关于高三数学三垂线定理1课件

定理内容分析：
1、三垂线定理包括5个要素：一面(垂面)； 四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线)。
顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜 线，射影可见，直线随便。
2、“三垂线”的含义： （1）垂线与平面垂直 （2）射影与平面内的直线垂直 （3）斜线与平面内的直线垂直
二、基础性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×） A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
影，则 a⊥b
（ ×）
⑶若a是平面α的斜线，直线b α
D
C
且b垂直于a在另一平面β内的射
影则a⊥b
（
×
）
A
面ABCD
B
→面α
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
A1
·
B1
D A
C B
２．已知P在平面ABC内的射影是O，
若p到△ABC的三边的距离相等，则点O是
△ABC的
。
若PA=PB=PC ，则点O是△ABC的
。
若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC
的
。
探索1、已知P在平面ABC内的射影是O，O是
△ABC的垂心，求证PA⊥BC，PB⊥AC。
探索2、已知P在平面ABC内的射影是O，O是
B C
三、例题分析：例１、空间四边形ABCD中，
AB垂直于CD，BC垂直于AD，求证：AC ⊥BD。
证明：
如图，若AB是平面BCD的斜 线，过A
A
作AO⊥平面BCD于O，连结BO，
∵AB⊥CD，
∴CD⊥BO（三垂线逆定理）.
D
同理可得BC⊥OD，则O为∆BCD的垂B 心，
∴BD⊥OC，
O
∵OC是AC的射影，
3°应用步骤:分三个步骤-“一垂二射三证”
五.布置作业：
１．（1）求证：两条平行线和同一个平面所成的角 相等。
（2）从平面外一点D向平面引垂线段DA及斜线 段DB、DC，DA=a，∠BDA=∠CDA=60°， ∠ BDC=90 °，求BC的长。
（3）如图，一块正方体木料的上底面上有一点E，
要直经，过 应点 怎E样在画上？底面上画一条直D1线和C、E E的连C1线垂
关于高三数学三垂 线定理1
三垂线定理及其逆定理（一）
复习回顾
P
基础应用
A
能力拓展
ห้องสมุดไป่ตู้B C
课堂练习
一 基本概念：
三垂线定理：在平面内的一条直线， 如果它和这个平面的一条斜线的射影 垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线逆定理：在平面内的一条直 线，如果和这个平面的一条斜线垂 直，那么，它也和这条斜线的射影 垂直。
则 a⊥b
（√）
面直直面直 直面直直A线线B线线A线线B1ABBBAACAB11CC1BDCB11CDCCB→→→→1→→→→垂面斜斜垂面斜面线α线线线α线β baaba
2. 在正方体AC1中，
D1 A1
C1 B1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 D
C
证明： ∵在正方体AC1中
A
B
A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C
△ABC的垂心，求证B在平面PAC内的射影是O’是
△PAC的垂心。
探索3、已知O是锐角△ABC的垂心，PO⊥平
面ABC，∠BPC=９０ ° ．
求证：∠BPA= ９０ ° ，∠APC= ９０ ° 。
本节课到此结束
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实实的轮椅。每当天气好的时候，家里人就将他扶到轮椅里推着到处走走看看。如果大家都要忙着干活儿去，就在走之 前将他扶到轮椅里，并把轮椅推到院子里，让他自己用手转动着两边光滑的木轮子在院子里转悠着晒太阳。在这个规模 不大的山镇上，李长善家拥有的土地算是多的了，但家里原本真正能干活儿的只有李长善一人，李妻和尚文、尚英虽然 也都是一年忙到头的，但都只不过是打打下手，尽力干一些力所能及的活计而已。说起来，耿老爹救了李家小儿子尚武 之后这糊里糊涂的三年多里，着实还将错就错地为李长善帮了不少的忙呢！如今李长善这一歇了，李家所有的重担就全 部落在了耿老爹的身上。肯吃苦又善于动脑筋的耿老爹决定尽自己所能，把李家所有的大事小情都处理到最好，并且尽 快培养大义子李尚文成长起来！在耿老爹的建议之下，李家先后添置了两挂骡拉大平车。这样一来，李家三十多亩土地 的耕种、收获和所产粮食的外销，就从根本上实现了既快又好。耿老爹把自己多年来伺弄大牲口和赶车的所有经验和技 能全部传授给了大义子尚文。后来，机灵的小尚武也早早地就掌握了全套的饲养技术和赶车技巧。与此同时，耿老爹还 建议李家捎带着养了十几只羊、十来口猪和几十只鸡鸭。这样一来，不但满足了家里人自己日常的肉食和禽蛋需要，剩 余部分又是一笔不小的收入。在土地耕作方面，耿老爹将他擅长的北方轮作技术成功地应用到了这个江南小镇的土地上 ，使李家的三十多亩水田坡地上连年获得前所未有的大丰收！耿老爹的失忆症完全康复一年后的腊月，为人憨厚且特别 吃苦耐劳的李家长子尚文与本镇上的杨氏女儿成婚，次年秋后，就给李家添了一个大胖孙子，让病体不爽的李长善颇感 欣慰。再次年的春天，李家女儿尚英也嫁给了从小青梅竹马，同住在一条街上的陈氏次子；同年腊月，尚英生了一个漂 亮可爱的女娃儿。66第七十六回 无边思念更添愁|（五载再无书信回，亲人挂念与日增；张老乡故里探消息，无边思念 更添愁。）寒来暑去年复一年。在那个美丽的“三六九镇”上，张老乡带走书信迄今已经快满五年了。这期间，既不见 耿家父子们归来，也没有任何有关他们的音讯。时光老人似乎并不知晓人世间的思念与惆怅，越是害怕过八月十五节， 而这个八月十五节就越是紧着日子往前赶。自从耿老爹父子四人离家南下以来，每年的八月十五节这一天，中午的新葱 鲜羊肉水饺，郭氏和耿兰一直都是在耿憨家和董家成家轮流着吃；晚上的“拜月”，也都是由耿憨和董家成两家的女主 人轮流着张罗。当然，尽管是在一起过节，但过节之前或者过完节之后，裴氏和刘氏都还会使唤自家的娃儿们，送过来 足够郭氏娘儿俩吃好多天的各种鲜瓜鲜菜鲜果子什么的。按照惯例，今年的
C
∴BD⊥AC（三垂线定理）。
例BD21，.如AC图，，CB已1，知B正1A方，体求A证BC：D-BAD11B⊥1C平1D面1中A，B1C连结
证明：连结BD，连结A1B ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
D1
C1
又DD1⊥平面ABCD
A1
B1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC
D
请同学思考：如何证明BD1⊥AB1 A 而AB1， AC相交于点A且都在平面
AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C
C B
例3.如图所示,已知PA ⊥平ABC,∠ACB=90°， AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角 形。
证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB= 90°， ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影， P ∴BC⊥PC（三垂线定理）， ∴∆PBC是直角三角形；
∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，
Q
∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，
∴AQ⊥平面PBC，
∴QR 是 AR 在 平 面 PBC 的 射 影 ， 又 AR⊥PB ，
R
∴QR⊥PB（三垂线逆定理），
A
C
∴∆PQR是直角三角形。
B
四 课堂练习
1.判断下列命题的真假：
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
D1
垂直，则这条直线 与斜线的位置关系是（ D ）
（A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、如图四面体中，如果AB是直径，Ｃ为圆周上任意
点且ＰＡ垂直于平面ＡＢＣ．那么该四面体最多有
多少个直角三角形（ C ）
P
（A）有一个直角三角形
（B）有两个直角三角形
（C）都是直角三角形
A
（D）一定都不是直角三角形
∴B1C是A1C在面BCC1B1上的
D1
射 影由三垂线定理知 A1C⊥BC1 . A1
同理可证， A1C⊥B1D1
D
C1 B1
C
A
B
小结：运用三垂线定理及逆定理证明两条
异面直线垂直,必然要涉及平面的斜线,平面 的垂线，这是三垂线定理解题的关键.我们 可以从以下三点加以理解:
1°知识内容：三垂线定理及其逆定理； 2°思想方法:转化的思想,转化的关键是:找 平面的垂线