a2 入12,2p22
点F的直线P交椭圆于A、B两点，0为坐标原点， (9)若c > 2,则(S4A0B)mn = a)此时直线/的
方程a
2
—或
2
+
bc
；
(2)若c W 2,则(S4A0B)mn =b^c ，此时直线/的
方程为2 =c.4A0B的面积无最小值. 椭圆有这个结论，那么同为圆锥曲线的双曲线
和抛物线是否也有类似的结论呢？下面我们先来研 究一下双曲线•
探究二 过双曲线0筈y-笔=9(a > 02 > 0) ab
的右焦点F作直线P交双曲线于A、B两点，0为原 点，求4A0B面积的最值.
解：设 A(O1,91) ,B(22,02),直线 Z： = my +
c m H ¥) • b
“2 2
22
22
联立｛-2 -a+ =a-，消去 2 得(考文献
[1]G.波利亚.怎样解题.数学思维的新方法[M].上海科技 教育出版社209.
以圆锥曲线焦点弦为一边的三角形面积的探究
浙江省绍兴鲁迅中学 (319000)徐耀
圆锥曲线中的三角形面积问题是圆锥曲线有 关最值问题中比较常见的一种题型.它结合了数形 结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等多种 数学思想方法，有利于综合考查考生的能力，是各地 高考试题中出现频率较高的热点问题.在高二学生 的作业中，笔者发现了这样一道题：
2 a ( - 22 + 2 n2 - I )入2 + a2 ( 22 - I ) (
+ n = ---------------- a, +1
--------- +(2-
22，由于与,无关，所以有a(-c +2 n2-I)= a2
a2 (C -I),解得 n = 2,进而 B> •蔵=0.
—I
拓展3 将B> •
2
②若宁W 9,即c W -时，令g(2 =-2 + — ( 2
b
t
M 9丿，则g()在［9 , + g丿上单调递增•故当2 = 9
即m = 0时，(S4A0B)m4二b竽c•此时直线Z的方程为
X - C. 显然当2 —》+ g时，S4A0B —、0 ,故无最小值. 综上得以下结论: 结论9 过椭0 圆y气= 9 a>2 > 0)右焦 ab
2
调递增•故当2 = 9,即m = 0时，(Saaob)mnx = J，此Ll
时直线Z的方程为2 = 9. 由上题发现，当直线AB的斜率不存在即AB为
通径时,4A0B的面积最大. 22
为此笔者猜想对一般性的椭圆耸+告=9(a ab
>2> 0)，是否都有这个结论成立？
2019年第7期
中学数学研究
-39 •
J 令 2 = m2 +9 (t M 9 丿则 S^aob
abc
2•
l2 +^
al cc I2 + c2
①若y>9,即c >2时24A0B
al c al c —W莎
=a.当且仅当2 =亍,即m二土槡：-1时，等号
成立•此时(S4A0B ) mn =¥，直线2的方程为0 =
2
bc
或
b
jc^i
bc
jc-1
探究一过椭圆a + l = 9(a > 2 > 0)的右 a b2
焦点F的直线2交椭圆于A、B两点，0为坐标原点,
求4A0B面积的最大值及此时直线2的方程.
解:设 A(o1,91) ,B(22 22),直线 P： = my + c.
联立
, 22
2 t2
a + a ，消去2 得(Im*2 + a2)y2 +
I)o2 + 2mlcc + I = 0.
c4 = 4a2I(m2 + 9) > 0,二 y1 + a =
-2mlc
my+c，
2 ml cy - b4 = 0. *.* 4 = 4a224(m2 + 9 ) > 0 ,二 0[ +
-2 mb2 c
-b4 一
9
a 二 b m --+-a 2,91y2 bm +a2-'
2•
0F2 • O1 - 02 I
J alc m2 +9
bm +a
J aZb4 ( m2 + 9 ) 2 Im2 + a2
= 0 —般化，只需假定
Ab2pAb2o 二-m(m >°), 在平面直角坐标系2)中，椭圆i：% 0y + % = ab
9(a > 2 > 0)的上顶点B2,不经过B2的直线P与椭
圆交于P,2两点，且Ab2pAb20 = - m(m > 0) •求证：
2 一(2 直线八恒过定点(0, - “a「bzi.
0 题目 直线z过椭圆牙+O2 =9的右焦点F交
椭圆于A、B两点，0为坐标原点，求4A0B面积的最
大值及此时直线Z的方程• 解：设 A(O1,91) ,B(22,02),直线 P： =my + 9.
联立｛2 + y = ， 消去2得(m2 + 2 )y2 + my =my+ 9 ，
-9
=0. c 4